線性規(guī)劃高考題型總結(jié)

簡(jiǎn)單線性規(guī)劃高考題型總結(jié)麒麟高級(jí)中學(xué)包水艷關(guān)鍵詞：線形規(guī)劃約束條件可行域最值摘要：理解線形規(guī)劃的相關(guān)概念，會(huì)畫(huà)可行域，求目標(biāo)函數(shù)的最值，對(duì)各種題型進(jìn)行歸納總結(jié)。一．基礎(chǔ)知識(shí)：(一)二元一次不等式表示的區(qū)域二元一次不等式表示直線某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的區(qū)域，把直線畫(huà)成虛線表示不包括邊界，所表示的區(qū)域應(yīng)包括邊界，故邊界要畫(huà)成實(shí)線.由于在直線同一側(cè)的所有點(diǎn)（x,y）,把它的坐標(biāo)（x,y）代入，所得的符號(hào)相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)（），從的正負(fù)即可判斷表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域。通常代特殊點(diǎn)（0，0）。（二）線性規(guī)劃(1)不等式組是一組對(duì)變量x、y的約束條件，由于這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件.z=Ax+By是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，我們把它稱為目標(biāo)函數(shù).由于z=Ax+By又是關(guān)于x、y的一次解析式，所以又可叫做線性目標(biāo)函數(shù).另外注意：線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題.(3)那么，滿足線性約束條件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域.在上述問(wèn)題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域.其中可行解（）和（）分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解.線性目標(biāo)函數(shù)的最值常在可行域的頂點(diǎn)處取得;而求最優(yōu)整數(shù)解必須首先要看它們是否在可行(4)用圖解法解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題的基本步驟：1.首先，要根據(jù)線性約束條件畫(huà)出可行域（即畫(huà)出不等式組所表示的公共區(qū)域）.2.設(shè)z=0，畫(huà)出直線l0.3.觀察、分析，平移直線l0，從而找到最優(yōu)解.4.最后求得目標(biāo)函數(shù)的最大值及最小值.(5)利用線性規(guī)劃研究實(shí)際問(wèn)題的解題思路：首先，應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出約束條件，確定線性目標(biāo)函數(shù).然后，用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解，即畫(huà)出可行域，在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解.最后，還要根據(jù)實(shí)際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解，即結(jié)合實(shí)際情況求得最優(yōu)解.二．?？碱}型和方法指導(dǎo)：題型1.求約束條件及平面區(qū)域的面積例1.雙曲線的兩條漸近線與直線x=3圍成一個(gè)三角形區(qū)域，表示該區(qū)域的不等式組是（）A. B. C. D.【解題思路】依據(jù)平面區(qū)域的畫(huà)法求解.[解析]雙曲線的兩條漸近線方程為，兩者與直線圍成一個(gè)三角形區(qū)域時(shí)有，故選A?！舅悸伏c(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的漸近線方程以及平面區(qū)域畫(huà)法。例2.不等式組表示的平面區(qū)域的面積為_(kāi)_______【解題思路】作出平面區(qū)域,再由平面幾何知識(shí)求面積.AABC[解析]不等式表示直線上及右上方的平面區(qū)域,表示直線上及右上方的平面區(qū)域,表示直線上及左邊的平面區(qū)域，所以原不等式表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分,其中,,故所求面積【思路點(diǎn)撥】準(zhǔn)確無(wú)誤作出平面區(qū)域是解這類題的關(guān)鍵.題型2.線性規(guī)劃中求線形目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題l0例1.設(shè)，式中變量滿足條件，求的最大值和最小值.l0【解題思路】按解題步驟求解.[解析]作出可行域如圖8-3-6所示,作直線:上,作一組平行于的直線：，，可知:直線往右平移時(shí)，隨之增大。由圖象可知,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的最大，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的最小，所以，，．【思路點(diǎn)撥】要注意到線性目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值往往是在邊界處取到.例2.已知滿足不等式組，求使取最大值的整數(shù)．【解題思路】先作平面區(qū)域,再作一組平行線：平行于：進(jìn)一步尋找整點(diǎn).[解析]不等式組的解集為三直線：，：，：所圍成的三角形內(nèi)部（不含邊界），設(shè)與，與，與交點(diǎn)分別為，則坐標(biāo)分別為，，，作一組平行線：平行于：，當(dāng)往右上方移動(dòng)時(shí)，隨之增大，∴當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)最大為，但不是整數(shù)解，又由知可取，當(dāng)時(shí)，代入原不等式組得，∴；當(dāng)時(shí)，得或，∴或；當(dāng)時(shí)，，∴，故的最大整數(shù)解為或．【思路點(diǎn)撥】在平行域內(nèi)找整點(diǎn)最優(yōu)解，一般采用平移找解法，即打網(wǎng)格，描整點(diǎn)，平移直線，找出最優(yōu)解題型3求非線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲道?.已知，求：（1）的最小值;（2）的范圍．【解題思路】分別聯(lián)想距離公式和斜率公式求解【解析】作出可行域，并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)、、．（1）表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方，過(guò)M作直線AC的垂線，易知垂足N在線段AC上，故的最小值是．（2）表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)到定點(diǎn)連線斜率的兩倍；因?yàn)?，．故的取值范圍為．【思路點(diǎn)撥】求非線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲祮?wèn)題的關(guān)鍵是從目標(biāo)函數(shù)聯(lián)想到相對(duì)應(yīng)的幾何意義.最常見(jiàn)的是兩點(diǎn)間的距離和斜率公式.題型4線性規(guī)劃在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用題型:在線性規(guī)劃模型下的最優(yōu)化問(wèn)題..例1.(2008·揭陽(yáng)一模)為迎接2008年奧運(yùn)會(huì)召開(kāi)，某工藝品加工廠準(zhǔn)備生產(chǎn)具有收藏價(jià)值的奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志——“中國(guó)印·舞動(dòng)的北京”和奧運(yùn)會(huì)吉祥物——“福娃”.該廠所用的主要原料為A、B兩種貴重金屬，已知生產(chǎn)一套奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志需用原料A和原料B的量分別為4盒和3盒，生產(chǎn)一套奧運(yùn)會(huì)吉祥物需用原料A和原料B的量分別為5盒和10盒.若奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志每套可獲利700元，奧運(yùn)會(huì)吉祥物每套可獲利1200元，該廠月初一次性購(gòu)進(jìn)原料A、B的量分別為200盒和300盒.問(wèn)該廠生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志和奧運(yùn)會(huì)吉祥物各多少套才能使該廠月利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少？【解題思路】將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子建立線性規(guī)劃模型.解析:設(shè)該廠每月生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志和奧運(yùn)會(huì)吉祥物分別為套，月利潤(rùn)為元，由題意得（）目標(biāo)函數(shù)為作出可行域如圖所示目標(biāo)函數(shù)可變形為，∴當(dāng)