高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（教師版）第一章集合與常用邏輯用語、不等式

§1.1集合考試要求1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義.2.理解元素與集合的屬于關(guān)系，理解集合間的包含和相等關(guān)系.3.會求兩個集合的并集、交集與補(bǔ)集.4.能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系和基本運(yùn)算．知識梳理1．集合與元素(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常見數(shù)集的記法集合非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本關(guān)系(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A?B(或B?A)．(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)．(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本運(yùn)算表示運(yùn)算集合語言圖形語言記法并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B補(bǔ)集{x|x∈U，且x?A}?UA常用結(jié)論1．若集合A有n(n≥1)個元素，則集合A有2n個子集，2n－1個真子集．2．A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列舉法表示為{－1,0,1}．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若1∈{x2，x}，則x＝－1或x＝1.(×)(4)對任意集合A，B，都有(A∩B)?(A∪B)．(√)教材改編題1．(2022·新高考全國Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，則A∩B等于()A．{－1,2} B．{1,2}C．{1,4} D．{－1,4}答案B解析由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝{1,2}，故選B.2．下列集合與集合A＝{2022,1}相等的是()A．(1,2022)B．{(x，y)|x＝2022，y＝1}C．{x|x2－2023x＋2022＝0}D．{(2022,1)}答案C解析(1,2022)表示一個點(diǎn)，不是集合，A不符合題意；集合{(x，y)|x＝2022，y＝1}的元素是點(diǎn)，與集合A不相等，B不符合題意；{x|x2－2023x＋2022＝0}＝{2022,1}＝A，故C符合題意；集合{(2022,1)}的元素是點(diǎn)，與集合A不相等，D不符合題意．3．設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，則A∪B＝________，?U(A∩B)＝________.答案{x|x≥－1}{x|x<2或x≥3}解析因為A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}＝{x|x≥2}，所以A∪B＝{x|x≥－1}，A∩B＝{x|2≤x<3}，?U(A∩B)＝{x|x<2或x≥3}.題型一集合的含義與表示例1(1)(2022·衡水模擬)設(shè)集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，則集合A∩B的元素個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3答案C解析如圖，函數(shù)y＝x與y＝x2的圖象有兩個交點(diǎn)，故集合A∩B有兩個元素．(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，則實數(shù)a的值為()A．1 B．1或0C．0 D．－1或0答案C解析∵－1∈A，若a－2＝－1，即a＝1時，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互異性；若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0時，A＝{1，－2，－1}，故a＝0.思維升華解決集合含義問題的關(guān)鍵有三點(diǎn)：一是確定構(gòu)成集合的元素；二是確定元素的限制條件；三是根據(jù)元素的特征(滿足的條件)構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題．跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)若集合M＝{x|x－2<0，x∈N}，則下列四個命題中，錯誤的命題是()A．0?M B．{0}∈MC．{1}?M D．1?M答案ABD解析對于A，因為M＝{x|x－2<0，x∈N}，所以0∈M，所以A錯誤；對于B，因為{0}是集合，且0∈M，所以{0}?M，所以B錯誤；對于C，因為1∈M，所以{1}?M，所以C正確；對于D，因為1是元素，1∈M，所以D錯誤．(2)(2023·聊城模擬)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，則集合B中元素的個數(shù)為()A．2B．3C．4D．5答案C解析因為A＝{0,1,2}，a∈A，b∈A，所以ab＝0或ab＝1或ab＝2或ab＝4，故B＝{ab|a∈A，b∈A}＝{0,1,2,4}，即集合B中含有4個元素．題型二集合間的基本關(guān)系例2(1)(2022·宜春質(zhì)檢)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，則下列結(jié)論正確的是()A．A＝B B．A∩B＝?C．AB D．B?A答案C解析由題設(shè)，可得A＝{x|x>2}，又B＝{x|x≥－3}，所以A是B的真子集，故A，B，D錯誤，C正確．(2)設(shè)集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，當(dāng)x∈Z時，集合A的真子集有________個；當(dāng)B?A時，實數(shù)m的取值范圍是________．答案15(－∞，－2)∪[－1,0]解析A＝{x|－2≤x≤1}，若x∈Z，則A＝{－2，－1,0,1}，故集合A的真子集有24－1＝15(個)．由B?A，得①若B＝?，則2m＋1<m－1，即m<－2，②若B≠?，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋1≥m－1，,2m＋1≤1，,m－1≥－2，))解得－1≤m≤0，綜上，實數(shù)m的取值范圍是(－∞，－2)∪[－1,0]．思維升華(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解．(2)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)已知非空集合M滿足：①M(fèi)?{－2，－1,1,2,3,4}，②若x∈M，則x2∈M.則集合M可能是()A．{－1,1} B．{－1,1,2,4}C．{1} D．{1，－2,2}答案AC解析由題意可知3?M且4?M，而－2或2與4同時出現(xiàn)，所以－2?M且2?M，所以滿足條件的非空集合M有{－1,1}，{1}．(2)函數(shù)f(x)＝eq\r(x2－2x－3)的定義域為A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若B?A，則實數(shù)a的取值范圍是________________．答案(－∞，－3]∪[5，＋∞)解析由x2－2x－3≥0，得x≥3或x≤－1，即A＝{x|x≥3或x≤－1}．∵B?A，顯然B≠?，∴4－a≤－1或－a≥3，解得a≥5或a≤－3，故實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－3]∪[5，＋∞)．題型三集合的基本運(yùn)算命題點(diǎn)1集合的運(yùn)算例3(1)(2021·全國乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，則S∩T等于()A．?B．SC．TD．