模糊聚類分析的理論

模糊分析的理論、方法與應(yīng)用研究摘要：二十世紀(jì)六十年代，產(chǎn)生了模糊數(shù)學(xué)這門新興學(xué)科。模糊數(shù)學(xué)作為一個(gè)新興的數(shù)學(xué)分支，使過去那些與數(shù)學(xué)毫不相關(guān)或關(guān)系不大的學(xué)科（如生物學(xué)、心理學(xué)、語言學(xué)、社會(huì)科學(xué)等）都有可能用定量化和數(shù)學(xué)化加以描述和處理，從而顯示了強(qiáng)大的生命力和滲透力，使數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍大大擴(kuò)展。模糊數(shù)學(xué)自身的理論研究進(jìn)展迅速；模糊數(shù)學(xué)目前在自動(dòng)控制技術(shù)領(lǐng)域仍然得到最廣泛的應(yīng)用，并在計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)、多媒體辨識(shí)等領(lǐng)域的應(yīng)用取得突破性進(jìn)展；模糊聚類分析理論和模糊綜合評(píng)判原理等更多地被應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)管理、環(huán)境科學(xué)以及醫(yī)藥、生物、農(nóng)業(yè)、文體等領(lǐng)域，并取得很好效果。關(guān)鍵詞：模糊數(shù)學(xué)；應(yīng)用；模糊評(píng)判；模糊聚類。前言：聚類就是把具有相似性質(zhì)的事物區(qū)分開加以分類。聚類分析就是用數(shù)學(xué)方法研究和處理給定對(duì)象的分類，“人以群分，物以類聚”，聚類問題是一個(gè)古老的問題，是伴隨著人類產(chǎn)生和發(fā)展不斷深化的一個(gè)問題。人類要認(rèn)識(shí)世界就必須要區(qū)分不同的事物并認(rèn)識(shí)事物間的，聚類就是把具有相似性質(zhì)的事物區(qū)分開加以分類。經(jīng)典分類學(xué)往往是從單因素或有限的幾個(gè)因素出發(fā)，憑經(jīng)驗(yàn)和專業(yè)對(duì)事物分類。這種分類具有非此即彼的特性，同一事物歸屬且僅歸屬所劃定類別中的一類，這種分類的類別界限是清晰的。隨著著人們認(rèn)識(shí)的深入，發(fā)現(xiàn)這種分類越來越不適用于具有模糊性的分類間題，如把人按身高分為“高個(gè)子的人'，“矮個(gè)子的人”，“不高不矮的人”。如何判別特定的一個(gè)人的類別便產(chǎn)生了經(jīng)典分類學(xué)解決不了的困難。模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生為上述軟分類提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，由此產(chǎn)生了模糊聚類分析。我們把應(yīng)用普通數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分類的聚類方法稱為普通聚類分析，而把應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析的聚類分析稱為模糊聚類分析。1965年L.A.Zadeh創(chuàng)立了模糊集合論不久，E.H.Ruspinid于1969年引人了模糊劃分的概念進(jìn)行模糊聚類分析。I.Gitman和M.D.Levine提出了單峰模糊集方法用于處理大數(shù)據(jù)集和復(fù)雜分布的聚類。1974年J.C.Bezdek和J.C.Dunn提出了模糊ISODATA聚類方法。隨著模糊數(shù)學(xué)傳人我國，模糊聚類分析也傳人了我國。其應(yīng)用領(lǐng)域已包括了天氣預(yù)報(bào)、氣象分析、模式識(shí)別、生物、醫(yī)學(xué)、化學(xué)等諸多領(lǐng)域。模糊理論的產(chǎn)生1.1模糊數(shù)學(xué)1.1.1模糊數(shù)學(xué)的背景精確數(shù)學(xué)是建立在經(jīng)典集合論的基礎(chǔ)之上，一個(gè)研究的對(duì)象對(duì)于某個(gè)給定的經(jīng)典集合的關(guān)系要么是屬于（記為“”），要么是不屬于（記為“”），二者必居其一。