2023河北版數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)題

2023河北版數(shù)學(xué)中考

§5.5特殊的平行四邊形

五年中考

考點(diǎn)1菱形的性質(zhì)與判定（10年4考）

1.（2019河北,5,3分）如圖，菱形ABCD中,/。=150。,則Nl=

A.30°B.25°C.20°D.150

解析四邊形ABCD是菱形，

，NO+N8AD=180°MC平分NBA。，

'：ZD=l50°l：.ZBAD=30°l

故選D.

2.（2017河北,9,3分）求證:菱形的兩條對(duì)角線互相垂直.

已知:如圖,四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AG8Z）交于點(diǎn)O

求證:AC_L8D.

以下是排亂的證明過(guò)程:

①又BO=DO,

②...AO,BO,即ACLBD.

③?.?四邊形ABCD是菱形,

@：.AB=AD.

證明步驟正確的順序是)

A.③一②一①一④B.③一④一①一②

C.①—②T④—③D.①T④—③T②

解析證明:?.,四邊形A8CD是菱形,.?.A8=AQ

又即ACLBD.

所以證明步驟正確的順序是③一④一①一②，故選B.

考點(diǎn)2矩形的性質(zhì)與判定（10年5考）

1.（2016河北,6,3分）關(guān)于的敘述，正確的是（C）

A.若A8_LBG則OA3C。是菱形

B.若ACLBD^ABCD是正方形

C.若AC=BD,^ABCD是矩形

D.若則是正方形

解析若ABLBC.'^ABCD是矩形，不是菱形，選項(xiàng)A不正確；

若則QA3CD是菱形，不一定是正方形，選項(xiàng)B不正確；

若AC=8。則是矩形，選項(xiàng)C正確；

若AB=A。則口ABCO是菱形，不一定是正方形，選項(xiàng)D不正確.

思路分析由菱形、矩形、正方形的判定方法得出選項(xiàng)A、B、D錯(cuò)誤,C正確.

解題關(guān)鍵本題考查特殊平行四邊形的判定方法，熟練掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是

解題的關(guān)鍵.

2.（2013河北,12,3分）已知:線段A&BGNA8O90。.求作:矩形ABCD以下是甲、乙兩同學(xué)的作

業(yè)：

甲:1.以點(diǎn)C為圓心,長(zhǎng)為半徑閩??；'--------='—~~

2.以點(diǎn)4為圓心,8c長(zhǎng)為半徑畫??；'

3.兩弧在比上方交于點(diǎn)。，連接4）,

C/）,四邊形48C"即為所求.BC

<y

0：1.連接北，作線段4C的垂直

平分線，交/1C于點(diǎn)帳4

2.連接8M并延長(zhǎng)，在延長(zhǎng)線

上取一點(diǎn)。，使連B

接40,3四邊形/18切

即為所求.J

對(duì)于兩人的作業(yè)，下列說(shuō)法正確的是(A)

A.兩人都對(duì)B.兩人都不對(duì)

C.甲對(duì),乙不對(duì)D.甲不對(duì)，乙對(duì)

解析由甲的作法可知AD=BC,AB=CD,

，四邊形ABCD為平行四邊形.

,/ZABC=90°,

四邊形ABC。為矩形，甲的作業(yè)正確.

由乙的作法可知AM=CM,

又：NABC=90。,

：.MB=AM=CM.

：.AM=MB=CM=MD,

：.四邊形ABCD為矩形，乙的作業(yè)正確.故選A.

考點(diǎn)3正方形的性質(zhì)與判定（10年6考）

1.（2015河北,16,2分）如圖是甲、乙兩張不同的矩形紙片,將它們分別沿著虛線剪開后，各自要拼

一個(gè)與原來(lái)面積相等的正方形，則（A）

甲

22—4^1一

A.甲、乙都可以

B.甲、乙都不可以

C.甲不可以,乙可以

D.甲可以，乙不可以

解析將甲紙片拼成如圖1所示的正方形，其面積與原來(lái)矩形的面積相等，將乙紙片拼成如圖2

所示的正方形，其面積與原來(lái)矩形的面積相等，故選A.

