斜面上的平拋運動模型及類平拋運動模型

一.必備知識和方法斜面上的平拋運動問題是一種常見的題型，在解答這類問題時除要運用平拋運動的位移和速度規(guī)律，還要充分運用斜面傾角，找出斜面傾角同位移和速度與水平方向夾角的關系，從而使問題得到順利解決。1．從斜面上某點水平拋出，又落到斜面上的平拋運動的五個規(guī)律〔推論〕(1)位移方向相同，豎直位移與水平位移之比等于斜面傾斜角的正切值。(2)剛落到側面時的末速度方向都平行，豎直分速度與水平分速度(初速度)之比等于斜面傾斜角正切值的2倍。(3)運動的時間與初速度成正比eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＝\f(2v0tanθ,g)))。(4)位移與初速度的二次方成正比eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s＝\f(2v\o\al(2,0)tanθ,gcosθ)))。(5)當速度與斜面平行時，物體到斜面的距離最遠，且從拋出到距斜面最遠所用的時間為平拋運動時間的一半。2．常見的模型模型方法分解速度，構建速度三角形，找到斜面傾角θ與速度方向的關系分解速度，構建速度的矢量三角形分解位移，構建位移三角形，隱含條件：斜面傾角θ等于位移與水平方向的夾角根本規(guī)律水平：vx＝v0豎直：vy＝gt合速度：v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))方向：tanθ＝eq\f(vx,vy)水平：vx＝v0豎直：vy＝gt合速度：v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))方向：tanθ＝eq\f(vy,vx)水平：x＝v0t豎直：y＝eq\f(1,2)gt2合位移：s＝eq\r(x2＋y2)方向：tanθ＝eq\f(y,x)運動時間由tanθ＝eq\f(v0,vy)＝eq\f(v0,gt)得t＝eq\f(v0,gtanθ)由tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(gt,v0)得t＝eq\f(v0tanθ,g)由tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(gt,2v0)得t＝eq\f(2v0tanθ,g)3.類平拋運動模型〔1〕模型特點：物體受到的合力恒定，初速度與恒力垂直，這樣的運動叫類平拋運動。如果物體只在重力場中做類平拋運動，那么叫重力場中的類平拋運動。學好這類模型，可為電場中或復合場中的類平拋運動打根底?！?〕.類平拋運動與平拋運動的區(qū)別做平拋運動的物體初速度水平，物體只受與初速度垂直的豎直向下的重力，a＝g；做類平拋運動的物體初速度不一定水平，但物體所受合力與初速度的方向垂直且為恒力，a＝eq\f(F合,m)?！?〕求解方法(1)常規(guī)分解法：將類平拋運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的勻加速直線運動。(2)特殊分解法：對于有些問題，可以過拋出點建立適當的直角坐標系，將加速度a分解為ax、ay，初速度v0分解為vx、vy，然后分別在x、y方向上列方程求解?！?〕求解類平拋運動問題的關鍵(1)對研究對象受力分析，找到物體所受合力的大小、方向，正確求出加速度。(2)確定是研究速度，還是研究位移。(3)把握好分解的思想方法，例題中研究位移，把運動分解成沿斜面的勻加速直線運動和水平方向的勻速直線運動，然后將兩個方向的運動用時間t聯系起來。二.典型例題精講題型一：分解速度例1：如下圖，以10m/s的水平初速度拋出的物體，飛行一段時間后，垂直地撞在傾角為θ＝30°的斜面上，g取10m/s2，這段飛行所用的時間為()A．eq\f(\r(2),3)sB．eq\f(2\r(3),3)sC．eq\r(3)s D．2s答案：C[解析]如下圖，把末速度分解成水平方向的分速度v0和豎直方向的分速度vy，那么有eq\f(vy,v0)＝cot30°，又vy＝gt將數值代入以上兩式得t＝eq\r(3)s。題型二：分解位移例2：如下圖，小球以v0正對傾角為θ的斜面水平拋出，假設小球到達斜面的位移最小，那么飛行時間t為(重力加速度為g)()A．v0tanθ B．eq\f(2v0tanθ,g)C．