Z答案C解析方法一在集合T中，令n＝k(k∈Z)，則t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T?S，所以S∩T＝T.方法二S＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T＝{…，－3,1,5，…}，觀察可知，T?S，所以S∩T＝T.(2)設(shè)全集U＝R，A＝{x|－2≤x<4}，B＝{x|y＝eq\r(x＋2)}，則圖中陰影部分表示的集合為()A．{x|x≤－2} B．{x|x>－2}C．{x|x≥4} D．{x|x≤4}答案C解析觀察Venn圖，可知陰影部分的元素由屬于B而不屬于A的元素構(gòu)成，所以陰影部分表示的集合為(?UA)∩B.∵A＝{x|－2≤x<4}，U＝R，∴?UA＝{x|x<－2或x≥4}，又B＝{x|y＝eq\r(x＋2)}?B＝{x|x≥－2}，∴(?UA)∩B＝{x|x≥4}．命題點(diǎn)2利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值(范圍)例4(2023·衡水模擬)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(?RA)∪B＝R，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]答案B解析由題可知A＝{x|y＝ln(1－x2)}＝{x|－1<x<1}，?RA＝{x|x≤－1或x≥1}，所以由(?RA)∪B＝R，得a≥1.思維升華對于集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集合中的元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時要注意端點(diǎn)的情況．跟蹤訓(xùn)練3(1)(2022·全國甲卷)設(shè)全集U＝{－2，－1，0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，則?U(A∪B)等于()A．{1,3} B．{0,3}C．{－2,1} D．{－2,0}答案D解析由題意得集合B＝{1,3}，所以A∪B＝{－1,1,2,3}，所以?U(A∪B)＝{－2,0}．故選D.(2)(2023·駐馬店模擬)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，則a的取值范圍是()A．[1,4) B．(1,4)C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)答案A解析由題意可得A＝{x|1<x<4}．因為A∪B＝{x|x>1}，所以1≤a<4.題型四集合的新定義問題例5(1)(多選)當(dāng)一個非空數(shù)集F滿足條件“若a，b∈F，則a＋b，a－b，ab∈F，且當(dāng)b≠0時，eq\f(a,b)∈F”時，稱F為一個數(shù)域，以下說法正確的是()A．0是任何數(shù)域的元素B．若數(shù)域F有非零元素，則2023∈FC．集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}為數(shù)域D．有理數(shù)集為數(shù)域答案ABD解析對于A，若a∈F，則a－a＝0∈F，故A正確；對于B，若a∈F且a≠0，則1＝eq\f(a,a)∈F，2＝1＋1∈F，3＝1＋2∈F，依此類推，可得2023∈F，故B正確；對于C，P＝{x|x＝3k，k∈Z},3∈P,6∈P，但eq\f(3,6)?P，故P不是數(shù)域，故C錯誤；對于D，若a，b是兩個有理數(shù)，則a＋b，a－b，ab，eq\f(a,b)(b≠0)都是有理數(shù)，所以有理數(shù)集是數(shù)域，故D正確．(2)已知集合M＝{1,2,3,4}，A?M，集合A中所有元素的乘積稱為集合A的“累積值”，且規(guī)定：當(dāng)集合A只有一個元素時，其累積值即為該元素的數(shù)值，空集的累積值為0.設(shè)集合A的累積值為n.①若n＝3，則這樣的集合A共有________個；②若n為偶數(shù)，則這樣的集合A共有________個．答案213解析①若n＝3，據(jù)“累積值”的定義得A＝{3}或A＝{1,3}，這樣的集合A共有2個；②因為集合M的子集共有24＝16(個)，其中“累積值”為奇數(shù)的子集為{1}，{3}，{1,3}，共3個，所以“累積值”為偶數(shù)的集合共有13個．思維升華解決集合新定義問題的關(guān)鍵解決新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義，結(jié)合題目所給定義和要求進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆．跟蹤訓(xùn)練4設(shè)集合U＝{2,3,4}，對其子集引進(jìn)“勢”的概念：①空集的“勢”最小；②非空子集的元素越多，其“勢”越大；③若兩個子集的元素個數(shù)相同，則子集中最大的元素越大，子集的“勢”就越大．最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢”就越大，依此類推．若將全部的子集按“勢”從小到大的順序排列，則排在第6位的子集是________．答案{2,4}解析根據(jù)題意，將全部的子集按“勢”從小到大的順序排列為：?，{2}，{3}，{4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{2,3,4}．故排在第6位的子集為{2,4}．課時精練1．(2022·全國乙卷)設(shè)全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M滿足?UM＝{1,3}，則()A．2∈M B．3∈MC．4?M D．5?M答案A解析由題意知M＝{2,4,5}，故選A.2．設(shè)集合A＝{x∈N*|2x<4}，B＝{x∈N|－1<x<2}，則A∪B等于()A．{x|－1<x<2} B．{x|x<2}C．{0,1} D．{1}答案C解析由2x<4可得x<2，則A＝{x∈N*|2x<4}＝{1}，B＝{x∈N|－1<x<2}＝{0,1}，所以A∪B＝{0,1}．3．(2022·婁底質(zhì)檢)集合M＝{(x，y)|2x－y＝0}，N＝{(x，y)|x＋y－3＝0}，則M∩N等于()A．{(2，－1)} B．{2，－1}C．{(1,2)} D．{1,2}答案C解析聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x＋y－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))則M∩N＝{(1,2)}．4．(2023·南京模擬)已知集合A＝{x|x2－6x－7<0}，B＝{y|y＝3x，x<1}，則A∩(?RB)等于()A．[3,7) B．(－1,0]∪[3,7)C．[7，＋∞) D．(－∞，－1)∪[7，＋∞)答案B解析A＝{x|x2－6x－7<0}＝(－1,7)，B＝{y|y＝3x，x<1}＝(0,3)，所以?RB＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，所以A∩(?RB)＝(－1,0]∪[3,7)．5．(2022·海南模擬)已知集合A＝{x|x2≤1}，集合B＝{x|x∈Z且x＋1∈A}，則B等于()A．{－1,0,1} B．{－2，－1,0}C．{－2，－1,0,1} D．{－2，－1,0,1,2}答案B解析因為集合A＝{x|x2≤1}，所以A＝{x|－1≤x≤1}，在集合B中，由x＋1∈A，得－1≤x＋1≤1，即－2≤x≤0，又x∈Z，所以x＝－2，－1,0，即B＝{－2，－1,0}．6．(2022·懷仁模擬)已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x>m}，若A∩(?RB)＝?，則實數(shù)m的取值范圍為()A．(－∞，1] B．(－∞，1)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)答案A解析由題知A∩(?RB)＝?，得A?B，則m≤1.7．(多選)已知集合A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，則實數(shù)m的值為()A．0B．1C．2D．3答案AD解析因為A∪B＝A，所以B?A.因為A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}，所以m2＝m或m＝3，解得m＝0或m＝1或m＝3.