2.（2014河北,8,3分）如圖,將長(zhǎng)為2、寬為1的矩形紙片分割成n個(gè)三角形后，拼成面積為2的正

解析若〃=2,則只能沿矩形的對(duì)角線剪開，這樣每個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為1,2,%,顯然不能拼

成面積為2的正方形，故選A.

三年模擬

53基礎(chǔ)練

一'選擇題（每小題3分，共21分）

1.（2022安徽，整）兩個(gè)矩形的位置如圖所示，若Nl=a，則N2=（C）

A.a-90°B.ct-45°C.180°-aD.270°-a

解析如圖「.?N3+N4=90°,N2+N4=90。,

AZ2=Z3.

VZ1+Z3=18O°,

.*.Z3=180°-Zl=180°-a,

即N2=180°-a故選C.

2.（2021廣西玉林，鎮(zhèn)）一個(gè)四邊形順次添加下列條件中的三個(gè)條件便得到正方形:

a.兩組對(duì)邊分別相等.

A一組對(duì)邊平行且相等.

c.一組鄰邊相等.

d一個(gè)角是直角.

順次添加的條件:①a—c—d；②b—d—c；③a—0—c.則正確的是(C)

添加條件

四邊形正方形

A.僅①B.僅③C.①②D.②③

解析①由。得到兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，再由c得到一組鄰邊相等的平行

四邊形是菱形，再由4得到有一個(gè)角是直角的菱形是正方形，故①正確；

②由8得到一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，再由d得到有一個(gè)角是直角的平行四

邊形是矩形，再由c得到一組鄰邊相等的矩形是正方形，故②正確;

③由。得到兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，再由。得到一組對(duì)邊平行且相等的平行

四邊形仍是平行四邊形，再由C得到一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，不能得到四邊形是正方

形，故③不正確.故選C.

3.（2022邯鄲一模，播）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)O是ABCD的內(nèi)心，連接BO并延長(zhǎng)交CD于

E點(diǎn)，則NBFC的度數(shù)是(C)

A.45°B.60°

解析在正方形ABCD中,NDBC=45。,..?點(diǎn)O是△8CO的內(nèi)心,

是NQBC的平分線,

二ZFBC=22.5°,

，ZBFC=90°-22.5o=67.5°.

故選C.

4.（2022邯鄲一模，婚）已知:如圖,在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線CA平分NBCD

求證:四邊形A8CO是菱形.

證明:???四邊形ABCD是平行四邊形,AD//BC,

,ZDAC=ZBCA.

,對(duì)角線CA平分NBC。,；.ZBCA=ZDCA,

：.ZDAC=ZDCA,：.四邊形ABCD是菱形.

AK__________,D

為了使推理更加嚴(yán)謹(jǐn)，在ND4c=NOC4”和四邊形ABCD是菱形”之間添加補(bǔ)充,下列說(shuō)

法正確的是(C)

A.已經(jīng)很嚴(yán)謹(jǐn)，不用補(bǔ)充

B.應(yīng)補(bǔ)充“，AC平分NBA。"

C.應(yīng)補(bǔ)充“，。心。?！?/p>

D.應(yīng)補(bǔ)充

解析?.?四邊形A8CQ是平行四邊形,8c

ZDAC=ZBCA.

?.?對(duì)角線CA平分NBC。

Z.ZBCA=ZDCA,

：.ZDAC=ZDCA,：,D4=Q。（等角對(duì)等邊），，四邊形ABCD是菱形.故選C.

5.（2022秦皇島海港一模，峭）如圖，點(diǎn)。為矩形ABCD的對(duì)稱中心,AABC,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿

AB向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)8停止，延長(zhǎng)EO交CD于點(diǎn)七則四邊形AECF形狀的變化情況依次

為(B)

A.平行四邊形-正方形一平行四邊形一矩形

B.平行四邊形一菱形T平行四邊形T矩形

C.平行四邊形一正方形一菱形一矩形

D.平行四邊形一菱形一正方形T矩形

解析因?yàn)辄c(diǎn)。為矩形ABCO的對(duì)稱中心，所以O(shè)A=OC,OE=OF,所以點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向

點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形AECF為平行四邊形，當(dāng)AE=EC時(shí),四邊形AECP為菱形，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)8重合

時(shí),四邊形AECF為矩形，不存在點(diǎn)E能使AE_LE。且AE=EC的情況.故選B.

