【2021步步高大一輪數(shù)學(xué)（新高考版）】綜合模擬卷一

綜合模擬卷一

（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.（2020?滄州調(diào)研）集合M={x|lgx>0},N={x*<4},則等于（）

A.（-2,0）B.[1,2）C.（1,2]D.（0,2]

答案C

解析因?yàn)镸={x|x>l},N={*-2WxW2},

所以MAN=（1,2].

1—2i

2.復(fù)數(shù)z=〒在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(1,2)D.(-1,-2)

答案B

._1~2i_i(l~2i)

解析*.'z=-：—=7Tj2=-2—i,

.二復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（一2,—1）.

3（2020?唐山段考）命題WI+d20”的否定是（）

A.VxeR,|x|+x4<0B.Vx￡R,|x|+fwo

C.3%oeR?|即|十/20D.3eR?|x（）|+xo<0

答案D

解析命題的否定為：|xo|+xo<O.

4.（2020?鄭州模擬）已知向量。與方的夾角為爭(zhēng)且悶=1,|2。一臼=小，則。|等于（）

A.小B.y/2C.1D成

答案C

解析,?,向量。與b的夾角為小且間=1,

!2a—bl=y/3,

；.|24—臼2=3,即4/-44力+〃=3,；.4—2|臼+步|2=3,二|例=1.

5.有5個(gè)空盒排成一排，要把紅、黃兩個(gè)球放入空盒中，要求一個(gè)空盒最多只能放入一個(gè)球,

并且每個(gè)球左右均有空盒，則不同的放入種數(shù)為（）

A.8B.2C.6D.4

答案B

解析很明顯兩個(gè)球只能放在第二個(gè)和第四個(gè)盒子，故不同的放入種數(shù)為A?=2.

6.（2020?株州模擬）已知雙曲線C：方一方=130,，>。）的右焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)軸長,

則此雙曲線的離心率為（）

ASB.A/3C.^5D當(dāng)

答案c

解析由題意可設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為F（c,0）,漸近線的方程為y=±!，

可得d=^-^==b=2a,

c—y]a2+h2=y[5a,

即離心率6=彳=木.

7.（2020?山東模擬）已知三棱錐S—A8C中，NSAB=NA8c=去SB=4,SC=2g,AB=

2,BC=6,則三棱錐S-ABC的體積是（）

A.4B.6C.4小D.6^3

答案C

解析由SB=4,AB=2,且NS4B芍得SA=2??；

又由AB=2,BC=6,且NA8C=m，得AC=2回.

jr

因?yàn)镾42+AC2=SC2,從而知NS4C=5，即SA_L4C,

又ABCAC=A,

所以SAJ_平面ABC.

又由于S（MBC=5X2X6=6,

從而VS-ABC=/SAABCS4=；X6X2方=4小.

8.（2020?長沙模擬）已知定義在R匕的函數(shù)?。┑膱D象關(guān)于y軸對(duì)稱，且當(dāng)xd[0,+8）時(shí)，

j{x}+xf'（x）>0,若a=0.76j（0.76）,Z>=（logo.76Mlogo.76）,。=63式6°-6）,則a,b,c的大小關(guān)

系是（）

A.c>a>bB.a>c>b

C.b>a>cD.a>b>c

答案A

解析因?yàn)槎x在R上的函數(shù)危）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以y=7（x）是定義在R上的偶函數(shù)，

所以y=玳x）是定義在R上的奇函數(shù)，

又因?yàn)閤G[0,+8）時(shí)，<=fix）+xf（x）>0,

所以），=敏外在[0,+8）上是增函數(shù)，

所以>=刈3是定義在R上的增函數(shù)，

因?yàn)閘ogo.76<0<0.76<l<6°-6,

所以b<a<c.

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的

得3分，有選錯(cuò)的得0分）

9.某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、

90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中一定正確的是（）

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980?1989年之間出生，80前指1979年及以前出生.