eq\f(v0cotθ,g) D．eq\f(2v0cotθ,g)答案：D[解析]如下圖，要使小球到達斜面的位移最小，那么小球落點與拋出點的連線應與斜面垂直，所以有tanθ＝eq\f(x,y)，而x＝v0t，y＝eq\f(1,2)gt2，解得t＝eq\f(2v0cotθ,g)。題型三：分解速度與分解位移相結合例3：如下圖，小球由傾角為45°的斜坡底端P點正上方某一位置Q處自由下落，下落至P點的時間為t1，假設小球從同一點Q處以速度v0水平向左拋出，恰好垂直撞在斜坡上，運動時間為t2，不計空氣阻力，那么t1︰t2等于()A．1︰2B．eq\r(3)︰1C．1︰eq\r(2) D．1︰eq\r(3)答案：B[解析]小球自Q處自由下落，下落至P點，那么有H＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)；小球自Q處水平向左拋出，恰好垂直撞在斜坡上，如下圖，那么有vy＝v0＝gt2，h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,2)，x＝v0t2，由幾何關系知x＝2h，H＝x＋h，聯立解得t1︰t2＝eq\r(3)︰1，故B正確。題型四：類平拋運動例4：(多項選擇)一光滑寬闊的斜面，傾角為θ，高為h，現有一小球在A處以水平速度v0射出，最后從B處離開斜面，以下說法正確的選項是()A．小球的運動軌跡為拋物線B．小球的加速度為gsinθC．小球從A處到達B處所用的時間為eq\f(1,sinθ)eq\r(\f(2h,g))D．小球到達B處的水平方向位移大小s＝v0eq\r(\f(2h,g))答案：ABC。解析：小球受重力和支持力兩個力作用，合力沿斜面向下，與初速度方向垂直，做類平拋運動，其運動軌跡為拋物線，故A正確；根據牛頓第二定律知，小球的加速度a＝eq\f(mgsinθ,m)＝gsinθ，故B正確；小球在沿加速度方向上的位移為eq\f(h,sinθ)，根據eq\f(h,sinθ)＝eq\f(1,2)at2，解得t＝eq\f(1,sinθ)eq\r(\f(2h,g))，故C正確；小球在沿初速度方向的位移：x＝v0t＝eq\f(v0,sinθ)eq\r(\f(2h,g))，小球在沿加速度方向的位移的水平分位移：y＝eq\f(h,sinθ)cosθ＝eq\f(h,tanθ)，那么小球在水平方向的總位移：s＝eq\r(x2＋y2)>eq\f(v0,sinθ)eq\r(\f(2h,g))＞v0eq\r(\f(2h,g))，故D錯誤。題型五：空氣阻力不能忽略的曲線運動例5．(·全國卷Ⅱ)(多項選擇)如圖a，在跳臺滑雪比賽中，運發(fā)動在空中滑翔時身體的姿態(tài)會影響其下落的速度和滑翔的距離。某運發(fā)動先后兩次從同一跳臺起跳，每次都從離開跳臺開始計時，用v表示他在豎直方向的速度，其v-t圖象如圖b所示，t1和t2是他落在傾斜雪道上的時刻。那么()A．第二次滑翔過程中在豎直方向上的位移比第一次的小B．第二次滑翔過程中在水平方向上的位移比第一次的大C．第二次滑翔過程中在豎直方向上的平均加速度比第一次的大D．豎直方向速度大小為v1時，第二次滑翔在豎直方向上所受阻力比第一次的大答案BD解析v-t圖象中圖線與t軸包圍的面積表示位移的大小，第二次滑翔過程中v-t圖線與t軸所圍面積比第一次的大表示在豎直方向上的位移比第一次的大，A錯誤；由圖a知落在雪道上時的水平位移與豎直位移成正比，再由A項分析知，B正確；從起跳到落到雪道上，第一次滑翔過程中豎直方向的速度變化比第二次的大，時間比第二次的短，由a＝eq\f(Δv,Δt)，可知第二次滑翔過程中在豎直方向上的平均加速度比第一次的小，C錯誤；v-t圖象的斜率表示加速度，豎直方向速度大小為v1時，第二次滑翔在豎直方向上的加速度比第一次的小，設在豎直方向上所受阻力為f，由mg－f＝ma，可得第二次滑翔在豎直方向上受到的阻力比第一次的大，D正確。三.舉一反三，穩(wěn)固練習1.橫截面為直角三角形的兩個相同斜面緊靠在一起，固定在水平面上，如下圖。它們的豎直邊長都是底邊長的一半。現有三個小球從左邊斜面的頂點以不同的初速度向右平拋，最后落在斜面上，其落點分別是a、b、c。以下判斷正確的選項是()A．落在a點的小球落在斜面上的速度方向與斜面平行B．三小球比擬，落在c點的小球飛行時間最長C．三小球比擬，落在b點的小球飛行過程速度變化最快D．