第59講直線的方程

第59講直線的方程1.當(dāng)直線l與x軸相交時，把x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線l的傾斜角，并規(guī)定：直線l與x軸平行或重合時傾斜角為0°，因此傾斜角α的范圍是0°≤α＜180°．2.當(dāng)傾斜角α≠90°時，tanα表示直線l的斜率，常用k表示，即k＝tanα.當(dāng)α＝90°時，斜率不存在．當(dāng)直線過P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且x1≠x2時，k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)．3.直線方程的幾種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含垂直于x軸的直線斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含垂直于坐標(biāo)軸的直線截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用1、若過點(diǎn)M(－2，m)，N(m，4)的直線的斜率等于1，則m的值為()A.1B.4C.1或3D.1或4【答案】A【解析】由題意，得eq\f(4－m,m－(－2))＝1，解得m＝1.2、傾斜角為135°，在y軸上的截距為－1的直線方程是()A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0【答案】D【解析】直線的斜率為k＝tan135°＝－1，所以直線方程為y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.3、過點(diǎn)P(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為________________．【答案】3x－2y＝0或x＋y－5＝0【解析】當(dāng)截距為0時，直線方程為3x－2y＝0；當(dāng)截距不為0時，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，則eq\f(2,a)＋eq\f(3,a)＝1，解得a＝5.所以直線方程為x＋y－5＝0.4、(多選)若直線過點(diǎn)A(1,2)，且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等，則直線l方程可能為()A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0【答案】ABC【解析】當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時，斜率為k＝eq\f(2－0,1－0)＝2，所求的直線方程為y＝2x，即2x－y＝0；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)所求的直線方程為x±y＝k，把點(diǎn)A(1,2)代入可得1－2＝k或1＋2＝k，求得k＝－1或k＝3，故所求的直線方程為x－y＋1＝0或x＋y－3＝0；綜上知，所求的直線方程為2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.故選A、B、C.5、直線x＋(a2＋1)y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))【答案】B【解析】由直線方程，得該直線的斜率為k＝－eq\f(1,a2＋1).又－1≤－eq\f(1,a2＋1)<0，所以該直線傾斜角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).考向一直線的斜率與傾斜角例1、（1）直線2xcosα－y－3＝0(α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))))的傾斜角的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))【解析】由題意，得直線2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.因為α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以eq\f(1,2)≤cosα≤eq\f(\r(3),2)，所以k＝2cosα∈[1，eq\r(3)].設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tanθ∈[1，eq\r(3)].又θ∈[0，π)，所以θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即該直線的傾斜角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))).（2）直線2xcos2α－y－3＝0(α∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)])的傾斜角的取值范圍是____________________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))【解析】由題意，得直線2xcos2α－y－3＝0的斜率k＝2cos2α.因為α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以－eq\f(1,2)≤cos2α≤eq\f(1,2)，所以k＝2cos2α∈[－1，1].設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tanθ∈[－1，1].又θ∈[0，π)，所以θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，即該直線傾斜角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).（3）、若直線l的斜率為k，傾斜角為α，且α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，則k的取值范圍是________．【答案】[－eq\r(3)，0)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))【解析】當(dāng)α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))時，k＝tanα∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))；當(dāng)α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))時，k＝tanα∈[－eq\r(3)，0)．綜上得k∈[－eq\r(3)，0)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)).變式1、已知直線l過點(diǎn)P(－1，0)，且與以A(2，1)，B(0，eq\r(3))為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\r(3)))【解析】因為P(－1，0)，A(2，1)，B(0，eq\r(3))，所以kAP＝eq\f(1－0,2－(－1))＝eq\f(1,3)，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－(－1))＝eq\r(3)，所以直線l斜率的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\r(3))).變式2、已知直線l過P(1，0)，且與以A(2，1)，B(0，eq\r(3))為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為________．