6.（2022秦皇島山海關(guān)一模，整）如圖，菱形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,若N

ADC=120。,。0=2,則菱形的周長(zhǎng)為(B)

A.8B.16C.12D.12V3

解析?.?菱形A8CD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)QNAOC=120。,

:.AC1BD,ZDCB=60°,AD=AB=BC=CD,

：,ZACD=ZBCA=^DCB^,

在RS。。。中,OO=2,，CO=2OQ=2x2=4,

...菱形A8CD的周長(zhǎng)為4x4=16,故選B.

7.（2022重慶A卷,飾）如圖，在正方形ABC。中,AE平分NBAC交8C于點(diǎn)E點(diǎn)/是邊AB上一

點(diǎn)，連接DF,若3E=AF,則NCQF的度數(shù)為C)

A.45°B.60°

解析?.?四邊形ABC。是正方形,

/.AD=AB,ZDAF=ZB=ZADC=90°,ZBAC=45°.

?..AE平分NBAC,

1

：.ZBAE=-ZBAC=22,5°.

2

在△OAF和aABE中,

DA=AB,

Z.DAF=乙B,

.AF=BE,

.?.△D4之△ABE(SAS),

NADF=NBAE=22.5。,

，故選C.

二'填空題（共3分）

8.（2021浙江紹興，播）圖1是一種矩形時(shí)鐘，圖2是時(shí)鐘示意圖，時(shí)鐘上數(shù)字2的刻度在矩形

ABCD的對(duì)角線BD上，時(shí)鐘中心在矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O上.若AB=30cm,則BC長(zhǎng)為

為目_cm（結(jié)果保留根號(hào)）.

解析如圖，作OE±AD于點(diǎn)￡由題意得/￡。。=60。,「四邊形ABCD是矩形,

/.ZA=9Q°,AD=BC.

'：ZDEO=ZA=90°,

：.EO//AB,：.Z\=ZEOD=60°,

'.AD-AB?tan60°=30-\/3(cm),

二BC=30V3cm.

三'解答題（共16分）

9.（2022衡水景縣模擬，峭）如圖,已知在四邊形A3CO中/O〃BGAB=3G對(duì)角線交于點(diǎn)

。，且OA=OC,過(guò)點(diǎn)。作DELBC,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

⑴求證：。。=。8；

⑵求證:四邊形A8C。是菱形；

⑶若sinNCOE=/E=L求BD的長(zhǎng)度.

解析(1)證明:'.?AO〃8C,

：.ZOAD=ZOCB.

在“0。和ACOB中，

■:ZOAD=ZOCB,OA=OC,

ZAOD=ZCOB,

：.；.OD=OB.

(2)證明:由(1)知OD=OB.

*/OA=OC,四邊形ABCD是平行四邊形.

又?:AB=BC,：.平行四邊形ABCD是菱形.

⑶：DELBC,：.ZCED=90°.

在RtADCE中,CE=l,sinNCOE=|^=CD=2,

由勾股定理得

由(2)知四邊形ABCD是菱形，

，BC=CD=2,

：.BE=BC+CE=3.

在RSBDE中，由勾股定理得BD=2y/3.

10.(2022邢臺(tái)信都一模，姨)如圖，已知A8=AC,C3平分NACD,CD=C4,E是8c上一點(diǎn)，連接AE,

連接0E并延長(zhǎng)交4?于F.

(1)求證:△AEC^^OEC；

⑵連接BD,求證:四邊形ABOC是菱形；

⑶若尸是AB的中點(diǎn)，赤=3,求AE的長(zhǎng).