19世紀(jì)，由于英國數(shù)學(xué)家布爾（Bool）等人的研究，這種基于二值邏輯的絕對(duì)思維方法抽象后成為布爾代數(shù)，它的出現(xiàn)促使數(shù)理邏輯成為一門很有適用價(jià)值的學(xué)科，同時(shí)也成為計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)。但是，二值邏輯無法解決一些邏輯悖論，如著名的羅素（Russell）“理發(fā)師悖論”、“禿頭悖論”、“克利特島人說謊悖論”等等悖論問題。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)所賴以存在的基石是普通集合論，是二值邏輯，而它是拋棄了事物的模糊性而抽象出來的，將人腦思維過程絕對(duì)化了，數(shù)學(xué)中普通集合描述的是“非此即彼”的清晰對(duì)象，而人腦還要識(shí)別那些“亦此亦彼”的模糊現(xiàn)象。日常生活中各種“模糊性”現(xiàn)象比比皆是，邏輯悖論的發(fā)現(xiàn)以及海森堡（Heisenberg）測不準(zhǔn)原理的提出導(dǎo)致了多值邏輯在20世紀(jì)二三十年代的誕生。羅素在說到“所有的二值都習(xí)慣上假定使用精確符號(hào)，因此它僅適用于虛幻的存在，而不適用于現(xiàn)實(shí)生活，邏輯比其他學(xué)科使我們更接近于天堂”時(shí)就認(rèn)識(shí)到了二值邏輯的不足。波蘭邏輯學(xué)家盧卡塞維克茲（Lukasiewicz）首次正式提出了三值邏輯體系，把邏輯真值的值域由｛0,1｝二值擴(kuò)展到｛0,1/2,1｝三值，其中1/2表示不確定，后來他又把真值范圍從｛0,1/2,1｝進(jìn)一步擴(kuò)展到［0,1］之間的有理數(shù)，并最終擴(kuò)展為［0,1］區(qū)間。1.1.2模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展1965年，美國控制論專家、數(shù)學(xué)家查德發(fā)表了論文《模糊集合》，標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)這門學(xué)科的誕生。模糊數(shù)學(xué)的研究內(nèi)容主要有以下三個(gè)方面：第一，研究模糊數(shù)學(xué)的理論，以及它和精確數(shù)學(xué)、隨機(jī)數(shù)學(xué)的關(guān)系。察德以精確數(shù)學(xué)集合論為基礎(chǔ)，并考慮到對(duì)數(shù)學(xué)的集合概念進(jìn)行修改和推廣。他提出用“模糊集合”作為表現(xiàn)模糊事物的數(shù)學(xué)模型。并在“模糊集合”上逐步建立運(yùn)算、變換規(guī)律，開展有關(guān)的理論研究，就有可能構(gòu)造出研究現(xiàn)實(shí)世界中的大量模糊的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，能夠?qū)磥硐喈?dāng)復(fù)雜的模糊系統(tǒng)進(jìn)行定量的描述和處理的數(shù)學(xué)方法。在模糊集合中，給定范圍內(nèi)元素對(duì)它的隸屬關(guān)系不一定只有“是”或“否”兩種情況，而是用介于0和1之間的實(shí)數(shù)來表示隸屬程度，還存在中間過渡狀態(tài)。比如“老人”是個(gè)模糊概念，70歲的肯定屬于老人，它的從屬程度是1，40歲的人肯定不算老人，它的從屬程度為0，按照查德給出的公式，55歲屬于“老”的程度為0.5，即“半老”，60歲屬于“老”的程度0.8。查德認(rèn)為，指明各個(gè)元素的隸屬集合，就等于指定了一個(gè)集合。當(dāng)隸屬于0和1之間值時(shí)，就是模糊集合。第二，研究模糊語言學(xué)和模糊邏輯。人類自然語言具有模糊性，人們經(jīng)常接受模糊語言與模糊信息，并能做出正確的識(shí)別和判斷。為了實(shí)現(xiàn)用自然語言跟計(jì)算機(jī)進(jìn)行直接對(duì)話，就必須把人類的語言和思維過程提煉成數(shù)學(xué)模型，才能給計(jì)算機(jī)輸入指令，建立和是的模糊數(shù)學(xué)模型，這是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的關(guān)鍵。查德采用模糊集合理論來建立模糊語言的數(shù)學(xué)模型，使人類語言數(shù)量化、形式化。如果我們把合乎語法的標(biāo)準(zhǔn)句子的從屬函數(shù)值定為1，那么，其他文法稍有錯(cuò)誤，但尚能表達(dá)相仿的思想的句子，就可以用以0到1之間的連續(xù)數(shù)來表征它從屬于“正確句子”的隸屬程度。