第05講空間向量及其應(yīng)用（十六大題型）（講義）

第05講空間向量及其應(yīng)用目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.（2）掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.（3）理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理．（4）能用向量法解決異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量法在研究空間角問題中的作用．2023年I卷第18題，12分2023年II卷第20題，12分2022年I卷第19題，12分2022年II卷第20題，12分空間向量解立體幾何一般以解答題形式為主,每年必考,一般12分.以解答題為主,難度中等,可靈活選擇運用向量方法與綜合幾何方法,從不同角度解決立體幾何問題,通過對比體會向量方法的優(yōu)越性.選擇題和填空題一般不用空間向量法.但要理解向量基本定理的本質(zhì),感悟“基底”的思想,并運用它解決立體幾何中的問題.知識點一：空間向量及其加減運算（1）空間向量在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模．空間向量也可用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量的起點是，終點是，則向量也可以記作，其模記為或．（2）零向量與單位向量規(guī)定長度為0的向量叫做零向量，記作．當(dāng)有向線段的起點與終點重合時，．模為1的向量稱為單位向量．（3）相等向量與相反向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量．空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內(nèi)的兩個向量．與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為．（4）空間向量的加法和減法運算①，．如圖所示．②空間向量的加法運算滿足交換律及結(jié)合律，知識點二：空間向量的數(shù)乘運算（1）數(shù)乘運算實數(shù)與空間向量的乘積稱為向量的數(shù)乘運算．當(dāng)時，與向量方向相同；當(dāng)時，向量與向量方向相反．的長度是的長度的倍．（2）空間向量的數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律，．（3）共線向量與平行向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，平行于，記作．（4）共線向量定理對空間中任意兩個向量，，的充要條件是存在實數(shù)，使．（5）直線的方向向量如圖8-153所示，為經(jīng)過已知點且平行于已知非零向量的直線．對空間任意一點，點在直線上的充要條件是存在實數(shù)，使①，其中向量叫做直線的方向向量，在上取，則式①可化為②①和②都稱為空間直線的向量表達(dá)式，當(dāng)，即點是線段的中點時，，此式叫做線段的中點公式．（6）共面向量如圖8-154所示，已知平面與向量，作，如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，則說明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．（7）共面向量定理如果兩個向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使．推論：①空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使；或?qū)臻g任意一點，有，該式稱為空間平面的向量表達(dá)式．②已知空間任意一點和不共線的三點，，，滿足向量關(guān)系式（其中）的點與點，，共面；反之也成立．知識點三：空間向量的數(shù)量積運算（1）兩向量夾角已知兩個非零向量，，在空間任取一點，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作．（2）數(shù)量積定義已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即．零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，．（3）空間向量的數(shù)量積滿足的運算律：，（交換律）；（分配律）．知識點四：空間向量的坐標(biāo)運算及應(yīng)用（1）設(shè)，，則；；；；；．（2）設(shè)，，則．這就是說，一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減起點的坐標(biāo)．（3）兩個向量的夾角及兩點間的距離公式．①已知，，則；；；；②已知，，則，或者．其中表示與兩點間的距離，這就是空間兩點的距離公式．（4）向量在向量上的投影為．知識點五：法向量的求解與簡單應(yīng)用（1）平面的法向量：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．幾點注意：=1\*GB3①法向量一定是非零向量；=2\*GB3②一個平面的所有法向量都互相平行；=3\*GB3③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有．第一步：寫出平面內(nèi)兩個不平行的向；第二步：那么平面法向量，滿足．（2）判定直線、平面間的位置關(guān)系=1\*GB3①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線，的方向向量分別為，．若∥，即，則；若，即，則．=2\*GB3②直線與平面的位置關(guān)系：直線的方向向量為，平面的法向量為，且．若∥，即，則；若，即，則．（3）平面與平面的位置關(guān)系平面的法向量為，平面的法向量為．若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．知識點六：空間角公式．（1）異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．（2）線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．（3）二面角公式：設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補），其中．知識點七：空間中的距離求解空間中的距離（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計算．如圖，設(shè)兩條異面直線的公垂線的方向向量為，這時分別在上任取兩點，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線的距離．則即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．（2）點到平面的距離為平面外一點（如圖），為平面的法向量，過作平面的斜線及垂線．【解題方法總結(jié)】用向量法可以證點共線、線共點、線（或點）共面、兩直線（或線與面、面與面）垂直的問題，也可以求空間角和距離．因此，凡涉及上述類型的問題，都可以考慮利用向量法求解，且其解法一般都比較簡單．用向量法解題的途徑有兩種：一種是坐標(biāo)法，即通過建立空間直角坐標(biāo)系，確定出一些點的坐標(biāo)，進而求出向量的坐標(biāo)，再進行坐標(biāo)運算；另一種是基底法，即先選擇基向量（除要求不共面外，還要能夠便于表示所求的目標(biāo)向量，并優(yōu)先選擇相互夾角已知的向量作為基底，如常選擇幾何體上共點而不共面的三條棱所在的向量為基底），然后將有關(guān)向量用基底向量表示，并進行向量運算．題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列命題中是假命題的是（

）A．任意向量與它的相反向量不相等B．和平面向量類似，任意兩個空間向量都不能比較大小C．如果，則D．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同【答案】A【解析】對于A，零向量的相反向量是它本身，A錯誤；對于B，空間向量是有向線段，不能比較大小，B正確；對于C，如果，則，C正確；對于D，兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同，D正確.故選：A.例2．（2023·全國·高三對口高考）如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，若，，，則（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】因為為與的交點，所以，故.故選：D例3．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？既＃┰谌忮FP-ABC中，點O為△ABC的重心，點D，E，F(xiàn)分別為側(cè)棱PA，PB，PC的中點，若，，，則=（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】取中點為，三個式子相加可得,又,故選：D

變式1．（2023·高三課時練習(xí)）如圖.空間四邊形OABC中，，點M在OA上，且滿足，點N為BC的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】.故選：D.變式2．（2023·湖南長沙·高三校聯(lián)考期中）如圖，M在四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，且，設(shè)，，，則下列向量與相等的向量是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為M在四面體OABC的棱BC的中點，所以，又點N在線段OM上，且，故點為的三等分點，所以，所以.故選與相等的向量的向量是；故選：A.變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四面體中，是的重心，是上的一點，且，若，則為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為是中點，所以，是的重心，則，所以，因為所以，若，則．故選：D．變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在空間單位正交基底下，是空間的一組單位正交基底，是空間的另一組基底.若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)向量在基底下的坐標(biāo)為，則，又向量在基底下的坐標(biāo)為，則，所以，即，所以解得所以向量在基底下的坐標(biāo)為.故選：C.【解題方法總結(jié)】空間向量的運算包括空間向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的幾何意義及坐標(biāo)運算，可以類比平面向量的運算法則．題型二：空間共線向量定理的應(yīng)用例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若空間中任意四點O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則（