當(dāng)m＝0時，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合題意；當(dāng)m＝1時，集合A、集合B均不滿足集合元素的互異性，不符合題意；當(dāng)m＝3時，A＝{1,3,9}，B＝{1,3}，符合題意．綜上，m＝0或3.8．(多選)已知全集U的兩個非空真子集A，B滿足(?UA)∪B＝B，則下列關(guān)系一定正確的是()A．A∩B＝? B．A∩B＝BC．A∪B＝U D．(?UB)∪A＝A答案CD解析令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，滿足(?UA)∪B＝B，但A∩B≠?，A∩B≠B，故A，B均不正確；由(?UA)∪B＝B，知?UA?B，∴U＝A∪(?UA)?(A∪B)，∴A∪B＝U，由?UA?B，知?UB?A，∴(?UB)∪A＝A，故C，D均正確．9．(2023·金華模擬)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,3,5}，T＝{2,3,6}，則S∩(?UT)＝________，集合S共有________個子集．答案{1,5}8解析由題意可得?UT＝{1,4,5}，則S∩(?UT)＝{1,5}．集合S的子集有23個，即8個．10.(2023·石家莊模擬)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，則Venn圖中陰影部分的集合為________．答案{－1,2,3}解析集合M＝{x∈Z||x－1|<3}＝{x∈Z|－3<x－1<3}＝{x∈Z|－2<x<4}＝{－1,0,1,2,3}，則Venn圖中陰影部分表示的集合是M∩(?RN)＝{－1,2,3}．11．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，則m的值可能是________．答案0，－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)解析由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3，所以A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，因為A∪B＝A，所以B?A，當(dāng)B＝?時，B?A成立，此時方程mx＋1＝0無解，得m＝0；當(dāng)B≠?時，得m≠0，則集合B＝{x|mx＋1＝0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m)))，因為B?A，所以－eq\f(1,m)＝－3或－eq\f(1,m)＝2，解得m＝eq\f(1,3)或m＝－eq\f(1,2)，綜上，m＝0，m＝eq\f(1,3)或m＝－eq\f(1,2).12．已知集合A＝{x|(x＋3)(x－3)≤0}，B＝{x|2m－3≤x≤m＋1}．當(dāng)m＝－1時，則A∪B＝________；若A∩B＝B，則m的取值范圍為________．答案[－5,3][0,2]∪(4，＋∞)解析A＝{x|－3≤x≤3}，當(dāng)m＝－1時，B＝{x|－5≤x≤0}，此時A∪B＝[－5,3]．由A∩B＝B可知B?A.若B＝?，則2m－3>m＋1解得m>4；若B≠?，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－3≤m＋1，,m＋1≤3，,2m－3≥－3，))解得0≤m≤2，綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為[0,2]∪(4，＋∞)．13．(多選)已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}，?U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，則集合B可能為()A．{2,3,4} B．{3,4,5}C．{4,5,6} D．{3,5,6}答案BD解析由log2x<3得0<x<23，即0<x<8，于是得全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，因為?U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，則有A∩B＝{3},3∈B，C不正確；若B＝{2,3,4}，則A∩B＝{2,3}，?U(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，矛盾，A不正確；若B＝{3,4,5}，則A∩B＝{3}，?U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，B正確；若B＝{3,5,6}，則A∩B＝{3}，?U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，D正確．14．某小區(qū)連續(xù)三天舉辦公益活動，第一天有190人參加，第二天有130人參加，第三天有180人參加，其中，前兩天都參加的有30人，后兩天都參加的有40人．第一天參加但第二天沒參加活動的有________人，這三天參加活動的最少有________人．答案160290解析根據(jù)題意畫出Venn圖，如圖所示，a表示只參加第一天的人，b表示只參加第二天的人，c表示只參加第三天的人，d表示只參加第一天與第二天的人，e表示只參加第一天與第三天的人，f表示只參加第二天與第三天的人，g表示三天都參加的人，∴要使總?cè)藬?shù)最少，則令g最大，其次d，e，f也盡量大，d＋g＝30，f＋g＝40，∴a＋e＝160，即第一天參加但第二天沒參加的有160人，∴gmax＝30，d＝0，f＝10，a＋d＋g＋e＝190，∴c＋e＝140，∴emax＝140，∴c＝0，a＝20，則這三天參加活動的最少有a＋b＋c＋…＋g＝20＋90＋0＋0＋140＋10＋30＝290(人)．15．(多選)1872年德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)(史稱“戴德金分割”)，并把實數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)．將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足M∪N＝Q，M∩N＝?，M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱(M，N)為戴德金分割．試判斷下列選項中，可能成立的是()A．M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}滿足戴德金分割B．M沒有最大元素，N有一個最小元素C．M有一個最大元素，N有一個最小元素D．M沒有最大元素，N也沒有最小元素答案BD解析對于選項A，因為M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}，M∪N＝{x∈Q|x≠0}≠Q(mào)，故A錯誤；對于選項B，設(shè)M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，滿足戴德金分割，則M沒有最大元素，N有一個最小元素0，故B正確；對于選項C，若M有一個最大元素m，N有一個最小元素n，若m≠n，一定存在k∈(m，n)使M∪N＝Q不成立；若m＝n，則M∩N＝?不成立，故C錯誤；對于選項D，設(shè)M＝{x∈Q|x<eq\r(2)}，N＝{x∈Q|x≥eq\r(2)}，滿足戴德金分割，此時M沒有最大元素，N也沒有最小元素，故D正確．16．我們將b－a稱為集合{x|a≤x≤b}的“長度”．若集合M＝{x|m≤x≤m＋2022}，N＝{x|n－2023≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤2024}的子集，則集合M∩N的“長度”的最小值為________．答案2021解析由題意得，M的“長度”為2022，N的“長度”為2023，要使M∩N的“長度”最小，則M，N分別在{x|0≤x≤2024}的兩端．當(dāng)m＝0，n＝2024時，得M＝{x|0≤x≤2022}，N＝{x|1≤x≤2024}，則M∩N＝{x|1≤x≤2022}，此時集合M∩N的“長度”為2022－1＝2021；當(dāng)m＝2，n＝2023時，M＝{x|2≤x≤2024}，N＝{x|0≤x≤2023}，則M∩N＝{x|2≤x≤2023}，此時集合M∩N的“長度”為2023－2＝2021.故M∩N的“長度”的最小值為2021.

