沖刺階段(查缺補漏)精彩試題

2016屆高考備考沖刺階段（查缺補漏）試題

數(shù)學（理科）1.某中學在高二年級開設大學先修課程《線性代數(shù)》，共有50名同學選修，其中男同學30名，女同學20名.為了對這門課程的教學效果進行評估，學校按性別采用分層抽樣的方法抽取5人進行考核.（1）求抽取的5人中男、女同學的人數(shù)；（2）考核的第一輪是答辯，順序由已抽取的甲、乙等5位同學按抽簽方式?jīng)Q定.設甲、乙兩位同學間隔的人數(shù)為X,X的分布列為X3210Pab13)2求數(shù)學期望EX；（3）考核的第二輪是筆試：5位同學的筆試成績分別為115，122，105，111，109；結合第一輪的答辯情況，他們的考核成績分別為125，132，115，121，119.這5位同學筆試成績與考核成績的方差分別記為S1S］試比較52與S2的大小.解：（1）抽取的5人中男同學的人數(shù)為50義30=3，女同學的人數(shù)為50義20=2.TOC\o"1-5"\h\zA2A3 1(2)由題意可得：P(X=3)=一^=.A5 10532 1因為a+b+10+5=i，所以b—5.32—+0X_—32—+0X_—110所以EX―3X一+2X-+1x10 5（3）s12—s22.2（*）.某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、下周二兩天采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘．由于下雨會影響藥材品質(zhì)，基地收益如下表所示：周一無雨無雨有雨有雨周二無雨有雨無雨有雨收益20萬元15萬元10萬元7.5萬元若基地額外聘請工人，可在周一當天完成全部采摘任務．無雨時收益為20萬元；有雨時，收益為10萬元.額外聘請工人的成本為a萬元.已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬元的概率為0.36．（1）若不額外聘請工人，寫出基地收益X的分布列及基地的預期收益；（2）該基地是否應該外聘工人，請說明理由．【解析】（1）設下周一有雨的概率為P，由題意，P2—0.36,p=0.6，

基地收益X的可能取值為20,15,10,7.5，則P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24,P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16???基地收益X的分布列為：X2015107.5p0.360.240.240.16E(X)=20x0.36+15x0.24+10x0.24+7.5x0.16=14.4,?基地的預期收益為14.4萬元．(2)設基地額外聘請工人時的收益為丫萬元，則其預期收益E(Y)=20x0.6+10x0.4—a=16—a(萬元)，E(Y)-E(X)=1.6—a,綜上，當額外聘請工人的成本高于1.6萬元時，不外聘工人；成本低于1.6萬元時，外聘工人；成本恰為1.6萬元時，是否外聘工人均可以．分組頻數(shù)頻率[85,95)①②[95,105)0.050[105,115)0.200分組頻數(shù)頻率[85,95)①②[95,105)0.050[105,115)0.200[115,125)120.300[125,135)0.275[135,145)4③[145,155)0.050合計④一次測試中的數(shù)學成績，制成如下頻率分布表：0.0351).11前0.02750,0^5<10J12O0.0150.0125"ill。00117：0.005。.小5，②，(1)根據(jù)上面圖表，①②③④處的數(shù)值分別為①.③ ，④ ；(2)在所給的坐標系中畫出［85,155］的頻率分布直方圖；(3)根據(jù)題息估計總體平均數(shù)，并估計總體落在［129,155］中的頻率．解析(1)隨機抽出的人數(shù)為忐二40，由統(tǒng)計知識知④處應填1;③處應填40=0.1；②處.應填1-0.050-0.1-0.275-0.300-0.200-0.050=0.025；①處應填0.025X40=1.

(2)頻率分布直方圖如圖．.頓率ILOI5nILOI5n卜n.m20.Q10(HX17$卜ii.iwO.CXT25(Li?0J}>75o.r)25nbft.O225?(3)利用組中值算得平均數(shù)：90X0.025+100X0.05+110X0.2+120X0.3+130X0.275+140X0.1+150X0.05;6122.5；總體落在[129,155]上的頻率為mX0.275+0.1+0.05=0.315.4.某中學為研究學生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時間的關系，對該校200名高三學生的課外體育鍛煉平均每天運動的時間進行調(diào)查，如下表：(平均每天鍛煉的時間單位：分鐘)平均每天鍛煉的時間(分鐘)[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)總人數(shù)203644504010將學生日均課外課外體育運動時間在［40,60)上的學生評價為“課外體育達標”．(I)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2x2列聯(lián)表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“課外體育達標”與性別有關？課外體育不達標課外體育達標合計男女20110合計(II)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該校高三學生中，抽取3名學生，記被抽取的3名學生中的“課外體育達標”學生人數(shù)為X，若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的數(shù)學期望和方差.n(ad一bc)2 , ,?公式：K2=Q+b兒+d)(〃+c)(b+d)，其中n=a+"c+d參考數(shù)據(jù)：P(K22k)00.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828解答：(I)