A

BEC

I)

解析⑴證明:平分NACO,，ZACE=ZDCE,

又VCD=CA,CE=CE,

：.^AEC^^DEC.

(2)證明:AB=AC,CD=CA,

：.AB=CD,

"：AB=AC,：.ZABC=ZACB,

'：NACE=/DCE,

：.ZABC=ZDCE.：.AB//CD,

，四邊形ABDC是平行四邊形，

'：AB=AC,

，四邊形A3。。是菱形.

(3)AA￡C^AD￡C,：.AE=DE,F是AB的中點(diǎn)二CD=2BF,

'：AB//CD,：.△BFEsACDE,

：.-=—=-,-：EF=3,：.DE=6,：.AE=6.

DEDC2

53提分練

一、選擇題(每小題3分，共15分)

1.(2022滄州青縣二模，娟)問(wèn)題:如圖，矩形ABCD中,AB=4,C3=3,點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一點(diǎn).當(dāng)

△BCP為等腰三角形時(shí)，求AP的值.

甲:當(dāng)點(diǎn)尸為AC中點(diǎn)時(shí),△BCP為等腰三角形,AP=2.5.

乙:當(dāng)CP=3時(shí),△3CP是等腰三角形，，AP=2.則(D)

A.甲的結(jié)論正確

B.乙的結(jié)論正確

C.甲、乙的結(jié)論合起來(lái)正確

D.甲、乙的結(jié)論合起來(lái)也不正確

解析當(dāng)點(diǎn)尸為AC中點(diǎn)時(shí),：AB=4,CB=3,：.AC=5,"：ZABC=90°,：.PB=^AC=2.5=PC,：,△BCP

為等腰三角形，此時(shí)AP=2.5；

當(dāng)CP=3時(shí),CP=BC=3,，ABCP為等腰三角形，此時(shí)AP=2；

過(guò)點(diǎn)8作BELAC,垂足為E（圖略），在AE上截取P￡=CE,則BOPBABCP為等腰三角形，

?.CEBC.CE3.尸，尸9

.—=—,..—=一…CE=-,

BCAC355

CP=2x2=竺,；.AP=5?■竺=I故選D.

易錯(cuò)警示已知三角形BCP為等腰三角形，可以通過(guò)分類討論的思想分析問(wèn)題,甲的結(jié)論是以

BC為底考慮的,乙的結(jié)論是以P8為底考慮的,還有以PC為底的一種情況.

2.（2022浙江寧波，峭）將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖所示的方式不

重疊地放置在矩形ABCD內(nèi)，其中矩形紙片和正方形紙片的周長(zhǎng)相等.若知道圖中陰影部分的面

積,則一定能求出(C)

A.正方形紙片的面積

B.四邊形EFGH的面積

《△BEE的面積

DXAEH的面積

解析設(shè)矩形紙片的長(zhǎng)為為寬為“則其周長(zhǎng)為2a+2b,

?.?矩形紙片和正方形紙片的周長(zhǎng)相等，

，正方形紙片的邊長(zhǎng)為名詈=3。+。）.

/.EH=FG=a-g（a+b）=*a-b）,

EF=HG=^（a+b）-b=^（a-b）>.

：.EH=HG=FG=EF.

義?：NFGH=90。,

...四邊形EEG"是正方形，且邊長(zhǎng)為[（a-。）.

.,?5陰影=S正方將EFGH+SAEHA+SAEFB+SAFGC+SAGHD

2

二L（a一3]+1*3。?份?0+1??方+：?3"'）?|（6Z+^）-|（6/2-^2）*

<**S正方形紙片二倬（。+磯=2。）2,

S,邊彩EFG/7=[|（a—b）j=^a-h）2,

SA^EF=|?|（6z-/?）?翔+0）

W（"2-〃）W-如42）,

S^AEFF^,|（67-/?）,b=^ab-b2）,

?*?SKBE產(chǎn)二SM*,.

4

??.若知道題圖中陰影部分的面積，則S&BEF一定能求出來(lái)，

故選C.