這樣，就把模糊語言進(jìn)行定量描述，并定出一套運(yùn)算、變換規(guī)則。目前，模糊語言還很不成熟，語言學(xué)家正在深入研究。人們的思維活動(dòng)常常要求概念的確定性和精確性，采用形式邏輯的排中律，既非真既假，然后進(jìn)行判斷和推理，得出結(jié)論?，F(xiàn)有的計(jì)算機(jī)都是建立在二值邏輯基礎(chǔ)上的，它在處理客觀事物的確定性方面，發(fā)揮了巨大的作用，但是卻不具備處理事物和概念的不確定性或模糊性的能力。為了使計(jì)算機(jī)能夠模擬人腦高級(jí)智能的特點(diǎn)，就必須把計(jì)算機(jī)轉(zhuǎn)到多值邏輯基礎(chǔ)上，研究模糊邏輯。目前，模糊羅基還很不成熟，尚需繼續(xù)研究。第三，研究模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用。模糊數(shù)學(xué)是以不確定性的事物為其研究對(duì)象的。模糊集合的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)適應(yīng)描述復(fù)雜事物的需要，查德的功績?cè)谟谟媚：系睦碚撜业浇鉀Q模糊性對(duì)象加以確切化，從而使研究確定性對(duì)象的數(shù)學(xué)與不確定性對(duì)象的數(shù)學(xué)溝通起來，過去精確數(shù)學(xué)、隨機(jī)數(shù)學(xué)描述感到不足之處，就能得到彌補(bǔ)。在模糊數(shù)學(xué)中，目前已有模糊拓?fù)鋵W(xué)、模糊群論、模糊圖論、模糊概率、模糊語言學(xué)、模糊邏輯學(xué)等分支。1.1.3模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)是一門新興學(xué)科，它已初步應(yīng)用于模糊控制、模糊識(shí)別、模糊聚類分析、模糊決策、模糊評(píng)判、系統(tǒng)理論、信息檢索、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)等各個(gè)方面。在氣象、結(jié)構(gòu)力學(xué)、控制、心理學(xué)等方面已有具體的研究成果。然而模糊數(shù)學(xué)最重要的應(yīng)用領(lǐng)域是計(jì)算機(jī)職能，不少人認(rèn)為它與新一代計(jì)算機(jī)的研制有密切的聯(lián)系。目前，世界上發(fā)達(dá)國家正積極研究、試制具有智能化的模糊計(jì)算機(jī)，1986年日本山川烈博士首次試制成功模糊推理機(jī)，它的推理速度是1000萬次/秒。1988年，我國汪培莊教授指導(dǎo)的幾位博士也研制成功一臺(tái)模糊推理機(jī)——分立元件樣機(jī)，它的推理速度為1500萬次/秒。這表明我國在突破模糊信息處理難關(guān)方面邁出了重要的一步。模糊理論的基本概念2.1模糊數(shù)學(xué)以數(shù)學(xué)手段分析與處理模糊性事物的學(xué)科。模糊數(shù)學(xué)是研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)額學(xué)。所謂模糊性，意指客觀事物的差異在中介過度時(shí)所呈現(xiàn)的“亦此亦彼”的特性。模糊數(shù)學(xué)中，歸屬度是建立模糊集合的基礎(chǔ)，歸屬函數(shù)是描述模糊性的關(guān)鍵。2?2模糊集合(FuzzySet)表示界限或邊界不明確的特定集合，以特征函數(shù)來表示元素與集合間之歸屬程度，一般特征函數(shù)又稱為歸屬函數(shù)(membership—function),其值界于(0,1)區(qū)間。在自然和社會(huì)現(xiàn)象中，絕對(duì)性、兩極化的突變是不存在的，兩極化間的差異往往要經(jīng)由一個(gè)“中介過度形式”來表征，即具“亦此亦彼”性。需要定義集合與集合之間的基本運(yùn)算和關(guān)系，以便日后將模糊集合應(yīng)用于各種領(lǐng)域之中，所不同的只是因?yàn)?，絕大多數(shù)的事物是無法以明確的二分邏輯法加以切割的。