§1.2常用邏輯用語考試要求1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.2.理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對兩種命題進(jìn)行否定．知識梳理1．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p2．全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示．(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示．3．全稱量詞命題和存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對M中任意一個x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡記?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)否定?x∈M，綈p(x)?x∈M，綈p(x)常用結(jié)論1．充分、必要條件與對應(yīng)集合之間的關(guān)系設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若p是q的充分條件，則A?B；(2)若p是q的充分不必要條件，則AB；(3)若p是q的必要不充分條件，則BA；(4)若p是q的充要條件，則A＝B.2．含有一個量詞命題的否定規(guī)律是“改變量詞，否定結(jié)論”．3．命題p與p的否定的真假性相反．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)p是q的充分不必要條件等價于q是p的必要不充分條件．(√)(2)“三角形的內(nèi)角和為180°”是全稱量詞命題．(√)(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要條件是A＝B.(√)(4)命題“?x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)”是真命題．(×)教材改編題1．命題“?x∈R，ex－1≥x”的否定是()A．?x∈R，ex－1≥x B．?x∈R，ex－1≤xC．?x∈R，ex－1<x D．?x∈R，ex－1<x答案C解析由題意得命題“?x∈R，ex－1≥x”的否定是“?x∈R，ex－1<x”．2．(多選)下列命題中為真命題的是()A．?x∈R，x2>0 B．?x∈R，－1≤sinx≤1C．?x∈R，2x<0 D．?x∈R，tanx＝2答案BD解析當(dāng)x＝0時，x2＝0，所以A選項錯誤；當(dāng)x∈R時，－1≤sinx≤1，所以B選項正確；因為2x>0，所以C選項錯誤；因為函數(shù)y＝tanx∈R，所以D選項正確．3．若“x>3”是“x>m”的必要不充分條件，則m的取值范圍是________．答案(3，＋∞)解析因為“x>3”是“x>m”的必要不充分條件，所以(m，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，由圖可知m>3.題型一充分、必要條件的判定例1(1)(2023·淮北模擬)“a>b>0”是“eq\f(a,b)>1”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件答案B解析由a>b>0，得eq\f(a,b)>1，反之不成立，如a＝－2，b＝－1，滿足eq\f(a,b)>1，但是不滿足a>b>0，故“a>b>0”是“eq\f(a,b)>1”的充分不必要條件．(2)(2021·全國甲卷)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn.設(shè)甲：q>0，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則()A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件答案B解析當(dāng)a1<0，q>1時，an＝a1qn－1<0，此時數(shù)列{Sn}單調(diào)遞減，所以甲不是乙的充分條件．當(dāng)數(shù)列{Sn}單調(diào)遞增時，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，則qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，則qn<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要條件．思維升華充分條件、必要條件的兩種判定方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題．(2)集合法：根據(jù)p，q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022·長春模擬)“a·b＝|a||b|”是“a與b共線”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析因為a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|，所以cos〈a，b〉＝1，因為〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝0，所以a與b共線，當(dāng)a與b共線時，〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|或a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－|a||b|，所以“a·b＝|a||b|”是“a與b共線”的充分不必要條件．(2)(多選)已知冪函數(shù)f(x)＝(4m－1)xm，則下列選項中，能使得f(a)>f(b)成立的一個充分不必要條件是()A．0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．a(chǎn)2>b2C．lna>lnb D．2a>2b答案AC解析由題設(shè)知4m－1＝1，可得m＝eq\f(1,2)，故f(x)＝eq\r(x)，所以，要使f(a)>f(b)，則eq\r(a)>eq\r(b)，即a>b≥0.0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)?a>b>0，A符合題意；lna>lnb?a>b>0，C符合題意；B，D選項中a，b均有可能為負(fù)數(shù)，B，D不符合題意．題型二充分、必要條件的應(yīng)用例2在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分條件；③“x∈?RA”是“x∈?RB”的必要條件這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到本題第(2)問的橫線處，求解下列問題．問題：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．(1)當(dāng)a＝2時，求A∩B；(2)若________，求實數(shù)a的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．解(1)由(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，所以B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}＝{x|－1<x<3}，當(dāng)a＝2時，A＝{x|2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|2≤x<3}．(2)若選①A∪B＝B，則A?B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1<a<1，即a∈(－1,1)；若選②“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則A?B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1<a<1，即a∈(－1,1)；若選③“x∈?RA”是“x∈?RB”的必要條件，則A?B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1<a<1，即a∈(－1,1)．思維升華求參數(shù)問題的解題策略(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗．跟蹤訓(xùn)練2(2023·宜昌模擬)已知集合A＝{x|－2<x≤3}，B＝{x|x2－2mx＋m2－1<0}．(1)若m＝2，求集合A∩B；(2)已知p：x∈A，q：x∈B，是否存在實數(shù)m，使p是q的必要不充分條件，若存在實數(shù)m，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．解(1)由m＝2及x2－2mx＋m2－1<0，得x2－4x＋3<0，解得1<x<3，所以B＝{x|1<x<3}，又A＝{x|－2<x≤3}，所以A∩B＝{x|1<x<3}．(2)由x2－2mx＋m2－1<0，得[x－(m－1)][x－(m＋1)]<0，所以m－1<x<m＋1，所以B＝{x|m－1<x<m＋1}．由p是q的必要不充分條件，得集合B是集合A的真子集，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≥－2，,m＋1≤3))?－1≤m≤2(兩端等號不會同時取得)，所以m的取值范圍為[－1,2]．