二元一次方程組的概念與解法

........二元一次方程組的概念及解法二元一次方程一、二元一次方程組由幾個(gè)一次方程組成并且一共含有兩個(gè)未知數(shù)的方程組叫做二元一次方程組．．．x13x3特別地，和也是二元一次方程組．4yx1y二、二元一次方程組的解二元一次方程組中所有方程（一般為兩個(gè)）的公共解叫做二元一次方程組的解．．．．注意：（1）二元一次方程組的解一定要寫(xiě)成聯(lián)立的形式，如方程組2x3y9的解是xy7x6．y1（2）二元一次方程組的解必須同時(shí)滿足所有方程，即將解代入方程組的每一個(gè)方程時(shí)，等號(hào)兩邊的值都相等．例如：因?yàn)閤1能同時(shí)滿足方程xy3、yx1，所以x1y2xy3是方程組的yx1y2解．易錯(cuò)點(diǎn)1：代入法解二元一次方程組時(shí)，循環(huán)代入導(dǎo)致錯(cuò)誤．辨析：在利用代入法解二元一次方程組時(shí)，需要將方程組中某一個(gè)方程進(jìn)行變形，然后將變形后的方程代入到另一個(gè)方程中（注意不是變形前的方程）．易錯(cuò)點(diǎn)2：方程變形時(shí)，忽略常數(shù)項(xiàng)而出現(xiàn)錯(cuò)誤．辨析：在用加減法解二元一次方程組時(shí)，為了把兩個(gè)方程中某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)化.學(xué)習(xí)參考.........成相等或者互為相反數(shù)，需要在方程兩邊同乘一個(gè)不等于零的數(shù)，此時(shí)不要忘記常數(shù)項(xiàng)，造成漏乘導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)解．二元一次方程組的解法一、消元思想二元一次方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，如果能“消去”一個(gè)未知數(shù)，那么就能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程．這種將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做“消元”．使用“消元法”減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，使多元方程組最終轉(zhuǎn)化為一元方程，再逐步解出未知數(shù)的值．二、代入消元法1、代入消元法的概念將方程組中一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，代入另一個(gè)方程中，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，最后求得方程組的解，這種解方程組的方法叫做代入消元法．2、用代入消元法解二元一次方程組的一般步驟：①等量代換：從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，將這個(gè)方程中的一個(gè)未知數(shù)（例如y），用另一個(gè)未知數(shù)（如x）的代數(shù)式表示出來(lái)，即將方程寫(xiě)成yaxb的形式；②代入消元：將yaxb代入另一個(gè)方程中，消去y，得到一個(gè)關(guān)于x的一元一次方程；③解這個(gè)一元一次方程，求出x的值；④回代：把求得的x的值代入yaxb中求出y的值，從而得出方程組的解；⑤把這個(gè)方程組的解寫(xiě)成xa的形式．yb.學(xué)習(xí)參考.........三、加減消元法1、加減消元法的概念當(dāng)方程中兩個(gè)方程的某一未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊相加或相減來(lái)消去這個(gè)未知數(shù)，從而將二元一次方程化為一元一次方程，最后求得方程組的解，這種解方程組的方法叫做加減消元法．2、用加減消元法解二元一次方程組的一般步驟：①變換系數(shù)：利用等式的基本性質(zhì)，把一個(gè)方程或者兩個(gè)方程的兩邊都乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，使兩個(gè)方程里的某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等；②加減消元：把兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；③解這個(gè)一元一次方程，求得一個(gè)未知數(shù)的值；④回代：將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任何一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；⑤把這個(gè)方程組的解寫(xiě)成xa的形式．