無論小球拋出時初速度多大，落到斜面上的瞬時速度都不可能與斜面垂直2.(·全國卷Ⅲ·17)在一斜面頂端，將甲、乙兩個小球分別以v和eq\f(v,2)的速度沿同一方向水平拋出，兩球都落在該斜面上．甲球落至斜面時的速率是乙球落至斜面時速率的()A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍3.如下圖，小球從斜面的頂端A處以大小為v0的初速度水平拋出，恰好落到斜面底部的B點，且此時的速度大小vB＝eq\r(\f(13,4))v0，空氣阻力不計，該斜面的傾角為()A．60° B.45°C.37° D.30°4.如下圖，D點為固定斜面AC的中點，在A點先后分別以初速度v01和v02水平拋出一個小球，結果小球分別落在斜面上的D點和C點。空氣阻力不計。設小球在空中運動的時間分別為t1和t2，落到D點和C點前瞬間的速度大小分別為v1和v2，落到D點和C點前瞬間的速度方向與水平方向的夾角分別為θ1和θ2，那么以下關系式正確的選項是()A.eq\f(t1,t2)＝eq\f(1,2)B.eq\f(v01,v02)＝eq\f(1,2)C.eq\f(v1,v2)＝eq\f(1,\r(2))D.eq\f(tanθ1,tanθ2)＝eq\f(1,\r(2))5．甲、乙兩個同學打乒乓球，某次動作中，甲同學持拍的拍面與水平方向成45°角，乙同學持拍的拍面與水平方向成30°角，如下圖．設乒乓球擊打拍面時速度方向與拍面垂直，且乒乓球每次擊打球拍前、后的速度大小相等，不計空氣阻力，那么乒乓球擊打甲的球拍的速度大小v1與乒乓球擊打乙的球拍的速度大小v2的比值為(C)A.eq\f(\r(6),3)B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(3),3)6.如下圖，在斜面頂端a處以速度va水平拋出一小球，經過時間ta恰好落在斜面底端c處．今在c點正上方與a等高的b處以速度vb水平拋出另一小球，經過時間tb恰好落在斜面的三等分點d處．假設不計空氣阻力，以下關系式正確的選項是()A．ta＝eq\f(\r(3),2)tbB．ta＝3tbC．va＝eq\f(\r(3),2)vbD．va＝eq\f(3,2)vb7.為踐行新形勢下的強軍目標，在某次軍事演習中，水平勻速飛行的無人機在斜坡底端A的正上方投彈，炸彈垂直擊中傾角為θ＝37°、長為L＝300m的斜坡的中點P，如圖，假設sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2，那么試估算無人機距A點的高度h和飛行的速度v分別為()A．h＝170mv＝30m/sB．h＝135mv＝40m/sC．h＝80mv＝30m/sD．h＝45mv＝40m/s8.(多項選擇)(·市上學期期末)如圖，在斜面頂端以不同的初速度水平拋出幾個小球，所有小球均落在斜面上．忽略空氣阻力，以下說法正確的選項是()A．所有小球的豎直位移與水平位移之比都相等B．小球的運動時間與初速度的平方成正比C．所有小球落到斜面上時的速度方向都相同D．小球從拋出到離斜面最遠的過程中，豎直位移為總豎直位移的一半9.如下圖，A、B兩質點沿水平方向以相同的速度v0拋出，A在豎直平面內運動，落地點為P1，B沿光滑斜面運動，落地點為P2，不計阻力，那么以下關于P1、P2沿x軸方向相對拋出點距離遠近的關系的判斷正確的選項是()A．P1較遠B.P2較遠C．P1、P2等遠D.A、B兩項都有可能10.如下圖，A、B兩質點以相同的水平速度v拋出，A在豎直平面內運動，落地點在P1；B在光滑的斜面上運動，落地點在P2，P1、P2在同一水平面上。不計空氣阻力，那么以下說法中正確的選項是()A．A、B的運動時間相同B．A、B沿x軸方向的位移相同C．A的軌跡是拋物線，B的軌跡是橢圓D．A、B落地點的速率相同11.如下圖，在傾角為θ的斜面頂端A處以速度v0水平拋出一小球，落在斜面上的某一點B處，設空氣阻力不計，求：(1)小球從A運動到B所需的時間；(2)從拋出開始計時，經過多長時間小球離斜面的距離到達最大？四.舉一反三，穩(wěn)固練習參考答案1.橫截面為直角三角形的兩個相同斜面緊靠在一起，固定在水平面上，如下圖。它們的豎直邊長都是底邊長的一半?，F有三個小球從左邊斜面的頂點以不同的初速度向右平拋，最后落在斜面上，其落點分別是a、b、c。以下判斷正確的選項是()A．落在a點的小球落在斜面上的速度方向與斜面平行B．