MANOVA多響應(yīng)變量方差分析

MANOVA

多響應(yīng)變量方差分析MultivariateAnalysisofVarianceDesignandAnalysisofEcologicalExperiments第一部分：MANOVA相關(guān)基本知識(shí)

——高曉霞第二部分：MANOVA原理

——柯錦秀第三部分：MANOVA實(shí)際操作(SPSS)——李帥多元方差分析MANOVA相關(guān)統(tǒng)計(jì)方法的回顧MANOVA基本介紹線性代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)回顧MANOVA基本統(tǒng)計(jì)量——高曉霞第一部分：MANOVA相關(guān)基本知識(shí)1.相關(guān)統(tǒng)計(jì)方法

回顧1.1

t-檢驗(yàn)

一個(gè)自變量、一個(gè)響應(yīng)變量，檢驗(yàn)兩個(gè)樣本(k=2)的平均值差異程度，適用于較小樣本(樣本量:<30)。Eg:兩組光照條件不同的樣地中野生高山烏頭（AconitummonanthumNakai）的生長(zhǎng)速率有無(wú)差異？1.相關(guān)統(tǒng)計(jì)方法

回顧1.2方差分析(ANOVA)

通過(guò)分解樣本平方和，比較若干個(gè)(k>2)樣本均值，檢驗(yàn)一個(gè)或多個(gè)自變量對(duì)一個(gè)響應(yīng)變量所產(chǎn)生的效應(yīng)是否有顯著差異。

方差分析在功能上是t-檢驗(yàn)的推廣。1.相關(guān)統(tǒng)計(jì)方法

回顧1.2.1單因素方差分析(One-wayANOVA)

主要用于檢驗(yàn)一個(gè)自變量、多個(gè)水平或多個(gè)處理對(duì)所研究的一個(gè)響應(yīng)變量的影響。Eg：四組光照條件不同的樣地中野生高山烏頭的生長(zhǎng)速率有無(wú)差異？1.相關(guān)統(tǒng)計(jì)方法

回顧1.2.2多因素方差分析(Multi-factorANOVA)

檢驗(yàn)兩個(gè)及以上自變量、多個(gè)水平或多個(gè)處理對(duì)所研究的一個(gè)響應(yīng)變量的影響。Eg：四組光照與水分均不相同的樣地中野生高山烏頭的生長(zhǎng)速率有無(wú)差異？1.相關(guān)統(tǒng)計(jì)方法

回顧1.3協(xié)方差分析(ANCOVA)先用回歸方法消除協(xié)變量對(duì)單一響應(yīng)變量的影響(協(xié)變量與響應(yīng)變量之間存在線性關(guān)系)，再用方差分析方法對(duì)自變量的影響作出統(tǒng)計(jì)推斷。Eg：考慮野生高山烏頭的初始重量對(duì)其生長(zhǎng)速度存在影響，分析不同光照條件的樣地中不同初始重量的野生高山烏頭生長(zhǎng)速率有無(wú)差異？新問(wèn)題

四組光照條件不同的樣地中野生高山烏頭的分株數(shù)(克隆大小)、重量以及株高有無(wú)差異？多元方差分析MultivariateAnalysisofVariance2.MANOVA基本介紹

針對(duì)一個(gè)或多個(gè)自變量、多個(gè)水平或多個(gè)處理、存在兩個(gè)或兩個(gè)以上響應(yīng)變量的數(shù)據(jù)的方差分析。在考慮多個(gè)響應(yīng)變量時(shí)，MANOVA把多個(gè)響應(yīng)變量看成一個(gè)整體，分析自變量對(duì)多個(gè)響應(yīng)變量整體的影響，檢驗(yàn)不同因素水平下響應(yīng)變量整體的組間差異是否顯著。2.MANOVA基本介紹2.1多元方差分析的基本思想

與單因素ANOVA的平方和分解一樣(將總體方差分解為組間方差和和組內(nèi)方差)MANOVA將響應(yīng)變量的整體差異分解為兩部分：組間差異(處理效應(yīng))組內(nèi)差異(誤差效應(yīng))

