常微分方程第三版課件

常微分方程常微分方程始于十七世紀(jì)牛頓、萊布尼茨、歐拉、伯努利…第一章

緒論始于十七世紀(jì)第一章緒論二體問(wèn)題二體問(wèn)題海王星的發(fā)現(xiàn)海王星的發(fā)現(xiàn)常微分方程是研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的事物、物體和現(xiàn)象運(yùn)動(dòng)、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法。物理、化學(xué)、生物、工程、航空航天、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當(dāng)?shù)某Ｎ⒎址匠?，如牛頓運(yùn)動(dòng)定律、萬(wàn)有引力定律、機(jī)械能守恒定律，能量守恒定律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競(jìng)爭(zhēng)、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲伏趨勢(shì)、利率的浮動(dòng)、市場(chǎng)均衡價(jià)格的變化等，對(duì)這些規(guī)律的描述、認(rèn)識(shí)和分析就歸結(jié)為對(duì)相應(yīng)的常微分方程描述的數(shù)學(xué)模型的研究。常微分方程是研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的事物、物體和現(xiàn)象運(yùn)動(dòng)、§1.1常微分方程模型

微分方程:聯(lián)系著自變量,未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式.

為了定量地研究一些實(shí)際問(wèn)題的變化規(guī)律,往往是要對(duì)所研究的問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化和假設(shè),建立數(shù)學(xué)模型,當(dāng)問(wèn)題涉及變量的變化率時(shí),該模型就是微分方程,下面通過(guò)幾個(gè)典型的例子來(lái)說(shuō)明建立微分方程模型的過(guò)程.§1.1常微分方程模型微分方程:聯(lián)系著自變量,未知函數(shù)例1鐳的衰變規(guī)律:例1鐳的衰變規(guī)律:解:即鐳元素的存量是指數(shù)規(guī)律衰減的.解:即鐳元素的存量是指數(shù)規(guī)律衰減的.

將某物體放置于空氣中,在時(shí)刻時(shí),測(cè)得它的溫度為10分鐘后測(cè)量得溫度為

試決定此物

例2物理冷卻過(guò)程的數(shù)學(xué)模型Newton冷卻定律:1.熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo);2.在一定的溫度范圍內(nèi),一個(gè)物體的溫度變化速度與這一物體的溫度與其所在的介質(zhì)的溫度之差成正比.

將某物體放置于空氣中,在時(shí)刻時(shí),測(cè)得它的溫度為10分

設(shè)物體在時(shí)刻

的溫度為

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義,則溫度的變化速度為

由Newton冷卻定律,得到

其中

為比例系數(shù).此數(shù)學(xué)關(guān)系式就是物體冷卻過(guò)程的數(shù)學(xué)模型.解:設(shè)物體在時(shí)刻的溫度為例3100元鈔票落地實(shí)驗(yàn)

能否夾住關(guān)鍵在于人的反應(yīng)時(shí)間能否小于人民幣經(jīng)過(guò)雙指所耗費(fèi)的時(shí)間？

實(shí)質(zhì)：自由落體運(yùn)動(dòng)牛頓第二定律：F=ma例3100元鈔票落地實(shí)驗(yàn)?zāi)芊駣A住關(guān)鍵在于人的反應(yīng)時(shí)間能于是得到經(jīng)計(jì)算，人民幣經(jīng)過(guò)雙指的時(shí)間不超過(guò)0.18秒，而一般人的反應(yīng)時(shí)間大于等于0.2秒，因此夾不住！解:下落的位移s(t)是時(shí)間t的一元函數(shù)于是得到經(jīng)計(jì)算，人民幣經(jīng)過(guò)雙指的時(shí)間不超過(guò)0.18秒，而例4傳染病模型:

長(zhǎng)期以來(lái),建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述傳染病的傳播過(guò)程,一直是各國(guó)有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題.人們不能去做傳染病傳播的試驗(yàn)以獲取數(shù)據(jù),所以通常主要是依據(jù)機(jī)理分析的方法建立模型.(艾滋病,SARS,H5N1,埃博拉等)例4傳染病模型:長(zhǎng)期以來(lái),建立傳染病的數(shù)學(xué)解:根據(jù)題設(shè),每個(gè)病人每天可使稱為SIS模型經(jīng)典的SI模型（易感染者和已感染者模型）解:根據(jù)題設(shè),每個(gè)病人每天可使稱為SIS模型經(jīng)典的SI模型（解:消去r(t)，得到稱為SIR模型解:消去r(t)，得到稱為SIR模型思考與練習(xí)1.曲線上任一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積都等于常數(shù),求該曲線所滿足的微分方程.解:由題目條件有:思考與練習(xí)1.曲線上任一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形解:2.

求平面上過(guò)點(diǎn)(1,3)且每點(diǎn)切線斜率為橫坐標(biāo)2倍的曲線所滿足的微分方程.解:設(shè)所求的