江蘇省蘇州市三校高三高考聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（2021-04）

2021年江蘇省蘇州市三校高三高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（4月份）一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分）.1．已知（?RA）∩B＝?，則下面選項(xiàng)中一定成立的是（）A．A∩B＝A B．A∩B＝B C．A∪B＝B D．A∪B＝R2．已知i是虛數(shù)單位，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)﹣2+i和1﹣3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)間的距離是（）A． B． C．5 D．253．在我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，九日二馬相逢，則長(zhǎng)安至齊（）A．1120里 B．2250里 C．3375里 D．1125里4．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去巴城老街、千燈古鎮(zhèn)、周莊游玩，每人只能去一個(gè)地方，周莊一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為（）A．60 B．65 C．70 D．755．已知A，B是圓O：x2+y2＝1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，|AB|＝，，M為線段AB的中點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．6．雷達(dá)是利用電磁波探測(cè)目標(biāo)的電子設(shè)備．電磁波在大氣中大致沿直線傳播．受地球表面曲率的影響，雷達(dá)所能發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的最大直視距離L＝+＝+（如圖），其中h1為雷達(dá)天線架設(shè)高度，h2為探測(cè)目標(biāo)高度，R為地球半徑．考慮到電磁波的彎曲、折射等因素，R等效取8490km，故R遠(yuǎn)大于h1，h2.假設(shè)某探測(cè)目標(biāo)高度為25m，為保護(hù)航母的安全，須在直視距離390km外探測(cè)到目標(biāo)，并發(fā)出預(yù)警，則艦載預(yù)警機(jī)的巡航高度至少約為（）（參考數(shù)據(jù)：A．6400m B．7200m C．8100m D．10000m7．下列圖象中可以作為函數(shù)f（x）＝部分圖象的是（）A．A B． C． D．8．已知函數(shù)f（x）＝ekx﹣2+1，（k≠0），函數(shù)g（x）＝xlnx，若kf（x）≥2g（x），對(duì)?x∈（0，+∞）恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A．[1，+∞） B．[e，+∞） C． D．二、選擇題（每小題5分）.有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．新高三高考方案規(guī)定，普通高中學(xué)業(yè)水平考試分為合格性考試（合格考）和選擇性考試（選擇考），其中“選擇考”成績(jī)將計(jì)入高三高考總成績(jī)，即將學(xué)生考試時(shí)的原始卷面分?jǐn)?shù)由高到低進(jìn)行排序，評(píng)定為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí)，再轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)計(jì)入高三高考總成績(jī)．某試點(diǎn)高中2020年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)是2018年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)的2倍，為了更好地分析該校學(xué)生“選擇考”的水平情況，統(tǒng)計(jì)了該校2018年和2020年“選擇考”成績(jī)等級(jí)結(jié)果，得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖．針對(duì)該?！斑x擇考”情況，2020年與2018年比較，下列說(shuō)法正確的是（）A．獲得A等級(jí)的人數(shù)增加了 B．獲得B C．獲得D等級(jí)的人數(shù)減少了一半 D．獲得E等級(jí)的人數(shù)相同10．△ABC中，D為邊AC上的一點(diǎn)，且滿足，若P為邊BD上的一點(diǎn)，且滿足（m＞0，n＞0），則下列結(jié)論正確的是（）A．m+2n＝1 B．mn的最大值為 C．的最小值為6+4 D．m2+9n2的最小值為11．已知函數(shù)f（x）＝|cosx|﹣|sin|x||，下列說(shuō)法正確的是（）A．f（x）是偶函數(shù) B．f（x）是周期為π的函數(shù) C．f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．