課外體育不達標課外體育達標合計男603090女9020110合計15050200K2=200x(60x20—30x901150x50x90x110迎K2=200x(60x20—30x901150x50x90x110迎”6.060<6.635,33 5分所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下不能判斷“課外體育達標”與性別有關 6分(II)由表中數(shù)據(jù)可得，抽到“課外體育達標”學生的頻率為0.25,將頻率視為概率，B(3,4), 8分13 139/.E(X)=3x=—, D(X)=3xx—=—.44 4416 12分5(*).某市環(huán)保知識競賽由甲乙兩支代表隊進行總決賽，每隊各有3名隊員，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯或者不答都得0分，已知甲隊3人答對的概率分321 2別為7,?,7，乙隊每人答對的概率都是Q，設每人回答正確與否相互之間沒有影響，用自表示甲隊總得分。(1)求隨機變量己的分布列及其數(shù)列期望E(^)；(2)求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率。解：(1)由題設知1的可能取值為0,1,2,3,P(自=0)=(1—4)(1-|)(1-10=2143 2 1 32 1 3 211P(自=1)=4x(1-3)x(1-2)+(1-4)x3x(1-2)+(1-Jx(1—3)x—=4p化=2)=3x2x(1—1)+3x(1—2)x1+(1-3)x2x1=43 2 4 3 2 4 321124所以分布列為：321—x—x—432m0123——>44分11111P—2442446分數(shù)學期望6分(2)設“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A,“甲隊比乙隊得分高”為事件B,則1xC3x(2)1xC3x(2)3+11XC2X12P(AB)=xCix-x4 3324 3 321(1--)2=—3 181\o"CurrentDocument"21 2 2 12x(1--)+xCix-x(1--)2=-3 4 33 3 310分8分P(P(AB)_18_112分6(*).已知四棱錐P-ABCD,底面6(*).已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD是直角梯形，AD〃BC/BCD=90,PA1底面ABCD,AABM是邊長為2的等邊三角形，PA=DM=2<3.(I)求證：平面PAM1平面PDM；(II)若點E為PC中點，求二面角P-MD-E的余弦值.解答：(I)AABM是邊長為2的等邊三角形，底面ABCD是直角梯形，:.CD=<3；又DM=2<3,aCM=3,「.AD=3+1=4,?..AD2=DM2+AM2,「.DM±AM.又PA1底面ABCD,「.DM±PA,:.DM1平面PAM,DMu平面PDM,「.平面PAM1平面PDM.(II)以D為原點，DC所在直線為％軸，DA所在直線為y軸，6分11過D11過D且與PA平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系D-xyz,3 —E為PC中點，則E(二,2,、3)，21設平面MDE的法向量為n=(%,y,z),2 222

「;3x+3y=0TOC\o"1-5"\h\z則]出2 2 - ，取x=3,n=(3,-V3,-). 10分I—x+2y+△z=0 2 2 2[22 2 2,八n?n13一. ....>,13 ,由cos0= =13.???二面角P-MD-E的余弦值為q 12分業(yè)114 14.如圖，菱形/6€。中，NABC=60°,AC與BD相交于點O,AE，平面ABCD,CF//AE,AB=AE=2。(1)求證：BD，平面ACFE；(2)當直線FO與平面BED所成角的大小為45°時，求CF的長度。(I)證明：?「四邊形AE±???BD1AE.ABCDABCD是菱形，(I)證明：?「四邊形AE±???BD1AE.ABCDABCD是菱形，???BD1AC.BDu平面ABCDACcAE=A,...BD1平面ACFE 4 分(II)解：如圖以o為原點，OA,OB為x,y軸正向，Z軸過O且平行于CF，建立空間直角坐標系.則B(0,右,0),D(0,-*",0),E(1,0,2),F(-1,0,q)(q>0)，OF=(-1,0,a)6分設平面edb的法向量為n=(x,y,z),則有1n.則有1n.OB=0，即n?OE=0<3y=0令z=1，n=(-2,0,1)x+2z=08分TOC\o"1-5"\h\zIOF-nI12+aI<2 、1由題意sin45。=|cos<OF,n>|= =―= =——解得a=3或—.IOFIInIaa2+15 2 3由a>0，得a=3 12分.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA，底面ABCD,NPCD=90°,PA=AB=AC.(1)求證：AC±CD； -⑵點E在棱PC上，滿足NDAE=60°,^二面角B-AE-D的余弦值.解答：(1)證明：因為PA,底面ABCD,所以PALCD,—,因為NPCD=90°,所以PCLCD,所以?？冢矫鍼AC,所以CDLAC；(2)解：二?底面ABCD是平行四邊形，CD±AC,AAB±AC.又PAi底面ABCD,??.AB,AC,AP兩兩垂直.—>>

