數(shù)學(xué)41-數(shù)學(xué)歸納法證明不等式()(人教A版選修4-5)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式珠海市試驗中學(xué)數(shù)學(xué)組第1頁

在數(shù)學(xué)研究中，人們會碰到這么情況，對于任意正整數(shù)n或大于某個數(shù)n0

任意正整數(shù)n，都有某種關(guān)系成立。對這類問題證實我們將使用又一個主要數(shù)學(xué)推理方法------數(shù)學(xué)歸納法與正整數(shù)相關(guān)命題比如：

1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(n∈N+)

n2<2n(n∈N+,N≥5),

(1+x)n>1+nx(x>-1,n∈N+).第2頁n=5,a5=25問題情境一問題

1:大球中有5個小球，怎樣驗證它們都是綠色？

完全歸納法不完全歸納法

模擬演示問題3:已知：－1＋3=2

－1＋3－5=－3

－1＋3－5＋7=4

－1+3－5＋7－9=－5可猜測：－1+3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝問題2：若an=(n2-5n+5)2，則an=1。對嗎？1

1

1

1

當(dāng)n=1,a1=;n=2,a2=;n=3,a3=;n=4,a4=;（－1）nn第3頁問題情境二：數(shù)學(xué)家費馬利用不完全歸納法得出費馬猜測事例

猜測：都是質(zhì)數(shù)法國數(shù)學(xué)家費馬（PierredeFermat）(1601年～1665年)。

十七世紀(jì)最卓越數(shù)學(xué)家之一，他在數(shù)學(xué)許多領(lǐng)域中都有極大貢獻(xiàn)，因為他本行是專業(yè)律師，為了表彰他數(shù)學(xué)造詣，世人冠以“業(yè)余王子”之美稱，第4頁歸納法：由一系列有限特殊事例得出普通結(jié)論推理方法。

（結(jié)論一定可靠，但需逐一查對，實施較難）（結(jié)論不一定可靠，但有利于發(fā)覺問題，形成猜測）（1）完全歸納法：考查全體對象，得到普通結(jié)論推理方法。（2）不完全歸納法,考查部分對象,得到普通結(jié)論推理方法。歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法。歸納法怎樣處理不完全歸納法存在問題呢？必須尋找一個用有限個步驟，就能處理完無限多個對象方法。

第5頁問題情境三

多米諾骨牌操作試驗第6頁數(shù)學(xué)歸納法我們常采取數(shù)學(xué)歸納法來證實：由不完全歸納法得到一些與正整數(shù)相關(guān)數(shù)學(xué)命題正確性.（1）證實當(dāng)n取第一個值n0(比如n0=1)時命題成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N＋

,k≥n0)時命題成立證實當(dāng)n=k+1時命題也成立。這種證實方法叫做數(shù)學(xué)歸納法k=2,k+1=2+1=3k=3,k+1=3+1=4…k=10,k+1=10+1=11…第7頁下面我們來證實前面問題3中猜測正確性證實:(1)當(dāng)n=1時,左邊=－1,右邊=－1,∴左邊=右邊,∴當(dāng)n=1時，式（*）成立(2)假設(shè)當(dāng)n=k時，式（*）成立，即－1+3－5＋…＋（－1）k（2k－1）＝（－1）kk在這個假設(shè)下再考慮當(dāng)n=k+1時，式（*）左右兩邊是否成立.例1、用數(shù)學(xué)歸納法證實：當(dāng)n∈N+時，－1+3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝（－1）nn（*）第8頁當(dāng)n=k+1時等式左邊＝

－1+3－5＋…＋（－1）k（2k－1）＋（－1）k＋1[2(k+1)－1]＋（－1）k＋1[2(k+1)－1]＝

（－1）k＋1(k+1)＝右邊所以當(dāng)n=k+1時等式（*）成立。由（1）（2）可知，

－1+3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝（－1）nn利用假設(shè)湊結(jié)論從n=k到n=k+1有什么改變

＝（－1）kk

＝（－1）k＋1[－k＋2(k+1)－1]第9頁下面框圖表示了數(shù)學(xué)歸納法基本過程：（1）驗證：n=n0（n0∈N+）時命題成立。（2）證實：假設(shè)n=k（k≥n0）時命題成立，則n=k+1時命題也成立。對全部n

（n0∈N+，n≥n0）命題成立奠基假設(shè)與遞推第10頁數(shù)學(xué)歸納法是一個證實與正整數(shù)相關(guān)數(shù)學(xué)命題主要方法。主要有兩個步驟、一個結(jié)論:

第一步：驗證當(dāng)n取第一個值n0（如n0=1或2等）時結(jié)論正確第二步：假設(shè)n=k(k∈N＋，

且k≥n0)時結(jié)論正確，證實n=k+1時結(jié)論也正確結(jié)論：由（1）、（2）得出結(jié)論正確找準(zhǔn)起點奠基要穩(wěn)用上假設(shè)遞推才真寫明結(jié)論才算完整數(shù)學(xué)歸納法主要步驟:第11頁例2用數(shù)學(xué)歸納法證實