）A．P∈AB B．P?ABC．點P可能在直線AB上 D．以上都不對【答案】A【解析】因為m＋n＝1，所以m＝1－n，所以，即，即，所以與共線．又，有公共起點A，所以P，A，B三點在同一直線上，即P∈AB.故選：A.例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則下列向量中與平行的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以與平行.故選：B.例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）向量，分別是直線，的方向向量，且，，若，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】因為，所以，所以，，所以，解得，.故選：C.變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若點，，在同一條直線上，則（

）A．21 B．4 C．4 D．10【答案】C【解析】，∵點，，在同一條直線上∴∥則解得∴故選：C．變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，如果與為共線向量，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為與為共線向量，所以，故選：D變式7．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）若、、三點共線，則（

）．A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，，由題意得，則，∴、，∴，故選:A．【解題方法總結(jié)】空間共線向量定理：．利用此定理可解決立體幾何中的平行問題．題型三：空間向量的數(shù)量積運算例7．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】向量，，則，A正確；顯然，B正確；由數(shù)量積的定義得，C錯誤；顯然，則，即有，D錯誤.故選：AB例8．（多選題）（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中?？计谥校┤鐖D，在平行六面體中，其中以頂點A為端點的三條棱長均為6，且彼此夾角都是，下列說法中不正確的是（

）

A．B．C．向量與夾角是D．向量與所成角的余弦值為【答案】CD【解析】在平行六面體中，其中以頂點為端點的三條棱長均為6，且彼此夾角都是，.對于A，，，A正確；對于B，，，即，B正確；對于C，連接，由題意可知是等邊三角形，則，，且向量與的夾角是，向量與夾角是，C錯誤；對于D，，，，，D錯誤.故選：CD

例9．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）四面體中，，，，，，平面與平面的夾角為，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】在四面體中，，，則是二面角的平面角，如圖，，而，，，，因為平面與平面的夾角為，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的值可能為，.故選：AD變式8．（多選題）（2023·?？寄M預(yù)測）在平行六面體中，已知，，則（

）A．直線與所成的角為B．線段的長度為C．直線與所成的角為D．直線與平面所成角的正弦值為【答案】AC【解析】設(shè)，則，且，對于A，，，所以直線與所成的角為，故A正確；對于B，因為，所以，故B錯誤；對于C，因為，所以，故C正確；對于D，連接，交于點，則為的中點，因為，，所以，又因平面，所以平面，又平面，所以平面平面，作，垂足為，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，則與平面所成的角為，在中，，所以，即直線與平面所成角的正弦值為，故D錯誤.故選：AC.變式9．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則（

）A．B．是等腰直角三角形C．與平行的單位向量的坐標(biāo)為或D．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】AC【解析】根據(jù)空間向量的線性運算，，選項A正確；計算可得，三條邊不相等，選項B不正確；與平行的單位向量為：選項C正確；在方向上的投影向量與向量共線，，選項D不正確，故選：AC.變式10．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知空間向量，，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若在上的投影向量為，則D．若與夾角為銳角，則【答案】ABD【解析】對于A：，，即：，解得：.故A選項正確；對于B：，，解得：.故B選項正確；對于C：在上的投影向量為：，即，代入坐標(biāo)化簡可得：，無解，故C選項錯誤；對于D：與夾角為銳角，，解得：，且與不共線，即，解得：，所以與夾角為銳角時，解得：.故D選項正確；故選：ABD.變式11．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）如圖，平行六面體中，，，，，則線段的長為.

【答案】1【解析】由題可得,，,所以,且,因為,所以，所以，故答案為:1.變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知空間向量，，則在方向上的投影向量為.【答案】【解析】，與同向的單位向量，在方向上的投影向量為.故答案為：.變式13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是棱長為2的正方體內(nèi)切球的一條直徑，則．【答案】2【解析】因為正方體的棱長為2，所以其內(nèi)切球的半徑．又球心一定在該正方體的體對角線的中點處，且體對角線長為，所以設(shè)該正方體的內(nèi)切球的球心為O，則，易知，所以．故答案為：變式14．（2023·全國·高三對口高考）已知向量，若，則．【答案】【解析】設(shè)向量，，，設(shè)與的夾角為，，，.故答案為：.變式15．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知空間向量，，，若，則．【答案】【解析】，，，，解得，故答案為：.變式16．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知向量，向量，則與的夾角的大小為.【答案】【解析】因為，，所以，因為，所以.故答案為：.【解題方法總結(jié)】；求模長時，可根據(jù)；求空間向量夾角時，可先求其余弦值．要判斷空間兩向量垂直時，可以求兩向量的數(shù)量積是否為0，即．為銳角；為鈍角．由此，通常通過計算的值來判斷兩向量夾角是銳角還是鈍角．題型四：證明三點共線例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在四面體OABC中，點M，N分別為OA、BC的中點，若，且G、M、N三點共線，則．【答案】【解析】若G、M、N三點共線，則存在實數(shù)，使得，又點M，N分別為OA、BC的中點，則，，則，則，解得，則.故答案為：.例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，λ），若A，B，C三點共線，則．【答案】1【解析】由題意，點A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，λ），所以,若A，B，C三點共線，則，即，解得.故答案為：1．例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平行六面體中，，．(1)求證：、、三點共線；(2)若點是平行四邊形的中心，求證：、、三點共線．【解析】（1）由題意，，，故,,故，由于有公共點A，故A、、三點共線；（2）由題意，點是平行四邊形的中心，故，故,因為有公共點D，故、、三點共線．變式17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在長方體中，M為的中點，N在AC上，且，E為BM的中點.求證：，E，N三點共線.【解析】由圖作出如圖所示長方體

由題可得，，，所以，所以，E，N三點共線.【解題方法總結(jié)】先構(gòu)造共起點的向量，，然后證明存在非零實數(shù)，使得．題型五：證明多點共面的方法例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下面關(guān)于空間向量的說法正確的是（

