中國石油大學近三年高數(shù)期末精彩試題及問題詳解

標準標準文案文案2013—2014學年第一學期《高等數(shù)學〔2-1》期末考試A卷〔工科類〕參考答案及評分標準〔共5小題，每題3分，共計15分〕“√”，假設正確，請給出證明，假設不正確請舉一個反例進展說明.1．假設f(x)在(a,)無界，則limf(x).〔 〕-------------〔1分〕x例如：f(x)xsinx，在(1,)無界，但limxsinx. -------〔2分〕x2．假設f(x)在x點連續(xù)，則f(x)在x點必可導.〔 〕-------------〔1分〕0 0例如：f(x)x，在x0點連續(xù)，但f(x)x 在x0不行導.------〔2分〕3．假設limxyn n

0，則limxn

0或limyn

0〔 〕--------------〔1分〕xn

:1,0,1,0,

y :0,1,0,1,n有l(wèi)imxyn n

0，但limxn

，limyn

都不存在.----------------------------〔2分〕4．假設f(x)0，則f(x)在x 點必取得極值.〔 〕-------------------〔1分〕0 0f(x)x3f(0)0f(x)x3x0點沒有極值.---------〔2分〕5．假設f(x)在[a,b]有界，則f(x)在[a,b]必可積.〔 〕-------------〔1分〕1當x為有理數(shù)，例如：D(x)

01D(x在[01不行積.〔2分〕 0,當x.〔共3小題，每題7分，共計21分〕f(x)xcotx的連續(xù)點，并推斷其類型.解f(x)xcotx的連續(xù)點為：xk,k0,1,2,當k0,即x0時, limf(x)limxcotxlimxcosx1,

(3分)x0 x0 x0

sinxx0f(x)xcotx的第一類可去連續(xù)點;-----------------------(2分)當xk,k1,2,時, limf(x)limxcotxlimxk xk xk

xcosx,sinxxk,(k1,2,f(x)xcotx的其次類無窮連續(xù)點.---------(2分)limx1

x(1t2)xdtx2 0

解 lim x(1t2)etxdtlim 0

〔3分〕xx2 0

x

x2ex

lim

(1x2)ex (3分)x(2xx2)exlim

1x2

1. 〔1分〕x2xx2xyyxxyyx

(x0,y0yy(x，求

d2y.dx2xy解1xy

兩邊取對數(shù)，得 1lny1lnx，yxx yyx即 ylnyxlnx， (2分)x(1lnydy

1lnxdy

1lnx

，-------(2分)d2ydx2

ddy dxdx

dxdyx y dx(1lny)2

dx 1lny----------------------------(2分) y(1lny)2x(1lnx)2 .------------------------------------------------(1分)xy(1lny)3〔共3小題，每題7分，共計21分〕求不定積分sinxcos3xdx.1sin2x解sinxcos3xdxsinx(1sin2x)d(sinx) 〔2分〕1sin2x 1sin2x〔令sinxt〕 =t(1t2)dt=1t2

t

2t dt1t2

------------------〔2分〕t2 1 ln(1t2C sin2xln(1sin2xC 〔3t2 12 2設ln2x 是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，求

xf(x)dx.解

2lnxf(x，-------------------------------------------------(2分)xf(x)dxln2xC， (2分)xf(x)dxxdf(x)xf(x)f(x)dx求定積分

2lnxln2xC.4(x3sinx4cos72x)dx.4

(3分)解 4 (x3sinx44

cos72x)dx 4

x3sinx4dx

4cos72xdx-------(1分)44044

cos72xdx 〔2分〕240

cos72xdx 〔2分〕2〔令2xt〕20

cos7tdt 〔1分〕 6!.7!

〔1分〕〔共2小題，每題6分，共計12分〕一個長方形的長l以2cm/sw以3cm/s12cm，5cm時，它的對角線的增加率是多少？解：設y，則y2

w2

-----------------------------------(2分)兩邊關于t求導，得2ydy

2ldl

2wdw，dt dt dt即 ydy

ldl

wdw------〔1〕--------------------------------(2分)dt dt dt12212252 2, ydt dt

13,代入〔1〕式，得dy3〔cm/s〕.--------------------------------------------------(2分)dtxct2做直線運動，該物體所受阻力與速度平方成正比，比例系數(shù)為1，x0xa時抑制阻力所做的功.解 v(t)

dx2ctdt

(2分)f(x)k4c2t24c2t24cx,--------------------------------------------------(2分)W

a4cxdx＝2ca2 . (2分)0〔此題10分〕f(x)x5arctanx，試爭論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，凹凸性，拐點，漸近線解 函數(shù)的定義域為(,).f(x)1x2.

