【2021中考數(shù)學(xué)】四邊形綜合：動點與相似（二）含答案

2021年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題《四邊形綜合：動點與相似》

1.定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的

圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形.

根據(jù)以上定義，解決下列問題：

(1)如圖1,正方形538中，E是8上的點，將△3CE繞3點旋轉(zhuǎn)，使與

A4重合，此時點E的對應(yīng)點斤在的延長線上，則四邊形B即9為“直等補”四邊

形，為什么？

(2)如圖2,已知四邊形力4。。是“直等補”四邊形，AB=BC=5,CD=1,AD>

AB,點3到直線力。的距離為3E.

①求BE的長；

②若以"分別是力A力。邊上的動點，求△MVC周長的最小值.

2.在長方形力38中，點E是力。的中點，將△48E沿3E折疊后得到對應(yīng)的△GBE,

將BG延長交直線于點F.

(1)如果點G在長方形448的內(nèi)部，連接即，如圖①所示.

①求證：GF=DF-,

②若。斤=多>。，AE>=8,求的長度.

(2)如果點G在長方形438的外部，如圖②所示，DF=mDC(m>l),請用含

1

m的代數(shù)式表示指的值.

3.已知：如圖，在四邊形和R3E3尸中，ABIICD,CD>AB,點。在E3上,

2ABe=ZEBF=9Q°,AB=BE=8cm,BC=BF=6cm,延長。。交EF于點M.點

尸從點/出發(fā)，沿/。方向勻速運動，速度為2cm/s;同時，點Q從點”出發(fā)，沿

板方向勻速運動，速度為lcm/s.過點。作于點H,交CD于點G.設(shè)運

動時間為t(s)(0<?<5).

解答F列問題：

(1)當(dāng)［為何值時，點”在線段。。的垂直平分線上？

(2)連接尸。，作QV1/斤于點7V,當(dāng)四邊形PQVH為矩形時，求f的值；

(3)連接QC,QH,設(shè)四邊形QCGH的面積為S(cm2),求S與f的函數(shù)關(guān)系式;

(4)點尸在運動過程中，是否存在某一時刻6便點尸在N/皮的平分線上？若存在,

求出f的值；若不存在，請說明理由.

4.在邊長為2的菱形/BCD中，巨是邊4。的中點，點RG、〃分別在邊力ABC、

2

8上，旦FG_LEF,EHLEF.

(1)如圖1,當(dāng)點少是邊力8中點時，求證：四邊形防是矩形；

(2)如圖2,當(dāng)患二以寸，求署值；

(3)當(dāng)cosNO=~^,且四邊形EAGH是矩形時(點F不與4夕中點重合)，求ZF

的長.

5.如圖，在Rt△42。中，/期。=90°,NB=30°,力。_LBC于。，AD=4cm,過

點。作。E//AC,交于點E,DFWAB,交于點足動點尸從點/出發(fā)以1cm/s

的速度向終點。運動，過點P作MNIIBC,交AB于點M,交/。于

點M設(shè)點P運動時間為x(s),△/AW與四邊形4E7?尸重疊部分面積為了(加).

(1)AE=cm,AF=cm;

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；

(3)若線段中點為。，當(dāng)點。落在平分線上時，直接寫出x的值.

D

(備用圖)

6.如圖，在四邊形448中,力。是對角線，N4BC=/CZM=90°,BC=CD,延長

3

交月。的延長線于點E.

(1)求證：AB=AD;

(2)若AE=BE+DE,求/A4C的值；

(3)過點E作MEMAB,交/。的延長線于點以，過點〃作“PL。。，交。。的延

長線于點P,連接PB.設(shè)PB=a,點。是直線4E上的動點，當(dāng)"。+尸。的值最小時，

點。與點后是否可能重合？若可能，請說明理由并求此時〃。+尸。的值(用含a的式

子表示)；若不可能，請說明理由.

