球泡動(dòng)力方程的初值化方法

球泡動(dòng)力方程的初值化方法

有兩種用于測定出生空化數(shù)的模型試驗(yàn)的方法。一個(gè)是采用系列模型。在與原型大致相同的水條件下，測量該系列模型的初始空化數(shù)，然后使用幾何尺度將初始空化數(shù)擴(kuò)展到原始模型。另一種是基于幾何相似性、重力相似性和空間相位的原則的減壓模型試驗(yàn)，其中一些是基于幾何相似性、重量相似和空間相位的原則的。在減壓條件下，模型的初始空化數(shù)可以是國內(nèi)許多方法的結(jié)果。系列模型試驗(yàn)方法本身就承認(rèn)了系列中任一個(gè)模型上測定初生空化數(shù)都不同于原型的初生空化數(shù),因此必須做系列模型,然后按尺度延伸.用減壓模型試驗(yàn)測定初生空化數(shù)時(shí),已滿足了常用的水力相似準(zhǔn)則,所以很容易認(rèn)為模型中測定的初生空化數(shù)就是原型的初生空化數(shù),這是一種誤解,而且這種誤解可能導(dǎo)致工程事故.無論從理論和實(shí)踐都已證明了減壓試驗(yàn)測定的初生空化數(shù)有明顯的比尺效應(yīng).如一個(gè)原型用幾個(gè)不同比尺的模型做減壓試驗(yàn),在小模型上沒有出現(xiàn)空化的某一工況,在大模型上就可能出現(xiàn)明顯的空化,也就是說,模型越小初生空化數(shù)越低.因此把減壓模型上測定的初生空化數(shù)直接作為原型的初生空化數(shù)是不安全的,模型越小越不安全.為了較好地預(yù)報(bào)原型的初生空化數(shù),必須對減壓模型測定的初生空化數(shù)進(jìn)行比尺效應(yīng)的修正.文獻(xiàn)曾從泡動(dòng)力方程出發(fā),對初生空化數(shù)的比尺效應(yīng)(包括水動(dòng)力效應(yīng)和熱動(dòng)力效應(yīng))作過較詳細(xì)的討論,但得到的結(jié)果不便應(yīng)用.本文也從泡動(dòng)力方程出發(fā),經(jīng)過和文獻(xiàn)不同的近似處理后,得到了對減壓試驗(yàn)測定的初生空化數(shù)進(jìn)行比尺效應(yīng)修正的簡易公式.1流體動(dòng)力學(xué)參數(shù)空化現(xiàn)象是水中氣核生長與失穩(wěn)的宏觀反映,因此文獻(xiàn)從分析描述氣核運(yùn)動(dòng)的Rayleigh-Plesset方程入手,考察初生空化數(shù)的比尺效應(yīng).該方程為:ρ(R¨R+32˙R2)=Ρg-2SR-4μ˙RR-Ρ(t)+Ρv(ΤR(t))?(1)式中,ρ、S、μ分別為水的密度、表面張力系數(shù)和動(dòng)力粘滯系數(shù);R、˙R、¨R分別為球泡的半徑、泡壁的徑向速度和泡壁的徑向加速度;Pg是泡內(nèi)非溶解氣體的壓強(qiáng);P(t)是流場中的壓強(qiáng),因球泡是沿流線運(yùn)動(dòng)的,所以流場中的壓強(qiáng)是球泡運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù);Pv是相應(yīng)于液體溫度的飽和蒸汽壓,因?yàn)橐后w相變發(fā)生于泡壁,所以Pv應(yīng)該是隨時(shí)間變化的泡壁溫度TR(t)的函數(shù).關(guān)于式(1)的由來可參考文獻(xiàn).文獻(xiàn)對式(1)在包括空化初生時(shí)刻在內(nèi)的一個(gè)時(shí)段內(nèi)進(jìn)行積分后得到了關(guān)于初生空化數(shù)比尺效應(yīng)的定性結(jié)論.本文和文獻(xiàn)的處理方式不同,直接在空化初生位置寫出方程(1).但忽略泡壁溫度的變化,即取TR(t)等于水溫為常數(shù),從而Pv為常數(shù).假定泡內(nèi)的氣體壓強(qiáng)按等溫條件下理想氣體的狀態(tài)方程變化,則有:Ρg=Ρgo(R0R)3=(Ρ∞-Ρv+2SR0)(R0R)3.(2)于是空化初生位置的球泡動(dòng)力方程為:(R¨R+32˙R2)c=1ρ((Ρ∞-Ρv+2SR0)(R0R)3-2SR-4μ˙RR+Ρ∞-Ρmin-(Ρ∞-Ρv))c.(3)下標(biāo)c表示空化初生的臨界狀態(tài).因空化初生都在最小壓強(qiáng)位置,所以用Pmin替代了P(t).