解題關(guān)鍵先證明四邊形EFGH是正方形,將陰影部分的面積表示出來(lái)，再分別表示出選項(xiàng)中各

圖形的面積，就可以發(fā)現(xiàn)只有的面積和陰影部分的面積存在倍分關(guān)系，因此若知道題圖中

陰影部分的面積就一定能求出△BEE的面積.

3.（2022張家口一模，婚）如圖，在邊長(zhǎng)為28的菱形ABCD中,NBAD=60。,點(diǎn)E,F分別為折線

A8力GAO-DC上的點(diǎn)（不含菱形頂點(diǎn)）,AE=A￡8￡OE相交于點(diǎn)G,作射線AG甲、乙二人分別對(duì)

這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了研究：

甲:射線AG不一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)C；

乙:當(dāng)OE垂直于菱形的邊時(shí)，線段AG的長(zhǎng)可能為3.

下列判斷正確的為（B）

A.甲、乙都對(duì)B.甲、乙都錯(cuò)

C.甲對(duì)，乙錯(cuò)D.甲錯(cuò)，乙對(duì)

解析當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí),憶則/ABEG,則△AOGgZvWG,則ND4G=N

BAG,即AG平分NBA。,當(dāng)點(diǎn)E在8C上時(shí)，同理可得AG平分NBA。所以射線AG一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)

C,所以甲錯(cuò);當(dāng)DE±AB^,BF±AD,5!'JZGAE=ZGBE=30o,AE=BE=>/3,E4AG=2；當(dāng)DELBC

時(shí)，同理可得CG=2,而AC=6,此時(shí)AG=4,所以乙錯(cuò).

故選B.

解題關(guān)鍵熟練掌握菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2022石家莊模擬，播）如圖1所示,一個(gè)木板余料由一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形和一個(gè)邊長(zhǎng)為2的

正方形組成，甲、乙兩人打算采用剪拼的辦法，把余料拼成一個(gè)與它等積的正方形木板.

甲:如圖2,沿虛線剪開可以拼接成所需正方形，并求得AM=2.

乙:如圖3,沿虛線剪開可以拼接成所需正方形，并求得AM=|.

下列說(shuō)法正確的是(D)

48K4M88

圖1圖2

A.甲的分割方式不正確

B.甲的分割方式正確,AM的值求解不正確

C.乙的分割方式與所求AM的值都正確

D.乙的分割方式正確,AM的值求解不正確

解析如圖所示，若AM=2,則BM=6,將4M平移至^NDC,將AMBC平移至△FEN,

由此可得AM=DC=2,FA=ND=6,NE=BC=2,FE=MB=6,

：,DE=ND-NE=4（符合題意）,

，甲的分割方式正確的值也正確，選項(xiàng)A、選項(xiàng)B的說(shuō)法都是錯(cuò)誤的;

如圖所示，將△/EG平移至△N8”,連接G”,交AB于點(diǎn)M,將平移至AEDP,將APCB平移

至△MM7,

由此可得GA=ED=&2=4,AM=DP,MN=PC,NB=EF=6,

DP+PC+EF=2+6=S=AB,

：.當(dāng)FG=NH=BC=2時(shí),GA=EO=4（符合題意）,

,/NA=NHNM=90°,NAMG=NNMH,

：.AAMGsANMIi,

.AM_AG

??MN-NH1

黑=：,解得

2-AM23

乙的分割方式正確,AM的值求解不正確，選項(xiàng)C的說(shuō)法是錯(cuò)誤的，選項(xiàng)D的說(shuō)法是正確的，故

選D.

思路分析根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，再逐個(gè)驗(yàn)證拼圖是否符合題意,再利用全等三角形的性質(zhì),

正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可.

