數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

第二篇數(shù)學(xué)物理方程陳尚達(dá)材料與光電物理學(xué)院第1頁本篇主要內(nèi)容：二階線性偏微分方程建立和求解重點(diǎn)：數(shù)學(xué)物理方程求解方法中分離變量法。特點(diǎn)：加強(qiáng)物理模型和數(shù)學(xué)物理思想介紹，方便充分了解模型物理意義，有利于依據(jù)數(shù)學(xué)物理模型建立數(shù)學(xué)物理方程。

第2頁第二篇緒論數(shù)學(xué)物理思想數(shù)學(xué)物理方程（簡稱數(shù)理方程）是指從物理學(xué)及其它各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所導(dǎo)出函數(shù)方程，主要指偏微分方程和積分方程。數(shù)學(xué)物理方程所研究內(nèi)容和所包括領(lǐng)域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中許多物理現(xiàn)象和普遍規(guī)律。第3頁在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)實(shí)際中，經(jīng)常要研究空間連續(xù)分布各種物理場狀態(tài)和物理過程，比如電磁波在空間和時間中改變，半導(dǎo)體擴(kuò)散工藝中雜質(zhì)濃度在硅片中分布和隨時間改變關(guān)系等等?？傊?，是研究某個物理量在空間某個區(qū)域分布以及它怎樣隨時間改變。其中自變數(shù)不但僅是時間，而且還必須包含空間坐標(biāo)。處理這些問題，首先必須掌握所研究物理量在空間中分布規(guī)律和時間中改變規(guī)律，這就是物理課題中所研究并加以討論物理規(guī)律。物理規(guī)律反應(yīng)同一物理現(xiàn)象共同規(guī)律，即普遍性，亦即共性。第4頁個性：同一類物理現(xiàn)象中，各個詳細(xì)問題又各有其特殊性，即個性。物理規(guī)律不反應(yīng)這種個性。

比如，半導(dǎo)體擴(kuò)散工藝中，有“恒定表面濃度擴(kuò)散”和“限定源擴(kuò)散”。前者是表面雜質(zhì)濃度一定，后者是雜質(zhì)總量一定，雖擴(kuò)散規(guī)律一樣，但其結(jié)果顯然不一樣。又如電磁波在空間傳輸。所以，為處理詳細(xì)問題，必須考慮“環(huán)境”影響，即邊界所處物理情況——邊界條件。第5頁同時，研究問題還不能割斷歷史。

比如同一根琴弦，用不一樣?xùn)|西去敲，發(fā)出聲音是不一樣。即使其振動是按照同一規(guī)律進(jìn)行，不過因為所謂“初始”時刻振動是不一樣，故以后振動也不一樣。又如，不一樣初始濃度硅片雜質(zhì)擴(kuò)散，在相同工藝條件下，其擴(kuò)散結(jié)果也是不一樣。故還必須考慮研究對象特定“歷史”，即初始時刻狀態(tài)——初始條件。第6頁邊界條件和初始條件反應(yīng)了詳細(xì)問題特定環(huán)境和歷史，即問題特殊性。在數(shù)學(xué)上，邊界條件和初始條件合稱為定解條件。物理規(guī)律用數(shù)學(xué)語言“翻譯”出來，往往是偏微分方程——數(shù)學(xué)物理方程。數(shù)學(xué)物理方程，作為同一類物理現(xiàn)象共性，跟詳細(xì)條件無關(guān)。在數(shù)學(xué)上，數(shù)學(xué)物理方程本身（不連帶定解條件）叫作泛定方程。第7頁聲振動是研究聲源與聲波場之間關(guān)系熱傳導(dǎo)是研究熱源與溫度場之間關(guān)系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法國數(shù)學(xué)家）方程表示是電勢（或電場）和電荷分布之間關(guān)系定解問題從物理規(guī)律角度來分析，數(shù)學(xué)物理定解問題表征是場和產(chǎn)生這種場源之間關(guān)系．第8頁依據(jù)分析問題不一樣出發(fā)點(diǎn)，把數(shù)學(xué)物理問題分為正向問題和逆向問題.不一樣出發(fā)點(diǎn)

正向問題，即為已知源求場

逆向問題，即為已知場求源.