7.已知矩形428和矩形。協(xié)6中，力2=6,BC=8,CE=4,EF=3.

(1)當(dāng)點E在8上時，如圖1,求黑AF的值；

(2)當(dāng)矩形CEFG繞低。旋轉(zhuǎn)至圖2時，求黑AF的值；

(3)當(dāng)矩形CE尸G繞點。旋轉(zhuǎn)至/,E,少三點共線時，直接寫出3E的長.

8.如圖，兩個正方形4B8與。后尸G,連結(jié)為G,CE,二者相交于點H

4

(1)證明：XADGQXCDE：

(2)請說明/G和的位置和數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

(3)連結(jié)/E和CG,請問的面積和△CDG的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明

理由.

9.已知△48。的面積為S,點。，E分別在邊AC±,且DEIIBC.

【填空】(1)如圖1,若力。：DB=1:1,則四邊形。EC3的面積a1=(用

含S的式子表示，下同)；

(2)如圖2,若4?:DB=1:2,則四邊形。ECB的面積42=;

(3)如圖3,若力。：DB=1:3,則四邊形。ECB的面積比=；以此類推，…

【猜想】根據(jù)上述規(guī)律猜想，若AD-.DB=1：n,則四邊形DECB的面積a尸;

【應(yīng)用】計算外?港?43…a?

圖1圖2圖3

10.如圖，平面直角坐標(biāo)系中有/(-3,0),B(1,0),。三點.

5

(1)連接力c,若。(-4,1).

①線段力。的長為(直接寫出結(jié)果)；

②如圖1,點尸為y軸負(fù)半軸上一點，點。為線段45上一點，連接CD,作DE].CD,

且DE=CD,當(dāng)點。從/向3運動時，。點不變，E點隨之運動，連接與尸，求線段

后尸的中點。的運動路徑長；

(2)如圖2,作AFLAC,連接咫并延長，交CA延長線于G,GH_LCF于H.若

BF=BG,且/。=67.5°,在平面內(nèi)是否存在點"，使以夕，A,H,〃為頂點的四邊

形是平行四邊形，若存在，請求出點”的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

6

參考答案

1.解：(1).??四邊形/B8是正方形，

ZABC=ZBAD=ZC=ZZ>=90°,

?.?將△BCE繞B點旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時點E的對應(yīng)點夕在DA的延長線上,

：.BE=BF,ZCBE=ZABF,

：./_EBF=AABC=9QO,

：.AEBF+^D=180°,

四邊形為“直等補”四邊形；

(2)①過。作CFLBF千點F,如圖1,

貝,

??,四邊形/B8是“直等補”四邊形，AB=BC=5,8=1,AD>AB,

.?./月BC=90°,N/BC+NZ?=180°,

ZZ?=90°,

■：BEAD,

:"DEF=90°,

四邊形8班是矩形，

EF=CD=1,

?:NABE+￡A=￡CBE+￡ABE=9G°,

7

E

；.ZA=/CBF,/、、、、\

/

BC

圖1

,：ZAEB=/_BFC=9D°,AB=BC=5,

:,XABE^XBCF〈AAS],

??,BE=CF,

設(shè)BE=CF=x,貝ij與b=x-l,

跳2=BCS

?,.川+(x-1)2=52,

解得，x=4,或x=-3(舍)，

:.BE=4;

②如圖2,延長。夕到F,使得BF=BC,延長。。到G,使得CD=DG,連接FG,

分別與ZB、交于點MN,過G作G/UBC,與的延長線交于點

則3c=2尸=5,CD=DG=1,

?：AABC=AADC=9Qa,

：.CM=FM,CN=GN,

MNC的周長=CM+MN+CN=FM+MN+GN=FG的值最小，

???四邊形/BC。是“直等補”四邊形，

：.AA+ABCD=180°,

VZBCD￥Z_HCG=180°,

.,.//=/HOG,

?:NAEB=￡CHG=9G°,

：./\ABEsXCGH,

.BE_AE_AB

'■GH'CH'CG

?：AB=5,BE=4,

VAB2-BE2=3?