【答案】(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞).【解析】因為kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，所以kl∈(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)，即直線l斜率的取值范圍為(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞).變式3、（1）(2022·宿州模擬)若圖中直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()A.k1＜k2＜k3B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1D.k1＜k3＜k2【答案】D【解析】因為直線l2，l3的傾斜角為銳角，且直線l2的傾斜角大于直線l3的傾斜角，所以0＜k3＜k2.直線l1的傾斜角為鈍角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2.(2)直線l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a(a，b是不相等的正數(shù))的圖象可能是()ABCD【答案】C【解析】由題意得直線l1，l2的方程為斜截式，因為斜率為正數(shù)，所以傾斜角為銳角，又兩直線在y軸上的截距均為正數(shù)，即可以判斷A，B，D錯誤，故C正確．方法總結(jié)：1.傾斜角α與斜率k的關(guān)系當(dāng)α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))且由0增大到eq\f(π,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))時，k的值由0增大到＋∞；當(dāng)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時，k也是關(guān)于α的單調(diào)函數(shù)，當(dāng)α在此區(qū)間內(nèi)由eq\f(π,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))增大到π(α≠π)時，k的值由－∞增大到趨近于0(k≠0)．2.斜率的兩種求法(1)定義法：若已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)k＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))求斜率．(2)公式法：若已知直線上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據(jù)斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求斜率．考向二直線方程的求法例2、根據(jù)所給條件求直線的方程．(1)直線過點(diǎn)(－4,0)，傾斜角的正弦值為eq\f(\r(10),10)；(2)直線過點(diǎn)(－3,4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12；(3)直線過點(diǎn)(5,10)，且到原點(diǎn)的距離為5.【解析】(1)由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點(diǎn)斜式．設(shè)傾斜角為α，則sinα＝eq\f(\r(10),10)(0<α<π)，從而cosα＝±eq\f(3\r(10),10)，則k＝tanα＝±eq\f(1,3).故所求直線方程為y＝±eq\f(1,3)(x＋4)，即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)由題設(shè)知截距不為0，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,12－a)＝1.又直線過點(diǎn)(－3,4)，從而eq\f(－3,a)＋eq\f(4,12－a)＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直線方程為4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.(3)當(dāng)斜率不存在時，所求直線方程為x－5＝0；當(dāng)斜率存在時，設(shè)斜率為k，則所求直線方程為y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由點(diǎn)到直線的距離公式得eq\f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq\f(3,4).故所求直線方程為3x－4y＋25＝0.綜上，所求直線方程為x－5＝0或3x－4y＋25＝0.變式1、求下列直線的方程．(1)過點(diǎn)A(1，3)，斜率是直線y＝－4x的斜率的eq\f(1,3)；(2)過點(diǎn)(5，10)，且原點(diǎn)到該直線的距離為5；(3)經(jīng)過點(diǎn)P(4，1)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等．【解析】(1)設(shè)所求直線的斜率為k.由題意，得k＝－4×eq\f(1,3)＝－eq\f(4,3).又直線經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)，所以直線的方程為y－3＝－eq\f(4,3)(x－1)，即4x＋3y－13＝0.(2)當(dāng)斜率不存在時，所求直線方程為x－5＝0；當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線的斜率為k，則直線的方程為y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由點(diǎn)到直線的距離公式，得eq\f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq\f(3,4)，故所求直線的方程為3x－4y＋25＝0.綜上可知，所求直線的方程為x－5＝0或3x－4y＋25＝0.(3)設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a.若a＝0，即直線l過(0，0)，(4，1)兩點(diǎn)，所以直線l的方程為y＝eq\f(1,4)x，即x－4y＝0；若a≠0，則設(shè)直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，因為直線l過點(diǎn)(4，1)，所以eq\f(4,a)＋eq\f(1,a)＝1，所以a＝5，所以直線l的方程為x＋y－5＝0.綜上可知，直線l的方程為x－4y＝0或x＋y－5＝0.變式2、求滿足下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過點(diǎn)A(－5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍；(2)經(jīng)過點(diǎn)B(3,4)，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個等腰直角三角形．【解析】(1)當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)所求直線方程為eq\f(x,2a)＋eq\f(y,a)＝1，將(－5,2)代入所設(shè)方程，解得a＝－eq\f(1,2)，所以直線方程為x＋2y＋1＝0；當(dāng)直線過原點(diǎn)時，設(shè)直線方程為y＝kx，則－5k＝2，解得k＝－eq\f(2,5)，所以直線方程為y＝－eq\f(2,5)x，即2x＋5y＝0.