5.（2022石家莊新華質(zhì)檢，婚）如圖，將一張矩形紙片ABCO（AO〉A(chǔ)B）折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)。重合，再

展開，折痕EF交對(duì)角線BD于點(diǎn)。，分別交BGA。邊于E,尸兩點(diǎn)，連接AE和CF.當(dāng)NCFD=2N

3AE時(shí),下列結(jié)論中:

①△AM是等邊三角形;②四邊形AECF是菱形;③AB=8O；④⑤射線CF是的

三等分線.正確的有.個(gè)C）

A.2B.3C.4

解析?.?將一張矩形紙片ABCO（A0〉A(chǔ)B）折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,

：.AF=CF,AE=CE,ZAFE=ZCFE,ZAEF=ZCEF,

,JAD//BC,：.NAFE=NCEF=NAEF=NCFE,：.AE=AF=CF=CE,

，四邊形AECT為菱形，②正確;

四邊形AECF為菱形,CF,：.ZFAE=ZDFC,

ZBAE+NEAF=90°,ZCFD=2ZBAE,

：.NBAE+2/BAE=90。,

：.ZBAE=30°,ZEAF=6Q°,：.AAEF為等邊三角形，①正確；

四邊形AECF為菱形,，NECF=NEAF=60。,

又?.?四邊形ABCD為矩形,.?./8?！?gt;=90°,，/。。/?=30°=土/8。。,，射線CF遷/BCD的三等

分線，⑤正確；

連接AC,；四邊形AECF為菱形,，AC平分/必E,

1

，ZEAO=ZFAO^ZEAF=30°,AZBAO=ZBAE+ZEA(9=30°+30°=60°,

四邊形ABCD為矩形,?.OA=OB,：./\ABO為等邊三角形,，AB=8。,③正確；

四邊形ABCD為矩形，，AC^BD,"：四邊形AECF為菱形，，AC±EF.'：Z必0=30°,

OA=^3OF,：.BD=V3EF,@不正確.

正確的個(gè)數(shù)為4.故選C.

二'填空題(每小題3分，共9分)

6.(2022滄州青縣一模,我曾在平面內(nèi)有一個(gè)正方形，邊長(zhǎng)為4,中心為O,在正方形內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)

尸,0尸=1,設(shè)點(diǎn)P到正方形上的點(diǎn)的距離為d.

⑴當(dāng)AABP的面積最小時(shí)”的最大值為_舊_；

(2)4的最大值為2近+1.

解析⑴由題意知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)。為圓心,OP的長(zhǎng)為半徑的圓,

過(guò)點(diǎn)。作0ELA8于E,當(dāng)點(diǎn)P在線段0E上時(shí),ZVlBP的面積最小，此時(shí)點(diǎn)P到C點(diǎn)或。點(diǎn)的

距離最大,

連接PC,過(guò)點(diǎn)P作PFLBC于點(diǎn)七反向延長(zhǎng)?！杲籆D于G,

易知四邊形PFCG為矩形，PF=^4=2,CF=PG=^4+1=3,

所以PC=?PF2+CF2=V22+32=V13.

⑵根據(jù)題意，點(diǎn)0為正方形中心，故點(diǎn)。到正方形上四個(gè)頂點(diǎn)的距離最大，連接AC.OP、PC,

在△OPC中,PC<OP+OC,

故當(dāng)P、0、。三點(diǎn)共線時(shí)（如圖2中尸位置），點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離達(dá)到最大，

過(guò)點(diǎn)。作OHCD于點(diǎn)K,易知CK=OK=：x4=2,

因?yàn)锳O=CO=4,所以AC=4a,所以O(shè)C=2近.

則P'C=OP'+OC=2y/2+l,

即點(diǎn)P到正方形上所有點(diǎn)距離的最大值為2或+1.

7.（2022天津，始）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,ZDAB=60°,E為AB的中點(diǎn)產(chǎn)為CE的中

點(diǎn),A尸與DE相交于點(diǎn)G,則G尸的長(zhǎng)等于弓

I)c

解析取DE的中點(diǎn)“，連接HF.BD.

???尸是CE的中點(diǎn),

：.HF=\CD^HF//CD.

在菱形ABCD中，有AB〃CD,AB=AD,

J.HF//AB.

，NEAG=NHFG,NAEG=NFHG.

;E是A3的中點(diǎn)，

：

.AE^-2AB=\,'

：.AE=HF,

：.AAEG咨MHG.

：.AG=FG,GE=GH.