題型三全稱量詞與存在量詞命題點(diǎn)1含量詞命題的否定例3(2022·漳州模擬)命題“?a∈R，x2－ax＋1＝0有實數(shù)解”的否定是()A．?a∈R，x2－ax＋1＝0無實數(shù)解B．?a∈R，x2－ax＋1＝0無實數(shù)解C．?a∈R，x2－ax＋1≠0有實數(shù)解D．?a∈R，x2－ax＋1≠0有實數(shù)解答案B解析因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以“?a∈R，x2－ax＋1＝0有實數(shù)解”的否定是“?a∈R，x2－ax＋1＝0無實數(shù)解”．命題點(diǎn)2含量詞命題真假的判斷例4(多選)(2023·沈陽模擬)下列命題中為真命題的是()A．?x∈R，eq\f(1,2x)≤1B．對于?x∈R，n∈N*且n>1，都有eq\r(n,xn)＝xC．?x∈R，ln(x－1)2≥0D．?x∈R，lnx≥x－1答案AD解析當(dāng)x≥0時，0<eq\f(1,2x)≤1，故A項是真命題；當(dāng)n為偶數(shù)，且x<0時，eq\r(n,xn)＝－x，故B項是假命題；當(dāng)x＝1時，ln(x－1)2無意義，故C項是假命題；當(dāng)x＝1時，lnx≥x－1，故D項是真命題．命題點(diǎn)3含量詞命題的應(yīng)用例5若“?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，sinx<m”是假命題，則實數(shù)m的最大值為()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)答案D解析因為“?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，sinx<m”是假命題，所以“?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，m≤sinx”是真命題，即m≤sinx對于?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))恒成立，所以m≤(sinx)min，因為y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))上單調(diào)遞增，所以x＝－eq\f(π,3)時，y＝sinx最小，其最小值為y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－sin

eq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2)，所以m≤－eq\f(\r(3),2)，所以實數(shù)m的最大值為－eq\f(\r(3),2).思維升華含量詞命題的解題策略(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個成立即可．當(dāng)一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假．(2)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價命題求參數(shù)的范圍．跟蹤訓(xùn)練3(1)已知命題p：?n∈N，n2≥2n＋5，則綈p為()A．?n∈N，n2≥2n＋5B．?n∈N，n2≤2n＋5C．?n∈N，n2<2n＋5D．?n∈N，n2＝2n＋5答案C解析由存在量詞命題的否定可知，綈p為?n∈N，n2<2n＋5.所以C正確，A，B，D錯誤．(2)(多選)下列命題是真命題的是()A．?x∈R，－x2－1<0B．?n∈Z，?m∈Z，nm＝mC．所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑D．存在實數(shù)x，使得eq\f(1,x2－2x＋3)＝eq\f(3,4)答案ABC解析?x∈R，－x2≤0，所以－x2－1<0，故A項是真命題；當(dāng)m＝0時，nm＝m恒成立，故B項是真命題；任何一個圓的圓心到切線的距離都等于半徑，故C項是真命題；因為x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以eq\f(1,x2－2x＋3)≤eq\f(1,2)<eq\f(3,4)，故D項是假命題．(3)若命題“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析命題“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命題，則命題“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命題，即Δ＝(a－1)2－4>0，解得a>3或a<－1，故實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．課時精練1．(2023·上饒模擬)“x2>2021”是“x2>2022”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析若x2>2022，因為2022>2021，故x2>2021，故“x2>2022”可以推出“x2>2021”，取x2＝2021.5，則滿足x2>2021，但x2>2022不成立，所以“x2>2021”不能推出“x2>2022”，所以“x2>2021”是“x2>2022”的必要不充分條件．2．已知命題p：?x∈Q，使得x?N，則綈p為()A．?x?Q，都有x?N B．?x?Q，使得x∈NC．?x∈Q，都有x∈N D．?x∈Q，使得x∈N答案C解析因為存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，所以由p：?x∈Q，使得x?N，得綈p：?x∈Q，都有x∈N.3．已知命題：“?x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)<4 B．a(chǎn)≤4C．a(chǎn)>4 D．a(chǎn)≥4答案B解析“?x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命題，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.4．(2023·武漢模擬)已知a，b是兩條不重合的直線，α為一個平面，且a⊥α，則“b⊥α”是“a∥b”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案C解析當(dāng)b⊥α?xí)r，結(jié)合a⊥α，可得a∥b，充分性滿足；當(dāng)a∥b時，結(jié)合a⊥α，可得b⊥α，必要性滿足．故“b⊥α”是“a∥b”的充要條件．5．命題“?1≤x≤2，x2－a≤0”為真命題的一個充分不必要條件是()A．a(chǎn)≥4 B．a(chǎn)≥5C．a(chǎn)≤4 D．a(chǎn)≤5答案B解析因為命題“?1≤x≤2，x2－a≤0”是真命題，所以?1≤x≤2，a≥x2恒成立，所以a≥4，結(jié)合選項，命題是真命題的一個充分不必要條件是a≥5.6．(多選)下列命題是真命題的是()A．所有的素數(shù)都是奇數(shù)B．有一個實數(shù)x，使x2＋2x＋3＝0C．“α＝β”是“sinα＝sinβ”成立的充分不必要條件D．命題“?x∈R，x＋2≤0”的否定是“?x∈R，x＋2>0”答案CD解析2是一個素數(shù)，但2是偶數(shù)，所以A是假命題；對于方程x2＋2x＋3＝0，其中Δ＝22－4×3＝－8<0，所以不存在實數(shù)，使得x2＋2x＋3＝0成立，所以B是假命題；由α＝β?sinα＝sinβ，但由sinα＝sinβ不能得到α＝β，故“α＝β”是“sinα＝sinβ”成立的充分不必要條件，所以C是真命題；根據(jù)全稱量詞命題與存在量詞命題的關(guān)系，可得命題“?x∈R，x＋2≤0”的否定是“?x∈R，x＋2>0”，所以D是真命題．7．(多選)若“?x∈(0,2)，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命題，則實數(shù)λ可能的值是()A．1B．2eq\r(2)C．3D．3eq\r(2)答案AB解析由題意可知，命題“?x∈(0,2)，2x2－λx＋1≥0成立”是真命題，所以λx≤2x2＋1，可得λ≤2x＋eq\f(1,x)，當(dāng)x∈(0,2)時，由基本不等式可得2x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(2x·\f(1,x))＝2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(\r(2),2)時，等號成立，所以λ≤2eq\r(2).8.南北朝時期的偉大科學(xué)家祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)，他在實踐的基礎(chǔ)上提出祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．其含義是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．如圖，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體的體積分別為V1，V2，被平行于這兩個平面的任意平面截得的兩個截面面積分別為S1，S2，則“S1，S2不總相等”是“V1，V2不相等”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析命題：如果“S1，S2不總相等”，那么“V1，V2不相等”的等價命題是：如果“V1，V2相等”，那么“S1，S2總相等”．根據(jù)祖暅原理，當(dāng)兩個截面的面積S1，S2總相等時，這兩個幾何體的體積V1，V2相等，所以逆命題為真，故是必要條件；當(dāng)兩個三棱臺，一正一反的放在兩個平面之間時，此時體積相等，但截得截面面積未必相等，故是不充分條件，所以“S1，S2不總相等”是“V1，V2不相等”的必要不充分條件．9．命題“?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sinx<cosx”的否定是________．答案?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sinx≥cosx解析因為“sinx<cosx”的否定是“sinx≥cosx”，所以“?