故所求直線方程為2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.(2)由題意可知，所求直線的斜率為±1.又過點(diǎn)(3,4)，由點(diǎn)斜式得y－4＝±(x－3)．所求直線的方程為x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.方法總結(jié)：本題考查直線方程的幾種形式，要注意選擇性．過定點(diǎn)，且斜率已知，用直線的點(diǎn)斜式方程；在兩坐標(biāo)軸上的截距已知，一般用截距式，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得出直線方程．在求直線方程時，最后結(jié)果要化為一般式與斜截式，要當(dāng)心斜率不存在、截距不存在的特殊情況．考向三直線方程的綜合應(yīng)用例4、過點(diǎn)P(4，1)作直線l分別交x軸，y軸正半軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)當(dāng)△AOB的面積最小時，求直線l的方程；(2)當(dāng)OA＋OB取最小值時，求直線l的方程．【解析】設(shè)直線l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0).因為直線l經(jīng)過點(diǎn)P(4，1)，所以eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1.(1)eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1≥2eq\r(\f(4,a)·\f(1,b))＝eq\f(4,\r(ab))，所以ab≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝8，b＝2時等號成立，所以當(dāng)a＝8，b＝2時，△AOB的面積最小，此時直線l的方程為eq\f(x,8)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋4y－8＝0.(2)因為eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝1(a＞0，b＞0)，所以O(shè)A＋OB＝a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(1,b)))＝5＋eq\f(a,b)＋eq\f(4b,a)≥5＋2eq\r(\f(a,b)·\f(4b,a))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝6，b＝3時等號成立，所以當(dāng)OA＋OB取最小值時，直線l的方程為eq\f(x,6)＋eq\f(y,3)＝1，即x＋2y－6＝0.變式1、已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)證明：直線l過定點(diǎn)；(2)若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值并求此時直線l的方程.(1)證明直線l的方程可化為k(x＋2)＋(1－y)＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1，))∴無論k取何值，直線l總經(jīng)過定點(diǎn)(－2，1).(2)解由方程知，當(dāng)k≠0時，直線在x軸上的截距為－eq\f(1＋2k,k)，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，))解得k>0；當(dāng)k＝0時，直線為y＝1，符合題意，故k的取值范圍是[0，＋∞).(3)解由題意可知k≠0，再由l的方程，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0，1＋2k).依題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)<0，,1＋2k>0，))解得k>0.∵S＝eq\f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|＝eq\f(1,2)·eq\f(（1＋2k）2,k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq\f(1,2)×(2×2＋4)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)4k＝eq\f(1,k)，即k＝eq\f(1,2)，等號成立，∴Smin＝4，此時直線l的方程為x－2y＋4＝0方法總結(jié)：(1)含有參數(shù)的直線方程可看作是直線系方程，這時要能夠整理成過定點(diǎn)的直線系，即能夠看出“動中有定”．(2)求解與直線方程有關(guān)的最值問題時，先求出斜率或設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值．1、(2022·江蘇如皋期初考試)直線的斜率和它在y軸上的截距分別為（）A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】由題意，直線3x＋4y＋5＝0的斜率為－EQ\F(3,4)，令x＝0，解得y＝－EQ\F(5,4)，故答案選C.2、(2022·江蘇如皋期初考試)(多選題)下列說法正確的是()A．方程能表示平面內(nèi)的任意直線；B．直線的傾斜角為；C．“”是“方程表示雙曲線”的必要不充分條件；D．“直線與垂直”是“直線和的斜率之積為”的必要不充分條件 【答案】AD【解析】由題意，對于選項A，若直線不平行于坐標(biāo)軸，則原方程可化為EQ\F(y－y\S\DO(1),y\S\DO(2)－y\S\DO(1))＝EQ\F(x－x\S\DO(1),x\S\DO(2)－x\S\DO(1))，為直線的兩點(diǎn)式方程；當(dāng)直線平行于x軸，則原方程可化為y＝y(tǒng)1；當(dāng)直線平行于y軸，則原方程可化為x＝x1；綜上所述，可表示平面內(nèi)任意直線，故選項A正確；對于選項B，直線l的斜率k＝EQ\F(cosα,sinα)，則其傾斜角為EQ\F(π,2)－α，故選項B錯誤；對于選項C，方程EQ\F(x\S(2),9－k)－\F(y\S(2),k－4)＝1表示雙曲線，則(9－k)(k－4)＜0，解得k＞9或k＜4，則k＞9是方程EQ\F(x\S(2),9－k)－\F(y\S(2),k－4)＝1表示雙曲線的充分不必要條件，故選項C錯誤；對于選項D，當(dāng)一條直線斜率不存在，一條直線斜率為0，可以滿足兩直線垂直，則選項D正確；綜上，答案選AD.3、(2022·江蘇如皋期初考試)過點(diǎn)A(1，3)，斜率是直線y＝－4x的斜率的eq\f(1,3)的直線方程為________．【答案】4x＋3y－13＝0【解析】由題意可設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k＝－4×eq\f(1,3)＝－eq\f(4,3).又直線經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)，因此所求直線方程為y－3＝－eq\f(4,3)(x－1)，即4x＋3y－13＝0.4、(2022·湖北荊州中學(xué)高三期末)已知直線l的斜率為eq\f(1,6)，且和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，則直線l的方程為___________________________．【答案】x－6y－6＝0或x－6y＋6＝0【解析】由題意可設(shè)直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，則eq\f(1,2)|ab|＝3，且－eq\f(b,a)＝eq\f(1,6)，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝1，))所以直線l的方程