青島版九年級數(shù)學(xué)上冊 （一元二次方程）課件教學(xué)

4.1一元二次方程

1.理解一元二次方程的概念.（難點(diǎn)）2.根據(jù)一元二次方程的一般形式，確定各項(xiàng)系數(shù).3.理解并靈活運(yùn)用一元二次方程概念解決有關(guān)問題.(重點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)引入沒有未知數(shù)1.下列式子哪些是方程？2+6=82x+35x+6=22x+3y=8x-5＜18代數(shù)式一元一次方程二元一次方程不等式分式方程導(dǎo)入新課2.什么叫方程？我們學(xué)過哪些方程？含有未知數(shù)的等式叫作方程.我們學(xué)過的方程有一元一次方程，二元一次方程（組）及分式方程，其中前兩種方程是整式方程.3.什么叫一元一次方程？含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式方程叫作一元一次方程.想一想：什么叫一元二次方程呢？一元二次方程的相關(guān)概念問題1：幼兒園某教室矩形地面的長為8m,寬為5m,現(xiàn)準(zhǔn)備在地面正中間鋪設(shè)一塊面積為18m2

的地毯

,四周未鋪地毯的條形區(qū)域的寬度都相同,你能求出這個寬度嗎？解：如果設(shè)所求的寬為x

m

,那么地毯中央長方形圖案的長為

m,寬為

m,根據(jù)題意,可得方程：(8-2x)(5-2x)xx(8–2x)xx(5–2x)(8-2x)（5-2x）=18.化簡：2x2-

13x+11=0

.①該方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？知識點(diǎn)講授新課問題2：觀察下面等式：102+112+122=132+142你還能找到其他的五個連續(xù)整數(shù)，使前三個數(shù)的平方和等于后兩個數(shù)的平方和嗎？解：如果設(shè)五個連續(xù)整數(shù)中的第一個數(shù)為x，那么后面四個數(shù)依次可表示為：

,

,

,

.

根據(jù)題意，可得方程：

x+1x+2x+3x+4x2+

(x+1)2+

(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.化簡得，x2-8x

-20＝0.②該方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？解：由勾股定理可知,滑動前梯子底端距墻

m.如果設(shè)梯子底端滑動xm,那么滑動后梯子底端距墻

m,根據(jù)題意，可得方程：問題3：如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上,梯子的頂端距地面的垂直距離為8m.如果梯子的頂端下滑1m,那么梯子的底端滑動多少米？6x+672+(x+6)2

=102.化簡得，x2+12

x

-

15=0.③10m8m1mxm該方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？①2x2-

13x+11=0；②x2-8x

-20＝0；③x2+12

x

-

15=0.1.只含有一個未知數(shù);2.未知數(shù)的最高次數(shù)是2;

3.整式方程．觀察與思考方程①②③都不是一元一次方程.那么這兩個方程與一元一次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點(diǎn)呢？特點(diǎn):只含有一個未知數(shù),并且整理后未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程,叫作一元二次方程.ax2+bx

+c

=0(a

,

b

,

c為常數(shù),

a≠0)ax2稱為二次項(xiàng),

a

稱為二次項(xiàng)系數(shù).

bx

稱為一次項(xiàng), b

稱為一次項(xiàng)系數(shù).

c

稱為常數(shù)項(xiàng).知識要點(diǎn)一元二次方程的概念

一元二次方程的一般形式是想一想為什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c可以為零嗎？當(dāng)

a=0時bx＋c=0當(dāng)

a≠0，b=0時

，ax2＋c=0當(dāng)

a≠0，c

=0時

，ax2＋bx=0當(dāng)

a≠0，b

=c

=0時

，ax2

=0總結(jié)：只要滿足a≠0，b

，c

可以為任意實(shí)數(shù).典例精析例1

下列選項(xiàng)中，關(guān)于x的一元二次方程的是（）C不是整式方程含兩個未知數(shù)化簡整理成x2-3x+2=0少了限制條件a≠0提示

判斷一個方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再進(jìn)一步化簡整理后再作判斷.