f（x）的最大值為12．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，M為DD1的中點(diǎn)，N為ABCD所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，N1為A1B1C1D1所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，且NN1⊥平面ABCD，則下列命題正確的是（）A．若MN與平面ABCD所成的角為，則點(diǎn)N的軌跡為圓 B．若三棱柱NAD﹣N1A1D1的表面積為定值，則點(diǎn)N的軌跡為橢圓 C．若點(diǎn)N到直線BB1與直線DC的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡為拋物線 D．若D1N與AB所成的角為，則點(diǎn)N的軌跡為雙曲線三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．在產(chǎn)品質(zhì)量檢測(cè)中，已知某產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)X～N（100，102），且110＜X＜120的產(chǎn)品數(shù)量為5436件．請(qǐng)估計(jì)該批次檢測(cè)的產(chǎn)品數(shù)量是件．參考數(shù)據(jù)：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ14．已知函數(shù)f（x）滿足f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（2+x），則符合題意的一個(gè)f（x）的解析式可以為．15．在四面體ABCD中，AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1，則四面體ABCD的外接球的體積為．16．已知雙曲線C：＝1（b＞0），若在直線l：x+y+2＝0上存在點(diǎn)P滿足：過(guò)點(diǎn)P能向雙曲線C引兩條互相垂直的切線，則雙曲線C的離心率取值范圍是．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．在①（a+b）（a﹣b）＝（a﹣c）c，②2a﹣c＝2bcosC，③三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題．在ΔABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足____，．（1）若a+c＝4，求ΔABC的面積；（2）求a+c的取值范圍．18．設(shè){an}是等比數(shù)列，公比大于0，{bn}是等差數(shù)列，（n∈N*）．已知a1＝1，a3＝a2+2，a4＝b3+b5，a5＝b4+2b6．（1）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)數(shù)列{cn}滿足c1＝c2＝1，cn＝，其中k∈N*，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．如圖，三棱錐S﹣ABC的底面ABC和側(cè)面SBC都是等邊三角形，且平面SBC⊥平面ABC．（Ⅰ）若P點(diǎn)是線段SA的中點(diǎn)，求證：SA⊥平面PBC；（Ⅱ）點(diǎn)Q在線段出上且滿足AQ＝，求BQ與平面SAC所成角的正弦值．20．在新的高三高考改革形式下，江蘇、遼寧、廣東、河北、湖南、湖北、福建、重慶八個(gè)省市在2021年首次實(shí)施“3+1+2”模式新高三高考．為了適應(yīng)新高三高考模式，在2021年1月23日至1月25日進(jìn)行了“八省聯(lián)考”，考完后，網(wǎng)上流傳很多種對(duì)各地考生考試成績(jī)的評(píng)價(jià)，對(duì)12種組合的選擇也產(chǎn)生不同的質(zhì)疑．為此，某校隨機(jī)抽一名考生小明（語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、政治、生物的組合）在高一選科前某兩次六科對(duì)應(yīng)成績(jī)進(jìn)行分析，借此成績(jī)進(jìn)行相應(yīng)的推斷．表1是小明同學(xué)高一選科前兩次測(cè)試成績(jī)（滿分100分）：表1語(yǔ)文數(shù)學(xué)英語(yǔ)物理政治生物第一次879291928593第二次829495889487（1）從小明同學(xué)第一次測(cè)試的科目中隨機(jī)抽取1科，求該科成績(jī)大于90分的概率；（2）從小明同學(xué)第一次測(cè)試和第二次測(cè)試的科目中各隨機(jī)抽取1科，記X為抽取的2科中成績(jī)大于90分的科目數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；（3）現(xiàn)有另一名同學(xué)兩次測(cè)試成績(jī)（滿分100分）及相關(guān)統(tǒng)計(jì)信息如表2所示：表2語(yǔ)文數(shù)學(xué)英語(yǔ)物理政治生物6科成績(jī)均值6科成績(jī)方差第一次a1a2a3a4a5a6x1D1第二次b1b2b43b4b5b6x2D2將每科兩次測(cè)試成績(jī)的均值作為該科的總評(píng)成績(jī)，這6科總評(píng)成績(jī)的方差為D3．