前者是經(jīng)典數(shù)學(xué)物理所討論主要內(nèi)容。后者是高等數(shù)學(xué)物理（或稱為當(dāng)代數(shù)學(xué)物理）所討論主要內(nèi)容。第9頁多數(shù)為二階線性偏微分方程振動與波（振動波，電磁波）傳輸滿足波動方程熱傳導(dǎo)問題和擴(kuò)散問題滿足熱傳導(dǎo)方程靜電場和引力勢滿足拉普拉斯方程或泊松方程數(shù)學(xué)物理方程類型和所描述物理規(guī)律第10頁三類經(jīng)典數(shù)學(xué)物理方程三類經(jīng)典數(shù)學(xué)物理方程雙曲型方程波動方程為代表拋物型方程熱傳導(dǎo)方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程第11頁第七章數(shù)學(xué)物理定解問題1、數(shù)學(xué)物理方程導(dǎo)出2、定解條件3、數(shù)學(xué)物理方程分類4、達(dá)朗貝爾公式第12頁7.1.1波動方程建立1、弦微小橫振動考查一根長為且兩端固定、水平拉緊弦．討論怎樣將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上定解問題．要確定弦運(yùn)動方程，需要明確：確定弦運(yùn)動方程（2）被研究物理量遵照哪些物理定理？牛頓第二定律

（3）按物理定理寫出數(shù)學(xué)物理方程（即建立泛定方程）

要研究物理量是什么？弦沿垂直方向位移

7.1數(shù)學(xué)物理方程導(dǎo)出第13頁注意：物理問題包括原因較多，往往還需要引入適當(dāng)假設(shè)才能使方程簡化。數(shù)學(xué)物理方程必須反應(yīng)弦上任一位置上垂直位移所遵照普遍規(guī)律，所以考查點(diǎn)不能取在端點(diǎn)上，但能夠取除端點(diǎn)之外任何位置作為考查點(diǎn)。圖7.1第14頁

依據(jù)牛頓第二定律方向運(yùn)動方程能夠描述為

作用于小段縱向協(xié)力應(yīng)該為零：

(7.1.2)僅考慮微小橫振動，

夾角為很小量，忽略及其以上高階小量，則依據(jù)級數(shù)展開式有（7.1.1）

第15頁注意到:故由圖7.1得這么，(7.1.1)和(7.1.2)簡化為(7.1.3)(7.1.4)第16頁所以在微小橫振動條件下，可得出

，弦中張力不隨而變，

可記為

故有

(7.1.5)改變量能夠取得很小，依據(jù)微分知識有下式成立

這么，段運(yùn)動方程(7.1.5)就成為(7.1.6)第17頁即為討論：（1）設(shè)弦重量不能忽略不計，則弦振動方程為怎樣形式？

（7.1.7）上式即為弦作微小橫振動運(yùn)動方程，簡稱為弦振動方程．

其中（7.1.8）

第18頁(2)假如在弦單位長度上還有橫向外力作用，則式(7.1.7)應(yīng)該改寫為

(7.1.9)式中稱為力密度

，為時刻作用于處單位質(zhì)量上橫向外力式（7.1.9）稱為弦受迫振動方程。第19頁2、均勻桿縱振動（7.1.10）可得

（7.1.11）

這就是桿縱振動方程。圖7.2從圖輕易得到B段伸長為而相對伸長則為確切說，相對伸長隨地點(diǎn)而異，B兩端相對伸長不一樣。依據(jù)胡克定理，B段運(yùn)動方程為：第20頁討論(1)對于均勻桿，和是常數(shù)，(7.１.11）能夠改寫成（7.１.12）

其中這與弦振動方程（7.１.8）含有完全相同形式．（2）桿受迫振動方程跟弦受迫振動方程（7.１.9）完全一樣，只是其中應(yīng)是桿單位長度上單位橫截面積所受縱向外力第21頁第22頁3*、傳輸線方程（電報方程）

（7.1.13）

同理可得：

(7.1.14)

式（7.1.13）及（7.1.14）即為普通傳輸線方程。圖7.3第23頁(1)無失真線

(7.1.15)

其中(2)無損耗線（7.1.16）

(7.1.17)