判斷下列方程是否為一元二次方程？(2)x3+x2=36(3)x+3y=36(5)x+1=0

(1)x2+x=36例2:a為何值時，下列方程為一元二次方程？(1)ax2－x=2x2(2)(a－1)x|a|+1

－2x－7=0.解：(1)將方程式轉(zhuǎn)化為一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以當(dāng)a-2≠0，即a≠2時，原方程是一元二次方程；

(2)由∣a

∣+1=2，且a-1≠0知，當(dāng)a=-1時，原方程是一元二次方程.方法點(diǎn)撥：用一元二次方程的定義求字母的值的方法：根據(jù)未知數(shù)的最高次數(shù)等于2，列出關(guān)于某個字母的方程，再排除使二次項(xiàng)系數(shù)等于0的字母的值．變式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0,（1）在什么條件下此方程為一元二次方程？（2）在什么條件下此方程為一元一次方程？解（1）當(dāng)2a－4≠0，即a≠2時是一元二次方程（2）當(dāng)a=2且b≠0時是一元一次方程一元一次方程一元二次方程一般式相同點(diǎn)不同點(diǎn)思考：一元一次方程與一元二次方程有什么區(qū)別與聯(lián)系？ax=b(a≠0）ax2+bx+c=0(a≠0）整式方程，只含有一個未知數(shù)未知數(shù)最高次數(shù)是1未知數(shù)最高次數(shù)是2

例3：將方程3x(x-1)=5(x+2)化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)及它們的系數(shù).解：去括號，得3x2-3x=5x+10.移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次項(xiàng)是3x2,系數(shù)是3；一次項(xiàng)是-8x,系數(shù)是-8；常數(shù)項(xiàng)是-10.系數(shù)和項(xiàng)均包含前面的符號.注意

1.

下列哪些是一元二次方程？√×√××√3x+2=5x-2x2=0(x+3)(2x-4)=x23y2=(3y+1)(y-2)x2=x3+x2-13x2=5x-1隨堂練習(xí)2.填空：方程一般形式二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)-21313-540-53-23.關(guān)于x的方程(k2－1)x2＋

2(k－1)x

＋

2k

＋

2＝0,當(dāng)k

時，是一元二次方程．當(dāng)k

時，是一元一次方程．≠±1＝－14.(1)

如圖，已知一矩形的長為200cm,寬150cm.現(xiàn)在矩形中挖去一個圓，使剩余部分的面積為原矩形面積的四分之三.求挖去的圓的半徑xcm應(yīng)滿足的方程（其中π取3）.解：設(shè)由于圓的半徑為xcm，則它的面積為3x2

cm2.整理，得根據(jù)題意有，200cm150cm(2)

如圖，據(jù)某市交通部門統(tǒng)計(jì)，前年該市汽車擁有量為75萬輛，兩年后增加到108萬輛.求該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率x應(yīng)滿足的方程.解：該市兩年來汽車擁有量的年平均增長率為x整理，得根據(jù)題意有，一元二次方程概念是整式方程；只含有一個未知數(shù)；最高次數(shù)是2一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)

其中(a≠0)是一元二次方程的必要條件課堂小結(jié)4.7一元二次方程的應(yīng)用

重、難點(diǎn)重點(diǎn)：熟練地應(yīng)用一元二次方程解決實(shí)際問題.難點(diǎn)：從實(shí)際問題中建立一元二次方程的模型.

某省農(nóng)作物秸稈資源巨大，但合理使用量十分有限，因此該省準(zhǔn)備引進(jìn)適用的新技術(shù)來提高秸稈的合理使用率，若今年的使用率為40%，計(jì)劃后年的使用率達(dá)到90%，求這兩年秸稈使用率的年平均增長率（假定該省每年產(chǎn)生的秸稈總量不變）。由于今年到后年間隔兩年，所以問題中涉及的等量關(guān)系是：

今年的使用率×(1+年平均增長率)2=后年的使用率設(shè)這兩年秸稈的使用率的年平均增長率為x，則根據(jù)等量關(guān)系，可列出方程：

40%(1+x)2=90%整理，得(1+x)2=2.25解得x1=0.5=50%，x2=-2.5（不合題意，舍去）因此，這兩年秸稈使用率的年平均增長率為50%。例1為執(zhí)行國家藥品降價(jià)政策，給人民群眾帶來實(shí)惠，某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由100元將為81元，求平均每次降價(jià)的百分率。分析：問題中涉及的等量關(guān)系是：原價(jià)×(1-平均每次降價(jià)的百分率)2=現(xiàn)行售價(jià)解:設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則根據(jù)等量關(guān)系得

100(1-x)2=81整理，得(1-x)2=0.81解得x1=0.1=10%，x2=1.9(不合題意，舍去）答：平均每次降價(jià)的百分率為10%。例2某商店從廠家以每件21元的價(jià)格購進(jìn)一批商品，若每件商品的售價(jià)為x元，則可賣出(350-10x)件，但物價(jià)局限定每件商品的售價(jià)不能超過進(jìn)價(jià)的120%，若該商店計(jì)劃從這批商品中獲取400元利潤（不計(jì)其他成本），問需要賣出多少件商品，此時的售價(jià)是多少？分析：本問題中涉及的等量關(guān)系是：（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷售量=利潤。

