浙江省杭州市臨安名校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題 (Word版含解析)

第第頁(yè)浙江省杭州市臨安名校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題(Word版含解析)2022學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)開(kāi)學(xué)考試

數(shù)學(xué)試題

一選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.在空間四邊形中，等于（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量的加法運(yùn)算法則，即可求解.

【詳解】.

故選：C

2.直線(xiàn)的一個(gè)方向向量是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)直線(xiàn)的斜率先得到直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，然后根據(jù)方向向量均共線(xiàn)，求解出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，所以直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，

又因?yàn)榕c共線(xiàn)，所以的一個(gè)方向向量可以是，

故選：A.

3.已知命題：直線(xiàn)與平行，命題，則是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線(xiàn)平行滿(mǎn)足的關(guān)系可得命題等價(jià)于或，結(jié)合充分不必要條件的判斷即可求解.

【詳解】直線(xiàn)與平行，則，解得或，所以命題等價(jià)于或，命題．

則由命題不能得到命題，但由命題可得到命題，則是的充分不必要條件．

故選：A．

4.若平面，的法向量分別為，，則（）

A.B.C.，相交但不垂直D.以上均不正確

【答案】C

【解析】

【分析】應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角余弦值，即可判斷面面關(guān)系.

【詳解】由，而，

由所得向量夾角余弦值知：，相交但不垂直.

故選：C

5.已知向量在基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為（）

AB.

C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示，利用向量相等列方程組即可求出結(jié)果．

【詳解】因?yàn)橄蛄吭诨紫碌淖鴺?biāo)為，即，

設(shè)，、、，

所以，

令，解得，，；

所以在基底下坐標(biāo)為．

故選：B.

6.與直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入已知直線(xiàn)即可求得結(jié)果.

【詳解】解析：

設(shè)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，以代換原直線(xiàn)方程中的得，即.

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)問(wèn)題,一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)問(wèn)題解決,屬于基礎(chǔ)題.

7.已知四棱錐的底面為正方形，平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用坐標(biāo)法，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的向量求法即得.

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，

所以，

所以，

所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是.

故選：D.

8.已知，滿(mǎn)足，則的最小值為（）

A.B.C.1D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出點(diǎn)關(guān)于線(xiàn)段的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，且有.根據(jù)幾何意義，結(jié)合圖象，即可得出取最小值時(shí)，點(diǎn)的位置，進(jìn)而得出答案.

【詳解】

如圖，過(guò)點(diǎn)作點(diǎn)關(guān)于線(xiàn)段的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則.

設(shè)，則有，解得，所以.

設(shè)，則，所以，

又，所以點(diǎn)到軸的距離為，

所以，可視為線(xiàn)段上的點(diǎn)到軸的距離和到的距離之和.

過(guò)作軸，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，和有最小值.

過(guò)點(diǎn)作軸，則即為最小值，與線(xiàn)段的交點(diǎn)，即為最小值時(shí)的位置.

因?yàn)?，所以的最小值?

故選：B．

二多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.是空間的一個(gè)基底，與構(gòu)成基底的一個(gè)向量可以是（）

A.B.C.D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)空間基底、共面等知識(shí)確定正確答案.

【詳解】由于，所以、、共面，

不能構(gòu)成基底，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

由于，所以、共面，

不能構(gòu)成基底，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

假設(shè)，

則，但此方程組無(wú)解，所以、不共面，

可以構(gòu)成基底，A選項(xiàng)正確.

假設(shè)，

則，但此方程組無(wú)解，所以、不共面，

可以構(gòu)成基底，C選項(xiàng)正確.

故選：AC

10.已知直線(xiàn)，則下列表述正確的是（）

A.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角為

B.當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)

C.當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)平行時(shí)，則兩條直線(xiàn)的距離為1

D.直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形面積的最小值為4

【答案】ABD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，可求出直線(xiàn)斜率，即可判斷選項(xiàng)正誤；

B選項(xiàng)，將直線(xiàn)方程整理為，由此可得直線(xiàn)所過(guò)定點(diǎn)；

C選項(xiàng)，由題可得，后由平行直線(xiàn)距離公式可判斷選項(xiàng)；

D選項(xiàng)，分別令，可得直線(xiàn)與軸，x軸交點(diǎn)為，.