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sinx<cosx”的否定是“?x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sinx≥cosx”，10．使得“2x>4x”成立的一個充分條件是________．答案x<－1(答案不唯一)解析由于4x＝22x，故2x>22x等價于x>2x，解得x<0，使得“2x>4x”成立的一個充分條件只需為集合{x|x<0}的子集即可．11．已知命題“?x∈{x|－2<x<3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是________．答案(－∞，－4]∪[6，＋∞)解析若原命題為真命題，則?x∈{x|－2<x<3}，使得m＝2x成立，則－4<m<6；故若原命題為假命題，則實數(shù)m的取值范圍為(－∞，－4]∪[6，＋∞)．12．已知α：x<2m－1或x>－m，β：x<2或x≥4，若α是β的必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))解析設(shè)A＝{x|x<2m－1或x>－m}，B＝{x|x<2或x≥4}，若α是β的必要條件，則B?A，當(dāng)2m－1>－m，即m>eq\f(1,3)時，此時A＝R，B?A成立；當(dāng)2m－1≤－m，即m≤eq\f(1,3)時，若B?A，此時eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥2，,－m<4，))無解．綜上，m>eq\f(1,3).13．(多選)若“?x∈M，|x|>x”為真命題，“?x∈M，x>3”為假命題，則集合M可以是()A．(－∞，－5) B．(－3，－1]C．(3，＋∞) D．[0,3]答案AB解析∵?x∈M，x>3為假命題，∴?x∈M，x≤3為真命題，可得M?(－∞，3]，又?x∈M，|x|>x為真命題，可得M?(－∞，0)，∴M?(－∞，0)．14．一名法官在審理一起珍寶盜竊案時，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下：甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙說：“我沒有作案，是丙偷的”；丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說：“乙說的是事實”，經(jīng)過調(diào)查核實，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是________．答案乙解析四人供詞中，乙、丁意見一致，或同真或同假．若同真，即丙偷的，而四人有兩人說的是真話，則甲、丙說的是假話，甲說“罪犯在乙、丙、丁三人之中”是假話，即乙、丙、丁沒偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，則甲、丙說的是真話，甲說“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，丙說“甲、乙兩人中有一人是小偷”是真話，可知罪犯是乙．15．(2022·九江模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝kan＋k，則“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”是“k＝1”的()A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析當(dāng)k＝1時，an＋1＝an＋1，則{an}為等差數(shù)列，必要性成立；若{an}為等差數(shù)列，由a1＝1，a2＝2k，a3＝2k2＋k，有2k2＋k＋1＝4k，解得k＝1或eq\f(1,2).當(dāng)k＝eq\f(1,2)時，an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2)，此時an＝1，充分性不成立．16．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則“a>b”是“A＋cosA>B＋cosB”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案C解析在△ABC中，若a>b，則根據(jù)大邊對大角可得A>B.設(shè)f(x)＝x＋cosx，x∈(0，π)，則f′(x)＝1－sinx，x∈(0，π)時，sinx∈(0,1]，∴f′(x)≥0，∴f(x)在(0，π)上單調(diào)遞增，∴a>b?A>B?f(A)>f(B)?A＋cosA>B＋cosB.

§1.3等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)考試要求1.掌握等式性質(zhì).2.會比較兩個數(shù)的大小.3.理解不等式的性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用．知識梳理1．兩個實數(shù)比較大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b，,a－b＝0?a＝b，,a－b<0?a<b.))(a，b∈R)2．等式的性質(zhì)性質(zhì)1對稱性：如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3可加(減)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3．不等式的性質(zhì)性質(zhì)1對稱性：a>b?b<a；性質(zhì)2傳遞性：a>b，b>c?a>c；性質(zhì)3可加性：a>b?a＋c>b＋c；性質(zhì)4可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；性質(zhì)5同向可加性：a>b，c>d?a＋c>b＋d；性質(zhì)6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?ac>bd；性質(zhì)7同正可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)．常用結(jié)論1．若ab>0，且a>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).2．若a>b>0，m>0?eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；若b>a>0，m>0?eq\f(b,a)>eq\f(b＋m,a＋m).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩個實數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a<b三種關(guān)系中的一種．(√)(2)若eq\f(b,a)>1，則b>a.(×)(3)若x>y，則x2>y2.(×)(4)若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，則b<a.(×)教材改編題1．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是()A．a(chǎn)c2>bc2 B．a(chǎn)>bC．a(chǎn)＋c>b＋c D.eq\f(a,c)>eq\f(b,c)答案D解析若c<0，則a<b，所以ac2<bc2，a＋c<b＋c，A，B，C均錯；因為ac>bc，則c2>0，因為ac>bc，則eq\f(ac,c2)>eq\f(bc,c2)，即eq\f(a,c)>eq\f(b,c)，故D正確．2．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，則M，N的大小關(guān)系是________．答案M>N解析∵M(jìn)－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3)＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋2>0，∴M>N.3．若1<a<2,2<b<3，則eq\f(a,b)的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))解析由2<b<3，得eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，又1<a<2，∴1×eq\f(1,3)<a×eq\f(1,b)<2×eq\f(1,2)，即eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<1.題型一數(shù)(式)的大小比較例1(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，則M，N的大小關(guān)系為()A．M<N B．M>NC．M≤N D．M≥N答案B解析因為M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.(2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，則P，Q的大小關(guān)系是()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．不能確定答案C解析P，Q作商可得eq\f(P,Q)＝eq\f(aeb,bea)＝eq\f(\f(eb,b),\f(ea,a))，令f(x)＝eq\f(ex,x)，則f′(x)＝eq\f(exx－1,x2)，當(dāng)x>1時，f′(x)>0，所以f(x)＝eq\f(ex,x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，因為a>b>1，所以eq\f(eb,b)<eq\f(ea,a)，又eq\f(eb,b)>0，eq\f(ea,a)>0，所以eq\f(P,Q)＝eq\f(\f(eb,b),\f(ea,a))<1，所以P<Q.