人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （垂直于弦的直徑）圓教學(xué)課件

垂直于弦的直徑

第二十四章圓1.進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓，了解圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形.2.理解垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論，并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的計(jì)算、證明和作圖問(wèn)題.（重點(diǎn)）3.靈活運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)圓的問(wèn)題.（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)折一折：你能通過(guò)折疊的方式找到圓形紙片的對(duì)稱(chēng)軸嗎？在折的過(guò)程中你有何發(fā)現(xiàn)？圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸．導(dǎo)入新課講授新課圓的對(duì)稱(chēng)軸一（1）圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱(chēng)軸是什么？你能找到多少條對(duì)稱(chēng)軸？（2）你是怎么得出結(jié)論的？圓的對(duì)稱(chēng)性：

圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任意一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱(chēng)軸.用折疊的方法●O說(shuō)一說(shuō)問(wèn)題：如圖,AB是⊙O的一條弦,直徑CD⊥AB,垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和劣弧?為什么?線段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AE與BE重合，AC和BC,AD與BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDEC垂徑定理及其推論二垂徑定理·OABCDE垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.∵

CD是直徑，CD⊥AB，∴

AE=BE,⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.推導(dǎo)格式：溫馨提示：垂徑定理是圓中一個(gè)重要的定理,三種語(yǔ)言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運(yùn)用自如.歸納總結(jié)想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明為什么？是不是，因?yàn)闆](méi)有垂直是不是，因?yàn)镃D沒(méi)有過(guò)圓心ABOCDEOABCABOEABDCOE垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：ABOCDEABOEDABO

DCABOC歸納總結(jié)

如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。┙Y(jié)論與題設(shè)交換一條，命題是真命題嗎？①過(guò)圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)??；⑤平分弦所對(duì)的劣弧.上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論嗎？思考探索

DOABEC舉例證明其中一種組合方法已知:求證：①CD是直徑②CD⊥AB，垂足為E③AE=BE④AC=BC⑤AD=BD⌒⌒⌒⌒證明猜想如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB嗎？為什么？（2）·OABCDE⌒AC與BC相等嗎？AD與BD相等嗎？為什么？⌒（2）由垂徑定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒（1）連接AO,BO,則AO=BO,又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.證明舉例⌒⌒思考：“不是直徑”這個(gè)條件能去掉嗎？如果不能，請(qǐng)舉出反例.

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的弧.垂徑定理的推論·OABCD特別說(shuō)明：圓的兩條直徑是互相平分的.歸納總結(jié)例1

如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB=

cm.·OABE解析：連接OA，∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16一垂徑定理及其推論的計(jì)算三∴cm.典例精析例2

如圖，

⊙

O的弦AB＝8cm

，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長(zhǎng).·OABECD解：連接OA，∵

CE⊥AB于D，∴設(shè)OC=xcm，則OD=x-2,根據(jù)勾股定理，得解得x=5，即半徑OC的長(zhǎng)為5cm.x2=42+(x-2)2，例3：已知：⊙O中弦AB∥CD,求證：AC＝BD.⌒⌒.MCDABON證明：作直徑MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.則AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直徑平分弦所對(duì)的?。?/p>

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒

解決有關(guān)弦的問(wèn)題，經(jīng)常是過(guò)圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.歸納總結(jié)試一試：根據(jù)剛剛所學(xué)，你能利用垂徑定理求出引入中趙州橋主橋拱半徑的問(wèn)題嗎?垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用四解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R.經(jīng)過(guò)圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與弧AB交于點(diǎn)C，則D是AB的中點(diǎn)，C是弧AB的中點(diǎn)，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.解得R≈27.3（m）.即主橋拱半徑約為27.3m.=18.52+(R-7.23)2

∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.練一練：如圖a、b,一弓形弦長(zhǎng)為cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為＿＿＿_(dá)___＿.C

DCBOADOAB圖a圖b2cm或12cm

在圓中有關(guān)弦長(zhǎng)a,半徑r,弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h(yuǎn)的計(jì)算題時(shí)，常常通過(guò)連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.涉及垂徑定理時(shí)輔助線的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h(yuǎn)，半徑r之間有以下關(guān)系：弓形中重要數(shù)量關(guān)系A(chǔ)BCDOhrd

d+h=r

OABC·歸納總結(jié)1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則此圓的半徑為

.5cm2.⊙O的直徑AB=20cm,∠BAC=30°則弦AC=

.

