積分變換第3講名師優(yōu)質(zhì)課獲獎市賽課一等獎課件

積分變換

第3講第1頁1傅氏變換性質(zhì)第2頁2這一講介紹傅氏變換幾個主要性質(zhì),為了敘述方便起見,假定在這些性質(zhì)中,凡是需要求傅氏變換函數(shù)都滿足傅氏積分定理中條件,在證實這些性質(zhì)時,不再重述這些條件.第3頁3線性性質(zhì)設(shè)F1(w)=F[f1(t)],

F2(w)=F[f2(t)],a,b是常數(shù),則

F[af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w)(1.13)

這個性質(zhì)作用是很顯然,它表明了函數(shù)線性組合傅氏變換等于各函數(shù)傅氏變換線性組合.它證實只需依據(jù)定義就可推出.

一樣,傅氏逆變換亦含有類似線性性質(zhì),即

F

-1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+bf2(t)(1.14)第4頁42.位移性質(zhì)證傅氏變換由定義,可知第5頁5微分性質(zhì)假如f(t)在(-,+)上連續(xù)或只有有限個可去間斷點,且當|t|+時,f(t)0,則

F[f'(t)]=jwF[f(t)]. (1.17)

證由傅氏變換定義,并利用分部積分可得推論

F[f(n)(t)]=(jw)nF[f(t)]. (1.18)第6頁6一樣,我們還能得到象函數(shù)導數(shù)公式,設(shè)

F[f(t)]=F(w),則第7頁7本書中積分記號有不嚴格寫法,即第8頁84.積分性質(zhì)第9頁9例2求微分積分方程解,其中<t<+,a,b,c均為常數(shù).依據(jù)傅氏變換微分性質(zhì)和積分性質(zhì),且記F[x(t)]=X(w),F[h(t)]=H(w).在方程兩邊取傅氏變換,可得第10頁10利用傅氏變換線性性質(zhì),微分性質(zhì)以及積分性質(zhì),能夠把線性常系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程,經(jīng)過解代數(shù)方程與求傅氏逆變換,就能夠得到此微分方程解.另外,傅氏變換還是求解數(shù)學物理方程方法之一.第11頁11另外還有第12頁12性質(zhì)小結(jié):若F[f(t)]=F(w),F[g(t)]=G(w)第13頁13乘積定理若F(w)=F[f(t)],G(w)=F[g(t)],則第14頁14能量積分若F(w)=F[f(t)],則有這一等式又稱為帕塞瓦爾(Parserval)等式證在(1.20)式中,令f(t)=g(t),則第15頁15第16頁16實際上,只要記住下面四個傅里葉變換,則全部傅里葉變換都無須從公式直接推導而從傅里葉變換性質(zhì)就可導出.第17頁17注意第一類間斷點處求導數(shù),首先有d(t)u(t)ttOO第18頁18a假設(shè)函數(shù)f(t)在t0處有一個上升了a第一類間斷點,則f(t)能夠分為在此處連續(xù)一個函數(shù)f1(t)加上au(t-t0)a=+tt0t0t0ttf(t)f1(t)au(t-t0)第19頁19例求方波傅氏變換t/2-t/2Etf(t)t/2-t/2Etf'(t)-E第20頁20推導過程為第21頁21習題二14題求如圖所表示頻譜函數(shù)t/2-t/2AOtf(t)t/2-t/2aOtf'(t)t/2-t/2aOtf''(t)a-2a-a第22頁22所以有第23頁23習題二,2.(1)tOf(t)1-1tOf'(t)1-12-2第24頁24f(t)二階導和三階導以下列圖:tOf''(t)1-12-2tOf'''(t)1-12-2第25頁25所以有第26頁26習題二2.(2)第27頁27第28頁28第29頁29習題二2.(3)-1-111f(t)tO-121f'(t)tO-1-1第30頁30所以第31頁31習題二3.(1)

f(t)=e-b|t|(b>0)

令g(t)=u(t)e-bt,則f(t)=g(t)+g(-t)tg(t)tg(-t)tf(t)OOO第32頁32所以有第33頁33習題二3.(2)

f(t)=e-|t|cost第34頁34第35頁35習題二3.(3)第36頁36第37頁37習題二4題第38頁38習題二5.F(w)=p[d(w+w0)+d(w-w0)]第39頁39習題二6f(t)=sgnt1-1tf(t)2tf'(t)OO第40頁40習題二