如圖所示，以點A為原點，以為x軸正方向、以||為單位長度，建立空間直角坐標系.則B（1，0，0），C（0，1,0），P（0，0，1），D（-1,1,0）.設二人二入（0,1,-1）,則=+=（0,入，1-入），又NDAE=60°，則cosV，>=，即二，解得人二.則=（0，，），=-=（-1，，-），所以cosV,>==-.因為-=0,所以，.又，，故二面角B-AE-D的余弦值為-.9（*）.如圖，在三棱柱極一A年;中，底面△ABC是邊長為2的等邊三角形，過平作平面ACD平行于BC，交AB于D點，（1）求證：CD1ABTOC\o"1-5"\h\z（2）若四邊形BCCB是正方形，且AD二屈，求直線AD與平面CBBC所成角的正ii i i iiB16分B16分（1）證：連結AC，設AC與AC相交于點E，連接DE，則E為Aq中點，， 2分??,BC〃平面ACD,DE=平面ACD平面ABCADE#BC，11 1 1 14分???D為AB的中點，又：AABC為正A，.二CD1AB (2)AD2+AA2 5=AD211???AA1AD17分又BB(2)AD2+AA2 5=AD211???AA1AD17分又BB1BC,BB//AA :.AA1BC，1 11 1又ADBC二B ?二A1A1平面ABC 8分設BC的中點為0，BC的中點為。，以。為原點，ob所在的直線為x軸，OO所在的直11 1 1線為,軸，OA所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系O—羋.9分則A0233，iAAiDQ(2-2-爭 10分Cy11平面CBBC的一個法向量n（0,0,1）,11AD?n1AD?n110... 岳所以直線A1D與平面CBB1cl所成角的正弦值為-10-.12分10.如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，EF/AAD，平面ADEF，平面ABCD，且BC=2EF,AE=AF，點G是EF的中點。(1)證明：AG，平面ABCD。(2)AM求出mc的值；若若直線BF與平面ACE(2)AM求出mc的值；若(3)判斷線段AC上是否存在一點M，使MG〃平面ABF?若存在，不存在，說明理由?！窘馕觥?1)證明：^AE=AF,E為的中，矍,鼠而療CD[^>AG±ADEF,ADuADEF.面ADEF_L面ABCD及面ADEF「面ABCD=￡0則<G_L面ABCD.(2)建立以A時坐標原京，工3為總軸，AD為y力行為二軸的空標系，則月(Q,0,0),現(xiàn)4—)，5%4⑼,設GQQeJ,則頤CU/3FQ-1/]).電=(0」/"二巴4,口).設平面ACE的去向量為雅=(無，兒,4)AE?丹二口，一..,此[融=(1,一1,AC■咫=0 E口設立統(tǒng)3尸與平面力由縮成夾角為a則則Jta耶幺得再=L或%=2所以國G的長度為1或里.2

口）序在，點反是幺C的靠近幺的四等分點.過點W做BC的平行我交〃于黑N,則加MlSC且W二:BC根據(jù)題康可得FG二,所以M段啟F0,因此HN”翻0,而兩ru面ABF且加了（Z面ABF,所以MG療面ABF.曲干點股是金口的靠近幺的四等分點，所以空=1.MC311（*）.已知直線1x11（*）.已知直線1x=1+—t,2、，―。3,

