不等式證明的一般方法

不等式的證明方法在中學(xué)，不等式的證明問題，同學(xué)們一般都感到較困難，其原因是證明沒有固定的程序可循，技巧多樣，方法靈活，難度較高，為此,筆者現(xiàn)通過一些例題，提出一套關(guān)于不等式的證明方法和常用技巧，供大家參考。一、比較法由于a-b>O^a>b^a*b<O^a<b^所以我們可以借助a-b的差值的符號來判斷a、b的大小，這樣證明不等式的方法，我們稱為比較法。例1已知a、b、m為正數(shù)，且a<ba+tna ■—」4求證：+aa>n(b-d)-----證明：因為":::"而：m>0b>0b-a>0心一嘰◎ -a>o所以心F'■即-■'也4■朋〉a故■- (證畢)用此方法證明，還可以啟發(fā)學(xué)生變更命題的某些條件，而得出一些類似的結(jié)論。例2已知a、b為實數(shù)屮+滬王2（站—捫—亍求證：證明：因為，（屮+齢）-[2（勿-對亠科=（（i-2）3+^+1）2>0所以（證畢）通過上述各例，不難總結(jié)出比較法的步驟是，求差一變形一判斷（大于或小于零），其關(guān)鍵是變形，常用的有，因式分解、配方、通分等。二、綜合法從已知條件或已被證明的基本不等式出發(fā)，運用不等式的性質(zhì),逐步推出結(jié)論。即：“由因?qū)Ч边@種方法稱為綜合法。例3求證： i■-"■■-：!■."i:'"：-■ <■-. .■■：-I證明；因為，「—又-所以，煙+刊工2血鞏/+護(hù)）>2abc三式相加得：!_' i'」一八"例4設(shè)a、b、c為正數(shù)，且a+b+c=1

證明：因為，1q1—ab4-^2-Jhc『——1==工>U二式相乘得「心心肝（證畢）求證：<1例5已知求證：<1例5已知af >2氏血證明:(i=1.2…H)N個同向不等式相加得士訥詁乞盯+±￥）弓〔1+1）=1Z 2i-lI /三、分析法欲證原不等式成立，可以利用恒等變形和不等式的性質(zhì)尋求使該不等式成立的充分條件，逐一進(jìn)行，直到所求的充分條件成立，則逆推之，不等式得證，這種從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論和條件的聯(lián)系的方法叫做分析法。例6已知a、b為整數(shù)，且嗣燈0V

求證:-\-2ab+b2<\+2ab+a2h2證明：假設(shè)不等式成立，兩邊平方得丁.是.廠I 二：I.■:j丨'I.-'i由條件小： 這是顯然成立的，因此倒推回去，每步可逆,所以原不等式成立。?zf cot—>2sin2a心"0(gt(衛(wèi)土、十 2例7已知 求證：：cot->2sin2a 如圧A4沏代切一證明：欲使 那么應(yīng)有. >4cosCi上式兩邊約掉5」「得一即 「〔me■'-I='：-「」一門?Ir.U'，「crIM(2cosct—l)a>0所以，最后不等式顯然成立，以上每一步的證明都可逆，故原不等式成立。1—sin4◎1-cos+1—sin4◎1-cos+a__sm4^cos4^-證明：假設(shè)不等式成立，于是(14-stn3Q)(l十cos3②、珀 x Z9+1sin <X,, 2+sin2<^cos2>9sin2cos2a;=^>(sin2a)2<1故這是顯然成立的，由此倒推回去，每一步可逆，所以原不等式成

.立四、反證法從否定所求的不等式入手，推出與已知真命題或已知條件相矛盾的結(jié)論，從而斷定所求的不等式成立，這種證明方法叫做反證法。例9已知例9已知求證:sincir+cosQ求證:sincir+cosQ芒siny證明：假設(shè)"成立遇士込口“迪綣Z則有因為?'一，所以于是有■: 二2sin^stn^=0再化積得盤,0工2上71:這與 矛盾，所以假設(shè)不成立。f'sinii4-sin5sitiy、一」例10已知故 例10已知求證：麗、也卜嗣中至少有一個不小于弓f(x)=z3+px+q證明：假設(shè)結(jié)論不對，則有

3 1小9 11/⑵I--弋2尹+€<--(2)19 ° 1/⑵I「得「一與（「得「一與（2）矛盾所以假設(shè)不成立，故原結(jié)論成立。（證畢）五、判別式法此法則借助于一元二次方程的判別式，而使不等式得到證明。例11求證:工tsn2flf+tan所以假設(shè)不成立，故原結(jié)論成立。（證畢）五、判別式法此法則借助于一元二次方程的判別式，而使不等式得到證明。例11求證:工tsn2flf+tan住+1 3tan^￡t+l 2tan3a+tan氐+1『= 2證明；設(shè) ■ ，整理后得:0—1)tan'逮?tan◎+?！?)二0運用門V是實數(shù)的判別條件△二宀仏二1—4。—護(hù)丸即得2tan2ct+1 2所以，?一廳応￥屮今*后x+4齊十r例12求證：證明:z證明:z2+2x+5?+4x+5因為x是實數(shù)，則有y2-6y^4<0-則.解之得：」一廠則 （證畢）六、三角變換法b=cosGrz=con^=5111R、b=cosGrz=con^=5111R、例13、、「—丄 口m+護(hù)=1衛(wèi)+丿已知：a、b為正數(shù)，且求證：|t2X+^|<1證明：由已知可設(shè)a=sindr站+瑚=|$in妣a0+ca◎gin外=|sin（a+/S）|<1于是 （證畢）.r \a<1?b<1例14:若I處土J（1一疋）（1-護(hù)）蘭1求證：國為」d|<l丿bl<1證明：缶□卄卄［角Q和刖時曰所以存在 使得

=sinCl b=c<>sp將它代入原不等式的左端得卜in Q±uos處gin=|sin（a±<1（證畢）七、數(shù)值法這種方法是利用函數(shù)的極值，主要是正弦和佘弦函數(shù)的極值來證明不等式。41-5<2cos2x+3sinx<——*例15求證： 'r證明：因為.的最小值是-2一"的最小值是-3所以,2所以,2cos2jc+3sinj>—5y—2cos2x+3sinx=2(1-2sin3j)+3sinjc=-4sinsx4-3smx+2^=—4(sinx—41341sinx=—所以，當(dāng) 時，y有極大值一412cos2^4-3sinx<—?即 ！-5<3cos2x+3sinx<—故 “(證畢)

八、數(shù)學(xué)歸納法含有自然數(shù)n的不等式，一般可采用數(shù)學(xué)歸納法。例16求證：cos^+sin3+stn23+ +sn旳B+mi(甘+1)總<1+sin2[(w+l)—]cot—222證明：命題對于n=1時成立，事實上cos5+sin5+—sin2^<l+sinS(1+cos^)=1+sin2 旦22現(xiàn)假設(shè)命題對于n=k時成立即cos^+sinm+sin20+ +sm七B+gsin(忑+1)8a a<l+sina[(*+t)_lcot_；42 2cos^+sin0+￡in2&+ 4-sm七&+g￡in(上+1)0an<l+sm'[直+1)—]wt—*現(xiàn)證明命題對于n=k+1也成立，我們有cos5+sin^4sin2&亠 +sm -l-l)^H-—sin(i4-2^5-4-—sm( sin(^+2)C222笛1+sin2[(i-l-1)—]cot—+sm[(k-F—4-—sm( sin(^+2)C222笛1+