1×4＝411）此時n0=__左＝_______右=

__________

2）假設(shè)n=k時命題成立，即

當(dāng)n=k時，等式左邊共有___項，第(k－1)項是__________________。

k(K－1)×[3(k－1)＋1]1(1＋1)2=41×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2

1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2

第12頁3）當(dāng)n=k+1時，命題形式是4）此時，左邊增加項是5)從左到右怎樣變形？

1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1]2(k+1)[3(k+1)+1]第13頁證實：（1）當(dāng)n=1時，左邊＝1×4＝4，右邊＝1×22＝4，等式成立。（2）假設(shè)n=k時命題成立，即

1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2

這就是說，當(dāng)n=k+1時等式也成立。依據(jù)（1）和（2），可知等式對任何n∈N＊都成立

當(dāng)n=k+1時左邊=1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)(3(k+1)+1)=k(k+1)2+(k+1)(3(k+1)+1)=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]=(k+1)[k2+4k+4]=(k+1)[(k+1)+1]2＝右邊第14頁練習(xí)鞏固

1.用數(shù)學(xué)歸納法證實：在驗證n=1成立時，左邊計算所得結(jié)果是22.某個命題與正整數(shù)n相關(guān)，假如當(dāng)時命題成立，那么可推得當(dāng)n=k+1時命題也成立.現(xiàn)已知當(dāng)n=5時該命題不成立，那么可推得 （）A．當(dāng)n=6時該命題不成立 B．當(dāng)n=6時該命題成立C．當(dāng)n=4時該命題不成立 D．當(dāng)n=4時該命題成立C第15頁3.以下用數(shù)學(xué)歸納法證實對嗎？證實：①當(dāng)n=1時，左邊＝

右邊＝

等式成立。②假設(shè)n=k時等式成立，有那么，當(dāng)n=k+1時，有即n=k+1時，命題成立。依據(jù)①②可知，對n∈N＋，等式成立。第16頁注意:用上假設(shè)遞推才真第二步證實中沒有用到假設(shè)，這不是數(shù)學(xué)歸納法證實既然不對，怎樣更正？三注意：1、有時n0不一定等于12、項數(shù)不一定只增加一項。3、一定要用上假設(shè)分析第17頁4.用數(shù)學(xué)歸納法證實

1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝

練習(xí)鞏固

從n=k到n=k+1有什么改變利用假設(shè)湊結(jié)論證實:2)假設(shè)n=k時命題成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝1)當(dāng)n=1時，左邊=1×2=2,右邊==2.命題成立∴n=k+1時命題正確。由(1)和(2)知，當(dāng)，命題正確。第18頁明確初始值n0，驗證真假。（必不可少）“假設(shè)n=k時命題正確”，寫出命題形式。證實“n=k+1時”命題成立。分析“n=k+1時”命題是什么，并找出與“n=k”時命題形式差異，搞清左端應(yīng)增加項。注意用上假設(shè)，要作結(jié)論用數(shù)學(xué)歸納法證實恒等式注意事項：第19頁數(shù)學(xué)歸納法是一個證實與正整數(shù)相關(guān)數(shù)學(xué)命題主要方法。主要有兩個步驟、一個結(jié)論:

（1）證實當(dāng)n取第一個值n0（如n0=1或2等）時結(jié)論正確（2）假設(shè)n=k(k∈N＋，

且k≥n0)時結(jié)論正確，證實n=k+1時結(jié)論也正確由（1）、（2）得出結(jié)論正確歸納小結(jié)第20頁（1）數(shù)學(xué)歸納法是一個完全歸納法證實方法它適合用于與正整數(shù)相關(guān)問題。（2）兩個步驟，一個結(jié)論缺一不可，不然結(jié)論不能成立。（3）在證實遞推步驟時，必須使用歸納假設(shè)。遞推基礎(chǔ)不可少歸納假設(shè)要用到結(jié)論寫明莫忘記歸納法完全歸納法不完全歸納法數(shù)學(xué)歸納法窮舉法可能錯誤怎樣防止？課堂小結(jié)第21頁

數(shù)學(xué)歸納法是一個完全歸納法，它是在可靠基礎(chǔ)上，利用命題本身含有傳遞性，利用“有限”伎倆，來處理“無限”問題。它克服了完全歸納法繁雜、不可行缺點，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠不足，使我們認(rèn)識到事情由簡到繁、由特殊到普通、由有限到無窮。

數(shù)學(xué)歸納法關(guān)鍵思想課堂小結(jié)第22頁（1）思索題：問題

1中大球中有很多個小球，怎樣證實它們都是綠色？模擬演示作業(yè)（2）書本作業(yè)P50.習(xí)題4.11，2

（3）補充作業(yè):

用數(shù)學(xué)歸納法證實：假如{an}是一個等差數(shù)列，那么an=a1+(n-1)d對于一切n∈N*都成立。（4）預(yù)習(xí)書本P49例1和例2第23頁哥德巴赫猜測德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫經(jīng)過觀察,發(fā)覺一個有趣現(xiàn)象：任何大于5整數(shù)