初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上學(xué)期 第十三章 1 等邊三角形

中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上學(xué)期第十三章等邊三角形一、基礎(chǔ)鞏固1.如右圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=，∠A=30°，DE的長(zhǎng)為(

)A.

B.

C.

D.

2.若等腰三角形的底角為15°，則一腰上的高是腰長(zhǎng)的（

）A.

B.

C.

1倍

D.

2倍3.如圖，DE∥GF，A在DE上，C在GF上△ABC為等邊三角形，其中∠EAC＝80°，則∠BCG度數(shù)為（

）A.

20°

B.

10°

C.

25°

D.

30°4.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則AD的長(zhǎng)是（

）A.

4

B.

4

C.

2

D.

2二、強(qiáng)化提升5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分線與AC交于點(diǎn)M，則BC與MB的比為（

）A.

1：3

B.

1：2

C.

2：3

D.

3：46.如圖，中，，，小明要將該三角形分割成兩個(gè)直角三角形和兩個(gè)等腰三角形，他想出了如下方案：在上取點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)畫(huà)交于點(diǎn)，連結(jié)，在上取合適的點(diǎn)，連結(jié)可得到4個(gè)符合條件的三角形，則滿足條件的長(zhǎng)是________.7.如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC＝9，求AE的值．8.△ABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BP=BA，0o<∠PBC<180o，DB平分∠PBC，且DB=DA．（1）當(dāng)BP與BA重合時(shí)（如圖1），求∠BPD的度數(shù)；（2）當(dāng)BP在∠ABC的內(nèi)部時(shí)(如圖2)，求∠BPD的度數(shù)；（3）當(dāng)BP在∠ABC的外部時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠BPD的度數(shù).9.如圖，和都是等邊三角形，BE和CD相交于點(diǎn)F．（1）若，求BE的長(zhǎng)；（2）求證：AF平分．10.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AC是∠BAD的角平分線.（1）求證：△ABC≌△ADC.（2）若∠BCD＝60°，AC=BC，求∠ADB的度數(shù).三、真題演練11.如圖，等邊的邊長(zhǎng)為2，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A.

B.

C.

D.

12.如圖，直線，的頂點(diǎn)在直線上，邊與直線相交于點(diǎn).若是等邊三角形，，則＝__°13.如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P事AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），直線l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的一條直線，把△ABC沿直線l折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B’.

（1）如圖1，當(dāng)PB=4時(shí)，若點(diǎn)B’恰好在AC邊上，則AB’的長(zhǎng)度為_(kāi)_______；（2）如圖2，當(dāng)PB=5時(shí)，若直線l∥AC，則BB’的長(zhǎng)度為_(kāi)_______；（3）如圖3，點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若直線l始終垂直于AC，△ACB’的面積是否變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變化，求出面積；（4）當(dāng)PB=6時(shí)，在直線l變化過(guò)程中，求△ACB’面積的最大值。

答案解析部分一、基礎(chǔ)鞏固1.A分析：在直角三角形ADE中，∵∠A=30°，AB=，D為AB的中點(diǎn)

∴AD=.故答案為：C?！痉治觥扛鶕?jù)題意，由直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊的性質(zhì)即可得到答案。2.B分析：解：過(guò)點(diǎn)C作BA延長(zhǎng)線的垂線，根據(jù)題意可知，∠DAC=∠B+∠ACB=30°

∴在直角三角形ADC中，CD=AC故答案為：B。

【分析】根據(jù)題意作出等腰三角形的一個(gè)腰上的高，由三角形的外角定理得到∠DAC的度數(shù)，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可得到答案。3.A解：∵DE∥GF，∠EAC=∠ACG=80°，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB=60°，

∴∠BCG=∠ACG-∠ACB=80°-60°=20°.