后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布圖

術(shù)

技90

營

運(yùn)39.6%

場(chǎng)

市

計(jì)

設(shè)

能

職

品

產(chǎn)

他

其

A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上

B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%

C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的人數(shù)90后比80前多

D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多

答案ABC

解析在A中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖得到互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后

占56%,故A正確；

在B中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖得

到：互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%,故B正確；

在C中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖得

到：互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的人數(shù)90后比80前多，故C正確；

在D中，由整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖得

到：互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后不一定比80后多，故D錯(cuò)誤.

10.已知尸2分別是雙曲線C：^-/=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上異于雙曲線頂

點(diǎn)的一點(diǎn)，且即「麗=0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.雙曲線C的漸近線方程為y=ir

B.以代巳為直徑的圓的方程為『+>2=1

C.Q到雙曲線的一條漸近線的距離為1

D.△PQB的面積為1

答案ACD

解析A中，由雙曲線x2—9=1，可得焦點(diǎn)在x軸上，a2—b2,a>0,〃>0,a是實(shí)半軸長，b

是虛半軸長，

，漸近線方程為

即y=±x,.'.A正確；

B中，f-y2=l,

可得左焦點(diǎn)E（一也，0）,右焦點(diǎn)6（淄，0）,

...以為直徑的圓的圓心是（0,0）,半徑為也，

；?圓的方程為*+）2=2,B不正確；

C中，F(xiàn)/f,0）到一條漸近線x-y=0的距離d=/匚：回，=1,，C正確；

AJ12+（-1）2

D中，函即2=3

設(shè)P（x,y）,即i=（一也—x,~y）,12=（巾一x,-y）,

?防2=（一也一x）?（也一萬）+（-y）2=0,

；.『+戶2,①

又尸在雙曲線上，.?.『一V=l（yW0）,②

由①②得，加=孚，

.-△尸"2=奶尸2|例=賢2gX坐=1,

D正確.

故選ACD.

11.如圖，正方體ABCD-AiBiGOi的棱長為a,以下結(jié)論正確的是（）

A.異面直線4。與A8所成的角為60。

B.直線4。與BCi垂直

C.直線AQ與平行

D.三棱錐A-AC。的體積為

答案ABD

解析如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系.

A中，a),D(0,0,0),A(a,0,0),B\(a,a,a).

/.A|D=(-—a),

—?

A2i=(0,a,a),

./,~y.亦、AiDAB\

..cos\A\D,AB\)=-------------

\^D\\ABt\

—a2

y{2a-y[2a

.,.異面直線AQ與A81所成的角為60。.

B中，Ci(0,a,a),B(a,a,0).

A\D-BC\={-afit—a>(—a,。，a)=a2—a2—0.

直線4。與BC\垂直.

C中，01(0,0,a).

A\D-BD］=(—a,0,—a)-(—a,—a,a)

=a2—a2=0,

直線AQ與BA垂直，不平行；

D中，三棱錐A-ACD的體積=VC—AAO

111

=3XV2a2-a=6a3-

綜上可知，只有C不正確.

故選ABD.

12.已知定義在R上的偶函數(shù)人x)滿足人x+4)=/(x)+./(2),且在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，下列

命題中正確的是()

A.函數(shù)?r)的一個(gè)周期為4

B.直線x=-4是函數(shù),/(x)圖象的-一條對(duì)稱軸

C.函數(shù)在［-6,—5)上單調(diào)遞增，在［-5,—4)上單調(diào)遞減

D.函數(shù)人》)在［0,100］內(nèi)有25個(gè)零點(diǎn)

答案ABD

解析?.?偶函數(shù)4X)滿足犬x+4)=?r)+大2),

.?.令x=—2得人-2+4)=共-2)+式2),

即｛2)=區(qū)2)+/(2),得犬2)=0,

則兀v+4)=/(x),即函數(shù),/U)是周期為4的周期函數(shù)，故A正確.

??了醫(yī))是偶函數(shù)，...圖象關(guān)于y軸，即圖象關(guān)于x=0對(duì)稱，函數(shù)的周期是4,

，x=-4是函數(shù),/(x)圖象的一條對(duì)稱軸，故B正確.