）A．若向量平行，則所在直線平行B．若向量所在直線是異面直線，則不共面C．若A，B，C，D四點不共面，則向量，不共面D．若A，B，C，D四點不共面，則向量，，不共面【答案】D【解析】向量平行，所在直線可以重合，也可以平行，A錯誤；可以通過平移將空間中任意兩個向量平移到一個平面內(nèi)，因此空間任意兩個向量都是共面的，BC錯誤；顯然AB，AC，AD是空間中有公共端點A，但不共面的三條線段，所以向量，，不共面，D正確.故選：D例14．（2023·江蘇常州·高三?？茧A段練習(xí)）以下四組向量在同一平面的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、【答案】B【解析】對于A選項，設(shè)，所以，，無解；對于B選項，因為，故B選項中的三個向量共面；對于C選項，設(shè)，所以，，無解；對于D選項，設(shè)，所以，，矛盾.故選：B.例15．（2023·全國·高三對口高考）已知，若三向量共面，則等于（

）A． B．9 C． D．【答案】D【解析】∵，，共面，∴設(shè)（為實數(shù)），即，∴，解得．故選：D.變式18．（2023·江西·校聯(lián)考二模）在四棱錐中，棱長為2的側(cè)棱垂直底面邊長為2的正方形，為棱的中點，過直線的平面分別與側(cè)棱、相交于點、，當(dāng)時，截面的面積為（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【解析】由題意，平面，四邊形為正方形，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，

則，，，，，，，設(shè)，，則，又，，所以，則，由題意，四點共面，所以，所以，解得，所以，，所以，所以，即，所以，所以，又，所以，即，所以，所以，所以截面的面積為.故選：A變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為空間任意一點，若，若四點共面，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若A，B，C，P四點共面，則存在有序?qū)崝?shù)對，使，所以，整理得：，又由題知，由空間向量的基本定理知：解得所以.故選：C.變式20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知空間、、、四點共面，且其中任意三點均不共線，設(shè)為空間中任意一點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由、、、四點共面，且其中任意三點均不共線可得，解之得故選：D變式21．（2023·廣東廣州·高三執(zhí)信中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型，過點A作一個平面分別交于點E，F(xiàn)，G，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，(a、b>0)，則，，，，∴，，由題意四點共面，則有，其中，設(shè)，∴由方程組，即，解得，所以，故選：C.變式22．（2023·甘肅平?jīng)觥じ呷y(tǒng)考期中）對于空間任意一點和不共線的三點，有如下關(guān)系：，則（

）A．四點必共面 B．四點必共面C．四點必共面 D．五點必共面【答案】B【解析】對于空間任一點和不共線三點，若點滿足且，則四點共面.而，其中，所以四點共面.故選：B.變式23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知A、B、C三點不共線，對平面外的任一點O，下列條件中能確定點M與點A、B、C一定共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】M與A、B、C共面的條件是，且，故B選項正確，故選：B變式24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正四棱錐的底面邊長和高均為2，，分別為，的中點．(1)若點是線段上的點，且，判斷點是否在平面內(nèi)，并證明你的結(jié)論；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）連接、交于，連接，由正四棱錐的性質(zhì)可得平面，底面為正方形，則，所以以為坐標(biāo)原點，、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，又，得，，所以，所以、、、四點共面，即點在平面內(nèi)．（2）由（1）可得，設(shè)平面的法向量，由，得，令，則，，所以，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為．變式25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在幾何體ABCDE中，ABC，BCD，CDE均為邊長為2的等邊三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．求證：A，B，D，E四點共面；【解析】取的中點，連接，取的中點，連接，因為平面平面，且平面平面，而為等邊三角形，所以，因此平面，因為平面平面，且平面平面，又因為為等邊三角形，所以，因此平面，又因為平面，因此，又因為為等邊三角形，所以，因此兩兩垂直，從而以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又因為均為邊長為2的等邊三角形，所以，，，設(shè)，則，，，由于，所以，解得，因此，所以，，，所以，由空間向量基本定理可知：共面，所以四點共面；變式26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，若平面平面，，，.(1)求二面角A－CF－D的余弦值；(2)判斷點D與平面CEF的位置關(guān)系，并說明理由.【解析】（1）因為平面平面，且交線為，因為四邊形為正方形，所以，于是平面，以為原點，所在方向分別為軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，容易得到，所以，，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，可取，又，，設(shè)平面的法向量為，由，可取，所以，所以二面角的的余弦值為.（2）點在平面外，證明如下，連接ED，因為，，，設(shè)，則，即，顯然此方程組無解，所以四點，，，不共面，即點在平面外.變式27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在邊長為3的正方體中，點P，Q，R分別在棱，，上，且.（1）求點D到平面的距離；（2）若平面與線段的交點為N，求的值.【解析】（1）如圖，以點D為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，代入可得，令，則，，所以，故點D到平面的距離為.（2）因為點N在平面內(nèi)，可設(shè)（其中m，n為常數(shù)），又與共線，可設(shè)，由圖可得，即，整理得，由①③可得④，由②③可得⑤，聯(lián)立④⑤解得，代入②可得，所以，即.變式28．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖四棱錐，且，平面平面，且是以為直角的等腰直角三角形，其中為棱的中點，點在棱上，且.

(1)求證：四點共面；【解析】（1）由，且，取的中點，連接，則，且，所以，又是以為直角的等腰直角三角形，所以.過點作，垂足為，則點為的中點，且，因為平面平面，且平面平面，所以平面，故以所在的直線分別為軸，軸，過點作垂直于平面的軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，因為為棱的中點，所以，又因為點在棱上，且，所以，則，，，令，則，解得，故，則共面，且向量有公共點，所以四點共面.【解題方法總結(jié)】要證明多點（如，，，）共面，可使用以下方法解題．先作出從同一點出發(fā)的三個向量（如，，），然后證明存在兩個實數(shù)，使得．題型六：證明直線和直線平行例16．（2023·高二課時練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點，為的中點，，求證：．