對(duì)這兩部分差異進(jìn)行分析比較。2.MANOVA基本介紹是否可用多次ANOVA檢驗(yàn)代替MANOVA檢驗(yàn)？理論上可以對(duì)各個(gè)因變量單獨(dú)進(jìn)行方差分析，但這種處理存在弊端：犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率增大，檢驗(yàn)效率低；一元分析結(jié)果不一致時(shí)，難以下結(jié)論；忽略了響應(yīng)變量間相關(guān)關(guān)系；有時(shí)多個(gè)觀察指標(biāo)的聯(lián)合分布存在差異，但單獨(dú)對(duì)每個(gè)指標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)時(shí)卻沒(méi)有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義；反之亦然。類(lèi)似ANOVA和多個(gè)單獨(dú)t-檢驗(yàn)間的關(guān)系2.MANOVA基本介紹2.2適用情況比較T-testANOVA

MAVOVA目的檢驗(yàn)兩組均值是否差異檢驗(yàn)k組(k>2)以上均值是否有差異檢驗(yàn)k組間在兩個(gè)以上響應(yīng)變量間是否有差異樣本個(gè)數(shù)k=2k>2k>2自變量一個(gè)一個(gè)或多個(gè)一個(gè)或多個(gè)響應(yīng)變量一個(gè)一個(gè)多個(gè)2.MANOVA基本介紹2.3MANOVA數(shù)據(jù)要求若響應(yīng)變量間相關(guān)，相關(guān)關(guān)系應(yīng)為線性；若響應(yīng)變量間不是線性相關(guān)，則應(yīng)把非線性關(guān)系線性化。樣本規(guī)模：要求總樣本量和各分組樣本量都足夠大不能出現(xiàn)較多缺失量測(cè)值(若數(shù)據(jù)缺失較多，不宜取得準(zhǔn)確結(jié)果)各組樣本數(shù)最好不要差別太大。3.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧3.1行列式是一個(gè)數(shù)值。根據(jù)由n2個(gè)數(shù)aij（i，j=1,2,…,n）排成的n行n列的數(shù)表而確定的n階行列式記作D，簡(jiǎn)記作det(aij)。3.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧3.1行列式n階行列式的定義：由n2個(gè)數(shù)組成的n階行列式等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和。D=3.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧3.1行列式二階行列式的定義：三階行列式的定義：3.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧3.2向量向量：由n個(gè)實(shí)數(shù)ai（i=1,2,…,n）組成的有序數(shù)組（a1,a2,...,an），稱(chēng)為n維向量，其中ai稱(chēng)為第i個(gè)分量。行向量，列向量。向量相加：同維、同向的向量才能相加；對(duì)應(yīng)分量各自相加。3.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧3.3矩陣矩陣：由m×n個(gè)數(shù)aij（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）排成的m行n列的矩形數(shù)表，稱(chēng)為一個(gè)m×n矩陣。行與列相等的矩陣稱(chēng)為方陣。對(duì)角矩陣：主對(duì)角線以外的所有元素全為零的方陣（nxn陣）3.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧3.3矩陣單位陣：主對(duì)角線上的所有元素全為1的對(duì)角陣，記做1陣數(shù)量矩陣：主對(duì)角線上的所有元素全為

的對(duì)角陣，記做陣3.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧3.3矩陣轉(zhuǎn)置矩陣：把矩陣A的行換成相應(yīng)的列，得到的新矩陣稱(chēng)為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT或A’。即A中的aij變?yōu)锳T中的aji。對(duì)稱(chēng)矩陣：其轉(zhuǎn)置等于自身的方陣叫做對(duì)稱(chēng)矩陣，就是稱(chēng)A是對(duì)稱(chēng)矩陣，則有A=AT。對(duì)稱(chēng)矩陣aij=aji3.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧3.4矩陣加法3.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧3.4矩陣加法3.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧3.5矩陣減法3.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧3.5矩陣減法3.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧3.6矩陣相乘定義A,B之積m行l(wèi)列矩陣與l行n列矩陣的積為m行n列矩陣稱(chēng)C為A

左乘

B，或B右乘

A3.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧3.6矩陣相乘3.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧3.6矩陣相乘AB=3.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧3.6矩陣相乘相乘的條件：左矩陣的列數(shù)與右矩陣的行數(shù)相等不可乘！3.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧3.7矩陣相除現(xiàn)設(shè)矩陣A、B，現(xiàn)在求A/B，但矩陣的除法不是直接放在分?jǐn)?shù)線上計(jì)算，而是引入一個(gè)新概念：逆矩陣。例如矩陣A的逆矩陣為A-1，則有AA-1=1一個(gè)矩陣的逆矩陣的求解方法是：先把一個(gè)單位矩陣放在目的矩陣的右邊，然后把左邊的矩陣通過(guò)初等行變換轉(zhuǎn)換為單位矩陣，此時(shí)右邊的矩陣就是我們要求的逆矩陣。3.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧3.7矩陣相除