5 1x2

1x2

，令f(x)0得駐點(1分)f(x) 10x f(x)0x0--------(1分)列表爭論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，凹凸性，拐點：x(x(,2)2(2,0)0(0,2)2(2,)f(x)00f(x)0極大值25arctan2微小值25arctan2yf(x)拐點(0,0) (6分)lim

f(x)lim(15arctanx)1,1 x x x x5lim[f(x)ax]lim(5arctanx) ,1 x

1 x 2lim\l“_TOC_250000“

f(x)lim(15arctanx)1,2 x x x x5lim[f(x)a2 x

lim(5arctanx) ,x 2yx

5.2

(2分)〔共2小題，每題7分，共計14分〕試求曲線

y xex

(x0)

xx

軸旋轉(zhuǎn)所得到的伸展到2.解：2Vy2dxxexdx 〔4分〕0 0 (x1)ex

lim(x1)ex0 xlim

x10 〔3分〕xexy5y4y32x的通解.解r2

5r40r1

4,r2

1-----------------(2分)yCe4x1

Cex.------------------------------(2分)2而0y*

AxB-----------------(1分)A

1 11 x 11 B . y* 2 8 2 8x 11yC1

Cex --------------------------------(1分)2 2 8〔此題7分〕表達羅爾(Rolle中值定理，并用此定理證明：方程a1

cosxa2

cos2xan

cosnx0在(0,)至少有一個實根，其中a,a ,a 為常數(shù).1 2 n(Rolle)中值定理：設f(x)在[ab](ab可導，f(a)f(b)abf()0

(3分)f(x)a

x

asin2x2

asinnx n ，--------------------------------------(2分 1 2 n在[0,]上連續(xù)，在(0f(x)a1

cosxa2

cos2xan

cosnx，f(0)f()0,0,使得f() a1

cosa2

cos2an

cosn0，即方程a1

cosxa2

cos2xan

cosnx0在0----(2分)各章所占分值如下：第一章函數(shù)與極限13%；第二章一元函數(shù)的導數(shù)與微分16%；第三章微分中值定理與導數(shù)的應用20%；第四章不定積分14%；第五章定積分及其應用30%.第六章常微分方程7%.2014—2015《高等數(shù)學〔2-1》期末考試A參考答案及評分標準各章所占分值如下：第一章函數(shù)與極限16%；第二章一元函數(shù)的導數(shù)與微分16%；第三章微分中值定理與導數(shù)的應用14%；第四章不定積分15%；第五章定積分及其應用26%.第六章常微分方程13%.12分本題得分〔共3小題，每題4分，共計12分本題得分題后的括號打“√”，假設正確，請給出證明，假設不極限limsin1不存在.〔 √ 〕 〔2分〕x0 x1 1 1證設f(x)sin ，取xx n

，y2n

，(n1,2, )2n2limx 0，limyn n n

0，但limf(x

)limsin

limsin2n0，n

n n

x nnlimf(yn

)limsin1n yn

limsin(2n)1，n 2由海涅定理，limsin1不存在. 〔2分〕x0 x2．假設曲線yf(x)(x0

,f(x0

))點處存在切線，則f(x)x0

點必可導.〔 〕3x 〔23x3x3x

在(00x0y

x0處不行導. 〔2分〕3f(x)在[ab上連續(xù)且下凸，在(ab二階可導，則x(a,b)有f(x)0. 〔 〕 〔2分〕例f(x)x4在[23上連續(xù)且下凸，但f(0)0.. 〔2分〕18分本題得分〔共3小題，每題618分本題得分nnn求極限lim(n

1)sin(n!).解lim(nlim(n

sin(n!)1,------------------------------------------------------〔3分〕1nn1nn1sin(n!)01nn1nnlimx

x(1t4)etxdt0x4 .0解 limx

x(1t4)etxdt0x4

limx

x(1t4)etdt0x4ex

〔3分〕 lim

(1x4)ex

lim

1.

