2022-2023學年湖南省岳陽市華容縣高一年級下冊學期期末數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年湖南省岳陽市華容縣高一下學期期末數(shù)學試題一、單選題1．是虛數(shù)單位，則的虛部是（）A．-2 B．-1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算把復數(shù)化為代數(shù)形式后可得其虛部．【詳解】由題意得，所以復數(shù)的虛部是．故選B．【點睛】本題考查復數(shù)的運算和復數(shù)的基本概念，解答本題時容易出現(xiàn)的錯誤是認為復數(shù)的虛部為，對此要強化對基本概念的理解和掌握，屬于基礎題．2．某校共有學生3000人，為了解學生的身高情況，用分層抽樣的方法從三個年級中抽取容量為50的樣本，其中高一抽取14人，高二抽取16人，則該校高三學生人數(shù)為（

）A．600 B．800C．1000 D．1200【答案】D【分析】根據(jù)分層抽樣的知識求得正確答案.【詳解】該校高三學生人數(shù)為人.故選：D3．在正方體中，異面直線與所成的角為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】根據(jù)題意，求異面直線所成角，找到平行線，轉化成平面角，即可求解.【詳解】由題意，作正方體，如下圖所示：連接，，∴異面直線與即所成的角為.由題可得為等邊三角形，.∴異面直線與所成的角為60°.故選：C.【點睛】本題考查異面直線所成角，屬于基礎題.4．已知是兩個不同的平面，則下列命題錯誤的是（

）A．若且，則B．若是平面內不共線三點，，則C．若直線，直線，則與為異面直線D．若且，則直線【答案】C【分析】根據(jù)基本事實3（公理2）可判斷A；根據(jù)基本事實1（公理3）可判斷B；根據(jù)異面直線的定義可判斷C；根據(jù)基本事實2（公理1）可判斷D.【詳解】對于A，由根據(jù)且，則是平面和平面的公共點，又，由基本事實3（公理2）可得，故A正確；對于B，由基本事實1（公理3）：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面，又，且，則，故B正確；對于C，由于平面和平面位置不確定，則直線與直線位置亦不確定，可能異面、相交、平行、重合，故C錯誤；對于D，由基本事實2（公理1）：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內，故D正確.故選：C.5．已知三邊，，，，則的面積等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理求出的值，利用同角三角函數(shù)的基本關系求出的值，再利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】由余弦定理可得，則為銳角，故，因此的面積為.故選：B.6．中，點為邊AC上的點，且，若，則的值是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】由平面向量的基本定理結合圖形計算即可.【詳解】由題意易得：，故.故選：A.7．如圖是隋唐天壇，古叫圜丘，它位于唐長安城明德門遺址東約950米，即今西安市雁塔區(qū)陜西師范大學以南．天壇初建于隋而廢棄于唐末，比北京明清天壇早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之處．某數(shù)學興趣小組為了測得天壇的直徑，在天壇外圍測得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，據(jù)此可以估計天壇的最下面一層的直徑AD大約為(結果精確到1米)(參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.646)（

）

A．53米 B．55米C．57米 D．60米【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，連接，判斷為等邊三角形，再利用余弦定理求解作答.【詳解】如圖，連接，

在中，，則是等邊三角形，，由，得，而，在中，由余弦定理得：（米）.故選：A8．已知三棱錐中，平面，，，是的中點，則三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】因為三棱錐的高，體積最大即為底面面積最大.取的中點，的中點，連結，則為三棱錐外接球的半徑，進一步計算得出結果.【詳解】如圖，因為平面，所以三棱錐的高為，所以其體積的最大即為底面面積最大.因為，所以，當時，取得最大值，即面積最大.因為是的中點，所以，取的中點，的中點，連結，則，點為直角的外心，因為平面，所以平面，則點為三棱錐外接球的球心，且，又，則，三棱錐外接球的表面積為.故選：D.