2.3模糊關(guān)系在人們的實(shí)際生活與工作中，模糊性是無法避免的，現(xiàn)實(shí)世界存在元素間的關(guān)系，并非是簡單的“是與否”或“有與無”的關(guān)系，而是有著不同程度的關(guān)系存在。例如某家庭子女與父母外貌得相似關(guān)系，就很難以絕對(duì)地“像”與“不像”來表明或定義，只能評(píng)論他們“相像”的程度。模糊理論的應(yīng)用模糊理論一產(chǎn)生就在數(shù)學(xué)領(lǐng)域本身及其他領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用到世紀(jì)年代,已經(jīng)形成了具有完整體系和鮮明特點(diǎn)的“模糊拓?fù)鋵W(xué)”,框架日趨成熟的“模糊隨機(jī)數(shù)學(xué)”,“模糊分析學(xué)”,“模糊邏輯理論”以及專著雖少但相關(guān)論文卻非常豐富的“模糊代數(shù)理論”等。這些理論的形成與發(fā)展極大地豐富和完善了模糊數(shù)學(xué)的內(nèi)容。模糊邏輯是模糊理論中的重要研究方向,它的最大成功是其在控制論中的應(yīng)用。但是,模糊邏輯在理論上的研究還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠深人,也沒有形成自身獨(dú)有的理論體系,其研究的思路基本上還是沿著二值邏輯的體系來展開的,所以難免要受到一些學(xué)者的懷疑或疑惑。展開這類討論無論是對(duì)模糊邏輯還是對(duì)模糊數(shù)學(xué)本身的發(fā)展都是非常有益的,這是模糊邏輯強(qiáng)大生命力的表現(xiàn),同時(shí)也進(jìn)一步促進(jìn)這一領(lǐng)域?qū)W者從理論上更深人系統(tǒng)地研究相關(guān)的論題。模糊技術(shù)已滲透到自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及工程技術(shù)的幾乎全部領(lǐng)域，像電力、電子、核物理、石油、化工、機(jī)械、冶金、能源、材料、交通、醫(yī)療、衛(wèi)生、林業(yè)、農(nóng)業(yè)、地質(zhì)地理、地震、建筑、水文、氣象、環(huán)保、管理、法律、教育、心理、體育、軍事和歷史等領(lǐng)域，都有其成功應(yīng)用的范例。模糊技術(shù)將成為21世紀(jì)的核心技術(shù)。模糊聚類分析在科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理中常常要按一定的標(biāo)準(zhǔn)（相似程度或親疏關(guān)系）進(jìn)行分類。例如，根據(jù)生物的某些性狀可對(duì)生物分類，根據(jù)土壤的性質(zhì)可對(duì)土壤分類等。對(duì)所研究的事物按一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類的數(shù)學(xué)方法稱為聚類分析，它是多元統(tǒng)計(jì)“物以類聚”的一種分類方法。由于科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理中的分類界限往往不分明，因此采用模糊聚類方法通常比較符合實(shí)際。4?4?1模糊聚類分析的般步驟第一步：數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化xxA?數(shù)據(jù)矩陣設(shè)論域U={x,x，…,x}為被分類對(duì)象，每個(gè)對(duì)象又有m個(gè)指標(biāo)表示其性狀,12n即x={xi,x,…,x}i1i2im(i=1,…，n,，于是，得到原始數(shù)據(jù)矩陣為(xx.…x、1112m1xx?…2122xm2。xx?…n1n2x丿nm其中x表示第n個(gè)分類對(duì)象的第m個(gè)指標(biāo)的原始數(shù)據(jù)nmB?數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化在實(shí)際問題中，不同的數(shù)據(jù)一般有不同的量綱，為了使不同的量綱也能進(jìn)行比較，通常需要對(duì)數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)淖儞Q。但是，即使這樣，得到的數(shù)據(jù)也不一定在區(qū)間[0，1]上。因此，這里說的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，就是要根據(jù)模糊矩陣的要求，將數(shù)據(jù)壓縮到區(qū)間[0，1]上。通常有以下幾種變換：平移?