第二課時(shí)正射影和三垂線定理

第二課時(shí)正射影和三垂線定理第1頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月課標(biāo)研讀1．理解點(diǎn)、斜線、斜線段在平面上的射影，圖形在平面上的射影等概念；掌握三垂線定理及其逆定理，并能靈活應(yīng)用．2．重點(diǎn)是三垂線定理及其逆定理，難點(diǎn)是非標(biāo)準(zhǔn)位置的三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用．課前自主學(xué)習(xí)第2頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月溫故夯基1．直線a⊥平面α的判定定理為m∩n＝O，m?α，n?α，a⊥m，a⊥n?a⊥α.2．若a∥b，a⊥α，則______3．若a⊥α，b⊥α，則_______b⊥α.a∥b.第3頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月知新益能1．過(guò)一點(diǎn)向平面引_____，_____叫做這個(gè)點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影．這點(diǎn)與垂足間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的__________2．一條直線和一個(gè)平面____，但不和這個(gè)平面____時(shí)，這條直線就叫做這個(gè)平面的____，斜線和平面的交點(diǎn)叫_______從平面外一點(diǎn)向平面引斜線，這點(diǎn)與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的________垂線垂足垂線段．相交垂直斜線斜足．斜線段．第4頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3．在_______的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的_____垂直，那么它也和這條____垂直；反之，如果和這個(gè)平面的一條____垂直，那么它也和這條斜線的______垂直．平面內(nèi)射影射影斜線斜線第5頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月問(wèn)題探究1．從平面外同一點(diǎn)出發(fā)的斜線段在該平面內(nèi)的射影長(zhǎng)受斜線段長(zhǎng)的影響嗎？提示：受影響．相等的斜線段的射影也相等，較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng)，反之射影相等的斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)．第6頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2．“三垂線定理”及“逆定理”中“平面內(nèi)”這個(gè)條件能否省略？提示：兩個(gè)定理中“平面內(nèi)”這個(gè)條件不能省略，否則不一定成立，需要進(jìn)一步證明．這是因?yàn)椋河扇咕€定理及其逆定理的證明過(guò)程可知，只有平面內(nèi)的直線若能滿足和斜線的射影垂直，才能保證和斜線與垂線所在平面垂直，只有線面垂直才能保證線線垂直．第7頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月題型一圖形在某個(gè)平面上的射影課堂互動(dòng)講練圖形在某個(gè)平面上的投影就是從圖形上每個(gè)點(diǎn)向平面引垂線，垂足點(diǎn)所形成的圖形．一般是找圖形各頂點(diǎn)的射影點(diǎn)．第8頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，P為正方體的中心，則△PAC在該正方體各個(gè)面上的射影可能是__________．(要求：把可能的圖的序號(hào)都填上)【思路點(diǎn)撥】找圖形邊界點(diǎn)的投影點(diǎn)，再連線．例1第9頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【解析】由于A、C在下底面上的射影是它們各自本身，P在下底面上的射影是AC中點(diǎn)，故△PAC在下底面上的射影是下底面對(duì)角線AC.因此，圖①是可能的，且△PAC在上底面上的射影是上底面對(duì)角線A1C1也是圖①的情形；而A在側(cè)面BC1上的射影是B，P在側(cè)面BC1上的射影是側(cè)面BC1的中心，故圖④也是可能的．同理，可知△PAC在其他三個(gè)側(cè)面上的射影也都是圖④的情形，于是圖②、③是不可能的．因此，所有可能的情形是圖①、圖④.【答案】①④第10頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【名師點(diǎn)評(píng)】本題側(cè)重于考查數(shù)學(xué)語(yǔ)言向圖形語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化，并根據(jù)這兩種語(yǔ)言提供的信息展開(kāi)空間想象，去偽存真，它對(duì)于空間想象能力和思維判斷能力有著較高的要求，是近幾年高考題型改革較為成功的一種題型．第11頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月題型二三垂線定理及逆定理的應(yīng)用三垂線定理及其逆定理主要用來(lái)證明線線垂直時(shí)省去其中線面垂直的過(guò)程．從兩個(gè)定理的作用上區(qū)分，三垂線定理解決已知共面直線垂直、證明異面直線垂直的問(wèn)題，逆定理相反．利用三垂線定理及其逆定理的關(guān)鍵是要善于從各種圖形中找出“平面的垂線”“平面的斜線”“斜線的射影”．第12頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2010年高考陜西卷改編)如圖，在四棱錐P

ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E、F分別是AD、PC的中點(diǎn)．證明：PC⊥平面BEF.【思路點(diǎn)撥】結(jié)合量的計(jì)算尋找PC⊥BF、PC⊥BE.例2第13頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【證明】∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA＝AB＝2∴PB＝2.∴PB＝BC.又∵F為PC的中點(diǎn)，∴BF⊥PC.連結(jié)AC.設(shè)AC∩BE＝G，AC為PC在平面ABCD上的射影．第14頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【思維總結(jié)】運(yùn)用三垂線定理及逆定理，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)別或作出構(gòu)成定理的五個(gè)元素．第15頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在本例中，求證：BC⊥PB、CD⊥PD.證明：PA⊥面ABCD.AB為PB在面ABCD上的射影，BC?面ABCD且BC⊥AB，∴BC⊥PB，同理可證CD⊥PD.互動(dòng)探究第16頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月題型三點(diǎn)到平面的距離平面外一點(diǎn)向平面引垂線，這點(diǎn)與垂足之間的長(zhǎng)度是這點(diǎn)到平面的距離，一般轉(zhuǎn)化為直角三角形的直角邊來(lái)求．已知P為△ABC外一點(diǎn)，PA、PB、PC兩兩垂直，PA＝PB＝PC＝a，求點(diǎn)P到平面ABC的距離．【思路點(diǎn)撥】欲求點(diǎn)到平面的距離，可先過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，進(jìn)一步求出垂線段的長(zhǎng)．例3第17頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【解】過(guò)P作PO⊥平面ABC于O點(diǎn)，連結(jié)AO，BO，CO，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∵PA＝PB＝PC＝a，∴△PAO≌△PBO≌△PCO，∴OA＝OB＝OC，∴O為△ABC的外心．第18頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【思維總結(jié)】求點(diǎn)到平面的距離較常用的方法有兩種：(1)作出垂線段，求垂線段的長(zhǎng)度；(2)求出幾何體的體積，利用等積法轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)到平面的距離．第19頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月錯(cuò)誤運(yùn)用三垂線定理或逆定理?xiàng)l件在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，D1D＝DC，判定對(duì)角線BD1和B1D是否一定垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由．例思維誤區(qū)警示第20頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月【錯(cuò)解】連結(jié)C1D，D1C，∵B1C1⊥面CDD1C1，∴C1D為B1D在平面CDD1C1上的射影．∵D1D＝DC，∴D1C⊥C1D，∴D1C⊥B1D.又D1C為BD1在平面CDD1C1的射影，∴B1D⊥BD1.【錯(cuò)因】

B1D⊥D1C，雖然D1C是斜線BD1在面CDD1C1上的射影，但B1D?面CDD1C1，用錯(cuò)三垂線定理．【自我挑戰(zhàn)】在長(zhǎng)方體中，體對(duì)角線不一定垂直．要使B1D⊥BD1，必須有BB1＝BD.第21頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1．準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)三垂線定理及其逆定理(1)三垂線定理及其逆定理是解、證與線線(面)垂直有關(guān)問(wèn)題的重要而有效的工具，三垂線定理的基本要素是“一面四線”，一面：基礎(chǔ)平面；四線：斜線、垂線、射影、面內(nèi)直線．規(guī)律方法總結(jié)第22頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)應(yīng)用三垂線定理及其逆定理解題通常要遵循的“三步曲”：①定“線面”：確定一個(gè)基礎(chǔ)平面和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線；②找“三線”：找這個(gè)平面的一條垂線、一條斜線及這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影；③證“垂直”：證明平面內(nèi)的這條直線與斜線或斜線在平面內(nèi)的射影垂直．第23頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2．三垂線定理及其逆定理的區(qū)別三垂線定理是先有平面內(nèi)的直線a垂直于射影的條件，然后得出a垂直于斜線的結(jié)論．而逆定理則是已知平面內(nèi)的直線垂直于斜線，再推出平面內(nèi)的直線垂直于射影，即三垂線定理是“線與射影垂直?線與斜線垂直”，逆定理正好相反，在引用時(shí)注意不要混淆．第24頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1．(2010年長(zhǎng)春調(diào)研)下面有四個(gè)命題：(1)射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)；(2)相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng)；(3)垂線段比任何一條線段都短；(4)斜線在平面內(nèi)的射影可能是一條直線，也可能是一個(gè)點(diǎn)．其中正確的命題有(

)A．0個(gè)B．1個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)隨堂即時(shí)鞏固第25頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解析：選A.(1)、(2)、(3)均不正確．垂線段和斜線段長(zhǎng)定理中涉及的垂線段和斜線段都是從平面外同一點(diǎn)引出的，離開(kāi)了這個(gè)前提，結(jié)論就不成立．(4)也不對(duì)，斜線在平面內(nèi)的射影必為直線，只有點(diǎn)或垂線在平面內(nèi)的射影才是點(diǎn)．故本題應(yīng)選A.第26頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2．△ABC在平面α內(nèi)，點(diǎn)P在平面α外，PO⊥α于O，且P到A、B、C的距離相等，則O為△ABC的(

)A．外心B．內(nèi)心C．垂心D．重心解析：選A.由PO⊥α于O，知AO、BO、CO分別為斜線段PA、PB、PC在平面α內(nèi)的射影，又PA＝PB＝PC，所以AO＝BO＝CO，即O為△ABC的外心．第27頁(yè)，課件共30頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3．(2010年吉林高二統(tǒng)考)如圖，在正方體ABCD

A1B1C1D1中，M、N分別是A1A、AB上的點(diǎn)，若∠NMC1＝90°，那么∠NMB1的大小是(

)A．小于90°

B．等于90°C．大于90°

D．不能確定解析：選B.由已知C1M是平面ABB1A1的斜線，而C1B1⊥平面ABB1A1，所以MB1是斜線C1M在平面ABB1