〔3分〕x(4x3x4)ex x4x3x4求極限lim(

n n n ).nn212

22

n2n2解lim(n2

n n n )12 n222 n2n2

1 〔3分〕n

i1

i2 nn 1 arctanx dx 1

.-------------------------------------------------------〔3分〕01x2 0 418分本題得分〔共3小題，每題618分本題得分1fx

1ex1x

的連續(xù)點并推斷其類型.解x0是f(x)的連續(xù)點〔3分〕又lim

f(x) lim

11ex

1，lim

f(x) lim

11ex

1，x0

x012e1

2 x0

x012e1xx x0是f(x)的跳動連續(xù)點. 〔3分〕xxex21 2．設f(x) ,x

，求f(x 0, x0解x0時，f

(x)

ex22xx(ex

2ex2

ex2

-----------------〔3分〕x2 x2x0f(0)lim

ex21f(x)f(0)lim x x0

x0

x0 xlim

ex2

lim

2xex2

1，x0 x2

x0 2x ex21f(x)ex

,x0, x2

〔3分) 1, x0.xln(sint) dy d2y設方程 確定y為x的函數(shù)，求 與 .ycosttsint

dx dx2解 dyy(t)

tsint , 〔3分〕dx x(t)

ddy

sinttcost

sinttanttsint.dx2

dxdx dx

dt dx

x(t) 〔3分〕18分本題得分〔共3小題，每題618分本題得分求不定積分ex2lnxdx.解ex2lnxdxex

elnxdxex2xdx 〔3分〕1ex

d(x2)

1ex2

C.

〔3分〕2 2求不定積分xcos2xdx.1cos2xxcos2

xdxx2

dx 〔1分〕1xdx1xcos2xdx2 21 x21xd(sin2x)1

〔2分〕4 41 x21xsin2x1sin2xdx 〔2分〕14 4 41 1x2 xsin2x cos2xC 〔1分〕1 4 4 8f(x)在[11上連續(xù)，求定積分11

{[f(x)f(x)]sinx

1x1x2解1 1111

{[f(x)f(x)]sinx1x2[f(x)f(x)]sinxdx1x21

1x21x21x21x20

dx〔上半單位圓的面積〕 〔3分〕24

〔2分〕28分本題得分五〔此題8分〕設由曲線ylnx 與直線xey0 及x8分本題得分求D的面積S4分〕求D繞直線xe旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積V .〔4分〕解曲線ylnx與直線xey0的交點為(e,1)， 〔1分〕(1)S

1(eyey)dy xyxyxey1ylnxeyDo1e[ey

y2 1e]20 x e 1 2 〔3〕〔2〕VVV

1(eey)2dy1(eey)2dy 〔2分〕1 2 0 0e21(1y)2dy1(e22eeye2y)dy0(1y)33(1y)33

01(e2y2eey10

e2y)120e23

1 e2 (2e ) (5e212e3) 〔2分〕2 2 6〔共2小題，每題6分，共計12分〕R的半球形蓄水池中已盛滿水(水的密度為),求將池中水全部抽出所做的功.解過球心的縱截面建立坐標系如圖,

12分本題得則半圓方程為x2y2R2.-------------------------------------〔1分〕 分x[0,R], 取[x,xdx]所做功的微元： o yxdWg(R2x2)dxx 〔其中g為重力加速度〕g(R2xx3)dx分〕

xdxRx

x2y2R2WgR((R2xx3)dx0 〔2分〕4設有質(zhì)量為m的降落傘以初速度v0開頭降落，假設空氣的阻力與速度成正比〔比例系數(shù)為k0.解設降落傘下降的速度為v(t)，則依據(jù)牛頓其次運動定律，有mdvmgkv，其中g為重力加速度， 〔2分〕dt分別變量，得