二、多選題9．給定一組數(shù)據(jù)5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則這組數(shù)據(jù)（

）A．標準差為4 B．平均數(shù)為3C．方差為1.6 D．眾數(shù)為2和3【答案】BCD【分析】根據(jù)已知條件，結合眾數(shù)的含義，以及平均值和方差公式，即可求解．【詳解】對于B，數(shù)據(jù)為5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，平均數(shù)為，故B正確.對于A、C，方差，標準差為，故C正確，A錯誤．對于D，由題中數(shù)據(jù)可得，這組數(shù)據(jù)眾數(shù)為2和3，故D正確.故選：BCD．10．已知向量，，若兩個向量的夾角為鈍角，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】兩個向量的夾角為鈍角，則且與不反向，結合向量的數(shù)量積公式及共線的坐標表示求得結果.【詳解】已知向量，的夾角為鈍角，則且與不反向，即且，解得且.故選：BC.11．一只袋子中有大小和質地相同的個球，其中有個白球和個黑球，從袋中不放回地依次隨機摸出個球，甲表示事件“兩次都摸到黑球”，乙表示事件“兩次都摸到白球”，丙表示事件“一次摸到白球，一次摸到黑球”，丁表示事件“至少有一次摸到白球”，則（

）A．甲與乙互斥 B．乙與丙互斥C．乙與丁互斥 D．丙與丁互斥【答案】AB【分析】利用互斥事件的定義即可求解．【詳解】解：甲與乙不能同時發(fā)生，甲與乙是互斥事件，故A正確；乙與丙不能同時發(fā)生，乙與丙是互斥事件，故B正確；丁與乙可以同時發(fā)生，乙與丁不是互斥事件，故C錯誤；丙與丁可以同時發(fā)生，丙與丁不是互斥事件，故D錯誤．故選：AB．12．已知正四面體，下說法中正確的是（

）A．與垂直B．直線與平面所成角的正弦值為C．平面與平面所成角的大小為D．若，則直線與直線之間的距離為【答案】ABD【分析】取線段的中點，連接、，證明出平面，利用線面垂直的性質可判斷A選項；利用線面角的定義可判斷B選項；利用二面角的定義可判斷C選項；找出直線與直線的公垂線段，并其長度，可判斷D選項.【詳解】如下圖所示：

對于A選項，取線段的中點，連接、，因為、均為等邊三角形，為的中點，所以，，，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，A對；對于B選項，設正四面體的棱長為，則點在面的射影為等邊的中心，連接、，則，所以，，因為平面，平面，所以，，所以，，由線面角的定義可知，直線與平面所成角為，且，故與平面所成角的正弦值為，B對；對于C選項，取線段的中點，連接、，因為、都是邊長為的等邊三角形，且為線段的中點，則，，且，由二面角的定義可知，平面與平面所成角為，由余弦定理可得，所以，平面與平面所成角不是，C錯；對于D選項，當時，則，因為為的中點，則，且，又因為，為的中點，則，因此，若，則直線與直線之間的距離為，D對.故選：ABD.三、填空題13．袋子中有5大小質地完全相同的球，其中2個紅球，3個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，則摸出的2個球都是黃球的概率為.【答案】/0.3【分析】求出從中不放回地依次隨機摸出2個球的基本事件，求出摸出的2個球都是黃球的基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.【詳解】由題意可給這五個球分別標上號碼,紅球為1,2,黃球為3,4,5,可得從中不放回地依次隨機摸出2個球，共有基本事件如下，,共10個,其中摸出的2個球都是黃球的基本事件有共個，故摸出的2個球都是黃球的概率為，故答案為：14．已知點，向量，，點P是線段AB的三等分點，則點P的坐標是．【答案】或【分析】先利用平面向量的減法法則得到．由于點是線段的三等分點，可得，或者．即可得出．【詳解】，，；點是線段的三等分點，，或者．，或．或．故答案為：或．15．中國南北朝時期數(shù)學家、天文學家祖沖之、祖暅父子總結了魏晉時期著名數(shù)學家劉徽的有關工作經(jīng)驗，提出“冪勢既同，則積不容異”．“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高．詳細點說就是，界于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．上述原理在中國被稱為祖暅原理．一個上底面邊長為2，下底面邊長為4，高為6的正四棱臺與一個不規(guī)則幾何體滿足“冪勢既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為．