故答案為：A

【分析】根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，得∠EAC=∠ACG，因?yàn)槿切蜛BC是等邊三角形，得∠ACB=90°，∠ACG減∠ACB即可求得∠BCG的度數(shù)。

4.B分析：解：連接CD，

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠B=60°，

由作圖痕跡可知所作是垂直平分線，

∴CD=BD，

∴∠BCD=∠B=30°，

∴∠CDA=∠BCD+∠B=60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∴AD=AC=4.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等，可得CD=BD，由等邊對(duì)等角可得∠BCD=∠B=30°，利用三角形外角的性質(zhì)可得∠CDA=∠BCD+∠B=60°，從而可證△ACD是等邊三角形，利用等邊三角形的三邊相等，即可求出AD的長(zhǎng).

二、強(qiáng)化提升5.B分析：解：如圖所示:∵M(jìn)N垂直平分AB，∴MA＝MB，∴∠A＝∠MBA．∴∠BMC＝2∠A＝30°．∴BC：BM＝1：2．故答案為：B．

【分析】根據(jù)垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等得出MA＝MB，再利用等邊對(duì)等角求出及三角形的外角的性質(zhì)求出∠BMC=30°，然后根據(jù)30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可得出結(jié)論.6.分析：解：如圖∵AB=AC∴∠B=∠C∵∠BAC=120°，∠BAC+∠B+∠C=180°∴∠B=∠C=30°∵DE∥∥AC，EF∥AB∴∠DEB=∠C=30°，∠FEC=∠B=30°∴∠B=∠DEB，∠C=∠FEC∴△DBE，△FEC是等腰三角形

∵AB∥EF∴∠EFA+∠BAC=180°∴∠EFA=60°∵△AEF是等腰三角形∴△AEF是等邊三角形∴AF=AE，∠AEF=∠EFA=60°∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=90°在Rt△AEC中，AC=15，∠C=30°，∠AEC=90°

∴AF=故答案為【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B=∠C，進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和算出∠B=∠C=30°，根據(jù)二直線平行同位角相等得出∠DEB=∠C=30°，∠FEC=∠B=30°，故∠B=∠DEB，∠C=∠FEC，根據(jù)兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形判斷出△DBE，△FEC是等腰三角形

，根據(jù)二直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出∠EFA+∠BAC=180°，從而得出∠EFA=60°，進(jìn)而可以判斷出△AEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AF=AE，∠AEF=∠EFA=60°，根據(jù)角的和差算出∠AEC=90°，從而根據(jù)含30°的直角三角形的邊之間的關(guān)系即可求出AE的長(zhǎng)，從而得出答案。7.解：設(shè)AE＝x，則CE＝9﹣x．∵BE平分∠ABC又∵CE⊥CB，ED⊥AB∴DE＝CE＝9﹣x，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠A＝∠ABE＝∠CBE．∵在RT△ACB中，∠A+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠ABE＝∠CBE＝30°，∴DE＝AE，即9﹣x＝x，∴x＝6．答：AE長(zhǎng)為6．【解析】【分析】因?yàn)锽E平分∠ABC，結(jié)合CE⊥CB，ED⊥AB，則DE＝CE，因?yàn)镈E垂直平分AB，則AE＝BE，得∠A＝∠ABE＝∠CBE，再結(jié)合∠A+∠ABC＝90°，求得∠A＝30°；設(shè)AE＝x，則CE＝9﹣x，DE＝

AE，得關(guān)系式：9﹣x＝

x，從而解出：x＝6，即AE的長(zhǎng)度。

8.（1）解：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=60°，

∵DB平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠ABD=60°，

∴∠ABD=30°.

∵DB=DA，

∴∠BPD=∠ABD=30°.

（2）解：連接DC，

∵點(diǎn)D在∠PBC的平分線上，

∴∠PBD=∠CBD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴BA=BP=BC，∠ACB=60°

在△PBD和△CBD中，

∴△PBD≌△CBD（SAS）

∴∠BPD=∠BCD；

在△BCD和△ACD中，

∴△BCD≌△ACD（SAS）

∴∠ACD=∠BCD=，

∴∠BPD=∠BCD=30°.

（3）30°和150°

分析：解：（3）如圖，

連接CD，

∵點(diǎn)D在∠PBC的平分線上，

∴∠PBD=∠CBD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴BA=BP=BC，∠ACB=60°

在△PBD和△CBD中，

∴△PBD≌△CBD（SAS）

∴∠BPD=∠BCD；

在△BCD和△ACD中，

∴△BCD≌△ACD（SAS）

∴∠ACD=∠BCD=，

∴∠BPD=∠BCD=30°.