剩下的問題是估計(jì)空化初生時(shí)的臨界半徑Rc和相應(yīng)的(˙R)c與(¨R)c.R0為與P∞相應(yīng)的氣核半徑,Pgo為相應(yīng)的泡內(nèi)氣體壓強(qiáng).2空化過程中的rc2.1Rc的估計(jì)由泡動(dòng)力學(xué)知Rc與R0的關(guān)系為:Rc=R0√3(1+1W0)?(4)W0為韋伯?dāng)?shù),它定義為:W0=2SR0(Ρ∞-Ρv).(5)初看,在P∞-Pv一定時(shí),只要給定R0就能確定Rc.但氣核半徑R0是連續(xù)分布的,那么對應(yīng)空化初生的R0多大?假如給定水中的氣核譜和初生空化的定量標(biāo)準(zhǔn)(如規(guī)定每分鐘生成若干個(gè)空泡為初生空化),那么是可以確定R0的.但對實(shí)際水利工程,這是難以實(shí)現(xiàn)的.因此為了確定Rc必須選定R0,在給定P∞-Pv條件下,選定R0也就等于選定Rc.但是,與其選定R0不如選定Rc,因?yàn)闊o論用目測或聲測判定初生空化狀態(tài),Rc必須達(dá)到一定大小,否則是難以分辨的.那么在初生空化狀態(tài)時(shí)Rc在多大范圍內(nèi)變化?文獻(xiàn)用全息攝影技術(shù)測定過半球頭軸對稱體空化初生時(shí)固壁附近的空泡直徑分布圖,結(jié)果表明在初生空化位置附近,極大多數(shù)的空泡直徑在20μm～50μm區(qū)間內(nèi),即大部分空泡的臨界半徑Rc在10～25μm之間.文獻(xiàn)中引用了一個(gè)實(shí)測資料:在圓柱繞流場中,當(dāng)水流空化數(shù)σ=0.82σc時(shí)(σc為初生空化數(shù)),用全息攝影測定了場中的空泡分布,統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明空泡的平均半徑Ra為15μm.為簡單起見,取10、15、25μm3個(gè)數(shù)的平均值作為初生空化狀態(tài)時(shí)可察覺的空泡半徑的下限,即取:Rc=17μm.(6)2.2關(guān)于(˙R)c和(¨R)c當(dāng)氣核隨流運(yùn)動(dòng)到P(t)=Pmin=Pc處(Pc為氣核失穩(wěn)的臨界壓強(qiáng)),氣核便開始爆發(fā)性生長,半徑由略大于R0而快速長到Rc,因?yàn)?R0Rc)3的值很小,泡中的非溶解氣體壓強(qiáng)分量Pg可忽略不計(jì),從而可近似采用泡內(nèi)只含蒸汽的汽泡生長的有關(guān)結(jié)果,并假定氣核失穩(wěn)時(shí)的速度(˙R)c接近汽泡的穩(wěn)定生長速度,從而有:(˙R)c≈√23(Ρv-Ρc)ρ.(7)通常說的飽和蒸汽壓強(qiáng)Pv是指水、氣界面為平面時(shí)水急劇相變?yōu)槠麜r(shí)的壓強(qiáng).但空化時(shí),水氣的界面是球面,即水與氣核的界面.由于表面張力的影響,球形界面上的水體爆發(fā)性地轉(zhuǎn)化為汽相的臨界壓強(qiáng)Pc低于Pv,兩者間的關(guān)系為:Ρc=Ρv-4S3Rc.(8)把式(7)代入式(8)得:(˙R)c=√8S9ρRc.(9)上面把氣核失穩(wěn)時(shí)的泡壁生長速度近似取為常數(shù),實(shí)際空化初生時(shí)泡壁的生長速度并未達(dá)到常數(shù),這時(shí)泡壁還有加速度,但很小.仍近似利用汽泡生長中各量的關(guān)系,則有:(¨R)c≈V2∞σ2Rc(R0Rc)3.(10)3年—初生空化數(shù)的修正把式(7)、(9)代入式(3),兩邊除(ρV2∞2)c,再令:σc=(Ρ∞-Ρv12ρV2∞)c.(10)CΡmin=Ρmin-Ρ∞12ρV2∞=(Ρmin-Ρ∞12ρV2∞)c.(11)則式(3)成為:σc(R0Rc)3+43SRc12ρV2∞,c=σc(R0Rc)3+2SRc(R0Rc)212ρV2∞,c-2SRc12ρV2∞,c-4μ√8S9ρR3c12ρV2∞,c-CΡmin-σc.整理后得:σc=-CΡmin-2SRc(53-(R0Rc)2)+4μ√8S9ρR3c12ρV2∞,c.(12)取S=7.5×10-2Ν/m?μρ=1.3×10-6m2/s?Rc=17×10-6m,把這些數(shù)據(jù)代入式(12)后有:σc=-CΡmin-30.62-17.65(R0Rc)2V2∞.(13)分別以下標(biāo)P、M表示原型和模型,并對原、模型都寫出式(13):σc,p=-CΡmin?Ρ-30.62-17.65(R0Rc)2ΡV2∞,Ρ.