高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何專題-線面垂直方法總結(jié)省名師優(yōu)質(zhì)課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

用定義或判定定理證實(shí)線面垂直

【例1】如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC中點(diǎn)．證實(shí)：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE；直線與平面垂直第1頁【證實(shí)】(1)在四棱錐P—ABCD中，因?yàn)镻A⊥底面ABCD，CD

平面ABCD，故PA⊥CD.又因?yàn)锳C⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.而AE

平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，得△ABC是等邊三角形，故AC＝PA.第2頁因?yàn)镋是PC中點(diǎn)，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD

平面PCD，所以AE⊥PD.又因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥AB.由已知得AB⊥AD，且PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD.又PD

平面PAD，所以AB⊥PD.因?yàn)锳B∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.第3頁點(diǎn)評

本題考查直線與直線垂直、直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力．立體幾何證實(shí)關(guān)鍵是學(xué)會分析和掌握一些常規(guī)證實(shí)方法．如：已知中點(diǎn)證實(shí)垂直時要首先考慮等腰三角形中“三線合一”；已知線段或角度等數(shù)量關(guān)系較多時最好標(biāo)示出來，充分進(jìn)行計算，從而發(fā)覺蘊(yùn)含垂直等關(guān)系；已知線面垂直時會有哪些結(jié)論，是選擇線線垂直還是選擇面面垂直；要證實(shí)結(jié)論或要得到哪個結(jié)論，就必須滿足什么條件等．

第4頁【變式練習(xí)1】如圖，E，F(xiàn)分別為直角三角形ABC直角邊AC和斜邊AB中點(diǎn)，沿EF將△AEF折起到△A1EF位置，連結(jié)A1B，A1C.求證：(1)EF⊥平面A1EC；(2)AA1⊥平面A1BC.第5頁第6頁用線面垂直性質(zhì)定理證實(shí)線線垂直

第7頁【證實(shí)】如圖，∠ACB＝90°，所以BC⊥AC.又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，所以BC⊥CC1.而AC∩CC1＝C，所以BC⊥平面AA1C1C，所以BC⊥AM.連結(jié)A1C.能夠證實(shí)Rt△ACM∽Rt△AA1C，所以AM⊥A1C.而A1C∩BC＝C，所以AM⊥平面A1BC，所以A1B⊥AM.第8頁點(diǎn)評

證實(shí)線線垂直常結(jié)構(gòu)一個平面經(jīng)過一條直線與另一條直線垂直，從而到達(dá)由線面垂直證實(shí)線線垂直目標(biāo)．第9頁第10頁第11頁第12頁經(jīng)過計算證實(shí)線線垂直

【例3】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1中點(diǎn)，O是底面正方形ABCD中心．求證：OE⊥平面ACD1.

第13頁第14頁點(diǎn)評

要證線面垂直可找線線垂直，這是幾何中證實(shí)線面垂直時慣用方法，在證實(shí)線線垂直時，要注意從數(shù)量關(guān)系方面找垂直，如利用勾股定理等．第15頁【變式練習(xí)3】直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.求證：AC⊥平面BB1C1C.

第16頁第17頁1.有以下四個命題：①若一條直線垂直于一個平面內(nèi)無數(shù)條直線，則這條直線與這個平面相互垂直；②若兩條直線相互垂直，其中一條垂直于一個平面，則另一條直線與該平面平行；③若兩條直線同時垂直于同一個平面，則這兩條直線相互平行；④若一條直線和一個平面不垂直，則這個平面內(nèi)不存在與該條直線垂直直線．其中錯誤命題是_______________.①②④

第18頁2.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為2，M是AD1上任意一點(diǎn)，M到平面BCB1距離是_______.

2第19頁3.如圖，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3中點(diǎn)，D是EF中點(diǎn)，現(xiàn)沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個幾何體，使G1，G2，G3三點(diǎn)重合于點(diǎn)G，這么，以下五個結(jié)論：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF.其中正確是_______.

①④第20頁第21頁第22頁5.如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC中點(diǎn)．(1)求證：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.第23頁【證實(shí)】(1)連結(jié)AC，取其中點(diǎn)O，連結(jié)NO、MO，并延長MO交CD于R.因?yàn)镹為PC中點(diǎn)，所以NO為△PAC中位線，所以NO∥PA.而PA⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，所以NO⊥CD.又四邊形ABCD是矩形，M為AB中點(diǎn)，O為AC中點(diǎn)，所以MO⊥CD.而MO∩NO＝O，所以CD⊥平面MNO，所以CD⊥MN.第24頁(2)連結(jié)NR，則∠NRM＝∠PDA＝45°.又O為MR中點(diǎn)，且NO⊥MR，所以△MNR為等腰三角形且∠NRM＝∠NMR＝45°，所以∠MNR＝90°，所以MN⊥NR.又MN⊥CD，且NR∩CD＝R，所以MN⊥平面PCD.第25頁1．在線面垂直定義中，一定要搞清楚“任意”與“無數(shù)”這兩個術(shù)語內(nèi)涵差異，后者存在于前者中．“任意”了解最終轉(zhuǎn)化為“兩條相交直線”，證實(shí)時此條件不可缺乏．第26頁第27頁3．面面垂直性質(zhì)了解中三個條件也不可缺乏，即：①兩個平面垂直；②其中一個平面內(nèi)直線；③垂直于交線．所以不論何時見到已知兩個平面垂直，都要首先找其交線，看是否存在直線垂直于交線來決定是否該作輔助線，這么就能目標(biāo)明確，事半功倍．第28頁1．已知四棱錐P－ABCD頂點(diǎn)P在底面射影恰好是底面菱形ABCD兩條對角線交點(diǎn)，若AB＝3，PB＝4，則PA長度取值范圍為____________．第29頁第30頁第31頁【解析】①中n可能在α內(nèi)；②n與m能夠垂直；由線面垂直與面面垂直知③④是正確.答案：③④選題感悟：本題展現(xiàn)是空間中線線、線面、面面之間位置關(guān)系，能有效考查考生空間想象能力和推理能力．

第32頁3．如圖所表示，在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E為PD中點(diǎn)，PA＝2AB＝2.(1)求四棱錐P－ABCD體積V；(2)若F為PC中點(diǎn)，求證：PC⊥平面AEF；(3)求證：CE∥平面PAB.第33頁第34頁(2)證實(shí)：因?yàn)镻A＝CA，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，所以AF⊥PC.因