103cm3.（分類(lèi)討論題）已知⊙O的半徑為10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,則弦MN和EF之間的距離為

.14cm或2cm當(dāng)堂練習(xí)4.如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證四邊形ADOE是正方形．D·OABCE證明：∴四邊形ADOE為矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形.

5.已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)。你認(rèn)為AC和BD有什么關(guān)系？為什么？證明：過(guò)O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE

即AC＝BD..ACDBOE注意：解決有關(guān)弦的問(wèn)題，常過(guò)圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，它是一種常用輔助線的添法．6.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧CD,點(diǎn)O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點(diǎn),且OE⊥CD，垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑.解:連接OC.●

OCDEF┗設(shè)這段彎路的半徑為Rm,則OF=(R-90)m.根據(jù)勾股定理，得解得R=545.∴這段彎路的半徑約為545m.拓展提升：如圖，⊙O的直徑為10，弦AB=8,P為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OP長(zhǎng)的取值范圍

.3cm≤OP≤5cmBAOP垂徑定理內(nèi)容推論輔助線一條直線滿(mǎn)足:①過(guò)圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧;⑤平分弦所對(duì)的劣弧.滿(mǎn)足其中兩個(gè)條件就可以推出其它三個(gè)結(jié)論（“知二推三”）垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧兩條輔助線：連半徑，作弦心距構(gòu)造Rt△利用勾股定理計(jì)算或建立方程.基本圖形及變式圖形課堂小結(jié)24.1.2垂直于弦的直徑人教版九年級(jí)上冊(cè)

目標(biāo)(1)能通過(guò)折紙?zhí)骄繄A的對(duì)稱(chēng)性，能證明圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形.(2)能由圓的軸對(duì)稱(chēng)性推導(dǎo)垂徑定理.(3)能利用垂徑定理解決相應(yīng)問(wèn)題.

請(qǐng)將手中的圓形紙片進(jìn)行對(duì)折，出現(xiàn)了什么現(xiàn)象？重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？

活動(dòng)探究一活動(dòng)探究01對(duì)折

活動(dòng)探究二（1）找出你手中的圓心，記為O（2）作出一條直徑，與圓O交于C，D兩點(diǎn)（3）圓上找一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A做AB⊥CD，交圓O于點(diǎn)B,垂足為E活動(dòng)探究大膽猜想02

（3）大膽猜想，圖中哪些線段相等，哪些弧相等？哪些弧相等？沿直線CD折疊（1）點(diǎn)A與點(diǎn)B具有怎樣的位置關(guān)系？（2）圖中CD和AB具有怎樣的位置關(guān)系？

哪些弧相等？CD⊥AB分析論證03已知CD是直徑，AB為圓O內(nèi)的一條弦，CD⊥AB求證：AE=BE你能證明你的結(jié)論嗎？證明：∵CD⊥AB∴∠AEO=∠BEO=90°在Rt△AEO和Rt△BEO中

∵AO=BO,OE=OE∴△AEO△BEO(HL)

∴AE=BE總結(jié)定理定理剖析04條件結(jié)論CD是直徑CD⊥AB定理當(dāng)中的直徑CD可以用其他的線段替換嗎？垂徑定理垂徑定理練習(xí)05垂直于弦的直徑平分弦1、如圖，已知圓O的半徑OB=5,OP⊥AB,垂足為P,且AB=8,則OP=______.

練習(xí)05垂直于弦的直徑平分弦變式1：如圖，已知圓O的半徑OB=10,OP⊥AB,垂足為P,且OP=6,AP=______AB=______練習(xí)05垂直于弦的直徑平分弦變式2：如圖，已知OP=5,OP⊥AB,垂足為P,且AB=24,則圓的半徑是多少？練習(xí)053、如圖所示，已知AB是圓O的弦，半徑OA=20cm，

∠AOB=120°(1)求OF(2)求AB(3)求△ABC得面積.ABo練習(xí)05F服務(wù)生活05ECAB4、測(cè)得AB=24cm,C是中點(diǎn)，OC⊥AB，CE=8cm半徑是多少？o12RR-8今天學(xué)的內(nèi)容，你印象最深的是什么？課堂