8

.4_3_5

GH'CH'i?

GH=CH=—,

55

56

：.FH=FC+CH=—,

5

FG=VFH2+CH2=8

.?.△AWC周長的最小值為872.

2.解:(1)①根據(jù)翻折的性質(zhì)得，￡EGF=￡A="=9。"，

EG=AE=ED,EF=EF,

在RtZ^EGF和RtZXED尸中，

fEG=ED

1EF=EF，

??,RtAEGgRi叢EDF(HL),

：.GF=DF\

②?.?DF=￡DC,

；,DF=FC

由①知，GF=DF,

:.DF=GF=FC,

設(shè)GF=DF=FC=x,貝ijAB=BG=DC=2x,

/.BF=3x,

在中，

?：B*=C*+Bd,

(3x)2-A2=42,

解得X=A/2，

9

AB=2x=2^/2>

（2）如圖②，連接H",

由（1）可知，4EFG94EFD,

ZFED=ZFEG,FD=FG,

?：ZBEA=ZBEG,

；."EF=9G°,

■：^BGE=AA=90Q,

:.乙EFG+LFEG=9G°,

?：ABEG+/.FEG=90°,/FEG+￡EFG=90°,

ZBEG=ZEFG,

■：ZBGE=ZFGE=9G°,

：.4BEGS4EFG,

.EG_BG

FGEG

：.E（?=BG*GF,

設(shè)DC—AB=BG=a,

則DF=FG=ma,

：.EG1=m^,

EG=

:.AD=2EG=2

/AD=2V^a=2

ABa5

尸z

DE.............:

圖②

3.解：（1）■：ABHCD,

.CMCE

BF-BE

10

.8-6二CM

.?可記，

2

??.CM=—,

2

???點〃在線段。。的垂直平分線上，

：.CM=MQ,

2

/.1X,

2

-'-f=2；

(2)如圖1,過點。作QV_L/"于點N,

E

h________□_________:\

AHBNF

圖1

?：￡ABC=LEBF=9G°,AB=BE=8cm,BC=BF=6cm,

?-AC=VAB2+BC2=<64+36=10cm，EF=7BF2+BE2=仇4+36=1。血,

2

,:CE=2cm,CM=±cm,

2

?'?EM=YEC2KM2=舊|=P

vsinZPAH=sinZCAB,

.BCPH

"AC=AP*

._6__PH

一元K，

b

同理可求QV=6-&,

5

???四邊形尸QVH是矩形，

:.PH=NQ,

11

1=3;

.?.當(dāng)r=3時，四邊形PQAW為矩形；

(3)如圖2,過點。作QW1/斤于點N,

'：cosZPAH=cosZCAB,

.AHAB

"AP=AC?

.AH,8

一右T，

：.AH=—t,

5

二,四邊形。叱"/的面積為S=S梯形GMFH115ACMQ~S△〃尸°,

S~—?X6X(8——-f+6+8-——X—X[6—(6——^)]——X(6——■/■)

255222525

(/8Q一百8"6)16D1451

(4)存在,

理由如下：如圖3,連接跳，延長/。交E尸于《

?；AB=BE=8cm,BC=BF=6cm,AC=EF=10cm,

：.l\ABC^t\EBF(SSS),

12

ZE=ZCAB,

又，：乙ACB=(ECK,

：,Z.ABC=Z.EKC=90°,

■：SACEM=-^-XECXCM=-^XEMXCK,

2Xy

CK=-------=—,

_55

~2

,:PF平分(AFE,PHLAF,PK[EF,

：.PH=PK,

—r=io-2z+—,

55

?L7

亍

，當(dāng)仁看時，使點尸在N/咳的平分線上.