標(biāo)準(zhǔn)差變換其中xikx_xr~kk其中xikx_xr~kk(i=1,…，n,…，2mni=1xiks=￡(x_x)2。kikkik經(jīng)過變換后，每個(gè)變量的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1，且消除了量綱的影響。但是，再用得到的x'是，再用得到的x'還不一定在區(qū)間[0,1]上。ik平移?極差變換ffxikx_ffxikx_minx{}ik一...ik1</<n，(k=1,2,…,m)maxxf_}mxin{}1<i<nik1<i<nik而且也消除了量綱的影響。ik對(duì)數(shù)變換ik=lgik=lgxik(i=1,…，n,k=;…，2mkk=1取對(duì)數(shù)以縮小變量間的數(shù)量級(jí)。第二步：標(biāo)定(建立模糊相似矩陣)設(shè)論域U={x,x,…,x}，x={x,x，…,x}，依照傳統(tǒng)聚類方法確定相似12nii1i2im系數(shù)，建立模糊相似矩陣，x與x的相似程度r=R(x,x)。確定r=R(x,x)的jijijijij方法主要借用傳統(tǒng)聚類的相似系數(shù)法、距離法以及其他方法。具體用什么方法，可根據(jù)問題的性質(zhì)，選取下列公式之一計(jì)算。A?相似系數(shù)法夾角余弦法xDxDx最大最小法m乙(xAx)ikjkr=Tm。ijm(xVx)ikjkk二1算術(shù)平均最小法mTOC\o"1-5"\h\z2乙(xAx)ikjkr=―e。ijm(x+x)ikjkk二1幾何平均最小法m2乙(xAx)ikjkr=-e。k二ik二i以上3種方法中要求x>0，否則也要做適當(dāng)變換。ij數(shù)量積法1,i=j,r.眾1中j乙xDx,iHj,Mikjk其中M=max￡(xDxikjkk=1⑥相關(guān)系數(shù)法ikx一xjkj其中rij(x一x)2D乙(x「一x)其中M=max￡(xDxikjkk=1⑥相關(guān)系數(shù)法ikx一xjkj其中rij(x一x)2D乙(x「一x)2ikk=1k=1x=i1^m^mk=1xikx=

j1^m^mk=1xjk⑦指數(shù)相似系數(shù)法rijexp[-D43(x-x)2s2

k其中ni=1(x-x)2，ikikni=1xk=(1,2,…,m)。ikB鹿離法①直接距離法rijcd(x,x，)ijij其中c為適當(dāng)選取的參數(shù)，使得0<r<1，d(x,x)表示他們之間的距離。經(jīng)常ijij用的距離有海明距離x=為|jx=為|jx-ikjkk=1歐幾里得距離x)=jk=1切比雪夫距離xik②倒數(shù)距離法1,i=j,r=<M。j,i豐j,d(x,x)ij其中M為適當(dāng)選取的參數(shù)，使得0<r<1。ij③指數(shù)距離法r=exp-[dXX。)ijij第三步：聚類(求動(dòng)態(tài)聚類圖)A?基于模糊等價(jià)矩陣聚類方法傳遞閉包法根據(jù)標(biāo)定所得的模糊矩陣R還要將其改造稱模糊等價(jià)矩陣R*。用二次方法求R的傳遞閉包，即t(R)=R*。再讓九由大變小，就可形成動(dòng)態(tài)聚類圖。布爾矩陣法[10]布爾矩陣法的理論依據(jù)是下面的定理：定理2.2.1設(shè)R是U={X,X,,X}上的一個(gè)相似的布爾矩陣，則R具有傳12n遞性(當(dāng)R是等價(jià)布爾矩陣時(shí))o矩陣R在任一排列下的矩陣都沒有形如仃1)(11)‘10,‘01)的特殊子矩陣[10J[01丿I11丿[11J布爾矩陣法的具體步驟如下：求模糊相似矩陣的九-截矩陣R.入若R按定理2.2.1判定為等價(jià)的，則由R可得U在九水平上的分類，入入若R判定為不等價(jià)，則R在某一排列下有上述形式的特殊子矩陣，此時(shí)只要將入入其中特殊子矩陣的0一律改成1直到不再產(chǎn)生上述形式的子矩陣即可。如此得到的R*為等價(jià)矩陣。因此，由R*可得九水平上的分類B?直接聚類法所謂直接聚類法，是指在建立模糊相似矩陣之后，不去求傳遞閉包t(R)，也不用布爾矩陣法，而是直接從模糊相似矩陣出發(fā)求得聚類圖。其步驟如下：取九=1（最大值），對(duì)每個(gè)X作相似類[X]，且1iiR[X]={XIR=1}，iRjij即將滿足R=1的X與X放在一類，構(gòu)成相似類。相似類與等價(jià)類的不同之處是,ijij不同的相似類可能有公共元素，即可出現(xiàn)[X]={x/,}x]={X,X},[X]C[X]H0-iRikiRjkij此時(shí)只要將有公共元素的相似類合并，即可得九=1水平上的等價(jià)分類。