有一種觀點(diǎn)認(rèn)為：若x1＝x2，D1＜D2，能推出D1≤D3≤D2.則有理由認(rèn)為“八省聯(lián)考”考生成績(jī)與選科有關(guān)，否則沒(méi)有理由否定12種選科模式的不合理性，即新高三高考模式12種選科模式是可取的．假設(shè)這種觀點(diǎn)是正確的，通過(guò)表2內(nèi)容，你認(rèn)為新高三高考模式12種組合選科模式是否可?。?1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，P為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)．點(diǎn)Q在橢圓上，且FQ⊥FP．（1）若橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為．①求橢圓的方程；②若直線OQ，PQ的斜率分別為k1，k2，求k1?k2的值．（2）若在x軸上方存在P，Q兩點(diǎn)，使O，F(xiàn)，P，Q四點(diǎn)共圓，求橢圓離心率的取值范圍．22．已知函數(shù)f（x）＝2ex+aln（x+1）﹣2．（1）當(dāng)a＝﹣2時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f（x）≥sinx恒成立，求a的取值范圍．參考答案一、選擇題（每小題5分）.1．已知（?RA）∩B＝?，則下面選項(xiàng)中一定成立的是（）A．A∩B＝A B．A∩B＝B C．A∪B＝B D．A∪B＝R解：∵A∩B＝A，∴A?B，A≠B時(shí)，（?RA）∩B≠?，∴A錯(cuò)誤；∵A∩B＝B，∴B?A，∴（?RA）∩B＝?，∴B正確；∵A∪B＝B，∴A?B，同選項(xiàng)A，∴C錯(cuò)誤；∵A∪B＝R，∴A≠R時(shí)，（?RA）∩B≠?，∴D錯(cuò)誤．故選：B．2．已知i是虛數(shù)單位，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)﹣2+i和1﹣3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)間的距離是（）A． B． C．5 D．25解：復(fù)數(shù)﹣2+i對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)A（﹣2，1），復(fù)數(shù)1﹣3i對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)B（1，﹣3）∴|AB|＝＝5即復(fù)數(shù)﹣2+i和1﹣3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)間的距離等于5故選：C．3．在我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，九日二馬相逢，則長(zhǎng)安至齊（）A．1120里 B．2250里 C．3375里 D．1125里解：由題意知，良馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為{an}，其中a1＝103，d＝13；駑馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為{bn}，其中b1＝97，d＝﹣0.5；設(shè)長(zhǎng)安至齊為x里，則a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm＝103×9++97×9+＝2x，解得x＝1125．故選：D．4．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去巴城老街、千燈古鎮(zhèn)、周莊游玩，每人只能去一個(gè)地方，周莊一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為（）A．60 B．65 C．70 D．75解：根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去巴城老街、千燈古鎮(zhèn)、周莊游玩，且每人只能去一個(gè)地方，則每人有3種選擇，則4人一共有3×3×3×3＝81種情況，若周莊沒(méi)人去，即四位同學(xué)選擇了巴城老街、千燈古鎮(zhèn)，每人有2種選擇方法，則4人一共有2×2×2×2＝16種情況，故周莊一定要有人去有81﹣16＝65種情況，故選：B．5．已知A，B是圓O：x2+y2＝1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，|AB|＝，，M為線段AB的中點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．解：由題意得|OA|＝1，|OB|＝1，，由余弦定理得cos＜＞＝＝﹣，?cos＜＞＝﹣，＝＝（）＝．故選：A．6．雷達(dá)是利用電磁波探測(cè)目標(biāo)的電子設(shè)備．電磁波在大氣中大致沿直線傳播．受地球表面曲率的影響，雷達(dá)所能發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的最大直視距離L＝+＝+（如圖），其中h1為雷達(dá)天線架設(shè)高度，h2為探測(cè)目標(biāo)高度，R為地球半徑．