4.解：（1）連接/。、BD,

?.■菱形538中，后是邊的中點，點F是邊中點,

：.AF=AE=^AB,EFIIBD,

?；FG1EF,EHVEF.

：.GFIIEHIIAC,

：.GF=HE=^AC,

..?四邊形砂6”是平行四邊形，

■：FG1EF,

NERG=90°,

???四邊形EFGH是矩形；

13

(2)連接EG,

?.,菱形力68中，ADUBC,

：.ZBGE=ZDEG,

■：FGIIEH,

：.ZFGE=ZHEG,

：./_BGF=ZDEH,

又■菱形中，NB=N。，

ABGFSADEH,

.FG_BG

"EH-DE

..BG_1

.----------?

GC2

：.BG=^BC,

DE=—AD=—BC,

22

.FG=BG=2.

"EH_DE-y

(3)如圖，過點G作于點M,過點E作ENIBA延長線于點N,

4次

:.GF=EH,

?.,由(2)可知，ABGFs^DEH,

14

,此時△BGF^△DEH,

又?.?菱形力88邊長為2,

；.BG=DE=\,

：.BG=CG=1,

R

r.cos/3=cos/EAN=cosZ.D=-y^-,

R

：.J3M=AN=—,

13

19

：.MG=-NE=—.

13

R91

設(shè)力斤=x,\^MF=2r-^-x=^-x,

當(dāng)四邊形EFGH是矩形時，NG四=90°,則AGm'與△必歸相似（三垂直模型）.

①若AGMFS^FNE,

則典=雪

NFEN

1221

-----Y

,13-----13

V+--5----1-2-

1313

解得x1=W，西=1（點戶不與中點重合，舍去）；

②i^AGMFsAENF,

則典=更，

NFEN

21

.育"

"5一’

X-kiy

解得牙=磊，

：.AF=—.

13

■：△GMFS^ENF,四邊形￡7977是矩形,

:./_GFM=/_EFN=45°,

??.△GAZ尸和△￡7V戶均為等腰直角三角形,

：.NF=NE,

R

-：AN=—AF=—

1313

15

：.NF=\,

19

V7VS=—,

13

:?NF*NE,這與△協(xié)亦為等腰直角三角形矛盾，

:AGMFsXENF不憂立,

???舍去戶告

綜上，/斤的長為磊.

5.解：(1)V25=30°,ADJ_BC于D,

???/期。=60°

???/54。=90°,

???NCAD=30°,

?；DEIIAC,DFIIAB,

：.AAED=/_AFD=9G°,

:4?=4cm,

AE=?4Z>cos60°=2cm,

AF=>1Z>COS30°=2，§cm,

故答案為：2;2遍；

(2)過點E作于點G,過點P作FHLAD于點H,如圖1,

///=Z尸cos30°=3cm,

當(dāng)04xW遂時，如圖1,則AP=xcm,

?：MN\\BC,

：.AAMN=^B=30°,

：.AM=2AP=2x,

：.AN=AM<an3Q0=2x?昱=^^-乂(cm),

33X

16

尸yAM?AN=?包x2，

乙o

即尸竽X2(0<xWl);

當(dāng)lvx<3時，如圖2,貝I]

ME=AM-AE=2x-2(cm),

:.EH=ME?tan￡EMH=零(2X-A(CM>，

SAMEH"|'HE'EH=￥'(X-1)2，

，SAAMN-SAMEH^^X2-1X^-(X-1)2=^X_'^^vx<3);

當(dāng)3<xW4時，如圖3,

AP二x二2病

??.AN=COS30°3X(cm),

~2

?:MNIIBC,

???NZ7VG=NC=6O°,

?1?NF=AN-AF=x-2V3(由)，

FG=FN9tan60°=2x-6(cm),

.12Mf、2

??S/kFGNaFG?FN=-y-(x-3)，

2

???尸S&AMN-SAEMH~S&FNG=X(X-l)(X-3),

即片一歲(3VXW4);

17

’2?2

3*(04x<?)