1取九為次大值，從R中直接找出相似度為九的元素對(duì)（X,X）（即2ijR=九），將對(duì)應(yīng)于九=1的等價(jià)分類中X所在的類與X所在的類合并，將所有的ij21ij這些情況合并后，即得到對(duì)應(yīng)于九的等價(jià)分類。2取九為第三大值，從R中直接找出相似度為九的元素對(duì)（X,X）（即3ijR=九），將對(duì)應(yīng)于九的等價(jià)分類中X所在的類與X所在的類合并，將所有的這ij32ij些情況合并后，即得到對(duì)應(yīng)于九的等價(jià)分類。3以此類推，直到合并到U成為一類為止。4.2最佳閾值九的確定在模糊聚類分析中對(duì)于各個(gè)不同的Xe[0,1]，可得到不同的分類，許多實(shí)際問題需要選擇某個(gè)閾值X，確定樣本的一個(gè)具體分類，這就提出了如何確定閾值X的問題。一般有以下兩個(gè)方法：按實(shí)際需要，在動(dòng)態(tài)聚類圖中，調(diào)整X的值以得到適當(dāng)?shù)姆诸?，而不需要事先?zhǔn)確地估計(jì)好樣本應(yīng)分成幾類。當(dāng)然，也可由具有豐富經(jīng)驗(yàn)的專家結(jié)合專業(yè)知識(shí)確定閾值X，從而得出在X水平上的等價(jià)分類用F統(tǒng)計(jì)量確定X最佳值。[11]設(shè)論域U={X,X,…,X}為樣本空間（樣本總數(shù)為N），而每個(gè)樣本X有M個(gè)12ni特征：X={X,X，…,X}，（I=1,2,…,N）。于是得到原始數(shù)據(jù)矩陣，如下表所示，ii1i2im其中X=11X（k=1,2,…，M），X稱為總體樣本的中心向量。i=1kni=1樣本指標(biāo)12...k…mx1x11x12?…x1k???x1mx2??x21??x22??…x2k????x2m??xi??xi1??xi2??…xik????xim??xnxn1xn2?…xnk???xnmx(x1x2?…xk???x)m設(shè)對(duì)應(yīng)于九值的分類數(shù)為r，第j類的樣本數(shù)為n，第j類的樣本記為：jx（j）,x（j）,…,x（j），第j類的聚類中心為向量x（j）=（x（j）,x（j）,…，x（j）），其中x（j）為第12nj112mkk個(gè)特征的平均值，即作F統(tǒng)計(jì)量其中(k=1,2,…,m)，x作F統(tǒng)計(jì)量其中(k=1,2,…,m)，x(j)=—衛(wèi)xj(，)knikji=1F乙(xj(-x)kk2||x(j)-xk=1為x（j）與x間的距離，||x（j）-x（j）||為第j類中第i個(gè)樣本x（j）與其中心x（j）間的距i離。稱為F統(tǒng)計(jì)量，它是遵從自由度為r-1，n-r的F分布。它的分子表征類與類之間的距離，分母表征類內(nèi)樣本間的距離。因此，F(xiàn)值越大，說明類與類之間的距離越大;類與類間的差異越大，分類就越好。5?基于模糊聚類分析的多屬性決策方法的實(shí)際應(yīng)用聚類分析是將事物根據(jù)一定的特征，并按某種特定要求或規(guī)律分類的方法。由于聚類分析的對(duì)象必定是尚未分類的群體，而且現(xiàn)實(shí)的分類問題往往帶有模糊性，對(duì)帶有模糊特征的事物進(jìn)行聚類分析，分類過程中不是僅僅考慮事物之間有無關(guān)系，而是考慮事物之間關(guān)系的深淺程度，顯然用模糊數(shù)學(xué)的方法處理更為自然，因此稱為模糊聚類分析。5?1雨量站問題5?1?1問題的提出某地區(qū)設(shè)置有11個(gè)雨量站，其分布圖見圖1，10年來各雨量站所測得的年降雨量列入表1中?，F(xiàn)因經(jīng)費(fèi)問題，希望撤銷幾個(gè)雨量站，問撤銷那些雨量站，而不會(huì)太多的減少降雨信息？X1011X2XX1011X2X7X4圖1雨量站分布圖表1各雨量站10年間測得的降雨量年序號(hào)X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X111276324159413292258311303175243320225128734934431045428545140230747031924332905634795022212203204112324246232243281267310273315285327352529131150238833041035226760329029264661582241781642035023202402783507258327432401361381301413402199421