dv dt ，mgkv m兩端積分

dt，mgkv m1lnmgkv tC ， lnmgkv ktkC，k m 1 m 1mgkvCe

m

〔其中Ce

kC1mgkv0〕 〔2分〕由v(0)v，代入上式，得Cmgkv，0 0故 v

mg(vk

mg)ektmkm

. 〔2分〕6分本題得分〔此題6分〕求微分方程y5y6y6x210x6分本題得分解r2

5r60r1

2,r2

3.yC1

Ce3x 〔3分〕2而0不是特征根，可設非齊次方程的特解為y1

Ax2

BxC， 〔1分〕y2AxB,y2A,代入原方程得，1 12A5(2AxB)6(Ax2BxC)6x210x2，6Ax2(6B10A)x2A5B6C6x210x2,6A6,比較同次冪的系數(shù)，得6B10A10,2A5B6C2.解之得，A1, B0,C0. y x2.1故所要求的通解為yCe2xCe3xx2 1 2

分〕8分本題得分〔此題8分設L(x,y)(x8分本題得分y軸上的截距，且L經(jīng)過點(試求曲線L的方程；

1,0).2L位于第一象限的一條切線，使該切線與L以及兩坐標軸所圍圖形的面積最小.解〔1〕L上點(x,y)處的切線方程為：YyyXx，X0y軸上的截距：Yyxy，xx2y2

yxy，即

ydy，(x0 〔2分〕11 y2x1u2令y1u2

dx

, (x0) du

dx

, (x0)1u21u211u21u2ln(u

)lnxlnC,x(u

)C,將u

代入并化簡，得xx2y2y CL經(jīng)過點(10)x1y0，得Cx2y22 2 2xx2y2Ly1

,即 y x2.----------------------------------〔2分〕2 4〔2〕曲線L：y x2在點(x,y)處的切線方程為：Yyy(Xx)，41 1 1即Y( x2)2x(Xx)，亦即Y2xXx2 (0x )，4 4 21xy軸的交點分別為：(11 (x2 )11

x242x

1) 〔2分〕4所求面積S(x)1 4 ( x2)dx (x0)2 ，2 2x 0 41 1S(x)1

4x2(x2

)2(x2 )24 4

1 (x2

1)，(x0)4 x2 4x2 4 43令S(x)0，得S(x)符合實際意義唯一駐點：x ，36標準標準文案文案即x 3為S(x)在(0,1

)的最小值點，故所求切線方程為：6 2Y2

31,即Y

3X1 〔2分〕A卷6 36 4 3 3A卷2015—2016學年第一學期《高等數(shù)學〔2-1答案及評分標準()專業(yè)班級姓 名學 號開課系室 根底數(shù)學系題號一二三四五六七八總分此題總分值題號一二三四五六七八總分此題總分值1218181881295此題得分閱卷人標準標準文案文案留意事項：請在試卷正面答題，反面及附頁可作草稿紙；答題時請留意書寫清楚，保持卷面清潔；100分；試卷本請勿撕開，否則作廢；8頁。12分本題得分〔共3小題，每題4分，共計12分〕題后的括號打“√”或12分本題得分函數(shù)f(x)在(a,b)的駐點肯定是極值點. 〔 〕----------------------------〔2分〕fx)x3x0f(00x0x0fx)在(-1,1)的極值點． ----------------------------〔2分〕反常積分11dx是發(fā)散的. 〔 √ 〕1x----------------------------〔2分〕證明：由于1

1dx=01dx+11dx，又

11dx=lnx1

limlnx，故反常積分1x

1x 0x

0x

x011 dx發(fā)散. ----------------------------〔2分〕11xf(x)、g(x)x0x0f(x)g(x)的高階無窮小，x0x0

f(t)sintdt是xtg(t)dt的高階無窮小. 〔 √ 〕0----------------------------〔2分〕x0f(x)g(x)的高階無窮小，即limx0

f(x)0，則g(x)xf(t)sintdtlim0

f(x)sinx0x0x

f(t)sintdt是xtg(t)dt的高x0

xtg(t)dt0

x0

xg(x) 0 0階無窮小. ----------------------------〔2分〕18分本題得分〔共3小題，每題618分本題得分求極限limx0

x2(et21)dt0 .x2(1cosx)2x0

x2(et21)dt0x2(1cosx)2

4x2(et2=lim 0x0 x6

1)dt

-------------〔1分〕lim4(ex41)2x -------------〔3分〕x0 6x5=lim8x5x06x5xacos3t,

4. -------------〔2分〕3dy

d2y求由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)的一階導數(shù) 及二階導數(shù) .yasin3dy=dtdy 3asin2tcost=dtdxdx解： 3acos2tsintdxdxdt