思維升華比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結(jié)論．(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知a，b為不相等的實數(shù)，記M＝a2－ab，N＝ab－b2，則M與N的大小關(guān)系為()A．M>N B．M＝NC．M<N D．不確定答案A解析因為M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，又a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N.(2)已知M＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)，N＝eq\f(e2022＋1,e2023＋1)，則M，N的大小關(guān)系為________．答案M>N解析方法一M－N＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)－eq\f(e2022＋1,e2023＋1)＝eq\f(e2021＋1e2023＋1－e2022＋12,e2022＋1e2023＋1)＝eq\f(e2021＋e2023－2e2022,e2022＋1e2023＋1)＝eq\f(e2021e－12,e2022＋1e2023＋1)>0.∴M>N.方法二令f(x)＝eq\f(ex＋1,ex＋1＋1)＝eq\f(\f(1,e)ex＋1＋1＋1－\f(1,e),ex＋1＋1)＝eq\f(1,e)＋eq\f(1－\f(1,e),ex＋1＋1)，顯然f(x)是R上的減函數(shù)，∴f(2021)>f(2022)，即M>N.題型二不等式的性質(zhì)例2(1)已知a>b>c>0，下列結(jié)論正確的是()A．2a<b＋c B．a(chǎn)(b－c)>b(a－c)C.eq\f(1,a－c)>eq\f(1,b－c) D．(a－c)3>(b－c)3答案D解析∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故A錯誤；取a＝3>b＝2>c＝1>0，則a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故B錯誤；由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0，∴eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－c)，(a－c)3>(b－c)3，故C錯誤，D正確．(2)(多選)若a>0>b>－a，c<d<0，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)d>bc B.eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)<0C．a(chǎn)－c>b－d D．a(chǎn)(d－c)>b(d－c)答案BCD解析因為a>0>b，c<d<0，所以ad<0，bc>0，所以ad<bc，故A錯誤；因為0>b>－a，所以a>－b>0，因為c<d<0，所以－c>－d>0，所以a(－c)>(－b)(－d)，所以ac＋bd<0，cd>0，所以eq\f(ac＋bd,cd)＝eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)<0，故B正確；因為c<d，所以－c>－d，因為a>b，所以a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b－d，故C正確；因為a>0>b，d－c>0，所以a(d－c)>b(d－c)，故D正確．思維升華判斷不等式的常用方法(1)利用不等式的性質(zhì)逐個驗證．(2)利用特殊值法排除錯誤選項．(3)作差法．(4)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性．跟蹤訓(xùn)練2(1)十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若a，b，c∈R，則下列命題正確的是()A．若a>b，則ac2>bc2B．若eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)，則a<bC．若a<b<c<0，則eq\f(b,a)<eq\f(b＋c,a＋c)D．若a>b，則a2>b2答案C解析對于A選項，當(dāng)c＝0時不滿足，故錯誤；對于B選項，由不等式性質(zhì)知，eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)兩邊同時乘以c2>0，可得a>b，故錯誤；對于C選項，若a<b<c<0，則a＋c<0，b－a>0，(b－a)c<0，a(a＋c)>0，故eq\f(b,a)－eq\f(b＋c,a＋c)＝eq\f(ba＋c－ab＋c,aa＋c)＝eq\f(b－ac,aa＋c)<0，即eq\f(b,a)<eq\f(b＋c,a＋c)，故正確；對于D選項，取a＝－1，b＝－2，可得a2<b2，故錯誤．(2)(多選)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列不等式正確的是()A.eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab) B．|a|＋b>0C．a(chǎn)－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b) D．lna2>lnb2答案AC解析由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，可知b<a<0.A中，因為a＋b<0，ab>0，所以eq\f(1,a＋b)<0，eq\f(1,ab)>0.則eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab)，故A正確；B中，因為b<a<0，所以－b>－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B錯誤；C中，因為b<a<0，又eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則－eq\f(1,a)>－eq\f(1,b)>0，所以a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)，故C正確；D中，因為b<a<0，根據(jù)y＝x2在(－∞，0)上單調(diào)遞減，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定義域(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以lnb2>lna2，故D錯誤．題型三不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3(1)已知－1<x<4,2<y<3，則x－y的取值范圍是__________，3x＋2y的取值范圍是________．答案(－4,2)(1,18)解析∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.延伸探究若將本例(1)中條件改為－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范圍．解設(shè)3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,m－n＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(1,2).))即3x＋2y＝eq\f(5,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(x－y)，又∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，∴－eq\f(5,2)<eq\f(5,2)(x＋y)<10,1<eq\f(1,2)(x－y)<eq\f(3,2)，∴－eq\f(3,2)<eq\f(5,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(x－y)<eq\f(23,2)，即－eq\f(3,2)<3x＋2y<eq\f(23,2)，∴3x＋2y的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(23,2))).(2)已知3<a<8,4<b<9，則eq\f(a,b)的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))解析∵4<b<9，∴eq\f(1,9)<eq\f(1,b)<eq\f(1,4)，又3<a<8，∴eq\f(1,9)×3<eq\f(a,b)<eq\f(1,4)×8，即eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<2.思維升華求代數(shù)式的取值范圍，一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求得整體范圍．跟蹤訓(xùn)練3(1)已知1≤a≤2，－1≤b≤4，則a－2b的取值范圍是()A．[－7,4]B．[－6,9]C．[6,9]D．[－2,8]答案A解析因為－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4.(2)已知實數(shù)a，b，c，滿足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么eq\f(c,a)的取值范圍是________．