考慮到電磁波的彎曲、折射等因素，R等效取8490km，故R遠(yuǎn)大于h1，h2.假設(shè)某探測(cè)目標(biāo)高度為25m，為保護(hù)航母的安全，須在直視距離390km外探測(cè)到目標(biāo)，并發(fā)出預(yù)警，則艦載預(yù)警機(jī)的巡航高度至少約為（）（參考數(shù)據(jù)：A．6400m B．7200m C．8100m D．10000m解：根據(jù)題意可知，L＝390km，R＝8490km，h2km，因?yàn)長(zhǎng)＝+＝+，所以，解得h1≈km＝8100m．故選：C．7．下列圖象中可以作為函數(shù)f（x）＝部分圖象的是（）A．A B． C． D．解：根據(jù)題意，f（x）＝，f（﹣x）＝（﹣1）cos（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，排除AC；在區(qū)間（0，）上，1+ex＞1，﹣1＜0，cosx＞0，則有f（x）＜0，排除D，故選：B．8．已知函數(shù)f（x）＝ekx﹣2+1，（k≠0），函數(shù)g（x）＝xlnx，若kf（x）≥2g（x），對(duì)?x∈（0，+∞）恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A．[1，+∞） B．[e，+∞） C． D．解：kf（x）≥2g（x），對(duì)?x∈（0，+∞）恒成立，即kekx﹣+k≥2xlnx，化為：kxekx+kx≥x2lnx2+lnx2，令h（t）＝tlnt+lnt，t∈（0，+∞），∴h′（t）＝1+lnt+＝u（t），u′（t）＝﹣＝，可得t＝1時(shí)，函數(shù)u（t）取得極小值即最小值，u（1）＝2＞0，∴h′（t）＞0恒成立，∴函數(shù)h（t）在t∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，而h（ekx）≥h（x2），∴ekx≥x2，∴kx≥2lnx，即k≥，令v（x）＝，x∈（0，+∞），∴v′（x）＝，可得x＝e時(shí)，函數(shù)v（x）取得極大值即最大值．∴k≥．故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．新高三高考方案規(guī)定，普通高中學(xué)業(yè)水平考試分為合格性考試（合格考）和選擇性考試（選擇考），其中“選擇考”成績(jī)將計(jì)入高三高考總成績(jī)，即將學(xué)生考試時(shí)的原始卷面分?jǐn)?shù)由高到低進(jìn)行排序，評(píng)定為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí)，再轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)計(jì)入高三高考總成績(jī)．某試點(diǎn)高中2020年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)是2018年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)的2倍，為了更好地分析該校學(xué)生“選擇考”的水平情況，統(tǒng)計(jì)了該校2018年和2020年“選擇考”成績(jī)等級(jí)結(jié)果，得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖．針對(duì)該?！斑x擇考”情況，2020年與2018年比較，下列說(shuō)法正確的是（）A．獲得A等級(jí)的人數(shù)增加了 B．獲得B C．獲得D等級(jí)的人數(shù)減少了一半 D．獲得E等級(jí)的人數(shù)相同解：設(shè)2018參加“選擇考”總?cè)藬?shù)為a，則2020年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)為2a，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2018年獲得Aa，2020年獲得Aa，故A正確；2018年獲得Ba，2020年獲得Ba，獲得B等級(jí)的人數(shù)增加了＝1.5倍，故B正確；2018年獲得Da，2020年獲得Da，獲得D等級(jí)的人數(shù)增加了一半，故C錯(cuò)誤；2018年獲得Ea，2020年獲得Ea，獲得E等級(jí)的人數(shù)為原來(lái)的2倍，故D錯(cuò)誤．故選：AB．10．△ABC中，D為邊AC上的一點(diǎn)，且滿足，若P為邊BD上的一點(diǎn)，且滿足（m＞0，n＞0），則下列結(jié)論正確的是（）A．m+2n＝1 B．mn的最大值為 C．的最小值為6+4 D．m2+9n2的最小值為解：因?yàn)?，所以，所以＝m+3n，因?yàn)锽、P、D三點(diǎn)共線，所以m+3n＝1，故A錯(cuò)誤；則3mn≤＝，則mn≤，即mn最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)m＝3n，即m＝，n＝時(shí)取等號(hào)，故B正確；＝（）（m+3n）＝++7≥4+7，當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4+7，故C錯(cuò)誤；m2+9n2＝（m+3n）2﹣6mn＝1﹣6mn≥1﹣6×＝，當(dāng)且僅當(dāng)m＝，n＝時(shí)取等號(hào)，所以m2+9n2的最小值為，故D正確．