【解析】證法一：由題意知，直線兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，所以，又，故．證法二：由題意可得，又，所以．例17．（2023·高二課時練習(xí)）已知棱長為1的正方體在空間直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，分別為棱的中點，求證：.【解析】因為正方體的棱長為1，分別為棱的中點，所以有，，，，所以，，則有，所以.例18．（2023·高二課時練習(xí)）如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，求證：.【解析】（方法1）因為M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，則有，又，兩式相加得：，因此與共線，而直線與不重合，所以.（方法2）因為M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，，因此與共線，而直線與不重合，所以.變式29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在四棱錐中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD為梯形．，，且，，．若M是棱PA的中點，則對于棱BC上是否存在一點F，使得MF與PC平行．【解析】在平面內(nèi)過點作，交于點，因為平面平面，且平面平面，平面，可得平面，又由，所以兩兩垂直，以為原點，以所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由，，，可得，假設(shè)上存在點，使得，設(shè)，其中，因為是棱的中點，可得，又由，所以，設(shè)，可得，此方程組無解，所以假設(shè)不成立，所以對于上任意一點，與都不平行，即在線段上不存在點，使得與平行．【解題方法總結(jié)】將證線線平行轉(zhuǎn)化為證兩向量共線．設(shè)是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為，則．題型七：證明直線和平面平行例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在蘇州博物館有一類典型建筑八角亭，既美觀又利于采光，其中一角如圖所示，為多面體，，，，底面，四邊形是邊長為2的正方形且平行于底面，，，的中點分別為，，，．(1)證明：平面；【解析】（1）過點作的平行線，由題意可知以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，，，，，令，則，∵，∴，平面.例20．（2023·廣東潮州·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，E為PD的中點．(1)證明：//平面AEC【解析】（1）以點A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由幾何關(guān)系有：，則直線的方向向量為：，，設(shè)平面的法向量，則：，據(jù)此可得：平面的一個法向量為，結(jié)合可知：，即據(jù)此可得：平面.例21．（2023·天津濱海新·高三?？计谥校┤鐖D，且，，且，且，平面，.

(1)若為的中點，為的中點，求證：平面；【解析】（1）證明：因為，，平面，而、平面，所以，，因此以為坐標(biāo)原點，分別以、、的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

因為且，且，，所以，，，，，，，，，設(shè)為平面的法向量，，，則，不妨令，可得；又，所以，得，又直線平面，平面．變式30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點．

(1)求證：平面；【解析】（1）證明：由題意，在矩形中，，，，，分別是，的中點，，，在四棱錐中，面面，面面，，平面面，面，，，，，面，面，，面，面，，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，,0,，,0,，,4,，,4,，,0,，,2,，,2,，,0,，面的一個法向量為，，平面，平面．變式31．（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，E為PD的中點，.

(1)求證：PB平面AEC；【解析】（1）因為平面ABCD，且平面ABCD，則，即AB，AD，AP兩兩互相垂直，如圖，以A為原點，以AB，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，，.設(shè)平面AEC的法向量為，則，取，可得，所以平面AEC的一個法向量為，可知，即，又因為平面AEC，所以PB//平面AEC，變式32．（2023·全國·高三對口高考）如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，，，平面，，.

(1)求二面角的余弦值；(2)在線段AB（含端點）上，是否存在一點P，使得平面.若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）過作于，由于，則,由于,且四邊形是等腰梯形，所以,在三角形中，由余弦定理可得，所以,故,

以為坐標(biāo)原點，，為軸，軸，過點作的平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)面的法向量，則，即，取，得．設(shè)面的法向量，則，即，則取，得．，由幾何體的特征可知二面角的平面角為銳角，二面角的余弦值為．（2），,，面，面．設(shè),若平面，則,所以，所以【解題方法總結(jié)】（1）利用共面向量定理．設(shè)為平面內(nèi)不共線的兩個向量，證明存在兩個實數(shù)，使得，則．（2）轉(zhuǎn)化為證明直線和平面內(nèi)的某一直線平行．（3）轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直（此方法最常用）．題型八：證明平面與平面平行例22．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，正四棱的底面邊長1，側(cè)棱長4，中點為，中點為．求證：平面平面.

【解析】以為原點，，，所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

則,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,，，，同理，平面，平面，平面，平面，平面，平面，又平面平面與平面平行．例23．（2023·高二課時練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點．求證：平面平面.【解析】因為，是棱的中點，所以，所以為正三角形.因為為等腰梯形，，所以.取的中點，連接，則，所以.以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，，，所以，，又不重合，不重合，所以，，因為平面，平面，所以平面，平面，又，平面，所以平面平面例24．（2023·高二課時練習(xí)）如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點，求證：平面EFG∥平面PBC．【解析】因為平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(xiàn)(0，1，1)，G(1，2，0)．所以，，，，設(shè)是平面EFG的法向量，則，，即，得，令，則，，所以，設(shè)是平面PBC的法向量，由，，即，得，令，則，，所以，所以，所以平面EFG∥平面PBC．變式33．（2023·高二課時練習(xí)）在正方體中，分別是的中點，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求證：平面平面.【解析】證明:如圖，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長為1，則有，，，，，，于是，，，，顯然有，，所以，，由，平面，平面，平面，同理平面，平面，，所以平面平面【解題方法總結(jié)】（1）證明兩平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行．（2）轉(zhuǎn)化為證兩平面的法向量平行（常用此方法）．題型九：證明直線與直線垂直例25．（2023·山西太原·高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體中，.(1)求的長；(2)求證：.【解析】（1）則.（2）證明：故.例26．（2023·北京海淀·高二?？计谥校┮阎忮F（如圖1）的平面展開圖（如圖2）中，四邊形為邊長為的正方形，和均為正三角形.在三棱錐中：(1)求點到平面的距離；(2)若點在棱上，滿足，點在棱上，且，求的取值范圍.【解析】（1）如圖，取，中點，，連接，，，∵展開圖中四邊形為邊長為的正方形，為中點，∴，，又和均為正三角形，∴，，∵，∴，∵，平面，平面,∴平面，設(shè)點到平面的距離為，，解得，所以點到平面的距離為.（2）如圖，以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，,∵，∴，，設(shè)，則,∵，∴，整理得，∵，∴，∴的范圍為.例27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，平行六面體的所有棱長均為，底面為正方形，，點為的中點，點為的中點，動點在平面內(nèi)．(1)若為中點，求證：；(2)若平面，求線段長度的最小值．【解析】（1）由已知，，，，所以，，，因為為中點，所以，又，所以，所以所以（2）連接，，∵，∴，∵，∴，連接，由正方形的性質(zhì)可得三點共線，為的中點，所以，由第一問，平面，，所以平面，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系、、、、，設(shè)平面法向量為，，則，所以，

∴，令，則，．∴為平面的一個法向量，因為點在平面內(nèi)，故設(shè)點的坐標(biāo)為，因為，所以，，則，所以，所以當(dāng)時，有最小值，最小值為.變式34．（2023·湖南長沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┬比庵母骼忾L都為2，，點在下底面ABC的投影為AB的中點O．(1)在棱（含端點）上是否存在一點D使？若存在，求出BD的長；若不存在，請說明理由；【解析】（1）連接，因為，為的中點，所以，由題意知平面ABC，又，，所以，以O(shè)點為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由得，同理得，設(shè)，得，又，，由，得，得，又，∴，∴存在點D且滿足條件；

60．（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預(yù)測）斜三棱柱的各棱長都為，點在下底面的投影為的中點.