y——t.2（t為參數(shù)）,曲線C1:x=cos0,

y=sin0,（0為參數(shù)）.（I）設t與q相交于a,B兩點，求IAB|；（ii）若把曲線q上各點的橫坐標壓縮為原來的1倍，縱坐標壓縮為原來的二3倍，得到曲線q，設點p是曲線q上的一個動點，求它到直線t的距離的最小值.22解：（i）t的普通方程為y=<3（X-1）,q的普通方程為X2+y2=1.聯(lián)立方程組TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"y=33（x-1）, 1 J3［X2+y2=1,解得t與qi的交點為A（1，0），B（2,-爭，則IABI=1.……5分\o"CurrentDocument"x=1cos0, 可（ii）q的參數(shù)方程為122— （0為參數(shù)）.故點P的坐標是Jcos0,衛(wèi)sin0）（ii）q的參數(shù)方程為12\o"CurrentDocument"，：3.八' 2 2y=——sin0.2Icos0--sin0-13I3P到直線t的距離是d=' 2 =—[<2sin（0-—）+2],TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"Pe 2 4 410分由此當sin（0--）=-1時"取得最小值，且最小值為二（、五-1）.10分Ix=acosp12（*）.在平面直角坐標系x。",曲線Ci的參數(shù)方程為［尸bsinp，（a>b0，①為參數(shù)），且曲線c上的點M（2,v；3）對應的參海=［，以O為極點，X軸的正半軸為極軸1 3數(shù)），兀 一建立極坐標系，曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過極點的圓，射線0二4與曲線c2交于點D（a4）?（I）求曲緋的普通方程，c的極坐標方程;

兀 1 1(II)若A(p,0),B(p,0+-)是曲線C上的兩點，求一兀 1 1(II)若A(p,0),B(p,0+-)是曲線C上的兩點，求一十一的值.1 2 2 1 p2p21 2(I)將M(2,<3)及對應的參數(shù)①二三代入%=acos①尸bsin,，(a>"°q為參數(shù))。 兀2-acos一3J3-bsin^3所以a-4 2 2b=2，所以曲線C1的普通方程為%6+亍-1；……4分設圓C2的半徑為R則圓C2的方程為p-2R8s0,將點De，小代入得R-L所以圓C的極坐標方程為p=2cos02(II)曲線C的極坐標方程為

1p2cos20+p2sin2016=1,將A(p,0),B(p,0+第代1 2 2p2cos20p2sin20入得一p2sin20p2cos20—2 +—2 16所以——p21p2 16210分13.在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為11x=-t2y-2+——t2(t為參數(shù))，若以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知圓C的極坐標方程為p-4cos0，設M是圓C上任一點，連結OM并延長到Q,使|OM|-|MQ|.(I)求點Q軌跡的直角坐標方程；(I)若直線l與點Q軌跡相交于A,B兩點，點P的直角坐標為(0,2),求|pa|+|PB|的值.TOC\o"1-5"\h\z解：(I)圓c的直角坐標方程為(X-2)2+y2-4，設q(%y)，則m(%,y)，’ 22??.(%-2)2+(y)2-4??.(％-4)2+y2-16這就是所求的直角坐標方程 5分[ 1%--21(I)把1 2L代入(X-4)2+y2=16，即代入X2+y2-8X-0卜-2+鼻,88分88分得(—L)2+(2+旦t)2-8(—11)=0，即得(—L)2+(2+旦t)2-8(—11)=0，即12+(4+2<3)t+4=0令A^B對應參數(shù)分別為222t,t，則t+t=-(4+2j3)<0,t-t=4>012 12 1 2所以|PA|+|PB|=|tj+|t2|=1tl+12|=4+2<3 10分X=X+tcos0 X214(*).已知參數(shù)方程為< °.A(t為參數(shù))的直線l經(jīng)過橢圓-+J2=1的左y=tsin0 3焦點個，且交y軸正半軸于點C，與橢圓交于兩點A、B（點A位于點C上方）.（I）求點C對應的參數(shù)I（用0表示）；（II）若|「B|=|AC|,求直線l的傾斜角0的值.X2解：（i）在橢圓-3+y2=1中,a2=3,b2=1,；.c=Ja2-b2=#，即FC72,0),2分故『-、二,在直線1的參數(shù)方程中,令x=0,解得廣器；4分, ,Ix=一%；2+1cos0, , …，（II）解法1：把〈 .八 代入橢圓方程，并整理得:Iy=tsin0G+2sin20)t2-2021cos0-1=0,6分設點A、B對應的參數(shù)為tA、tB，由|F1B=AC|結合參數(shù)t的幾何意義得:t+t=t,

ABC2c2cos0 <2即1+2sin20 cos0， 8分一八1 八（一兀、八兀解得sin0=-，依題意知0g0,—，,0=—.2 V2J6 10分【解法2：設A、B兩點的橫坐標分別為x、x,AB將直線1的普通方程y=tan0（x+U2）代入橢圓方程并整理得：（1+3tan20）x2+6。2tan20x+6tan20-3=0, 6分則|x+x=