一個(gè)矩陣的逆矩陣的求解方法是：先把一個(gè)單位矩陣放在目的矩陣的右邊，然后把左邊的矩陣通過(guò)初等行變換轉(zhuǎn)換為單位矩陣，此時(shí)右邊的矩陣就是我們要求的逆矩陣。3.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧3.7矩陣相除

3.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧3.7矩陣相除

3.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧3.8特征根與特征向量設(shè)A為n階方陣，X是n維列向量，如果存在數(shù)l,使方程AX=lX有非零解，則稱(chēng)l為矩陣A的特征值，相應(yīng)的非零解稱(chēng)為A的屬于l的特征向量方程AX=lXAX-lX=O(A-lE)X=O即不論l取何值，方程AX=lX一定有解2023/9/17例如：對(duì)，取l=4，代入方程AX=lX得AX=4X(A-4E)X=O(A-4E)X=O有非零解2023/9/17所以，l=4是矩陣A的一個(gè)特征值對(duì)，取，得一個(gè)基礎(chǔ)解系則方程(A-4E)X=O的全部解為：c為任意常數(shù)A的屬于l=4的特征向量：c≠03.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧2023/9/17求n階方陣A的特征值：數(shù)l0是A的特征值l0使方程AX=lX有非零解因此：l0是A的特征值l0使成立求A的特征值步驟：(1)計(jì)算n階行列式解得方程的根l1，l2，…，ln，則l1，l2，…，ln即是A的特征值2023/9/17設(shè)2023/9/17則方程即是

的n次方程

在復(fù)數(shù)域上，方程一定有n個(gè)根。方程3.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧A的特征多項(xiàng)式A的特征方程2023/9/17解：令，得l1=-1，l2=7則A的特征值為l1=-1，l2=7【例】求的特征值3.線性代數(shù)

基本知識(shí)回顧4.MANOVA基本統(tǒng)計(jì)量4.1均向量4.2離均差平方和與離均差積和矩陣4.3方差-協(xié)方差矩陣4.4協(xié)方差陣與離差陣4.MANOVA基本統(tǒng)計(jì)量12名中學(xué)生的身高、體重、胸圍測(cè)量資料編號(hào)身高(cm)y1體重(kg)y2胸圍(cm)y31171.058.581.02175.065.087.03159.038.071.04155.345.074.05152.035.063.06158.344.575.07154.844.574.08164.051.072.09165.255.079.010164.546.071.011159.148.072.512164.246.573.04.MANOVA基本統(tǒng)計(jì)量4.1均向量均向量(VectorofMeans)均向量的轉(zhuǎn)置4.MANOVA基本統(tǒng)計(jì)量4.2離差平方和與離差積和矩陣SumofSquaresandCross-Productsmatrix,SSCP簡(jiǎn)稱(chēng)平方和陣4.MANOVA基本統(tǒng)計(jì)量4.3方差-協(xié)方差矩陣

方差-協(xié)方差矩陣(Variance-CovarianceMatrix)簡(jiǎn)稱(chēng)為協(xié)方差陣(covariancematrix)4.MANOVA基本統(tǒng)計(jì)量4.4平方和陣與協(xié)方差陣的關(guān)系V=SS/df（df=11）第二部分：MANOVA原理——柯錦秀