?.?函數(shù)在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，.?.在區(qū)間［—2,0］上是減函數(shù)，

則在區(qū)間［-6,—4］上是減函數(shù)，故C錯(cuò)誤，

?.避2)=0,...式-2)=0,

即函數(shù)在一個(gè)周期［0,4)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，

則函數(shù)凡r)在［0,100］內(nèi)有25個(gè)零點(diǎn)，故D正確,

故選ABD.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

則cos俘+2a)=

答案V7

兀1

解析已知sin|

3,

且年"j+俘+,=看

則cos俘+a)=sin《一a)=q,

故cos停+2a)=2cos2停+J—1=—*

14.在(/一/)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為,系數(shù)最大的項(xiàng)是.(本題第一空3

分，第二空2分)

答案7的19”

解析的展開式中第無+1項(xiàng)為

或+1=(2§(『)9"(一/)=C(一￡)918-3?,

常數(shù)項(xiàng)為r?=c8(—3}=毯，

第Z+1項(xiàng)的系數(shù)為要使系數(shù)最大，k顯然為偶數(shù)，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)4=2時(shí)，系數(shù)最

大,

即系數(shù)最大的項(xiàng)是

-）2

15.（2020.長春質(zhì)檢）已知橢圓與+號(hào)=1的右焦點(diǎn)尸是拋物線尸2度（p>0）的焦點(diǎn)，則過F

作傾斜角為60。的直線分別交拋物線于A,B（A在x軸上方）兩點(diǎn)，則耨=.

答案3

解析由橢圓3+9=1,可得右焦點(diǎn)為尸（1,0）,

所以§=1,解得p=2,

設(shè)A（xi,ji）,8（X2,”）,

由拋物線的定義可得

..,2P8P16

\AB\-Xi+x2+p-sin260o-3_3，

所以項(xiàng)+12=號(hào)，

n2J

又由X]X2=Z=1，可得由=3,X2=y

\AF]Xr23+1

所以'=3.

16.（2020?武漢模擬）三棱錐P-ABC中，物，底面ABC,%=2吸，底面△ABC中/8AC=

I，邊BC=2,則三棱錐外接球的體積等于

答案瞥

解析設(shè)G為△ABC外接圓圓心，。為三棱錐P—ABC外接球球心,

則OG_L平面ABC,

作OM±PA,垂足為M,

由正弦定理可知△ABC外接圓直徑2r=2AG=-^7=士=2啦,

sinZBAC.兀丫

sm4

：.AG=y/2.

?.?辦_1_平面ABC,OG_L平面ABC,

C.AP//OG,

又AG1.PA,

：.OM//AG,

四邊形OMAG為矩形，

：.OG=AM,

設(shè)OG=x,OP=OA=R,

在RtAOMP和RtAOG/1中,

由勾股定理可得■二》=R2,[x=也,

解得l/?=2.

三棱錐外接球的體積丫=4*/?3=等3?元.

四、解答題（本大題共6小題，共70分）

17.（10分）已知AABC同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè):

jr2

①A,；②cos8=一3③a=7；④6=3.

（1）請(qǐng)指出這三個(gè)條件，并說明理由；

（2）求AABC的面積.

解（1）Z\ABC同時(shí)滿足①@④.理由如下：

若△ABC同時(shí)滿足①②.

因?yàn)閏osB=—京一3，且Bd（0,71）,所以B>半

所以A+B>7t,與三角形內(nèi)角和為兀矛盾.

所以△ABC只能同時(shí)滿足③④.

因?yàn)椤懊?，所以A>B,故△48c不滿足②.

故△ABC滿足①（③④.

（2）由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA,

222

即7=3+C-2X3XCX1.

解得c=8或c=—5（舍）.

所以△ABC的面積S=1&csinA=6A/3.

18.（12分X2020?邢臺(tái)模擬）在公差為d的等差數(shù)列｛斯｝中,aid=6,ai』N,"GN,S.ai>d.

⑴求｛為｝的通項(xiàng)公式；

⑵若0,。4,03成等比數(shù)列，求數(shù)列E>1的前”項(xiàng)和

解（l）；4]d=6,a]WN,d￡N,且

〃i=6,

d=2,d=\.

當(dāng)。i=3時(shí),斯=2〃+1；

當(dāng)?shù)?6時(shí)，an=n+5.