故選：BD．11．已知函數(shù)f（x）＝|cosx|﹣|sin|x||，下列說(shuō)法正確的是（）A．f（x）是偶函數(shù) B．f（x）是周期為π的函數(shù) C．f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．f（x）的最大值為解：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝|cosx|﹣|sin|x||＝|cosx|﹣|sinx|，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝|cosx|﹣|sin|x||＝|cosx|﹣|sin（﹣x）|＝|cosx|﹣|sinx|，所以，f（x）＝|cosx|﹣|sinx|，對(duì)于A，因?yàn)閒（﹣x）＝|cos（﹣x）|﹣|sin（﹣x）|＝|cosx|﹣|sinx|＝f（x），所以f（x）是偶函數(shù)，所以A對(duì)；對(duì)于B，因?yàn)閒（x+π）＝|cos（x+π）|﹣|sin（x+π）|＝|cosx|﹣|sinx|＝f（x），所以f（x）是周期為π的函數(shù)，所以B對(duì)；對(duì)于C，由B知，只須考慮f（x）在（0，）上的單調(diào)性，在（0，）上，f（x）＝|cosx|﹣|sinx|＝cosx﹣sinx，cosx與﹣sinx，在（0，）上單調(diào)遞減，所以f（x）在（0，）上的單調(diào)遞減，于是f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以C對(duì)；對(duì)于D，只須在[﹣，]上考慮f（x）最大值問(wèn)題，在[﹣，0]上，f（x）＝|cosx|﹣|sinx|＝cosx+sinx，單調(diào)遞增，在[0，]上，f（x）＝|cosx|﹣|sinx|＝cosx﹣sinx，單調(diào)遞減，所以在[﹣，]上，f（x）的最大值為f（0）＝1≠，所以D錯(cuò)．故選：ABC．12．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，M為DD1的中點(diǎn)，N為ABCD所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，N1為A1B1C1D1所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，且NN1⊥平面ABCD，則下列命題正確的是（）A．若MN與平面ABCD所成的角為，則點(diǎn)N的軌跡為圓 B．若三棱柱NAD﹣N1A1D1的表面積為定值，則點(diǎn)N的軌跡為橢圓 C．若點(diǎn)N到直線BB1與直線DC的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡為拋物線 D．若D1N與AB所成的角為，則點(diǎn)N的軌跡為雙曲線解：對(duì)于A，因?yàn)镸N與平面ABCD所成的角為，所以DN＝MD＝2，所以點(diǎn)N的軌跡為圓，所以A對(duì)；對(duì)于B，因?yàn)楫?dāng)三棱柱NAD﹣N1A1D1的側(cè)面積為定值時(shí)，點(diǎn)N的軌跡為橢圓，表面積比側(cè)面積增加了上下底面，而底面積是變化的，所以B錯(cuò)；對(duì)于C，因?yàn)辄c(diǎn)N到直線BB1與NB相等，所以點(diǎn)N的軌跡為點(diǎn)N到點(diǎn)B與直線DC的距離相等的軌跡，即拋物線，所以C對(duì)；對(duì)于D，因?yàn)锳B∥CD、CD∥C1D1，所以AB∥C1D1，于是滿足條件的D1N運(yùn)動(dòng)成圓錐面，其與平面ABCD的交線為雙曲線，所以D對(duì)．故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．在產(chǎn)品質(zhì)量檢測(cè)中，已知某產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)X～N（100，102），且110＜X＜120的產(chǎn)品數(shù)量為5436件．請(qǐng)估計(jì)該批次檢測(cè)的產(chǎn)品數(shù)量是40000件．參考數(shù)據(jù)：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ解：設(shè)該批次檢測(cè)的產(chǎn)品數(shù)量是n，由X～N（100，102），得μ＝100，σ＝10，所以P（110＜X＜120）＝P（μ+σ＜X＜μ+2σ）＝×[P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）]＝×﹣0.6826）＝0.1359＝，解得：n＝40000（件）．故答案為：40000．14．已知函數(shù)f（x）滿足f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（2+x），則符合題意的一個(gè)f（x）的解析式可以為f（x）＝0．解：∵函數(shù)f（x）滿足f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（2+x），故f（x）關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)（2，0）對(duì)稱，則符合題意的一個(gè)f（x）的解析式可以是f（x）＝0，故答案為：f（x）＝0．