MANOVA基本假定數(shù)據(jù)來(lái)自隨機(jī)樣本，觀察值間獨(dú)立；各響應(yīng)變量為正態(tài)分布且方差齊性；各響應(yīng)變量的聯(lián)合分布為多元正態(tài)分布；任何兩組響應(yīng)變量的協(xié)方差矩陣相同(球形性）;總樣本量(N)、響應(yīng)變量組數(shù)(k)，組間處理水平數(shù)目(M)必須滿足N-M>k。49多元正態(tài)分布多元正態(tài)分布指的是多個(gè)響應(yīng)變量之間的正態(tài)分布，它與單響應(yīng)變量正態(tài)分布在形式上盡管不同，但有很多相似之處，實(shí)際上是單響應(yīng)變量正態(tài)分布在多維上的推廣。50協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣計(jì)算的是不同響應(yīng)變量之間的協(xié)方差假設(shè)數(shù)據(jù)集有三個(gè)響應(yīng)變量{x,y,z}，則協(xié)方差矩陣為:協(xié)方差矩陣是一個(gè)對(duì)稱(chēng)的矩陣，而且對(duì)角線是各個(gè)響應(yīng)變量的方差。協(xié)方差矩陣球形性協(xié)方差矩陣的球形性是指該對(duì)角線元素(方差)相等、非主對(duì)角線元素(協(xié)方差)相等。協(xié)方差矩陣球形性檢驗(yàn)用Mauchly法檢驗(yàn)協(xié)方差陣是否滿足球形性

H0：資料符合球形要求

H1：資料不滿足球形要求檢驗(yàn)的P值若大于研究者所選擇的顯著性水準(zhǔn)α?xí)r，說(shuō)明協(xié)方差陣的球形性質(zhì)得到滿足。如不滿足“球?qū)ΨQ(chēng)”假設(shè)，應(yīng)用“球?qū)ΨQ(chēng)”校正系數(shù)對(duì)受試對(duì)象內(nèi)所有變異的自由度進(jìn)行校正。(1)Geenhouse-Geisser調(diào)整系數(shù)(G-G)(2)Huynh-Feldt調(diào)整系數(shù)(H-F)

MANOVA

基本過(guò)程1確定原假設(shè)

p個(gè)響應(yīng)變量

g個(gè)自變量水平多元方差分析的統(tǒng)計(jì)原假設(shè)的向量形式如下：

u11u12u1gu21u22u2gH0:

...=…=…=…up1up2

Upg

或者

H0: u1=u2=…=ug Ha: u1,u2,…,ug不全相等

TotalSumofSquaresandCrossProductsmatrix，簡(jiǎn)稱(chēng)SSCP矩陣T，或T(離差平方和與離差積和矩陣)。是ANOVA中Totalsumsofsquares(SS)在多元中的對(duì)應(yīng)量。SSCP矩陣T是由P×P個(gè)元素組成的矩陣g：自變量水平數(shù)；ni：每組處理中樣本個(gè)數(shù)每個(gè)實(shí)驗(yàn)單元p個(gè)響應(yīng)變量所組成的向量與總平均向量之差，乘以此差的轉(zhuǎn)置陣，求和。

MANOVA

基本過(guò)程MANOVA中總SSCP矩陣T的分解E:errorSSCP（組內(nèi)矩陣）H:treatSSCP（組間矩陣）

MANOVA

基本過(guò)程3列多元方差分析表N個(gè)樣本SSCPT=SH+SE來(lái)源df自由度SSCP……

Wilk’s

Lambda檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量組間g

-1H組內(nèi)N-

gE總和N-1T=H+E

MANOVA

基本過(guò)程

多元方差分析的四個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Pillai’s跡：恒為正數(shù)，值越大，表明該效應(yīng)項(xiàng)對(duì)模型的貢獻(xiàn)越大；Wilks’Lambda：取值范圍在0～1之間，值越小，說(shuō)明該效應(yīng)項(xiàng)對(duì)模型的貢獻(xiàn)越大；Hotelling跡：檢驗(yàn)矩陣特征根之和，其值總是比Pillai’s軌跡的值大。與Pillai’s軌跡相似，值越大貢獻(xiàn)越大；Roy最大根統(tǒng)計(jì)量：為檢驗(yàn)矩陣特征根中最大值，因此它總是小于或等于Hotelling軌跡。

當(dāng)模型建立的前提條件不滿足時(shí)，Pillai’s跡最為穩(wěn)健。

MANOVA

基本過(guò)程多元方差分析的四個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算1.Pillai’stracePillai’strace=f[H(H+E)-1]2.Hotelling-Lawley’straceHotelling-Lawley’strace=f(HE-1)3.Wilk’slambdaWilk’slambda=|E|/|H+E|4.Roy’slargestrootRoy’slargestroot=max(λi)=themaximumeigenvalueof