tant,

dx dx2-------------------------〔3〕d(dy)

dt dx

sec2t

sec4t

. ------------------------〔3分〕dx2

dx dx

dx 3acos2tsint dt

aarctanx，求dy〔其中abb0〕.x2x2b2yln(xa

a x ln(x2 b2) arctan ，則 -----------------〔1分〕 b b1y

1 x a

b = 1

ax

，故 -----------------〔4分〕1xa x2b2 b x21b

xa x2b2 dy= 1

ax dx. -----------------〔1分〕xa x2b218分本題得分〔共3小題，每題618分本題得分1 fx1 fx x

x0,x0處可導，試確定常ax,

x0ab的值.f(xx0f(xx0處連續(xù)，又-----------------〔1〕1f(0+)limx2sinx0+

lim(axbb，故x x0-由f(0)f(0)f(0)，得b0. -----------------〔2分〕1f(0)lim

axa，f(0)lim

x2sinx

0， -----------------〔2分〕 x0x x0 x由f(0)f(0)，得a0. -----------------〔1分〕 x3y3(x1)cos(y90x1處的法線方程.x求導，得3x23y2ycos(y(x1)sin(yy0， -----------------〔3分〕x1y2y|

x1

1，故 -----------------〔2分〕3x1y23(x1)，即3xy10.-----------------〔1分〕yax3bx2cxd中的abcdx2處曲線有水平切線，(1,10)為拐點，且點(2,44)在曲線上.x2處曲線有水平切線，(1,10)為拐點，故y|x20，y|x10， -----------------〔2分〕又y3ax22bxc，y6ax2b，可得12a-4bc=06a2b0， -----------------〔1分〕又由于(1,10)為拐點，且點(2,44)在曲線上，可得abcd10,8a4b2cd44，-----------------〔2〕18分本題得分聯(lián)立解得a1,b3,c24,d16. -----------------〔1分〕四〔共3小題，每題618分本題得分設

xf(x)dxarcsinxC，求不定積分dx .f(x)1x2解：不定積分兩邊求導得：xf1x2

1x 1x2，即fx 1x22故 dx=x 1x2dx1(1x2)32

C.

-----------------〔3分〕-----------------〔3分〕f(x) 34x22 4x2求定積分 x2 2 1x6解：由定積分的對稱性質(zhì)，可得

dx.2 x2sin3x2 1x6

dx=0，-----------------〔2分〕4x24x22

dx=22x20

dxx2sint，則dx2costdt，4x2-----------------〔4x2x0t0x2t，故24x4x2

1 3 x20

dx=162sin2tcos2tdt162(sin2tsin4t)dt=16( ) ,0 0 2 8 2-------------〔2〕故22

sin3x4x2x24x21x6xax

dx=2. -------------〔1分〕lim

2xe2xdx，求a的值.xxa

a axalim1 axax

x0 x

ea解：由于lim = e2a， -------------〔3分〕xxa

xa eaxlim1aax x0 標準標準文案文案a

2xe2xdx=a

xde2xxe2x

e2xdxa a1 1limxe2xae2a e2x (a )e2a，

-------------〔2分〕x

2 a 2

1 1=1，得a= . -------------〔1分〕2 28分本題得分〔此題8分〕設D為曲線yex與直線x1，x軸、8分本題得分D的面積S〔4分〕Dy軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積V.〔4分〕〔〕S=1exdxe0

1e1. -------------〔4分〕02〕V=1xexdxe0

1exdx. -------------〔4分〕10 01或Veeln2ydye(yln2ye2eylny1dy)1 1 1 yeeelnydyylnyeey1dy

2.1 1 1 y標準標準文案文案12分本題得分〔共2小題，每題612分本題得分10m和6m20m，較長，g.解：建立坐標系〔原點在頂端中點，x軸豎直向下，y軸水平向右，設x為水深，選xx[0,20]，-------------〔1分〕[x,xdx][0,20]，則