三小球比擬，落在c點的小球飛行時間最長C．三小球比擬，落在b點的小球飛行過程速度變化最快D．無論小球拋出時初速度多大，落到斜面上的瞬時速度都不可能與斜面垂直答案：D。解析：設落在a點的小球落在斜面上的速度方向與水平方向夾角為θ，位移方向與水平方向夾角為α，根據平拋運動的推論可知，tanθ＝2tanα，即落在a點的小球落在斜面上的速度方向不可能與斜面平行，A錯誤；根據平拋運動規(guī)律可知，三小球飛行時間t＝eq\f(\r(2h),g)，落在a點的小球豎直方向下落距離最大，所以落在a點的小球飛行時間最長，B錯誤；三小球都做平拋運動，速度變化快慢(加速度)均相同，C錯誤；通過A的分析可知，落在a點的小球不可能與斜面垂直，對于落在b、c點的小球而言，落在斜面上時豎直方向分速度為gt，水平方向分速度為v0，假設落到斜面上的瞬時速度能與斜面垂直，那么eq\f(v0,gt)＝tanα＝eq\f(1,2)，對應的豎直方向的位移為y＝eq\f(1,2)gt2，水平方向的位移為x＝v0t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)gt))t＝y(tǒng)，顯然這是不可能滿足的，因此D正確。2.(·全國卷Ⅲ·17)在一斜面頂端，將甲、乙兩個小球分別以v和eq\f(v,2)的速度沿同一方向水平拋出，兩球都落在該斜面上．甲球落至斜面時的速率是乙球落至斜面時速率的()A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍答案A解析如下圖，可知：x＝vt，x·tanθ＝eq\f(1,2)gt2那么vy＝gt＝2tanθ·v那么落至斜面的速率v落＝eq\r(v2＋v\o\al(y2,))＝veq\r(1＋4tan2θ)，即v落∝v，甲、乙兩球拋出速度為v和eq\f(v,2)，那么可得落至斜面時速率之比為2∶1.3.如下圖，小球從斜面的頂端A處以大小為v0的初速度水平拋出，恰好落到斜面底部的B點，且此時的速度大小vB＝eq\r(\f(13,4))v0，空氣阻力不計，該斜面的傾角為()A．60° B.45°C.37° D.30°答案C解析根據平行四邊形定那么知，小球落到斜面底端時豎直分速度為：vy＝eq\r(v\o\al(2,B)－v\o\al(2,0))＝eq\r(\f(13,4)v\o\al(2,0)－v\o\al(2,0))＝eq\f(3,2)v0，那么小球運動的時間為：t＝eq\f(vy,g)＝eq\f(3v0,2g)，設該斜面的傾角為θ，那么有：tanθ＝eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq\f(gt,2v0)＝eq\f(3,4)，那么θ＝37°，故A、B、D錯誤，C正確。4.如下圖，D點為固定斜面AC的中點，在A點先后分別以初速度v01和v02水平拋出一個小球，結果小球分別落在斜面上的D點和C點?？諝庾枇Σ挥?。設小球在空中運動的時間分別為t1和t2，落到D點和C點前瞬間的速度大小分別為v1和v2，落到D點和C點前瞬間的速度方向與水平方向的夾角分別為θ1和θ2，那么以下關系式正確的選項是()A.eq\f(t1,t2)＝eq\f(1,2) B.eq\f(v01,v02)＝eq\f(1,2)C.eq\f(v1,v2)＝eq\f(1,\r(2)) D.eq\f(tanθ1,tanθ2)＝eq\f(1,\r(2))答案C解析設斜面的傾角為α，可得eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq\f(gt,2v0)＝tanα，所以eq\f(gt1,2v01)＝eq\f(gt2,2v02)，小球先后兩次在豎直方向下降的高度之比為1∶2，由h＝eq\f(1,2)gt2知eq\f(t1,t2)＝eq\f(1,\r(2))，求得eq\f(v01,v02)＝eq\f(1,\r(2))，再結合速度偏轉角的正切值是位移偏轉角正切值的兩倍，可得eq\f(tanθ1,tanθ2)＝1，那么eq\f(v1,v2)＝eq\f(v01,v02)＝eq\f(1,\r(2))，故C正確，A、B、D錯誤。5．甲、乙兩個同學打乒乓球，某次動作中，甲同學持拍的拍面與水平方向成45°角，乙同學持拍的拍面與水平方向成30°角，如下圖．