解：根據(jù)等量關(guān)系得

(x-21)(350-10x)=400

整理，得x2-56x+775=0

解得x1=25，x2=31

又因?yàn)?1×120%=25.2，即售價(jià)不能超過25.2元，所以x=31不合題意，應(yīng)當(dāng)舍去，故x=25，從而賣出350-10x=350-10×25=100（件）

答：該商店需要賣出100件商品，且每件商品的售價(jià)是25元。實(shí)際問題建立一元二次方程模型解一元二次方程一元二次方程的根實(shí)際問題的解分析數(shù)量關(guān)系設(shè)未知數(shù)檢驗(yàn)運(yùn)用一元二次方程模型解決實(shí)際問題的步驟有哪些？1.某校圖書館的藏書在兩年內(nèi)從５萬冊增加到7.2萬冊，問平均每年藏書增長的百分率是多少？解：設(shè)平均每年藏書增長的百分率為x5（1+x）2=7.2整理，得(1+x)2=1.44

解得

x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合題意，舍去)答：平均每年藏書增長的百分率為20%。2.某品牌服裝專營店平均每天可銷售該品牌服裝20件，每件可盈利44元．若每件降價(jià)1元，則每天可多售出5件．若要平均每天盈利1600元，則應(yīng)降價(jià)多少元？解：設(shè)應(yīng)降價(jià)x元，則(44-x)(20+5x)=1600整理，得x2-40x+144=0解得x1=36,x2=4答：應(yīng)降價(jià)36元或4元。合作探究

如圖2-2，一塊長和寬分別為40cm，28cm的矩形鐵皮，在它的四角截去四個全等的小正方形，折成一個無蓋的長方體盒子，使它的底面積為364cm2.求截去的小正方形的邊長.解：若設(shè)截去的小正方形的邊長為xcm，則無蓋長方體盒子的底面邊長分別為(40-2x)cm，(28-2x)cm，根據(jù)等量關(guān)系列出方程。(40-2x)(28-2x)=364原方程可以寫成x2-34x+189=0.這里a=1，b=-34，c=189，b2-4ac=(-34)2-4×1×189=(2×17)2-4×189=4(172-189)=4×(289-189)=400，解得x1=27，x2=7．

如果截去的小正方形的邊長為27cm，那么左下角和右下角的兩個小正方形的邊長之和為54cm，這超過了矩形鐵皮的長40cm.因此x1=27不合題意，應(yīng)當(dāng)舍去．答：截去的小正方形的邊長為7cm．例3如圖2-4，一長為32m、寬為24m的矩形地面上修建有同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下部分進(jìn)行了綠化.若已知綠化面積為540m2，求道路的寬.分析：雖然“整個矩形的面積-道路所占面積=綠化面積”，但道路不是規(guī)則圖形，因此不便于計(jì)算。若把道路平移，此時綠化部分就成了一個新的矩形了，解：設(shè)道路寬為xm，則新矩形的邊長為(32-x)m，寬為(20-x)m，根據(jù)等量關(guān)系列出方程。(32-x)(20-x)=540

整理，得

x2-52x+100=0解得

x1=2,x2=50

x2=50＞32

，不符合題意，舍去,故x=2.答：道路的寬為2米.例4如圖2-6所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.點(diǎn)P沿AC邊從點(diǎn)A向終點(diǎn)C以1cm/s的速度移動；同時點(diǎn)Q沿CB邊從點(diǎn)C向終點(diǎn)B以2cm/s的速度移動，且當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止移動.問點(diǎn)P，Q出發(fā)幾秒后可使△PCQ的面積為9cm2？根據(jù)題意得AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm

解：設(shè)點(diǎn)P，Q出發(fā)xs后可使△PCQ的面積為9cm2整理，得解得

x1=x2=3答：點(diǎn)P，Q出發(fā)3s后可使△PCQ的面積為9cm2.3.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm.點(diǎn)P，Q同時從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AC，BC向終點(diǎn)C移動，它們的速度都是1cm/s，且當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止移動.問點(diǎn)P，Q出發(fā)幾秒后可使△PCQ的面積為Rt△ABC面積的一半？課堂練習(xí)列：方程解應(yīng)用題的一般步驟是