同理可求出后兩個(gè)圖形中的∠BPD的度數(shù)分別為30°和150°

【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)，可得∠ABC=60°，利用角平分線的定義可求出∠ABD的度數(shù)，即可求出∠BPD的度數(shù)。

（2）連接CD，利用角平分線的性質(zhì)，易證∠PBD=∠CBD，再利用等邊三角形的性質(zhì)，易證BA=BP=BC，∠ACB=60°，再利用SAS證明△PBD≌△CBD，利用全等三角形的性質(zhì)，可知∠BPD=∠BCD，然后利用SAS證明△BCD≌△ACD，利用全等三角形的性質(zhì)求出∠BCD的度數(shù)，即可得到∠BPD的度數(shù)。

（3）分情況畫(huà)出圖形，利用和（2）同樣的方法，可分別求出∠BPD的度數(shù)。9.（1）解：和都是等邊三角形，，，，即，和都是等邊三角形，，，在與中，≌，．

（2）解：在BE上截取，連接AG，由（1）的證明，知≌，，即，，在與中，≌，，，由可得，由可得，，平分．【解析】【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)，可得AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，再證明∠DAC=∠BAE，利用SAS證明△ADC≌△ABE，然后利用全等三角形的性質(zhì)，可證得結(jié)論。

（2）在BE上截取EG=CF，連接AG，利用SAS證明△AEG≌△ACF，利用全等三角形的性質(zhì)，可得到∠AGE=∠AFC，AG=AF，易證∠AGF=∠AFD，再利用等腰三角形的性質(zhì)，可證得∠AGF=∠AFG，從而可證∠AFD=∠AFG，即可證得結(jié)論。

10.（1）證明：∵AC是∠BAD的角平分線.∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC

（2）解：∵△ABC≌△ADC.∴BC=DC，∠ACB＝∠ACD＝30°，∵∠BCD＝60°，∴△BCD是等邊三角形.∴∠CBD＝60°，∵AC=BC，∴∠CDA＝75°，∴∠ADB＝15°.【解析】【分析】（1）利用角平分線的定義可得∠BAC=∠DAC，根據(jù)SAS即可判斷△ABC≌△ADC.（2）由（1）中全等三角形的性質(zhì)可得BC=DC，∠ACB＝∠ACD＝30°，根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷△BCD是等邊三角形.進(jìn)而可得∠CBD＝60°，由等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可得∠CDA＝75°，進(jìn)而可求∠ADB＝15°.

三、真題演練11.B分析：解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵是等邊三角形，∴，.∴點(diǎn)的坐標(biāo)為。故答案為：B?！痉治觥窟^(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的三線合一得出OH=1，根據(jù)勾股定理算出BH的長(zhǎng)，從而就克求出點(diǎn)B的坐標(biāo)。12.分析：解：如圖，∵△BCD是等邊三角形，∴∠BDC=60°，∵a∥b，∴∠2=∠BDC=60°，由三角形的外角性質(zhì)可知，∠1=∠2-∠A=40°。故答案為：40。【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠BDC=60°，根據(jù)二直線平行，同位角相等得出∠2=∠BDC=60°，根據(jù)對(duì)頂角相等及三角形的外角定理，由∠1=∠2-∠A即可算出答案。13.（1）4

（2）

（3）解：過(guò)B作BF⊥AC，垂足為F，過(guò)B'作B'E⊥AC，垂足為E,

∴CF=4,在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理得出BF=4，∵B與B'關(guān)于l對(duì)稱

∴B'E=BF=4

∴S△ACB’=△ACB'面積不變

（4）解：由題意得：

l變化中，B'的運(yùn)動(dòng)路徑為以P為圓心，PB長(zhǎng)為半徑的圓上

過(guò)P作B'P⊥AC，交AC于E，此時(shí)B'E最長(zhǎng)

∴AP=2，∴AE=1

∴PE=

∴B'E=B'P+PE=6+