數(shù)學(xué)人教A版選修2-2本章整合第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

本章整合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)專(zhuān)題探究專(zhuān)題一復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部定義的區(qū)分對(duì)于復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a和b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部，一定要記清楚bi并不是虛部．如2＋i的實(shí)部為2，虛部為1，而不是i.【例1】復(fù)數(shù)eq\f(1,－2＋i)＋eq\f(1,1－2i)的虛部是()A．eq\f(1,5)iB．eq\f(1,5)C．－eq\f(1,5)iD．－eq\f(1,5)解析：eq\f(1,－2＋i)＋eq\f(1,1－2i)＝eq\f(－2－i,(－2＋i)(－2－i))＋eq\f(1＋2i,(1－2i)(1＋2i))＝eq\f(－2－i,5)＋eq\f(1＋2i,5)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)i，故虛部為eq\f(1,5).答案：B專(zhuān)題二純虛數(shù)概念的理解對(duì)于復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)a＝0，且b≠0時(shí)，叫做純虛數(shù)，特別要注意記清“a＝0”這一必備的前提條件．【例2】若復(fù)數(shù)(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為()A．1B．2C．1或2D．－1解析：由純虛數(shù)的定義，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋2＝0，,a－1≠0，))解得a＝2.答案：B專(zhuān)題三復(fù)數(shù)的幾何意義1．復(fù)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用(1)復(fù)數(shù)的幾何意義主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：①?gòu)?fù)數(shù)z與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z及向量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；②復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算與向量的加減運(yùn)算的對(duì)應(yīng)關(guān)系；③復(fù)數(shù)z－z0模的幾何意義．(2)復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用：①求復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析幾何的求解問(wèn)題；②復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算與向量的加減運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化；③利用|z－z0|判斷復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡及軌跡方程，也可以求|z|的最值．2．復(fù)數(shù)幾何意義中數(shù)形結(jié)合的思想方法復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，也就是復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)．如果復(fù)數(shù)按照某種條件變化，那么復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)就構(gòu)成具有某種特征的點(diǎn)的集合或軌跡，這種數(shù)形的有機(jī)結(jié)合，成為復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題的重要途徑之一．【例3】復(fù)數(shù)z＝eq\f(i,1＋i)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，z＝eq\f(i,1＋i)＝eq\f(i(1－i),(1＋i)(1－i))＝eq\f(i－i2,2)＝eq\f(1＋i,2)，所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，位于第一象限．故選A．答案：A【例4】在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)P，Q分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z1，z2，且z2＝2z1＋3－4i，|z1|＝1，則點(diǎn)Q的軌跡是()A．線(xiàn)段B．圓C．橢圓D．雙曲線(xiàn)解析：∵z2＝2z1＋3－4i，∴2z1＝z2－(3－4i)．∵|z1|＝1，∴|2z1|＝2，∴|z2－(3－4i)|＝2，由模的幾何意義可知點(diǎn)Q的軌跡是以(3，－4)為圓心，2為半徑的圓．故選B．答案：B【例5】已知等腰梯形OABC的頂點(diǎn)O，A，B在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0,1＋2i，－2＋6i，，求頂點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z.提示：根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，由，四邊形OABC為等腰梯形，知，從而可建立方程組求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即得點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z.解：設(shè)z＝x＋yi，x，y∈R，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)，如圖．∵，，∴kOA＝kBC，|zC|＝|zA－zB|，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,1)＝\f(y－6,x＋2)，,\r(x2＋y2)＝\r(32＋(－4)2).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝4.))∵，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝4))(舍去)，故z＝－5.專(zhuān)題四復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減、乘、除運(yùn)算是本章的重點(diǎn)，在四則運(yùn)算時(shí)，不要死記結(jié)論．對(duì)于復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減、乘運(yùn)算，要類(lèi)比多項(xiàng)式的加、減、乘運(yùn)算進(jìn)行；對(duì)于復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算，要類(lèi)比分式的分母有理化的方法進(jìn)行．另外，在計(jì)算時(shí)也要注意下面結(jié)論的應(yīng)用．(1)(a±b)2＝a2±2ab＋b2，(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2，(3)(1±i)2＝±2i，(4)eq\f(1,i)＝－i，(5)eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i，(6)a＋bi＝i(b－ai)．【例6】復(fù)數(shù)eq\f(i2＋i3＋i4,1＋i)等于()A．eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)iB．eq\f(1,2)－eq\f(1,2)iC．－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)iD．－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i解析：eq\f(i2＋i3＋i4,1＋i)＝－eq\f(i,1＋i)＝eq\f(－i(1－i),2)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i.答案：D【例7】設(shè)a，b∈R，a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)(i為虛數(shù)單位)，則a＋b