(1)在棱（含端點）上是否存在一點使？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由；【解析】（1）因為點在下底面的投影為的中點，故平面，連接，由題意為正三角形，故,以為原點，分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則，，設(shè)，可得，，假設(shè)在棱（含端點）上存在一點使，則，則；變式35．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）如圖，棱臺中，，底面ABCD是邊長為4的正方形，底面是邊長為2的正方形，連接，BD，.

(1)證明：；【解析】（1）由題意，該棱臺是正四棱臺.連接交于，以所在直線為軸，經(jīng)過且垂直于平面的直線為軸，交上底面于，連接，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.根據(jù)正四棱臺的性質(zhì)，過作底面的垂線，則垂足在上.根據(jù)題干數(shù)據(jù)，，為上底面正方形對角線長的一半，顯然，故，又，則，故.于是，，則，于是變式36．（2023·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，D為的中點，交于點E．(1)證明：；【解析】（1）由于平面ABC，，所以兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,，所以故變式37．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校校考三模）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點，D為棱上的動點..

(1)證明：；【解析】（1）因為三棱柱是直三棱柱，所以底面，又底面，所以，，又因為，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，即兩兩垂直，以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)，所以，，因為，所以，即.

51．（2023·江西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，，分別是的中點，.

(1)證明：.【解析】（1）解法一：如圖，以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，.因為，所以.【解題方法總結(jié)】設(shè)直線的方向向量為，則．這里要特別指出的是，用向量法證明兩直線尤其是兩異面直線垂直是非常有效的方法．題型十：證明直線與平面垂直例28．（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·校考三模）如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長為2的正方形，，，分別是，的中點．

(1)求證：平面；【解析】（1）因為底面，底面，且底面是邊長為2的正方形，所以兩兩垂直，以為原點，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，取可得，所以平面的一個法向量為，因為，所以平面.例29．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，已知直三棱柱為的中點，為側(cè)棱上一點，且，三棱柱的體積為32．

(1)過點作，垂足為點，求證：平面；【解析】（1）由直三棱柱，得平面，又，可得三棱柱的體積，得．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則．設(shè)，則，故．因為，所以，所以，解得，即．證明：由，得，.所以．又因為平面ACQ，平面ACQ，，所以平面．例30．（2023·上海黃浦·上海市大同中學(xué)?？既＃┤鐖D，直三棱柱中，，，，D為BC的中點，E為上的點，且．

(1)求證：BE⊥平面；【解析】（1）在直三棱柱中，，顯然射線兩兩垂直，以點為原點，射線的方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因為，，D為BC的中點，E為上的點，且，則，，于是，即，而平面，所以BE⊥平面.變式38．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，直三棱柱的側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為，的中點，．(1)證明：平面；【解析】（1）因為三棱柱為直三棱柱，所以，又因為，，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為為正方形，所以，故以為坐標(biāo)原點，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，因為，，所以，，因為平面，，所以平面，【解題方法總結(jié)】（1）證明直線和平面內(nèi)的兩天相交直線垂直．（2）證明直線和平面內(nèi)的任一直線垂直．（3）轉(zhuǎn)化為證明直線與平面的法向量共線．題型十一：證明平面和平面垂直例31．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在正方體中，如圖、分別是，的中點．

(1)求證：平面平面；【解析】（1）設(shè)棱長為，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，所以，則平面平面．例32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在直三棱柱中，其中為的中點，點是上靠近的四等分點，與底面所成角的余弦值為．

(1)求證：平面平面；【解析】（1）取的中點，連，因為為的中點，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為與底面所成角的余弦值為，所以與底面所成角的余弦值為，因為三棱柱為直三棱柱，所以平面，所以是與底面所成角，所以，所以，所以，又，所以是邊長為的等邊三角形，取的中點，的中點，連，則，，平面，以為原點，的方向為軸建立空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，則，得，令，得，，，令，得，，，因為，所以，所以平面平面.例33．（2023·北京豐臺·北京豐臺二中校考三模）如圖，在四棱錐中，平面，，，，.為的中點，點在上，且.(1)求證：平面平面；【解析】（1）如圖，以為原點，分別以，為軸，軸，過作平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，因為，所以，所以，即，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，平面的法向量為，則，令，則，所以，所以，所以，所以平面平面.變式39．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測）如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點，.