(2)Vfli,。4,。13成等比數(shù)列，

=曷，

:.%=2n+1,

則斯斯+i12〃+3)’

故S尸騙…+*一肅

6〃+9,

19.(12分)(2020?山東九校聯(lián)考)已知四棱柱ABCD—AIBIGA的底面為菱形，A8=A4=2,

jr

ZBAD=yACHBD=O,A。J_平面A由。，48=4。.

(1)證明：SC〃平面ABD；

⑵求鈍二面角B-AAi-D的余弦值.

⑴證明連接4省交48于點(diǎn)Q,

易知。為ABi的中點(diǎn)，

：0為AC的中點(diǎn)，

.?.在△ABC中，OQHB\C,且OQ=；8C,

；OQu平面AiBD,81ctt平面4B￡),

；.BiC〃平面AtBD.

(2)解：AOJ_平面4BO,：.AOLA\O,

"：A\B=A\D且。為8。的中點(diǎn)，

：.A\OLBD,

,：AO,BOu平面ABC。且AOCBO=。，

，平面A8C￡),如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O-.z.

易得A(5,0,0),5(0,1,0),0(0,-1,0),4(0,0,1),

二筋尸(一書,0,1),矗=(一小，1,0),

設(shè)平面AiAB的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

A

n.LAA\,

則＜

?i±AB,

［一6x+z=0,

1—V3x+y=0,

令x=l,得y=z=，§,

小，?

同理可得平面AiA。的一個(gè)法向量為，”=(1,-y/3,小),

?/\mn1

??cos〈”?，?)一麗一亍

.?.鈍二面角B—AA|一。的余弦值為一去

20.(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系g中，橢圓，+5=1(。泌＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為4,B,

點(diǎn)3e)和S，，§e)都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點(diǎn)C是橢圓上異于左、右頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，線段8c的垂直平分線與直線BC,AC分別交

于點(diǎn)P,Q,求證：油質(zhì)為定值.

仕+箋一1

4十/T，

(1)解由題意知3?2結(jié)合。2=〃+，,

解得Q=2,b=/,0=1.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為3+9=1.

⑵證明由題意知4-2,0),8(2,0),0(0,0),

設(shè)C(xo,泗)，

聯(lián)立直線AC,PQ的方程，

解得心井嗡鐲，

所以仍質(zhì)=(2,0>(6,yQ-yP)^n.

21.(12分)已知函數(shù)y(x)=ar-lnx.

(1)求1Ax)的極值;

(2)若a=—1,g(x)=y(x)+e*,求證：g(x)>0.

(1)解了'(x)=〃一&x>0),

當(dāng)aWO時(shí)，f(x)<0恒成立，

則兀v)在(0,+8)上單調(diào)遞減，大?無極值；

當(dāng)”>0時(shí)，令/(x)>0,得x>!；

令f(x)<0,得0<r<^,

則式x)在(0,J)上單調(diào)遞減，在9，+8)上單調(diào)遞增,

凡r)有極小值為1+lna,無極大值.

(2)證明當(dāng)〃=—1時(shí)，g(x)=ex—Inx—x(x>0),

g'(x)=er-^-l,

令/z(x)=g'(x),則，(》=r+%*0,

所以/i(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

又#)=#-3<0,/i(l)=e—2>0,

所以3卬6(；,1),使得/i(M))=exo—9一1=0,

即ejft)=7"+1,

所以函數(shù)g(x)在(0,刈)上單調(diào)遞減，在(xo,+8)上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)g(x)的最小值為g(xo)=exo—In&一沏=1十1—In檢一沏，

又函數(shù)y=:+l—lnx—x在(；，1)上是單調(diào)減函數(shù)，

所以g(xo)>l+I—In1—I=1>0,

故g(x)>0.

22.(12分)為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過模擬兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每

位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為

該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.

⑴若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求：

①顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；

②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及均值；

⑵商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的

兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符

合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的

設(shè)計(jì)，并說明理由.

解(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X.

①依題意，得P(X=60)=詈斗

即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為g

②依題意，得X的所有可能取值為20,60.

1Cl1

產(chǎn)(X=60)=z，P(X=20)=W=/,

故X的分布列為

X2060

11

P