HE-1

MANOVA

基本過(guò)程4計(jì)算Wilk’sLambda近似F值（判斷統(tǒng)計(jì)顯著性）其中：

p個(gè)響應(yīng)變量

g個(gè)自變量水平N個(gè)樣本個(gè)體

MANOVA

基本過(guò)程MANOVA與ANOVA過(guò)程比較ANOVA原假設(shè)MANOVA原假設(shè)H0：u1=u2=u3=…=uiUi代表四組樣本的總體均值uAiuBiuCi…各處理各組樣本總體均值的向量（矩陣）H0：uA1uB1Uc1…uA2uB2uC2

…uA3uB3uC3…===ANOVA總平方和的分解SSerror :SSwithin

Sstreat:SSbetweenMANOVA總SSCP矩陣的分解E:errorSSCP

H:treatSSCPMANOVA與ANOVA過(guò)程比較ANOVA表來(lái)源d.f.SSMSF處理g-1SStreatSStreat/(g

-1)MStreat/MSerror誤差N-gSSerrorSSerror/(N

-g)總N

-1SStotalMANOVA表來(lái)源d.f.SSCP處理g-1H誤差N-gE總N-1TMANOVA與ANOVA過(guò)程比較ANOVA統(tǒng)計(jì)顯著性判斷MANOVA統(tǒng)計(jì)顯著性判斷通過(guò)比較計(jì)算的F值與查

臨界值表的F值判斷是否顯著。4個(gè)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量；沒(méi)有與之相對(duì)的臨界值表；計(jì)算近似的F值，然后判斷。1.Pillai’stracePillai’strace=f[H(H+E)-1]2.Hotelling-Lawley’straceHotelling-Lawley’strace=f(HE-1)3.Wilk’slambdaWilk’slambda=|E|/|H+E|4.Roy’slargestrootRoy’slargestroot=max(λi)orthemaximumeigenvalueof

HE-1MANOVA與ANOVA過(guò)程比較

ANOVA

posthoccomparison

MANOVA

posthoccomparisonmultiplecomparison：Fisher’sLSDTukey’sWStudent-Newman-KeulsDuncan’sScheffé’sS

…備選方法：1對(duì)各因變量(響應(yīng)變量)分別進(jìn)行方差分析(ANOVA).2Scheffé檢驗(yàn)、Tukey檢驗(yàn)、Student-Newman-Keuls檢驗(yàn)有多元的修正.MANOVA與ANOVA過(guò)程比較為了考查素質(zhì)教育是否會(huì)導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)降低,某校對(duì)初中二年級(jí)兩個(gè)班各50名學(xué)生分別施以素質(zhì)教育模式和傳統(tǒng)(應(yīng)試)教育模式教學(xué),在一次模擬考試中收集了兩個(gè)班級(jí)學(xué)生的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)的考試成績(jī),試做統(tǒng)計(jì)分析。（以上4種統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式比較復(fù)雜,僅以Wilks’λ為例進(jìn)一步說(shuō)明多元分析方差分析的基本思想）

MANOVA

計(jì)算實(shí)例

MANOVA

計(jì)算實(shí)例首先建立多元方差分析的假設(shè)。H0:各組總體均數(shù)向量相等,H1:各組總體均數(shù)向量不等或不全相等。對(duì)于此例,兩種教育模式學(xué)生的三種成績(jī)均數(shù)向量為:素質(zhì)教育:Y1=(73.98

75.26

79.84)T應(yīng)試教育:Y1=(74.68

78.26

78.28)T

MANOVA

計(jì)算實(shí)例兩組學(xué)生成績(jī)的離均差平方和與離均差積和矩陣(SSCP),簡(jiǎn)稱(chēng)為離差陣,即:SS素質(zhì)教育=3320.98-195.74-36.16-195.744409.621228.08-36.161228.085636.723394.88-719.8485.48-719.845003.62-644.6485.48-644.643826.08SS應(yīng)試教育=

MANOVA

計(jì)算實(shí)例組內(nèi)變異等于兩組離差陣之和,即：E=SS素質(zhì)教育+SS應(yīng)試教育=

6715.86-915.5849.32-915.589413.24583.4449.32583.449462.806728.11-863.0822.02-863.089638.24466.4422.02466.649523.64所有數(shù)據(jù)的離差陣T為:T=其自由度=觀察單位數(shù)-1。

MANOVA

計(jì)算實(shí)例組間變異的離差陣H=T-E,即:12.2552.50-27.0352.50225.00-1