綜上，y='x(^<x<3);

孥o挈O

-^-X2x-^-(3<X<4)

oo

(3)過點。作。以13。于點H,OG1/C于點G,OK14B于點K,連接OA,OB,

如圖4,

平分/力

OH=OG,

?：MNIIBC,

：./_AMN=/_ABC=?>Qa,Z.ANM=AACB=60°,

.?.OK=O跖sin30。=^OM,

0G=OMsin60°=退訓(xùn)

2

OM=ON,

OG=百OK,

?.NC=A8?tan3(T=色巨，BC=2AC=

33

???SAABC-lAB'AC^AB-OK+^-AC-OG+yBC-OH，

...8X隼=80心隼XaOK，

ooo

-1-OK=^[3>

APD=0H=A/30K=2,

：.AP=2,

6.(1)證明：^ABC==ACDA=90°,

18

,:BC=CD,AC=AC9

/.Rt^ABC^Rt/^ADC(HL).

.\AB=AD,

(2)解：,/AE=BE+DE,

又，.，AE=AD+DE,

.\AD=BE.

t：AJ3=AD,

：.AB=BE.

:./_BAD=/_BEA.

???NABC=90°,

：,^BAD=45°.

??,由(1)得

：.ABAC=ADAC.

???/A4C=22.5°.

(3)解：當(dāng)MEPO的值最小時，點。與點石可以重合，理由如下:

?：MEIIAB,

?,.NAEC=NMEC=90°,/_MAB=/_EMA.

'：MPDC,

：.^MPC=900.

，ZMPC=ZADC=90°.

:.PMIIAD.

：,Z_EAM=^PMA.

由(1)得，Rt^ABC^Rt^ADC,

ZEAC=ZMAB,

,NEMA*AMP.即“。平分/必/E.

又YMP上CP,ME\_CE,

；,PC=EC.

如圖，連接/歸，連接/石，延長腔交的延長線于點0.

19

設(shè)NEAM=a,則NM4尸=a.

在RtZk/3后中，"EA=90°-2a.

在RtZXCPE中，^ECD=90°一/_BEA=2Q.

?；PC=EC,

??.ZPEB=ZEPC=ZECD=a.

：.ZPED=ZBEA+^PEB=90°-a.

'：MEWABy

/QED=NBAD=2a.

當(dāng)NPED=NQED時,

?:2PDE=/_QDE,DE=DE,

:.XPDE^XQDE〈ASA).

:.PD=DQ.

即點尸與點。關(guān)于直線4E1成軸對稱，也即點題點不點尸關(guān)于直線4E的對稱

點Q,這三點共線，也即必升尸。的值最小時，點。與點E重合.

因為當(dāng)NP￡?Z?=/Q班時，90°-a=2a,也即a=30°.

所以，當(dāng)//m=60°時，/。+尸。取最小值時的點。與點反重合.

此時M8PO的最小值即為ME+PE.

?：PC=EC,ZPCB=ZECD,CB=CD,

:,△PCB^XECD(SAS).

20

zCBP=zCDE=90".

.-.A,B,尸三點共線.

當(dāng)//8。=60°時，在△0E4中，

￡P(guān)AE=￡P(guān)EA=6N.

，NEB4=60°.

△曲為等邊三角形.

■：EB]_AP,

.AP=r2AB=r2a.

EP=AE=2a.

?；/EMA=/EAM=30°,

EM=AE=2a.

⑦尸。的最小值為4a.

7.解：（1）如圖1,過戶作Ml/。，交/。的延長線于H,

圖1

?.?四邊形4SCZ?是矩形，

；.ZADC=/BCE=9G°,AD=BC=8,AB=CD=6,

-：Z//=ZEDH=ZDEF=90°,

???四邊形。外E是矩形，

:.DH=EF=3,

.?.//=8+3=11,

-：CE=4,CD=6,

：.FH=DE=6-4=2,

22=

RS4/"中,由勾股定理得：AF=7AH+FH7112+22=5

22=

?△BE。中，由勾股定理得：BE=7BCX：E782+42=4V5>

21

.AF_575_5.