15．在四面體ABCD中，AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1，則四面體ABCD的外接球的體積為2π．解：設(shè)AB的中點(diǎn)為O，連接OD，OC，如圖，∵在四面體ABCD中，AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1，∴AD2+BD2＝AB2，AC2+BC2＝AB2，即△ABC與△ABD均為直角三角形，故OA＝OB＝OC＝OD，即O為外接球球心，OA＝R＝；∴四面體ABCD的外接球的表面積為4πR2＝2π．故答案為：2π．16．已知雙曲線C：＝1（b＞0），若在直線l：x+y+2＝0上存在點(diǎn)P滿足：過(guò)點(diǎn)P能向雙曲線C引兩條互相垂直的切線，則雙曲線C的離心率取值范圍是（1，]．解：設(shè)過(guò)P點(diǎn)（m，n）且與雙曲線相切的直線方程為y＝k（x﹣m）+n，n＝﹣m﹣2，由，可得b2x2﹣4[k2（x2﹣2mx+m2）+n2+2kn（x﹣m）]＝4b2，即為（b2﹣4k2）x2+（8k2m﹣8kn）x﹣4k2m2﹣4n2+8kmn﹣4b2＝0，△＝64（k2m﹣kn）2+4（b2﹣4k2）（4k2m2+4n2﹣8kmn+4b2）＝0，化簡(jiǎn)可得（b2m2﹣4b2）k2﹣2b2mnk+b2n2+b4＝0，即（m2﹣4）k2﹣2mnk+n2+b2＝0，兩根設(shè)為k1，k2，k1k2＝＝﹣1，即為（m+2）2+b2＝4﹣m2，即為m2+4m+4+b2＝4﹣m2，2m2+4m+b2＝0看做關(guān)于m的方程，△＝16﹣8b2≥0，可得0≤b2≤2，所以雙曲線的離心率e＝∈（1，]．故答案為：（1，]．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．在①（a+b）（a﹣b）＝（a﹣c）c，②2a﹣c＝2bcosC，③三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題．在ΔABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足____，．（1）若a+c＝4，求ΔABC的面積；（2）求a+c的取值范圍．解：當(dāng)選條件①時(shí)：由（a+b）（a﹣b）＝（a﹣c）c?a2+c2﹣b2＝ac，∴cosB＝＝，∵B∈（0，π），∴B＝，當(dāng)選條件②時(shí)：由2a﹣c＝2bcosC?2sinA﹣sinC＝2sinBcosC，即2sin（B+C）﹣2sinBcosC＝sinC，整理得：2cosBsinC＝sinC，∵sinC＞0，∴cosB＝，又B∈（0，π），∴B＝，當(dāng)選條件③時(shí)：由?（sinA﹣sinBcosC）＝sinCsinB，即[sin（B+C）﹣sinBcosC]＝sinCsinB，整理得：cosBsinC＝sinCsinB，∵sinC＞0，∴cosB＝sinB，∴tanB＝，∵B∈（0，π），∴B＝，（1）由所選條件可知：B＝，又b＝2，a+c＝4，由余弦定理可得：b2＝12＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣3ac＝16﹣3ac，解得：ac＝，∴S△ABC＝acsinB＝××＝；（2）由b＝2，B＝，可得：b2＝12＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac，即（a+c）2﹣12＝3ac≤3×（）2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取“＝“，整理可得：（a+c）2≤48，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取“＝“，∴a+c≤4，又a+c＞b＝2，∴a+c的取值范圍為（2，4]．18．設(shè){an}是等比數(shù)列，公比大于0，{bn}是等差數(shù)列，（n∈N*）．已知a1＝1，a3＝a2+2，a4＝b3+b5，a5＝b4+2b6．（1）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)數(shù)列{cn}滿足c1＝c2＝1，cn＝，其中k∈N*，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）由題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q（q＞0），則a2＝q，a3＝q2，由a3＝a2+2，即為q2﹣q﹣2＝0，解得q＝﹣1（舍去），或q＝2，所以an＝2n﹣1，n∈N*，設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，由a4＝b3+bs，可得b1+3d＝4，由a5＝b4+2b6，可得3b1+13d＝16，解得b1＝d＝1，所以bn＝n，n∈N*；（2）由（1）可知c1＝c2＝1，cn＝＝，所以b（c﹣1）＝b（an﹣1）＝3n（2n﹣1﹣1）＝3×6n﹣1﹣3n，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為3（1+6+36+…+6n﹣1）﹣（3+9+…+3n）＝3×﹣＝﹣+．19．