設乒乓球擊打拍面時速度方向與拍面垂直，且乒乓球每次擊打球拍前、后的速度大小相等，不計空氣阻力，那么乒乓球擊打甲的球拍的速度大小v1與乒乓球擊打乙的球拍的速度大小v2的比值為(C)A.eq\f(\r(6),3) B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),3)答案：C解析：將乒乓球擊打球拍時的速度分解為水平方向和豎直方向，那么有乒乓球擊打甲的球拍和擊打乙的球拍的水平方向分速度大小相等，由v1sin45°＝v2sin30°，解得v1v2＝eq\f(\r(2),2)，選項C正確．6.如下圖，在斜面頂端a處以速度va水平拋出一小球，經過時間ta恰好落在斜面底端c處．今在c點正上方與a等高的b處以速度vb水平拋出另一小球，經過時間tb恰好落在斜面的三等分點d處．假設不計空氣阻力，以下關系式正確的選項是()A．ta＝eq\f(\r(3),2)tb B．ta＝3tbC．va＝eq\f(\r(3),2)vb D．va＝eq\f(3,2)vb答案：C解析：此題考查平拋運動與斜面體的結合問題．由于a、b兩球下降的高度之比為3：1，根據h＝eq\f(1,2)gt2可知下落時間t＝eq\r(\f(2h,g))，那么兩小球運動的時間關系是ta＝eq\r(3)tb，故A、B錯誤；因為兩球水平位移之比為3：2，由v0＝eq\f(x,t)得va＝eq\f(\r(3),2)vb，故C正確，D錯誤．7.為踐行新形勢下的強軍目標，在某次軍事演習中，水平勻速飛行的無人機在斜坡底端A的正上方投彈，炸彈垂直擊中傾角為θ＝37°、長為L＝300m的斜坡的中點P，如圖，假設sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2，那么試估算無人機距A點的高度h和飛行的速度v分別為()A．h＝170mv＝30m/sB．h＝135mv＝40m/sC．h＝80mv＝30m/sD．h＝45mv＝40m/s答案A解析根據速度的分解有：tanθ＝eq\f(v,vy)＝eq\f(v,gt)，x＝eq\f(L,2)cos37°＝vt，聯立解得t＝4s，v＝30m/s；那么炸彈豎直位移為y＝eq\f(1,2)gt2＝80m，故無人機距A點的高度h＝y(tǒng)＋eq\f(L,2)sinθ＝170m，應選A.8.(多項選擇)(·市上學期期末)如圖，在斜面頂端以不同的初速度水平拋出幾個小球，所有小球均落在斜面上．忽略空氣阻力，以下說法正確的選項是()A．所有小球的豎直位移與水平位移之比都相等B．小球的運動時間與初速度的平方成正比C．所有小球落到斜面上時的速度方向都相同D．小球從拋出到離斜面最遠的過程中，豎直位移為總豎直位移的一半答案AC解析所有小球都落在斜面上，所以所有小球的位移方向相同，設斜面的傾角為θ，所有小球的豎直位移與水平位移之比都等于tanθ，故A正確；小球水平方向做勻速直線運動：x＝v0t，豎直方向做自由落體運動：y＝eq\f(1,2)gt2，所以eq\f(y,x)＝eq\f(gt,2v0)＝tanθ，解得：t＝eq\f(2v0tanθ,g)，故B錯誤；平拋運動在某時刻速度方向與水平方向夾角的正切值是位移與水平方向夾角正切值的2倍，由于所有小球的位移方向相同，所以所有小球落到斜面上時的速度方向都相同，故C正確；小球在豎直方向的總位移為y＝eq\f(1,2)gt2＝eq\f(1,2)g(eq\f(2v0tanθ,g))2＝eq\f(2v\o\al(02,)tan2θ,g)，小球從拋出到離斜面最遠時，速度方向與斜面平行，此時豎直方向的速度vy＝v0tanθ，位移為y′＝eq\f(v\o\al(y2,),2g)＝eq\f(v\o\al(02,)tan2θ,2g)，所以小球從拋出到離斜面最遠的過程中，豎直位移為總豎直位移的eq\f(1,4)，故D錯誤．9.如下圖，A、B兩質點沿水平方向以相同的速度v0拋出，A在豎直平面內運動，落地點為P1，B沿光滑斜面運動，落地點為P2，不計阻力，那么以下關于P1、P2沿x軸方向相對拋出點距離遠近的關系的判斷正確的選項是()A．P1較遠B.P2較遠C．P1、P2等遠D.A、B兩項都有可能答案B解析A質點水平拋出后，只受重力，做平拋運動，在豎直方向有h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)。B質點水平拋出后，受重力和支持力，在斜面平面內所受合力為mgsinθ，大小恒定且與初速度方向垂