(1)證明：平面平面；【解析】（1）證明：取的中點,連接，在正三棱柱中，不妨設(shè);以為原點，分別為軸和軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則,，；設(shè)平面的一個法向量為，則,，取，則，即；設(shè)平面的一個法向量為，則,即，取得.因為，所以平面平面；變式40．（2023·江西新余·高三江西省分宜中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，點E在棱PD上，且.(1)證明：平面平面ACE；【解析】（1）證明：已知底面ABCD是菱形，，又平面ABCD，所以BO，CO，PO互相垂直，故可以以點O為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由，，可知相關(guān)點坐標(biāo)如下：，，，，，易知平面PBD的一個法向量為，因為，所以，故平面PBD，從而平面平面ACE.變式41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在底面是矩形的四棱錐中，平面，，，是PD的中點.(1)求證：平面平面PAD；【解析】（1）由題可知，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則所以所以即,所以即,又,平面PAD,所以平面PAD,又平面，所以平面平面PAD.變式42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，側(cè)面是等邊三角形，.(1)求證：平面平面；(2)設(shè)為側(cè)棱上一點，四邊形是過兩點的截面，且平面，是否存在點，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.【解析】（1）證明：在中，因，所以，所以，又，且，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）假設(shè)存在點，使得平面平面.取中點為，連接，則，因為平面平面，平面平面，所以平面.如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，則，設(shè)是平面的法向量，則，取.設(shè)，其中.則連接，因平面平面，平面平面，故取與同向的單位向量.設(shè)是平面的法向量，則，取.由平面平面，知，有，解得.故在側(cè)棱上存在點，使得平面平面.變式43．（2023·江蘇·統(tǒng)考三模）如圖，三棱錐P－ABC的底面為等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2．D，E分別為AC，BC的中點，PD⊥平面ABC，點M在線段PE上．(1)再從條件①、②、③、④四個條件中選擇兩個作為已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并給予證明；(2)在（1）的條件下，求直線BP與平面MBD所成的角的正弦值．條件①：；條件②：∠PED＝60°；條件③：PM＝3ME：條件④：PE＝3ME．【解析】（1）因PD⊥平面ABC，平面ABC，平面ABC，則，又由題可知，則如圖，建立以D為原點的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，.則，，，，.故.設(shè)平面MBD法向量為，則，令，可得；設(shè)平面PBC法向量為，則，可令，可得.要使平面MBD⊥平面PBC，需滿足.注意到條件①，PD⊥平面ABC，平面ABC，，又由題可知，則條件②，條件③，條件④.則當(dāng)條件①④成立或條件②③成立時，都有，即可以使平面MBD⊥平面PBC；（2）由（1），當(dāng)選擇①④時，，，.則，平面MBD法向量為，設(shè)BP與平面MBD所成角為，則；當(dāng)選擇②③時，，，.則，平面MBD法向量，設(shè)BP與平面MBD所成角為，則；【解題方法總結(jié)】（1）轉(zhuǎn)化為證明兩平面的法向量互相垂直（2）轉(zhuǎn)化為證明一平面內(nèi)的一條直線垂直于另一個平面．題型十二：求兩異面直線所成角例34．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？寄M預(yù)測）在正四棱柱中，底面邊長為1，高為3，則異面直線與AD所成角的余弦值是.【答案】【解析】，即為異面直線與AD所成的角，

連接，在中，正四棱柱的底面邊長為1，高為3，，，，∴，，.故異面直線與AD所成角的余弦值是．故答案為：．例35．（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正方體的棱長為1，是棱的中點，為棱上的動點（不含端點），記?面直線與所成的角為，則的取值范圍是.【答案】【解析】方法1：取的中點N，連接，如圖所示，

則，面，所以異面直線AB與EG所成角即為，，設(shè)，（），所以，又因為，所以，所以，即：.方法2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，所以，，所以，（），又因為當(dāng)時，；當(dāng)或時，，所以，又因為，所以.故答案為：.例36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐P－ABC中，底面ABC，底面ABC為正三角形，PA＝AB，則異面直線PB與AC所成角的余弦值為【答案】【解析】設(shè)，則，；故答案為：.變式44．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱錐中，底面，.點、、分別為棱、、的中點，是線段的中點，，.

(1)求證：平面；(2)已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長．【解析】（1）證明：因為底面，，如圖，以點為原點，以、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、、、、，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，又因為，則，所以，，又因為平面，所以，平面.（2）依題意，設(shè)，則，所以，，，由已知，得，整理可得，解得或，所以，線段的長為或.變式45．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面平面，，.

(1)證明：平面平面；(2)若E為PC的中點，異面直線BE與PA所成角為，求四棱錐的體積.【解析】（1）證明：過點D作，垂足為點F，因為平面平面PAB，平面平面，平面，所以平面PAB，平面PAB，所以，因為，又平面PAD，，所以平面PAD，因為平面，所以平面平面.（2）如圖，以點D為原點，DA為X軸，DC為Y軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則、、、，設(shè)，則，因為，所以，所以，，因為異面直線BE與PA所成角為，所以，化簡得，解得（舍），所以；所以，平面ABCD，四棱錐，底面是邊長為2的正方形，棱錐的高為2，所以四棱錐的體積為.變式46．（2023·全國·高三對口高考）如圖，圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，M為側(cè)棱上一點．該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示．

(1)證明：平面；(2)證明：平面；(3)線段上是否存在點N，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點N，并求的長；若不存在，說明理由．【解析】（1）根據(jù)俯視圖可知，，，，所以，，因為底面，底面，所以，因為，平面，所以平面.（2）因為底面是直角梯形，根據(jù)俯視圖可知，，在直角三角形中，由，，，得，所以，在直角三角形中，，，，所以，，根據(jù)側(cè)視圖可知，，，因為底面，底面，所以，，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，，，因為，所以，又平面，所以平面.

（3）假設(shè)線段上存在點N，使與所成角的余弦值為，設(shè)，則，則，依題意可得，解得或，所以點位于點處或位于的中點處，所以或.【解題方法總結(jié)】設(shè)兩異面直線a和b的方向向量為和，利用求角余弦公式可求得和的夾角，由于兩向量所成角的范圍是，而兩異面直線所成角的范圍是．所以．題型十三：求直線與平面所成角例37．（2023·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？技倨谧鳂I(yè)）如圖所示，直三棱柱中，，，.

(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）證明：因為三棱柱為直三棱柱，且，，在直角與直角中，可得，所以，所以，所以，所以.因為底面，底面，所以，又，，且平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，且平面，所以平面，又因為平面，所以.（2）以為坐標(biāo)原點，以，，分別為，，軸建立的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以平面的一個法向量為.設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.故直線與平面所成角的正弦值為.

例38．（2023·廣東河源·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，分別為的中點，連接.

(1)當(dāng)為上不與點重合的一點時，證明：平面；(2)已知分別為的中點，是邊長為的正三角形，四邊形是面積為的矩形，當(dāng)時，求與平面所成角的正弦值.【解析】（1）因為分別為的中點，所以，因為平面，平面，所以//平面.（2）因為是正三角形，為的中點，所以，又因為，，所以平面，平面，所以，因為四邊形是矩形，所以，即直線兩兩垂直，以為坐標(biāo)系的原點，射線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因為四邊形是面積為的矩形，，所以，由已知得，，，，，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，，，∴，∴，令，得，.∴，設(shè)與平面所成的角為，則.所以與平面所成角的正弦值為.例39．（2023·山西運城·高三?？茧A段練習(xí)）在如圖所示的多面體中，四邊形為正方形，四點共面，且和均為等腰直角三角形，，平面平面，.

(1)求證：直線平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)若點在直線上，求直線與平面所成角的最大值.【解析】（1）因為和均為等腰直角三角形，且，所以，所以，又平面平面，所以平面.（2）連接，因為四邊形為正方形，所以，因為平面平面平面，平面平面，所以平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因為，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則，設(shè)平面的法向量，由，令，得，因為，所以平面與平面夾角的余弦值是.（3）設(shè)，則，設(shè)與平面所成的角為，則要使最大，則，所以時等號成立，所以，所以與平面所成角的最大值為.變式47．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知三棱柱中，是的中點，是線段上一點.