，：AB=AD,ZDAB=60°,

：.△ABO是等邊三角形.

E是A3的中點(diǎn),，DELAB,

.?.在RtAADE中，在E=AM￡)2-/E2=V3.

?:H是DE的中點(diǎn)、,GH=GE,

：.GE=-HE=-DE=—.

244

.?.在Rt^AEG中,AG=AME2+GE2=—,

4

8.（2022安徽,#）如圖,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊AD上,△BEE是以E為直角頂點(diǎn)的等

腰直角三角形,分別交CD于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)尸作AD的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G連接

。匕請(qǐng)完成下列問(wèn)題：

(1)ZFDG=45°；

⑵若OE=1,DF=2或，則MN=^_.

從:gDG

H(：

解析⑴在正方形ABC。中,N4=90°,AB=A。

在等腰R/BEF中,BE=EF,NBEF=90。,

AZ1+Z2=90°,Z2+Z3=90°,

/.Z1=Z3.

由題意知NG=90°=N4,

A,.,乂G

l{c

：.AABE名AGEF,

：.GE=AB,GF=AE.

\'AB=AD,：.GE=AD,

：.GE-ED=AD-ED,即AE=DG.

,：AE=GF,：.DG=GF.

：.NG。尸=45。.

⑵過(guò)點(diǎn)尸作FPLCD于點(diǎn)P,易證四邊形DGFP為正方粘.

DF=2&,DG=GF/G=92°,

:.DG=GF=2,：.PF=DP=2.

■:DE=\,

：.EG=DG+DE=3.

由（1）知AB=EG=3,：.BC=CD=3.

：.PC=CD-DP=l.

由AG//PF//BC可得AEDMsAFPMqPFNsACBN,

.DM_ED_1PN_PF_2

'"MP~PF-2'CN~BC~3

：.PM=2-DP=4t,PN=J2CP=-2

33’55z’

，MN=PM+PN=-+-=

3515

解題關(guān)鍵由ABM為等腰直角三角形,聯(lián)想到K型全等模型，作構(gòu)造X型相似模型,

利用相似比求邊長(zhǎng).

三'解答題（共26分）

9.（2022石家莊長(zhǎng)安質(zhì)檢，珀）如圖,在矩形ABCD中,4?=4d。=3,點(diǎn)E在射線CB上運(yùn)動(dòng)（可與點(diǎn)

C重合）QE的中點(diǎn)為G,將EG繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到再以EQE尸為一組鄰邊作矩形

DEFH.

（1）當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)尸到直線的距離為；

⑵當(dāng)點(diǎn)尸落在矩形ABCO的邊（或邊所在的直線）上時(shí)，求CE的長(zhǎng).

解析⑴過(guò)點(diǎn)F作FI人BC,丈延長(zhǎng)線于點(diǎn)/,則N/=90。,

H

：.ZEFI+ZFEI=90°,

?.?四邊形ABCD是矩形,.*.A8=CO=4,AO=8C=3,N8CD=90°,

,/點(diǎn)E是的中點(diǎn),/.CE=^BC=I，

：.DE=y/CD2+CE2=a+(|)=季

,/點(diǎn)是中點(diǎn),，；

GDEEG=2-DE=—4,.EF=—4,

在矩形DEFH^,ZDEF=90°,

，ZF￡/+ZDEC=90°,/.ZDEC=ZEFI,

'：ZDCE=ZI,：.ADEC^/XEFI,：.—=—,

...當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E到直線BC的距離為三.

4

(2)f殳EQx，則DE=2x,

當(dāng)點(diǎn)F在3。延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,CE=O；

當(dāng)點(diǎn)F在。。延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，

DF=y/EF2+DE2=yfx2+(2x)2=V5x,

\CF=DF-CD=V5x-4,

\cosZ￡FC=g=5

?y/5x-4_X

?Xy/Sx1

：x>0,

\A-V5,

\EF=^>,DF=5,CF=\,

\CE=yjEF2-CF2=2；

當(dāng)點(diǎn)F在AB延長(zhǎng)線上時(shí),如圖,