yb例題講解二元一次方程1．下列各方程是二元一次方程的是()3yxx2yD．S1t2A．2x+xy=3B．m－n2+2=0C．02．已知方程：①3x－4y=10；②3y+2x=－1；③6y=4－5x；④2y－7=4x+1，則x2y1所滿足的方程是().學(xué)習(xí)參考.........A．①B．①②C．①③D．①②④3．關(guān)系式xy1，用x的代數(shù)式表示y得32()A．2x22x232xy2x133yy2D．B．C．y334．下列說(shuō)法中正確的是()x3是方程3x－4y=1的一組解y2A．B．方程3x－4y=1有無(wú)數(shù)組解，即x、y可以取任何數(shù)值C．方程3x－4y=1只有兩組解，兩組解分別是：x1x11、y12yD．方程3x－4y=1可能無(wú)解5.把二元一次方程3x－2y+5=0化為y=kx+m的形式，寫(xiě)出k、m的值．6.如果4x－5y=0，且x≠0，那么12x5y的值是__________．12x5y7.把二元一次方程3x－2y+5=0化為y=kx+m的形式，寫(xiě)出k、m的值.學(xué)習(xí)參考.........二元一次方程組1．下列方程組中，不是二元一次方程組的是()3x2y0,xy5,22xxy,2xy20x2y1,y0A．B．C．D．4x1yyz3x53y,x53y,xy4,②xy3;2xy5,③y3x,2．下列方程組：①④⑤xy1;3y1.y41;x4z8;x324x其中，二元一次方程組的個(gè)數(shù)是A．1B．2()C．3D．43．如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC為射線，∠1比∠2的3倍少10°，如果設(shè)∠1、∠2的度數(shù)xy分別為、，那么下列方程組正確的是()xy180,xy10xy180,A．C．B．xy310xy180,xy103y180,D．xy3104.（2009．青海）如果代數(shù)式－3xm-1y3與5xnym+n是同類(lèi)項(xiàng)，那么m、n的值分別是2()m2,n12,n1n12,n1B．mC．m2,D．mA．.學(xué)習(xí)參考.........5．根據(jù)下面的條件列出二元一次方程組：(1)已知3x3m2n5y2m3n7是關(guān)于、的二元一次方程，列出關(guān)于m和n的二元一次xy方程組．(2)已知253x5m2n2y3與3m2n1的和是單項(xiàng)式，列出關(guān)于m和n的二元一次方程xy64組．解二元一次方程組代入消元法3x2y8y2x5，消去y后所得的方程是1．方程組()A．3x－4x－10=8B．3x－4x+5=8C．3x－4x－5=8D．3x－4x+10=83x4y5(1)提出四種不同的解法，其中解法不正確的2．四名學(xué)生解二元一次方程組x2y3(2)是()A．由①得54y，代入②y3x5，代入②4B．由①得x3C．由②得yx3，代入①2D．由②得x=3+2y，代入①3x2y7的解是3．二元一次方程組()x2y5x3x1y2x4y2x3D．y1A．B．C．y2.學(xué)習(xí)參考.........3x7y9的解是4．方程組()4x7y5x2x2x2x2y1D．yA．B．C．373737yy5．用代入法解方程組y2x3(1)3s2t5(2)4x3y1(2)2s3t(1)x37x(1)8x3y61(2)y2x3(1)(a)(b)(c)(d)3x2y8(2)將各方程組中的方程①代入方程②中，所得的方程正確的是()B．(b)3t－2t=5C．(c)40－3y=61D．(d)4x－6x－9=1是同類(lèi)項(xiàng)，那么，b的值分別是()A．(a)3x+4x－3=816．已知代數(shù)式xa1y3與3xby2aba2a2b1a2D．a(chǎn)2a2A．B．C．b1b1b17．解二元一次方程組3x5y82xy18．解方程yx1x2y25.學(xué)習(xí)參考.........3x5ya2的解適合x(chóng)+y=8，求的值．9．已知方程組a2x3yax710．小明和小華同時(shí)解方程組mxy52xny13，小明看錯(cuò)了m，解得，小華看錯(cuò)了2y2x3n，解得，你能知道原方程組正確的解嗎?y7解二元一次方程組加減消元法3x2y82x3y1時(shí)，要使兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相等或相反，1．用加減消元法解方程有以下四種變形的結(jié)果：.學(xué)習(xí)參考.........6x9y19x6y86x4y169x6y244x6y16x9y34x6y2①②③④6x4y8其中變形正確的是()A．