σc,Μ=-CΡmin,Μ-30.62-17.65(R0Rc)2ΜV2∞,Μ.因模型與原型是幾何相似的,當(dāng)模型中與初生空化狀態(tài)相應(yīng)的水流雷諾數(shù)足夠高時(shí),可以假定:CΡmin,Ρ=CΡmin,Μ.(14)略去很小的項(xiàng)17.65(R0Rc)2ΡV2∞,Ρ后得原、模型之間的初生空化數(shù)間的關(guān)系為:σc,p=σc,Μ+1V2∞,Μ[30.62(1-1λL)-17.65(R0Rc)2Μ].(15)λL是模型的長度比尺,定義為:λL=LΡLΜ.(16)下面用一組減壓系列模型試驗(yàn)結(jié)果來檢驗(yàn)式(15)是否基本反映了原、模型初生空化數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.文獻(xiàn)給出了碧口水庫孔板洞系列減壓模型試驗(yàn)的結(jié)果.碧口水庫孔板洞的直徑D=3.80m,設(shè)兩級孔板,位于平直段,孔極的孔徑比d/D=0.69.模型孔板的孔緣都是斜面向下游的刃形,模型泄洪洞的直徑分別為41.4cm、20.7cm、15.0cm和9.0cm,相應(yīng)的長度比尺λL分別為9.17、18.35、25.30和42.20.模型試驗(yàn)結(jié)果和用實(shí)測的σc,M及式(15)換算的σc,P都列于下表:從表1中給出的由4個(gè)減壓模型試驗(yàn)測定的σc,M換算得到的σc,P很接近,這表明式(15)基本上反映了減壓試驗(yàn)中原、模型初生空化數(shù)的關(guān)系.表中給出的σc,P和文獻(xiàn)中給出的在非減壓、高流速條件下測定的初生空化數(shù)比較接近.碧口水庫孔板洞的原型觀測表明:當(dāng)水流空化數(shù)σ=4.65時(shí)發(fā)現(xiàn)了空化的跡象,這和表中給出的σc,P是相符的.在表1中,λL=42.20的模型測定初生空化數(shù)時(shí)的箱內(nèi)真空度是97.8%,按相似律要求為95.4%,略微高了一點(diǎn).原則上說,減壓試驗(yàn)測定初生空化數(shù)時(shí)箱內(nèi)真空度必須按空化數(shù)相等的原則設(shè)定,然后通過改變流速得到初生空化狀態(tài).若改變箱內(nèi)真空度,初生空化數(shù)不變,當(dāng)然可以改變箱內(nèi)真空度.但實(shí)際情形是改變了箱內(nèi)真空度初生空化數(shù)就改變.而當(dāng)箱內(nèi)真空度不是按相似律所規(guī)定的真空度時(shí),原、模型的空化數(shù)不再相等,因此在非規(guī)定箱內(nèi)真空度下測定的初生空化數(shù)也就無法和原型的水流空化數(shù)進(jìn)行對比.4原、模型真空度的影響1.由表1給出的系列減壓模型試驗(yàn)結(jié)果和式(15)知,減壓模型試驗(yàn)測定的初生空化數(shù)并不等于原型的初生空化數(shù),模型中的參考流速V∞,c越小,原、模型的初生空化數(shù)相差越大.由減壓模型試驗(yàn)測定的初生空化數(shù)必須進(jìn)行比尺效應(yīng)的修正,否則是很不安全的.2.因?yàn)楦淖兿鋬?nèi)真空度時(shí)得到的初生空化數(shù)也改變,所以由減壓模型試驗(yàn)測定初生空化數(shù)時(shí)箱內(nèi)真空度必須保持由原、模型空化數(shù)相等原則規(guī)定的真空度.3.如整體減壓模型試驗(yàn)中的V∞,c比較低時(shí),最好補(bǔ)充減壓局部模型試驗(yàn)、減壓切片模型試驗(yàn)等,使V∞,c能大于5.0m/s,否則修正值占的百分?jǐn)?shù)很大,預(yù)報(bào)的原型初生空化數(shù)的可靠性就不高.4.在得到式(15)時(shí)作了一些假定,它們都給式(15)帶來了誤差.原、模型的CPmin相等,初看很易接受,實(shí)際上也是不易達(dá)到的.當(dāng)模型水流的雷諾數(shù)足夠高時(shí),原、模型的時(shí)均壓力系數(shù)CˉΡmin相等已為很多實(shí)驗(yàn)所證明;模型水流的雷諾數(shù)比較高、觀測歷時(shí)又很長時(shí)原、模型的瞬時(shí)壓強(qiáng)系數(shù)CPmin相等,這在概念上也還可以接受.但初生空化狀態(tài)的判斷實(shí)質(zhì)上是和每分鐘生成的空泡數(shù)有關(guān)