如圖，三棱錐S﹣ABC的底面ABC和側(cè)面SBC都是等邊三角形，且平面SBC⊥平面ABC．（Ⅰ）若P點(diǎn)是線段SA的中點(diǎn)，求證：SA⊥平面PBC；（Ⅱ）點(diǎn)Q在線段出上且滿足AQ＝，求BQ與平面SAC所成角的正弦值．解：（1）證明：∵△ABC和△SBC都是等邊三角形，且有公共邊BC，∴AB＝SB＝AC＝SC，∵P是SA的中點(diǎn)，∴SA⊥BP，SA⊥CP，∵BP∩CP＝P，∴SA⊥平面PBC．（2）取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)OA，OS，由條件得OA，BC，OS兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AB＝2，則AO＝OS＝，則A（，0，0），B（0，1，0），C（0，﹣1，0），S（0，0，），Q（，0，），∴＝（，1，0），＝（），＝（，﹣1，），設(shè)平面SAC的一個(gè)法向量為＝（x，y，z），則，令x＝1，得＝（1，﹣，1），設(shè)BQ與平面SAC所成角為θ，則BQ與平面SAC所成角的正弦值為：sinθ＝＝＝．20．在新的高三高考改革形式下，江蘇、遼寧、廣東、河北、湖南、湖北、福建、重慶八個(gè)省市在2021年首次實(shí)施“3+1+2”模式新高三高考．為了適應(yīng)新高三高考模式，在2021年1月23日至1月25日進(jìn)行了“八省聯(lián)考”，考完后，網(wǎng)上流傳很多種對(duì)各地考生考試成績(jī)的評(píng)價(jià)，對(duì)12種組合的選擇也產(chǎn)生不同的質(zhì)疑．為此，某校隨機(jī)抽一名考生小明（語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、政治、生物的組合）在高一選科前某兩次六科對(duì)應(yīng)成績(jī)進(jìn)行分析，借此成績(jī)進(jìn)行相應(yīng)的推斷．表1是小明同學(xué)高一選科前兩次測(cè)試成績(jī)（滿分100分）：表1語(yǔ)文數(shù)學(xué)英語(yǔ)物理政治生物第一次879291928593第二次829495889487（1）從小明同學(xué)第一次測(cè)試的科目中隨機(jī)抽取1科，求該科成績(jī)大于90分的概率；（2）從小明同學(xué)第一次測(cè)試和第二次測(cè)試的科目中各隨機(jī)抽取1科，記X為抽取的2科中成績(jī)大于90分的科目數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；（3）現(xiàn)有另一名同學(xué)兩次測(cè)試成績(jī)（滿分100分）及相關(guān)統(tǒng)計(jì)信息如表2所示：表2語(yǔ)文數(shù)學(xué)英語(yǔ)物理政治生物6科成績(jī)均值6科成績(jī)方差第一次a1a2a3a4a5a6x1D1第二次b1b2b43b4b5b6x2D2將每科兩次測(cè)試成績(jī)的均值作為該科的總評(píng)成績(jī)，這6科總評(píng)成績(jī)的方差為D3．有一種觀點(diǎn)認(rèn)為：若x1＝x2，D1＜D2，能推出D1≤D3≤D2.則有理由認(rèn)為“八省聯(lián)考”考生成績(jī)與選科有關(guān)，否則沒(méi)有理由否定12種選科模式的不合理性，即新高三高考模式12種選科模式是可取的．假設(shè)這種觀點(diǎn)是正確的，通過(guò)表2內(nèi)容，你認(rèn)為新高三高考模式12種組合選科模式是否可取？解：（1）共有6科成績(jī)，其中成績(jī)大于90分的有數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理和生物共4科，所以從小明同學(xué)第一次測(cè)試的科目中隨機(jī)抽取1科，求該科成績(jī)大于90分的概率為＝；（2）X的所有可能取值為0，1，2，所以P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列為：X012P故E（X）＝0×+1×+2×＝；（3）設(shè)x1＝x2＝x，則a1+a2+…+a6＝b1+b2+…+b6＝6x，則6D1＝（a1﹣x）2+（a2﹣x）2+…+（a6﹣x）2＝a12+a22+…+a62﹣2（a1+a2+…+a6）x+6x2＝a12+a22+…+a62﹣6x2，同理可得，6D2＝b12+b22+…+b62﹣6x2，6D3＝，因?yàn)镈1＜D2，所以a12+a22+…+a62＜b12+b22+…+b62，所以6D3﹣6D1＝﹣（a12+a22+…+a62﹣6x2）＝的符號(hào)不確定，所以D3與D1無(wú)法比較大小，6D3﹣6D1＝﹣（b12+b22+…+b62﹣6x2）＜（b12+b22+…+b62）＝＜0，故D3＜D2，故這種觀點(diǎn)不正確．21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，P為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)．點(diǎn)Q在橢圓上，且FQ⊥FP．（1）若橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為．①求橢圓的方程；②若直線OQ，PQ的斜率分別為k1，k2，求k1?k2的值．（2）若在x軸上方存在P，Q兩點(diǎn)，使O，F(xiàn)