84533653574523844204822283603162529158271410308283410201179430342185103244062355204425203583432512823715?1?2問題的分析應(yīng)該撤銷那些雨量站，涉及雨量站的分布，地形，地貌，人員，設(shè)備等眾多因素。我們僅考慮盡可能地減少降雨信息問題。一個(gè)自然的想法是就10年來各雨量站所獲得的降雨信息之間的相似性，對(duì)全部雨量站進(jìn)行分類，撤去“同類”(所獲降雨信息十分相似)的雨量站中“多余”的站。問題求解假設(shè)為使問題簡化，特作如下假設(shè)①每個(gè)觀測站具有同等規(guī)模及儀器設(shè)備；②每個(gè)觀測站的經(jīng)費(fèi)開支均等；具有相同的被裁可能性。分析：對(duì)上述撤銷觀測站的問題用基于模糊等價(jià)矩陣的模糊聚類方法進(jìn)行分析，原始數(shù)據(jù)如上。5?1?3問題的解決求解步驟：A、數(shù)據(jù)的收集原始數(shù)據(jù)如表1所示。B、建立模糊相似矩陣?yán)孟嚓P(guān)系數(shù)法，構(gòu)造模糊相似關(guān)系矩陣(r)，其中a”11xiirij乙I（rij乙I（x一x）II（x一x）1ikijkjk=1n[乙（xikk=1一x）2.乙（xijkk一11一xj）2]2其中x=1為x，i=1，2,?,11。i10ikk=1j=1，2，?,11。j=1，2，?,11。x.——乙x，

jnjk取i=2,j=1，代入公式得r=0.839，由于運(yùn)算量巨大用C語言編程計(jì)算出21其余數(shù)值，得模糊相似關(guān)系矩陣(r)，具體程序如下#include<stdio.h>#include<math.h>doubler[11][11];doublex[11];voidmain(){inti,j,k;doublefenzi=0,fenmu1=0,fenmu2=0,fenmu=0;intyear[10][11]={276,324,159,413,292,258,311,303,175,243,320,251,287,349,344,310,454,285,451,402,307,470,192,433,290,563,479,502,221,220,320,411,232,246,232,243,281,267,310,273,315,285,327,352,291,311,502,388,330,410,352,267,603,290,292,466,158,224,178,164,203,502,320,240,278,350,258,327,432,401,361,381,301,413,402,199,421,453,365,357,452,384,420,482,228,360,316,252,158,271,410,308,283,410,201,179,430,342,185,324,406,235,520,442,520,358,343,251,282,371};for(i=0;i<11;i++){for(k=0;k<10;k++){x[i]=x[i]+year[k][i];}x[i]=x[i]/10;}for(i=0;i<11;i++){for(j=0;j<11;j++){for(k=0;k<10;k++){fenzi=fenzi+fabs((year[k][i]-x[i])*(year[k][j]-x[j]));fenmu1=fenmu1+(year[k][i]-x[i])*(year[k][i]-x[i]);fenmu2=fenmu2+(year[k][j]-x[j])*(year[k][j]-x[j]);fenmu=sqrt(fenmu1)*sqrt(fenmu2);r[i][j]=fenzi/fenmu;}fenmu=fenmu1=fenmu2=fenzi=0;}}for(i=0;i<11;i++){for(j=0;j<11;j++){printf("%6.3f",r[i][j]);}printf("\n");}getchar();}得到模糊相似矩陣R1.0000.8390.5280.8440.8280.7020.9950.6710.4310.5730.7120.8391.0000.5420.9960.9890.8990.8550.5100.4750.6170.5720.5280.5421.0000.5620.5850.6970.5710.5510.9620.6420.5680.8440.9960.5621.0000.9920.