則圍成三角形面積為，后由基本不等式可判斷選項(xiàng).

【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)方程為，可得直線(xiàn)斜率為1，則傾斜角為，故A正確；

B選項(xiàng)，由題可得，則直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，故B正確；

C選項(xiàng)，因直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則，則直線(xiàn)方程為：，即.則與直線(xiàn)之間的距離為

，故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，分別令，可得直線(xiàn)與軸，x軸交點(diǎn)為，.

又交點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸正半軸，則.故圍成三角形面積為，當(dāng)且僅當(dāng)

，即時(shí)取等號(hào).即面積最小值為4，故D正確.

故選：ABD.

11.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，則（）

A.B.

C.異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為D.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積、模、異面直線(xiàn)的夾角、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

，B選項(xiàng)正確.

設(shè)異面直線(xiàn)與所成角為，

則，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

到直線(xiàn)距離為，所以D選項(xiàng)正確.

故選：BD

12.對(duì)于兩點(diǎn)，，定義一種“距離”：，則（）

A.若點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則

B.中，若，則

C.在中，

D.在正方形ABCD中，有

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)新定義，，之間的“距離:對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析即可判斷其正誤即可．

【詳解】A中，若點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C坐標(biāo)為，

則，故A正確；

B中，因?yàn)橹?，若，取，?/p>

則，，

，

故，，

顯然，故B不正確；

對(duì)于C，設(shè)，則，

因?yàn)椋?/p>

同理，

所以，故C正確;

D中，因?yàn)锳BCD為正方形，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，可取，

則，，故D正確．

故選：ACD.

三填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量，，且，則___________.

【答案】##-0.5

【解析】

【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【詳解】向量，，且，

則有，解得.

故答案為：

14.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是______

【答案】

【解析】

【分析】由向量在向量上的投影向量為,，計(jì)算即可求出答案．

【詳解】向量，，

則，，，

所以向量在向量上的投影向量為

,,0,,0,，

故答案為：．

15.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值是________．

【答案】

【解析】

【分析】直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系可得，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值為.

【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)，

記，直線(xiàn)為直線(xiàn)，

則當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大，

∴點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值為：

.

故答案為：.

16.是直線(xiàn)上的第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，為定點(diǎn)，直線(xiàn)AB交x軸正半軸于點(diǎn)C，當(dāng)面積最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是___________.

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并表示出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再列出三角形面積的關(guān)系式，利用均值不等式求解作答.

【詳解】依題意，設(shè)，，則，

而，則有，顯然，于是，

由點(diǎn)在x軸正半軸上，得，面積

，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，

所以當(dāng)面積最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是.

故答案為：

四解答題：本題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟.

17.平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱，且，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，設(shè)，，；

（1）用向量，，表示向量；

（2）求線(xiàn)段的長(zhǎng)度．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)空間向量基本定理利用向量的加減法法則求解即可，

（2）先根據(jù)題意可得，，，然后對(duì)平方化簡(jiǎn)可求得結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，，，，

所以

；

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)槠叫辛骟w中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱，且，

所以，，，

所以

所以，即線(xiàn)段PM長(zhǎng)為

18.設(shè)復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，且滿(mǎn)足．

（1）求復(fù)數(shù)z；

（2）復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)p，q的值．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)模公式以及復(fù)數(shù)相等的概念，即可求解；

（2）將復(fù)數(shù)z代入方程，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的概念即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)，

，

，解得.

【小問(wèn)2詳解】

是方程的一個(gè)根，

，即，

則

19.如圖，面積為8的平行四邊形ABCD，A為原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C，D在第一象限．

（1）求直線(xiàn)CD的方程；

（2）若，求點(diǎn)D橫坐標(biāo)．

【答案】（1）

（2）橫坐標(biāo)為或2

【解析】

【分析】（1）由題意可得，設(shè)直線(xiàn)CD的方程為（），結(jié)合平行四邊形ABCD的面積、求得AB與CD之間的距離，利用平行線(xiàn)的距離公式列方程求參數(shù)m，根據(jù)題設(shè)寫(xiě)出直線(xiàn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)在直線(xiàn)上、兩點(diǎn)距離公式列方程求坐標(biāo)即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，