答案－2<eq\f(c,a)<－eq\f(1,2)解析由于a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，b＝－a－c，－a－c<a,2a>－c，eq\f(c,a)>－2，－a－c>c，－a>2c，eq\f(c,a)<－eq\f(1,2)，所以－2<eq\f(c,a)<－eq\f(1,2).課時精練1．(2023·長春模擬)已知a>0，b>0，M＝eq\r(a＋b)，N＝eq\r(a)＋eq\r(b)，則M與N的大小關(guān)系為()A．M>NB．M<NC．M≤ND．M，N大小關(guān)系不確定答案B解析M2－N2＝(a＋b)－(a＋b＋2eq\r(ab))＝－2eq\r(ab)<0，∴M<N.2．已知a，b∈R，若a>b，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)同時成立，則()A．a(chǎn)b>0 B．a(chǎn)b<0C．a(chǎn)＋b>0 D．a(chǎn)＋b<0答案A解析因為eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，所以eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)<0，又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.3．(多選)已知a<b<0，則下列結(jié)論正確的是()A．b2<ab B.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．2a>2b D．ln(1－a)>ln(1－b)答案AD解析對于A，因為a<b<0，所以b－a>0，則b2－ab＝b(b－a)<0，即b2<ab，故選項A正確；對于B，因為a<b<0，所以ab>0，則eq\f(a,ab)<eq\f(b,ab)，即eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，故選項B錯誤；對于C，因為a<b<0且函數(shù)y＝2x是增函數(shù)，所以2a<2b，故選項C錯誤；對于D，因為a<b<0，所以1－a>1－b>1，又因為函數(shù)y＝lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以ln(1－a)>ln(1－b)，故選項D正確．4．若－π<α<β<π，則α－β的取值范圍是()A．－2π<α－β<2π B．0<α－β<2πC．－2π<α－β<0 D．{0}答案C解析∵－π<β<π，∴－π<－β<π，又－π<α<π，∴－2π<α－β<2π，又α<β，∴α－β<0，∴－2π<α－β<0.5．已知x，y∈R，且x>y>0，則()A．cosx－cosy>0B．cosx＋cosy>0C．lnx－lny>0D．lnx＋lny>0答案C解析對于A，y＝cosx在(0，＋∞)上不是單調(diào)函數(shù)，故cosx－cosy>0不一定成立，A錯誤；對于B，當(dāng)x＝π，y＝eq\f(π,2)時，cosx＋cosy＝－1<0，B不一定成立；對于C，y＝lnx在(0，＋∞)上為增函數(shù)，若x>y>0，則lnx>lny，必有l(wèi)nx－lny>0，C正確；對于D，當(dāng)x＝1，y＝eq\f(1,2)時，lnx＋lny＝ln

eq\f(1,2)<0，D不一定成立．6．(多選)(2023·汕頭模擬)已知a，b，c滿足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是()A．a(chǎn)c(a－c)>0 B．c(b－a)<0C．cb2<ab2 D．a(chǎn)b>ac答案BCD解析因為a，b，c滿足c<a<b，且ac<0，所以c<0，a>0，b>0，a－c>0，b－a>0，所以ac(a－c)<0，c(b－a)<0，cb2<ab2，ab>ac.7．(多選)設(shè)a，b，c，d為實數(shù)，且a>b>0>c>d，則下列不等式正確的有()A．c2<cd B．a(chǎn)－c<b－dC．a(chǎn)c<bd D.eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0答案AD解析因為a>b>0>c>d，所以a>b>0,0>c>d，對于A，因為0>c>d，由不等式的性質(zhì)可得c2<cd，故選項A正確；對于B，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，則a－c＝3，b－d＝3，所以a－c＝b－d，故選項B錯誤；對于C，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，則ac＝－2，bd＝－2，所以ac＝bd，故選項C錯誤；對于D，因為a>b>0，d<c<0，則ad<bc，所以eq\f(c,a)>eq\f(d,b)，故eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，故選項D正確．8．(多選)(2022·沈陽模擬)已知非零實數(shù)a，b滿足a>|b|＋1，則下列不等關(guān)系一定成立的是()A．a(chǎn)2>b2＋1 B．2a>2b＋1C．a(chǎn)2>4b D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))>b＋1答案ABC解析對于非零實數(shù)a，b滿足a>|b|＋1，則a2>(|b|＋1)2，即a2>b2＋2|b|＋1>b2＋1，故A一定成立；因為a>|b|＋1≥b＋1?2a>2b＋1，故B一定成立；又(|b|－1)2≥0，即b2＋1≥2|b|，所以a2>4|b|≥4b，故C一定成立；令a＝5，b＝3，滿足a>|b|＋1，此時eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))＝eq\f(5,3)<b＋1＝4，故D不一定成立．9．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，則M________N．(填“>”“<”或“＝”)答案>解析M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，故M>N.10．能夠說明“設(shè)a，b，c是任意實數(shù)．若a2>b2>c2，則a＋b>c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為________．答案－3，－1,0(答案不唯一)解析令a＝－3，b＝－1，c＝0，則a2>b2>c2，此時a＋b＝－4<0，所以a＋b>c是假命題．11．若1<α<3，－4<β<2，則2α＋|β|的取值范圍是________．答案(2,10)解析∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，又1<α<3，∴2<2α<6，∴2<2α＋|β|<10.12．eπ·πe與ee·ππ的大小關(guān)系為________．答案eπ·πe<ee·ππ解析eq\f(eπ·πe,ee·ππ)＝eq\f(eπ－e,ππ－e)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,π)))π－e，又0<eq\f(e,π)<1,0<π－e<1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,π)))π－e<1，即eq\f(eπ·πe,ee·ππ)<1，即eπ·πe<ee·ππ.13．已知0<a<b<1，設(shè)m＝blna，n＝alnb，p＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lna,lnb)))，則m，n，p的大小關(guān)系為()A．m<n<p B．n<m<pC．p<m<n D．p<n<m答案A解析因為0<a<b<1，則eq\f(b,a)>1，且lna<lnb<0，即有eq\f(lna,lnb)>1，因此，lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lna,lnb)))>0，即p>0，又m<0，n<0，則eq\f(m,n)＝eq\f(blna,alnb)＝eq\f(b,a)·eq\f(lna,lnb)>1，于是得m<n<0，所以m<n<p.14．實數(shù)a，b，c，d滿足下列三個條件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c.那么a，b，c，d的大小關(guān)系是________．答案b>d>c>a解析由題意知d>c①，由②＋③得2a＋b＋d<2c＋b＋d，化簡得a<c④，由②式a＋b＝c＋d及a<c可得到，要使②成立，必須b>d⑤成立，綜合①④⑤式得到b>d>c>a.15．(多選)(2023·長沙模擬)設(shè)實數(shù)a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則下列不等式成立的是()A．c<b B．b≥1C．b≤a D．a(chǎn)<c答案BD解析∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝6－4a＋3a2，,c－b＝4－4a＋a2，))兩式相減得2b＝2a2＋2，即b＝a2＋1，∴b≥1.又b－a＝a2＋1－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，∴b>a.而c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b，從而c≥b>a.16．(2022·全國甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，則()A．a(chǎn)＞0＞b B．a(chǎn)＞b＞0C．b＞a＞0 D．b＞0＞a答案A解析∵9m＝10，∴m∈(1,2)，令f(x)＝xm－(x＋1)，x∈(1，＋∞)，∴f′(x)＝mxm－1－1，∵x>1且1<m<2，∴xm－1>1，∴f′(x)>0，∴f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，又9m＝10，∴9m－10＝0，即f(9)＝0，又a＝f(1