①②B．③④C．①③D．②④0.8x0.7y3(1)，用加減消元法解該方程組時(shí)，將方程①兩邊2．已知二元一次方程組8x2y7(2)同時(shí)乘以_________，再將得到的方程與方程②兩邊相_________，即可消去________．3．李老師用36元買(mǎi)了兩種筆記本共40本，其中兩種筆記本的價(jià)格分別為1元和0．8元，則李老師買(mǎi)了價(jià)格為1元的筆記本_________本，0．8元的筆記本________本．2x3y54．解方程組：3x2y125．解方程組：xy12xy36．已知關(guān)x、y的方程組2x3y33x2y11的解相同，求、b的值．和aaxby12ax3by3.學(xué)習(xí)參考.........練習(xí)1xxxyxyxy11；⑥x2－2x1．下列各式：①＋＝3；②3＋2；③4＝3；④－2；⑤232xy22xyxyxyxy＝3；⑦4(＋)＝5(－)＋1；⑧＝－．其中，是二元一次方程的是()A．①⑤B．③⑦C．⑥⑧D．②④()xyx2．方程m－2＝＋5是二元一次方程時(shí)，m的取值為A．m≠0B．m≠1C．m≠－1D．m≠2xyxy3．方程2＋3＝6與3＋2＝－1的公共解是()x3,y2B．x3,4C．x3,D．x3,A．y2yy2xyxy4．(1)二元一次方程2＋＝5中，當(dāng)＝2時(shí)，＝________．xyxy(2)把二元一次方程2－3＝5寫(xiě)成用含的代數(shù)式表示的形式是________．(3)已知方程2x1y5是二元一次方程，則m＝________，n＝________．m324n2xy(4)方程＋2＝－7的非正整數(shù)解有________組，解為_(kāi)_______________________．xy(5)寫(xiě)出一個(gè)二元一次方程，使其滿足的系數(shù)是大于2的自然數(shù)，的系數(shù)是小于－3.學(xué)習(xí)參考.........xy的整數(shù)，且＝2，＝3是它的一個(gè)解，該方程為_(kāi)_______________________．5．已知xyxy1．32xy(1)用含的代數(shù)式表示．yx(2)用含的代數(shù)式表示．6．用代入法解下列方程組：(1)（2010．廣州）x2y1,(2)(2010．青島)3x4y19,3x2y11xy4(3)(2010．南京)2xy4,(4)(2010．吳洲)4x3y10,32yx1x2y5.學(xué)習(xí)參考.........7．用加減法解下列方程組：2xy6,x2y23x5y2,(1)(2)9xy223y1x22x3y7,,4(3)(4)33x2y82x3y18．若mn2＋(2m＋n＋4)2＝0，則mn的值是()A．1B．0C．－1D．－2xy5,的解也是方程4＋＋k＝0的解，求k的值．xy9．(1)已知方程組2xy8xyxyxy(2)已知方程4－＝10中，與互為相反數(shù)，求、的值．.學(xué)習(xí)參考.........1210．如果和2a24b是同類(lèi)項(xiàng)，那么a、b的值是3xy()xyb53aa0,a1,b0a2,D．a(chǎn)7,A．B．C．35b2bb13x2ym3,的解互為相反數(shù)，則m的值為xy11．若關(guān)于、的方程組()2xy2m1A．－7B．10C．－10D．－12檢測(cè)題x2,其中，滿足方程3x1x0,x3,y1x1,x,④1．下列各對(duì)數(shù)值：①②③⑤3y6y1y5y222y－2＝1的有()A．4組B．3組C．2組D．1組2．下列方程：①32y7；②x＝y(tǒng)；③x110xyxyyxx；④－3＝1；⑤－π＝1；⑥4y＋3．其中，二元一次方程有A．1個(gè)B．2個(gè)3．若()C．3個(gè)D．4個(gè)()x2m13y7是關(guān)于、的二元一次方程，則m·n的值為xy42n323252A．2B．D．C．xy4．二元一次方程2＋＝6的自然數(shù)解有()A．1組B．2組C．3組D．4組5．先閱讀材料，再解方程組．xy10,①4xyy5②xy時(shí)，可由①得－＝1③，然后再將③代入②，得4解方程組×1－＝5，解得＝－1，從而可得x0,這種方法稱為“整體代入”法．y1yy.學(xué)習(xí)參考.........2x3y20,請(qǐng)用上面的方法解方程組2x3y52y97xy1．(1)方程＋＝5有________組解，有________組正整數(shù)解．xyx(2)當(dāng)方程m－2＝＋5是二元一次方程時(shí)，m滿足的條件為_(kāi)_______．(3)已知x2,是方程2x－＝5k的一個(gè)解，則k＝________．1y3y3xy(4)一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字的一半