(1)求證：；(2)設(shè)是棱上的動點（不包括邊界），當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）證明：連接

，，是的中點，是的中點，，平面平面，平面，，在三棱柱中，，，，，平面，平面，．（2）連接，由（1）可知，平面，平面平面，，要使的面積最小，則最小，又，△是等腰直角三角形即時，最小，是的中點，如圖，建立以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系：

則，，，,0,，設(shè),,，則，即，得，，，即,,，，則，，,,，設(shè)平面的法向量為,,，由，得，即，令，則，，即，設(shè)直線與平面所成角為，則,，即直線與平面所成角的正弦值為．變式48．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐的底面為正方形，，平面，分別是線段的中點，是線段上的一點.

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，且點不是線段的中點，求三棱錐體積.【解析】（1）連接，分別是線段的中點，，底面四邊形為正方形，，平面，平面，，又，平面，平面，，平面，又平面，平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，解得：，，；設(shè)直線與平面所成角為，，解得：或（舍），，平面，平面，；，，平面，平面，到平面的距離為，.

變式49．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，是圓的直徑，點是圓上異于，的點，平面，，，，分別為，的中點，平面與平面的交線為，在圓上.

(1)在圖中作出交線（說明畫法，不必證明），并求三棱錐的體積；(2)若點滿足，且與平面所成角的正弦值為，求的值.【解析】（1）過點作交圓于點，（，分別為，的中點，所以,又，所以,故為平面與平面的交線）因為是圓的直徑，所以，，所以，所以四邊形為矩形，因為，，所以，因為平面，為的中點，所以點到平面的距離為，所以（2）以為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向作為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則即，不妨取，得因為與平面所成角的正弦值為，所以所以，所以或【解題方法總結(jié)】設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．題型十四：求平面與平面所成角例40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝2，∠DAB＝60°，點E，F(xiàn)在以AD為直徑的半圓上，且，將半圓沿AD翻折如圖2．

(1)求證：EF∥平面ABCD；(2)當(dāng)多面體ABE﹣DCF的體積為4時，求平面ABE與平面CDF夾角的余弦值．【解析】（1）證明：連接，，，六邊形為正六邊形，則，

在翻折過程中，，平面，平面，所以平面．（2）連接，分別交于，，則，，翻折過程中，平面，平面，，，，所以平面，同理平面，所以平面平面．又因為，則三棱柱為直三棱柱，，，且，，．設(shè)，所以，．所以，即，，，為二面角的平面角，即平面平面．以為坐標(biāo)原點，，，所在的直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

則,,，，，,2,，,3,，,2,，，設(shè)平面的一個法向量，有，令得，同理可得平面的法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，觀察圖可知其為銳角，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．例41．（2023·黑龍江大慶·高三大慶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，點E在棱PD上，且

(1)證明：平面平面ACE；(2)求平面PAC與平面ACE所成角的余弦值．【解析】（1）因為平面ABCD，且平面ABCD，則又因為ABCD為菱形，則，且，平面PBD，所以平面PBD，則平面，故平面平面PBD.（2）由題意可知：，平面ABCD，故以點O為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，設(shè)，則，可得，解得，即，可得，因為，則，解得，所以，由題意可知：平面PAC的一個法向量為，設(shè)平面ACE的一個法向量，可得，則，令，則，可得則，所以平面PAC與平面ACE所成角的余弦值為.例42．（2023·山西運城·山西省運城中學(xué)校校考二模）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，.

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【解析】（1）如圖，連接，交于，連接.因為側(cè)面為菱形，所以，且為的中點.又，故.又，且，所以，所以.又，所以，所以.因為平面，，所以平面.又平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，兩兩互相垂直，因此以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.故，，.設(shè)為平面的一個法向量，則有，即，令，則.設(shè)為平面的一個法向量，則有，即，令，則.因為平面平面，所以也是平面的一個法向量.所以.所以平面與平面夾角的余弦值.

變式50．（2023·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面為菱形，．

(1)若四棱錐的體積為1，求的長；(2)求平面與平面所成二面角的正弦值．【解析】（1）如圖，過作于，連接，因為側(cè)面底面，且側(cè)面底面面，所以底面，設(shè)，因為，所以，在菱形中，，則為等邊三角形，則，所以四棱錐的體積，解得；（2）取的中點，連接，則，以的方向為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，，令，得，則，故平面與平面所成二面角的正弦值為.變式51．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱臺中，為中點，，，.(1)求證：平面；(2)若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積.【解析】（1）在三棱臺中，為中點，則，又，，，四邊形為平行四邊形，，又，，，，，，平面，平面.（2），，，又，，平面，平面，連接，，，為中點，；以為正交基底，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，解得：，，；又平面的一個法向量，，解得：，即，平面，平面平面，平面，.變式52．（2023·四川成都·高三四川省成都市第四十九中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，且側(cè)面底面，側(cè)面底面，點F是PB的中點，動點E在邊BC上移動，且．

(1)證明：底面；(2)當(dāng)點E在BC邊上移動，使二面角為時，求二面角的余弦值．【解析】（1）證明：因為側(cè)面底面，且側(cè)面底面，底面是矩形，，底面，所以面，面，所以，同理，側(cè)面底面，且側(cè)面底面，底面是矩形，，底面，所以面，面，所以，底面，，所以底面ABCD．（2）因為底面ABCD，點F是PB的中點，且，所以．因為側(cè)面，且，則側(cè)面，側(cè)面，所以，側(cè)面，，所以側(cè)面，側(cè)面，，所以為二面角的平面角，當(dāng)時，中，由，得，因為AD，AB，AP三線兩兩垂直，分別以AD，AB，AP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

，，，，，，，設(shè)平面FAE的法向量為，則，即，令，得，，則；設(shè)平面PAE的法向量為，由，即，令，得，，所以，設(shè)二面角為，則．【解題方法總結(jié)】（1）在平面內(nèi)，，在平面β內(nèi)，（是交線的方向向量），其方向如圖所示，則二面角的平面角的余弦值為．（2）設(shè)是二面角的兩個半平面的法向量，其方向一個指向二面角內(nèi)側(cè)，另一個指向二面角的外側(cè)，則二面角的余弦值為．題型十五：求點面距、線面距、面面距例43．（2023·山東青島·高三統(tǒng)考期中）如圖，四棱錐中，底面ABCD為正方形，為等邊三角形，面底面ABCD，E為AD的中點.