【答案】56【分析】由題目所給信息可得即求相應臺體體積，由臺體體積公式可得答案.【詳解】由題可得即求相應臺體體積，設臺體上底面面積為，下底面面積為，臺體高為，則臺體體積為.故答案為：5616．中，的角平分線交AC于D點，若且，則的最小值為．【答案】【分析】利用三角形面積公式得到，由基本不等式求出，從而得到面積的最小值.【詳解】由三角形面積公式可知，，故，又，所以，即，由基本不等式得，即，解得，當且僅當時，等號成立，所以.故答案為：四、解答題17．已知復數(shù)，mR，其中i為虛數(shù)單位．(1)若z是實數(shù)，求m的值；(2)當復數(shù)z在復平面內對應的點位于第四象限時，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）若是實數(shù)，則虛部為0；（2）根據(jù)復數(shù)在復平面內對應的點位于第四象限，則實部大于零，虛部小于零.【詳解】（1）若是實數(shù)，則，即（2）當復數(shù)在復平面內對應的點位于第四象限時,，解得.18．1995年，聯(lián)合國教科文組織宣布4月23日為世界讀書日，向全世界發(fā)出了走向閱讀社會的號召，4月也因此成為“讀書月”．定這個日期是因為，1616年4月23日是西班牙著名作家塞萬提斯和英國著名作家莎士比亞的辭世紀念日．某校為了解高一學生在“讀書月”課外閱讀時間的情況，抽樣調查了其中的100名學生，統(tǒng)計他們閱讀的時間（單位：小時），并將統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制成如圖的頻率分布直方圖．

(1)估計這100名學生在“讀書月”課外閱讀時間的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)；(2)估計這100名學生在這個“讀書月”內課外閱讀時間的第75百分位數(shù)（結果保留兩位小數(shù)）．【答案】(1)眾數(shù)是20；中位數(shù)為，平均數(shù)為(2)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出的值，然后根據(jù)眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的概念計算即可；（2）確定第75百分位數(shù)所在區(qū)間，再計算即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可看出最高矩形底邊上的中點值為20，故眾數(shù)是20；由，解得，因為，且，所以中位數(shù)位于之間，設中位數(shù)為，，解得，故中位數(shù)是；平均數(shù)為；（2）75百分位數(shù)即為上四分位數(shù)，又因為，，所以上四分位數(shù)位于之間，設上四分位數(shù)為，則，解得．19．如圖,在四棱錐P－ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA=PC,E為PB的中點．求證:(1)平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)設,連接,根據(jù)中位線可得,再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明;(2)根據(jù)可得,根據(jù)四邊形為菱形,可得,再根據(jù)線面垂直的判斷定理可得平面,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得出結果.【詳解】（1）設,連接,如圖所示:因為O,E分別為,的中點,所以,又因為平面,平面,所以平面．（2）連接,如圖所示:因為,為的中點,所以,又因為四邊形為菱形,所以,因為平面,平面,且,所以平面,又因為平面,所以平面平面．20．11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束．甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時甲得分的概率為，各球的結果相互獨立．在某局雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結束．(1)求；(2)求事件“且甲獲勝”的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件概率計算公式求得正確答案.（2）根據(jù)相互獨立事件概率計算公式求得正確答案.【詳解】（1）就是某局雙方10∶10平后，兩人又打了2個球該局比賽結束，則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分．因此.（2）“且甲獲勝”，就是某局雙方10∶10平后，兩人又打了4個球該局比賽結束，且這4個球的得分情況為前兩球是甲、乙各得分，后兩球均為甲得分．因此事件“X＝4且甲獲勝”的概率為：.21．在四棱錐中，是等邊三角形，且平面平面，，．

(1).在AD上是否存在一點M，使得平面平面，若存在，請證明；若不存在，請說明理由；(2).若的面積為，求三棱錐的體積．【答案】(1)存在；證明見解析(2)【分析】（1）由題可得，即在上找一點M，使平面即可；（2）設，由題目條件及的面積為，可得，即可得三棱錐的體積.【詳解】（1）存在，當M為的中點時，平面平面．證明：取AD的中點M，連接，由是等邊三角形，可得，由平面平面，平面，平面平面，可得平面，由平面，可得平面平