AB6<2tan201+3tan20 7分?..|FB|二一xb-:工,1AC1=1 cos0 cos06、.2tan201+3tan20,TOC\o"1-5"\h\z八 八 K10分】，依題意知0e0,-，得0=10分】\o"CurrentDocument"I2) 615.在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.半圓K 3KC(圓心為點C)的極坐標方程為P=2sin。，。￡(—,—).(I)求半圓C的參數(shù)方程：(II)直線l與兩坐標軸的交點分別為A,8,其中A(O,-2),點D在半圓C上，且直線CD的傾斜角是直線l傾斜角的2倍，若4ABD的面積為4,求點D的直角坐標.解：(1)半圓C的直角坐標方程為x2+。-1)2=1(y>1),它的參數(shù)方程是］x=；斐2°,9是參數(shù)且9￡(0，n). …4分(II)設直線l的傾斜角為a,則直線l的方程為y=xtana-2,D(cos2a,1+sin2a),2a￡(0,n).1AB1=-2-,點D到直線l的距離為sna|sinacos2a-cosasin2a-3cosa|=|3cosa-sinacos2a＋cosasin2a|=3cosa＋sina,n由^ABD的面積為4得tana=1,即a=了，故點D為(0,2).…10分16(*).動點P(x,y)到定點F(1,0)的距離與它到定直線l：x=4的距離之比為1.(I)求動點P的軌跡C的方程；(II)已知定點A(-2,0),B(2,0)，動點。(4,t)在直線l上，作直線AQ與軌跡C的另一個交點為^，作直線BQ與軌跡C的另一個交點為N，證明：M,N,F三點共線.(x-1)2+y2 1 x2y2.解：(I)由題意得一———=-,化簡并整理，得—+^=1.|x-4| 2 4 3

x2y2所以動點P(x,y)的軌跡C的方程為橢圓—+?=1.(I)當t=0時，點M與B重合，點N與A重合，M,N,F三點共線.當t豐0時，根據(jù)題意：QA:y=t(x+2),QB:y=-(x-2)6 2y=—(x+2)6(11)((11)(法一)(11)((11)(法一)t2消兀得：3x2 (x2)2120+9+—二整理得：(1227)x24t2x4t21080+++-=4t2108 542t2TOC\o"1-5"\h\z該方程有一根為x 2,另一根為x，根據(jù)韋達定理，2x ———,x ——M M 1227M1227=一 ~ ￥ =Tx2y2 1—+—=1由74 3 消元得：3x212(x2)2120y=t(x-2) + ——=整理得：(123)x2412x4121204t212 2t26該方程有一根為x2,另一根為x，根據(jù)韋達定理，2x ———,x ——-N N 123N 123= =t=-rxN時，54t2xN時，54t2212272126123得：129,xx1,M,N,F得：12t_二一t/c、 181 t/c、 -61當xx時，y=-(x+2)= ,y=—(x-2)= M*NM6M 12+27 N2N12+3181 6tkMFy——kMFy——M—x1"-6t;k541121912N1227二y123 6t N- ——x1 212一%1 912N- 1一— 干__ - -F_ -k=K,M,N,F三點共線.命題恒成立. 一MFNF17(*)已知函數(shù)f(x)=lnx-a2x2+ax(a￡R).(I)當a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(II)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+8)上是減函數(shù)，數(shù)a的取值圍.解：(1)當a=1時，f(x)=lnx—x2+x，定義域是(0,+8).f(x)=1-2x+1,

x由f(x)>0，解得0<x<1；由f,(x)<0，解得x>1；所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+8).因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+8)上是減函數(shù)，所以f'(x)<0在(1,+8)上恒成立，則f,(x)=1-2a2x+a<0，即g(x)=2a2x2-ax-1>0在(1,+s)上恒成立.x①當a=0時，g(x)=-1<0，所以a=0不成立.a②當a中0時，g(x)=2a2x2-ax-1，A=9a2>0，對稱軸x= g(1)>0<g(1)>0<ar，——<1I4a2,1.a<一一或a>12a<0或a>14lg(1)=2a2-a-1>0即r ，解得<Ia<4a2~ 1 ,所以實數(shù)a的取值圍是a<--,a>1.…、1- -2a2x2+ax+1 ，八、(法二)f1(x)=-2a2x+a= ，定義域是(0,+8).