含有與振動方程類似數(shù)學(xué)形式，盡管它們物理本質(zhì)根本不一樣第24頁(3)無漏導(dǎo)，無電感線（7.1.18）

(7.1.19)它們含有與下節(jié)將討論一維熱傳導(dǎo)方程類似數(shù)學(xué)形式，盡管它們物理本質(zhì)根本不一樣．第25頁7.1.2

熱傳導(dǎo)類型方程建立

1、熱傳導(dǎo)方程

第26頁圖7.3第27頁或?qū)懗?/p>

(7.1.21)第28頁第29頁

2、擴(kuò)散方程

(7.1.24)

其中將一維推廣到三維，即得到

(7.1.25)上述方程與熱傳導(dǎo)方程含有完全類似形式

第30頁若外界有擴(kuò)散源，且擴(kuò)散源強(qiáng)度為這時，擴(kuò)散方程應(yīng)為（7.1.26）

從上面推導(dǎo)可知，熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散這兩種不一樣物理現(xiàn)象，但能夠用同一類方程來描述。第31頁7.1.3靜電場電勢方程上兩方程分別稱為泊松方程和拉普拉斯方程。第32頁2、穩(wěn)定溫度分布導(dǎo)熱物體內(nèi)熱源分布和邊界條件不隨時間改變故熱傳導(dǎo)方程中對時間偏微分項為零，從而熱傳導(dǎo)方程（7.1.22)，(7.1.23)即為以下拉普拉斯方程和泊松方程.(7.1.29)(7.1.30)第33頁總結(jié)三類經(jīng)典數(shù)學(xué)物理方程雙曲型方程波動方程為代表拋物型方程熱傳導(dǎo)方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程第34頁作業(yè)P1521,4（7.1.8）

推導(dǎo)不忽略重力時弦振動方程第35頁7.2定解條件7.2.1初始條件對于伴隨時間發(fā)展改變問題，必須考慮到研究對象特定“歷史”，也就是某個所謂“初始”時刻狀態(tài)，即初始條件。1、波動方程初始條件

第36頁例7.2.1

一根長為弦，兩端固定于和,在距離坐標(biāo)原點(diǎn)為位置將弦沿著橫向拉開距離

，如圖7.4所表示，然后放手任其振動，試寫出初始條件。

b

xuolh圖7.4

解:初始時刻就是放手那一瞬間，按題意初始速度為零，即有初始位移如圖所表示

第37頁2、熱傳導(dǎo)方程初始條件對于輸運(yùn)過程（擴(kuò)散，熱傳導(dǎo)），初始狀態(tài)指是研究物理量初始分布（初始濃度分布、初始溫度分布）。所以，初始條件為（7.2.2）

其中是已知函數(shù)。3、沒有初始條件問題在周期性外源引發(fā)輸運(yùn)問題或周期性外力作用下振動問題中，經(jīng)過很多周期后，初始條件引發(fā)自由運(yùn)輸或自由振動能夠認(rèn)為消失，這么就完全能夠忽略初始條件影響，這類問題稱為沒有初始條件問題。穩(wěn)定場問題（靜電場、穩(wěn)定濃度分布，穩(wěn)定溫度分布等）根本就不存在初始條件問題，無需多說。第38頁7.2.2邊界條件研究詳細(xì)物理系統(tǒng)，還必須考慮研究對象所處特定“環(huán)境”，二周圍環(huán)境影響通常表達(dá)為邊界上物理情況，即邊界條件。常見線性邊界條件分為三類：第一類邊界條件

直接要求了所研究物理量在邊界上數(shù)值（7.2.3）

第39頁第二類邊界條件

要求了所研究物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)數(shù)值（7.2.4）

第40頁第三類邊界條件

要求了所研究物理量及其外法向?qū)?shù)線性組合在邊界上數(shù)值（7.2.5）

其中是時間已知函數(shù)，為常系數(shù)．

第41頁第42頁第43頁7.2.3銜接條件因為一些原因，研究區(qū)域里出現(xiàn)躍變點(diǎn)，泛定方程在躍變點(diǎn)失去意義，把躍變點(diǎn)兩邊連接起來需要滿足條件稱為銜接條件。第44頁例7.2.2長為弦在端固定，另一端自由，且在初始時刻時處于水平狀態(tài)，初始速度為，且已知