所以，則．

設(shè)直線(xiàn)CD的方程為（），即．

因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD的面積為8，，故AB與CD之間的距離為．

由題圖知：直線(xiàn)AB的方程為，于是，解得．

由C，D在第一象限知：，所以，

故直線(xiàn)CD的方程為．

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由，則．

所以，解得或，

故點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為或2．

20.在ABC中．a(chǎn)，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，

（1）求角C：

（2）若，求銳角ABC面積的取值范圍．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）對(duì)已知等式利用正弦定理統(tǒng)一成角的形式，然后化簡(jiǎn)可求出角；

（2）設(shè)的外接圓半徑為，利用正弦定理將已知等式化簡(jiǎn)變形可求得，再利用正弦定理可求得，，然后表示出三角形的面積，利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果．

【小問(wèn)1詳解】

及正弦定理得，

∴，

∴，即，∴，

∵，∴，∵，∴．

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)外接圓的半徑為，由，

得，即，

則，∴．

的面積．

∵，∴，，∴，

∵，，，∴，∴，∴，

∴，∴，即銳角面積的取值范圍是．

21.如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，四邊形為梯形，，.

（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；

（2）若直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）

【解析】

【分析】（1）取中點(diǎn)，可證得四邊形為平行四邊形，從而得到，由線(xiàn)面平行的判定可證得結(jié)論；

（2）取中點(diǎn)，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可證得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，根據(jù)線(xiàn)面角的向量求法可構(gòu)造方程求得的值；由面面角的向量求法可求得結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

取中點(diǎn)，連接，

分別為中點(diǎn)，，，

，，又，

，，四邊形為平行四邊形，，

平面，平面，平面.

【小問(wèn)2詳解】

取中點(diǎn)，連接，

，，四邊形為平行四邊形，

又，，即；

為等邊三角形，，

又平面平面，平面平面，平面，

平面；

則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，，則，，，，，

，，，，

設(shè)平面的法向量，

則，令，解得：，，，

，解得：，；

設(shè)平面的法向量，

則，令，解得：，，；

，

即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

22.已知函數(shù)，

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，且求證：

①

②.

【答案】（1）

（2）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意去絕對(duì)值，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

（2）①根據(jù)題意可得當(dāng)時(shí)不符合題意即，且進(jìn)而得到，然后根據(jù)題意代入即可證明；

②根據(jù)題意和求根公式可得，，然后作差即可證明.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)椋?/p>

所以，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；

因此的單調(diào)遞減區(qū)間為.

【小問(wèn)2詳解】

①，

當(dāng)時(shí)，僅有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，在僅有一個(gè)零點(diǎn)，在沒(méi)有零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)時(shí)，在僅有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以在沒(méi)有零點(diǎn)，不合題意；

因此，所以

在僅有一個(gè)零點(diǎn)，在有兩個(gè)零點(diǎn)，，且當(dāng)時(shí)；

，∴，

∵，∴，

∴，∵，

∴，

綜上：

②由題意可知：

，，

∴

，2022學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)開(kāi)學(xué)考試

數(shù)學(xué)試題

一選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.在空間四邊形中，等于（）

A.B.C.D.

2.直線(xiàn)的一個(gè)方向向量是（）

A.B.C.D.

3.已知命題：直線(xiàn)與平行，命題，則是的（）

A充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.若平面，的法向量分別為，，則（）

A.B.C.，相交但不垂直D.以上均不正確

5.已知向量在基底下坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為（）

A.B.

C.D.

6.與直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程是（）

AB.C.D.

7.已知四棱錐的底面為正方形，平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是（）

A.B.C.D.

8.已知，滿(mǎn)足，則的最小值為（）

A.B.C.1D.

二多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.是空間的一個(gè)基底，與構(gòu)成基底的一個(gè)向量可以是（）

A.B.C.D.

10.已知直線(xiàn)，則下列表述正確的是（）

A.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角為

B.當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)

C.當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)平行時(shí)，則兩條直線(xiàn)的距離為1

D.直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形面積的最小值為4

11.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，則（）

A.B.

C.異面直線(xiàn)與所成角余弦值為D.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是

12.對(duì)于兩點(diǎn)，，定義一種“距離”：，