'麗一拶一不

(2)如圖2,連接/GCF,

?：AB=6,BC=8,EF=3,CE=4,

.里且」CE__4_1

一直甘為而其一5‘

,EFCE

"AB=BC)

■：/.CEF=AABC=90°,

:.XCEFsXCBA,

CFCF

???白/,乙ECF=/_ACB,

ACDC

.CF_AC=10=5

CE=CB__8_-7，

：.Z.ACF=/_BCE,

:.XACFSXBCE,

.AF_CF_5.

"BF"CFI,

(3)當(dāng)△CM旋轉(zhuǎn)至力，E,"三點共線時，存在兩種情況:

①如圖3,連接/。，CF,

Rt△力2。中，由勾股定理得：/。=五瓦群=10,

RtZXCE5中，CE=4,EF=3,

：.CF=5,

.EF_3_AB_6__3.

CF"7,而方二，

.EF=AB

"CE-BC)

???ZFEC=ZABC,

:.XABCSXFEC,

22

zACB=zECF,

ZBCE=ZACF,

..AC_10_5^CF

,而二二一市

：.4ACFSABCE,

.AF_5_

"BE=I,

22=

RtA^C中，AE=7AC-CE7102-42=2

「.y4F=力石+EF=2J21+3,

...BE=^AF=A（2V21+3）=嗎+12；

bb5

②如圖4,連接/GCF,

同理得：XAFCSABEC,

.AC_AF=_5

"BC=BE-!*

AF=AE-EF=2yf^l-3,

：.BE=—AF=.§VS1~12

55_

綜上，BE=-雙9+12■或BE=紗歷T2.

55

圖4

8.(1)證明：???四邊形力68和四邊形。ERG是正方形,

：.AD=CD,DG=DE,且/力OC=/GZ?￡=90°,

：./_ADG=LCDE,

在△4DG與中，

23

AD=CD

<ZADG=ZCDE,

DG=DE

：,4ADG9ACDE〈SAS);

(2)解：AG=CE,AGLCE9理由如下：

如圖，SG與8的交點記作點P,

由(1)知，匕ADG9XCDE,

??.AG=CE,ZDAG=ZDCE,

???/400=90°,

??./D4G+N420=90°,

ADCE+/_APD=9G0,

、:(APD=LCPH,

：,ZDCE+2CPH=qO°,

??,/DCE+Z.CHA=ZDAG^/_ADC,

???/CM4=90°,

AGICE;

(3)S區(qū)2薩SACDG，理由：

過點/作AMA.EP,交石尸的延長線于過點。作CN1DG,交DG的延長線于N,

/.ZM=ZJV=90°,

???四邊形4B8是正方形，

：.AD=CD,AADC=90°,

.\AADM+ACDM=90°,

???四邊形。協(xié)匕是正方形，

；,DE=DG,AEDG=90°,

???/AttW=90°,

MDN+ACDN=90°,

:./_ADM=(CDN,

:.XADM92CDN〈AAS),

24

:,AM=CN,

?二S七=^DE^AM=CN,

.SXCDG=CN,

?'?^^ADE=SxcDG，

9.解：⑴-：AD：DB=\-.1,

.,.AD=—1,

AB2

■：DEWBC,

：.匕ADESXABC,

S

.AADER1

,△ABC4

.SAADE_A

s『

?'?^^ADE=/s，

3

?''a\~S-S^ADE=-S,

故答案為：4s；

4

(2)-：AD-.DB=1-2,

,AD=1

一而一京，

■：DEWBC,

：.AADESAABC,

.SAADE1

^AABC9

S

,..--A-A-D-E-_-1

S9