(1)求證：；(2)在線段BD上存在一點F，使直線AP與平面PEF所成角的正弦值為.①確定點F的位置；②求點C到平面PEF的距離.【解析】（1）取中點，連接，,為等邊三角形,,面底面，面底面，面，面，，，，又，面，面，，

（2）①如圖以為原點，為軸，為軸建立空間

直角坐標(biāo)系.設(shè)，，，，,,，，，，，設(shè)是平面的一個法向量則有，令解得：因為直線與平面所成角的正弦值為即解得，所以點的位置是線段上靠近的三等分點，②，，，點到平面的距離.例44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，.

(1)求直線與平面的夾角；(2)求點到平面的距離.【解析】（1）設(shè)，因為菱形和矩形所在的平面互相垂直，所以易得平面，以點為坐標(biāo)原點，以所在直線為軸，所在直線為軸，過點且平行于的方向為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

由已知得，，因為軸垂直于平面，因此可令平面的一個法向量為，又，設(shè)直線與平面的夾角為，則有，即，所以直線與平面的夾角為.（2）由（1）空間直角坐標(biāo)系，得，，所以，，可設(shè)平面的法向量為，則，得，令，得，，即，又因為，所以點到平面的距離為.例45．（2023·廣東東莞·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面是正三角形，且與底面垂直，平面，，是棱上的動點.

(1)當(dāng)是棱的中點時，求證：平面；(2)若，，求點到平面距離的范圍.【解析】（1）證明：因為平面，平面，且平面平面，所以.取的中點，連接、，因為是棱的中點，所以，且，因為且，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因為平面，平面，所以平面.（2）取的中點，連接.因為是正三角形，所以.又因為平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因為，，為的中點，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因為，則，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、，所以，設(shè)，其中，則，設(shè)平面的法向量，所以，令，得，設(shè)點到平面距離為，.當(dāng)時，；當(dāng)時，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.綜上，點到平面距離的取值范圍是.變式53．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長為的正三角形，平面平面，．

(1)求證：平行四邊形為矩形；(2)若為側(cè)棱的中點，且平面與平面所成角的余弦值為，求點到平面的距離．【解析】（1）取中點，連接，為正三角形，則，面面，面面，面，則面，

面，故，又，面，，所以面，面，故，則平行四邊形為矩形.（2）如下圖，以為原點，為軸，為軸建立坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，所以，，

設(shè)面的法向量為，則，令，則，設(shè)面的法向量為，則，令，則，由，解得，則面的法向量為，，點到平面的距離.變式54．（2023·湖北·模擬預(yù)測）如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截得到的，其中，，，，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】以D為原點，分別以DA，DC，DF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則，∴，.設(shè)為平面的法向量，，由，得，令z=1，∴，所以.又，∴點C到平面AEC1F的距離d=.故選：C.變式55．（2023·云南昆明·昆明市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，已知是側(cè)棱長和底面邊長均等于的直三棱柱，是側(cè)棱的中點.則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中點，連接，因為為等邊三角形，為的中點，則，以點為坐標(biāo)原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，所以，點到平面的距離為.故選：A.變式56．（2023·全國·高三專題練習(xí)）兩平行平面分別經(jīng)過坐標(biāo)原點O和點，且兩平面的一個法向量，則兩平面間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵兩平行平面分別經(jīng)過坐標(biāo)原點O和點，且兩平面的一個法向量，∴兩平面間的距離．故選：A變式57．（2023·全國·高三專題練習(xí)）空間直角坐標(biāo)系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，則平面與平面間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知得，，，設(shè)向量與向量、都垂直，則，即，取，，又平面平面，則平面與平面間的距離為，故選：A.變式58．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為的正方體中，則平面與平面之間的距離為A． B．C． D．【答案】B【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量，則，即，解得，故，顯然平面平面，所以平面與平面之間的距離．變式59．（2023·高二課時練習(xí)）如圖所示，在長方體中，，則直線到平面的距離是（

）A．5 B．8 C． D．【答案】C【解析】以為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則．設(shè)．設(shè)平面的法向量為，由，得，∴可?。郑帱c到平面的距離為,∥，平面，平面，∴∥平面，到平面的距離為．故選：C變式60．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是棱長為1的正方體，則平面與平面的距離為．【答案】/【解析】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，可得，因為，則，所以，因為平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又，平面，所以平面平面，所以平面與平面的距離等于點到平面的距離，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，又因為，所以．所以平面與平面的距離為．故答案為：．變式61．（2023·高二單元測試）在直三棱柱中，，，D是AC的中點，則直線到平面的距離為．【答案】【解析】連與交于，則為的中點，連，因為D是AC的中點，則，因為平面，平面，所以平面，所以直線到平面的距離就等于點B1到平面的距離．因為，D是AC的中點，所以，以點D為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，過平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，則，令，得，則，所以所求距離為.

故答案為：.變式62．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在長方體中，，，??分別是??的中點，則直線到平面的距離為.【答案】【解析】以D為原點，DC，DA，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題，則，，因為??分別是??的中點，所以，，，則，所以，所以平面，所以點E到平面的距離即為直線到平面的距離，設(shè)平面的法向量為，則，因為，所以，取，則，，所以是平面的一個法向量，又向量，所以點E到平面的距離為，即直線到平面的距離為.故答案為：變式63．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F(xiàn)為線段AB的中點，則直線FC到平面的距離為．【答案】/【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，故，而平面，平面，故平面，故直線FC到平面的距離為即為到平面的距離.設(shè)平面的法向量為，又，故，取，則，而，故到平面的距離為，故答案為：.變式64．（2023·高二課時練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點，F(xiàn)為線段的中點．(1)求直線到直線的距離；(2)求直線到平面的距離．【解析】（1）建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，因為，所以，即，所以點到直線的距離即為直線到直線的距離，，，，，所以直線到直線的距離為；（2）因為，平面，平面，所以平面，所以直線到平面的距離等于到平面的距離，,，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，可得，所以到平面的距離為，所以直線到平面的距離為.【解題方法總結(jié)】如圖所示，平面的法向量為，點是平面內(nèi)一點，點是平面外的任意一點，則點到平面的距離，就等于向量在法向量方向上的投影的絕對值，即或題型十六：點到直線距離、異面直線的距離例46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面是邊長