命題與證明PPT優(yōu)質(zhì)教學(xué)課件市名師優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎(jiǎng)市公開(kāi)課獲獎(jiǎng)?wù)n件

命題與證明第1頁(yè)本節(jié)課學(xué)習(xí)目標(biāo)1.學(xué)會(huì)判斷命題真假2.掌握怎樣證實(shí)命題第2頁(yè)引入三角形一邊與另一邊延長(zhǎng)線(xiàn)所組成角叫三角形外角.我們前面學(xué)習(xí)了許多相關(guān)三角形概念，如：不在同一直線(xiàn)上三條線(xiàn)段首尾相接所組成圖形叫三角形.第3頁(yè)

像這么，對(duì)一個(gè)概念含義加以描述說(shuō)明或作出明確要求語(yǔ)句叫作這個(gè)概念定義.

比如：“把數(shù)與表示數(shù)字母用運(yùn)算符號(hào)連接而成式子叫作代數(shù)式”是“代數(shù)式”定義.

“同一平面內(nèi)沒(méi)有公共點(diǎn)兩條直線(xiàn)叫作平行線(xiàn)”是“平行線(xiàn)”定義.第4頁(yè)以下敘述事情語(yǔ)句中，哪些是對(duì)事情作出了判斷？（1）三角形內(nèi)角和等于180°;（2）假如|a|=3，那么a=3;（3）1月份有31天;（4）作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段;（5）一個(gè)銳角與一個(gè)鈍角互補(bǔ)嗎？第5頁(yè)普通地，對(duì)某一件事情作出判斷語(yǔ)句（陳說(shuō)句）叫作命題.

如上述語(yǔ)句中，（1），（2），（3）都是命題，（4），（5）沒(méi)有對(duì)事情作出判斷，就不是命題.第6頁(yè)觀察以下命題表述形式有什么共同點(diǎn)？（1）假如a=b且b=c，那么a=c；（2）假如兩個(gè)角和等于90°，那么這兩個(gè)角互為余角.

它們表述形式都是“假如……，那么……”.第7頁(yè)命題通常寫(xiě)成“假如……，那么……”形式，其中“假如”引出部分就是條件，“那么”引出部分就是結(jié)論.比如，對(duì)于上述命題（2），“兩個(gè)角和等于90°”就是條件，“這兩個(gè)角互為余角”就是結(jié)論.（2）假如兩個(gè)角和等于90°，那么這兩個(gè)角互為余角.第8頁(yè)有時(shí)為了敘述簡(jiǎn)便，命題也能夠省略關(guān)聯(lián)詞“假如”、“那么”.

如：“假如兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等”能夠簡(jiǎn)寫(xiě)成“對(duì)頂角相等”；

“假如兩個(gè)角是同一個(gè)角余角，那么這兩個(gè)角相等”

能夠簡(jiǎn)寫(xiě)成“同角余角相等”.第9頁(yè)做一做（1）指出以下命題條件和結(jié)論，并改寫(xiě)成“如果……，那么……”形式：命題條件結(jié)論①能被2整除數(shù)是偶數(shù).②有公共頂點(diǎn)兩個(gè)角是對(duì)頂角.③兩直線(xiàn)平行，同位角相等.④同位角相等，兩直線(xiàn)平行.那么這個(gè)數(shù)是偶數(shù)假如一個(gè)數(shù)能被2整除那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角假如兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)那么它們同位角相等假如兩條直線(xiàn)平行那么這兩條直線(xiàn)平行假如兩個(gè)同位角相等第10頁(yè)（2）上述命題③與④條件與結(jié)論之間有什么聯(lián)絡(luò)？③兩直線(xiàn)平行，同位角相等.④同位角相等，兩直線(xiàn)平行.

命題③與④條件與結(jié)論交換了位置.

對(duì)于兩個(gè)命題，假如一個(gè)命題條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題結(jié)論和條件，我們把這么兩個(gè)命題稱(chēng)為互逆命題，其中一個(gè)叫作原命題，另一個(gè)叫作逆命題.

比如，上述命題③與④就是互逆命題.

從上我們能夠看出，只要將一個(gè)命題條件和結(jié)論交換，就可得到它逆命題，所以每個(gè)命題都有逆命題.第11頁(yè)1.以下語(yǔ)句中，哪些是命題，哪些不是命題？（2）兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短；（4）過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直.（3）任意一個(gè)三角形三條中線(xiàn)都相交于一點(diǎn)嗎？（1）假如x=3，求值；2.

將以下命題改寫(xiě)成“假如……，那么……”形式.（1）兩條直線(xiàn)相交，只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）個(gè)位數(shù)字是5整數(shù)一定能被5整除；（3）互為相反數(shù)兩個(gè)數(shù)之和等于0；（4）三角形一個(gè)外角大于它任何一個(gè)內(nèi)角.練習(xí)第12頁(yè)3.寫(xiě)出以下命題逆命題：（1）若兩數(shù)相等，則它們絕對(duì)值也相等；（2）假如m是整數(shù)，那么它也是有理數(shù)；（3）兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（4）兩邊相等三角形是等腰三角形.4.在以下空格上填寫(xiě)適當(dāng)概念：（1）垂直且平分一條線(xiàn)段直線(xiàn)叫作這條線(xiàn)段

（2）在數(shù)軸上，表示一個(gè)實(shí)數(shù)點(diǎn)與原點(diǎn)距離叫作這個(gè)實(shí)數(shù)

垂直平分線(xiàn)絕對(duì)值練習(xí)第13頁(yè)議一議以下命題中，哪些正確，哪些錯(cuò)誤？并說(shuō)一說(shuō)你理由.（1）每一個(gè)月都有31天；（2）假如a是有理數(shù)，那么a是整數(shù)；（3）同位角相等；（4）同角補(bǔ)角相等.錯(cuò)誤錯(cuò)誤錯(cuò)誤正確第14頁(yè)上面五個(gè)命題中，命題(4)是正確，命題(1)(2)(3)都是錯(cuò)誤.我們把正確命題稱(chēng)為真命題，把錯(cuò)誤命題稱(chēng)為假命題.

（1）每一個(gè)月都有31天；（2）假如a是有理數(shù)，那么a是整數(shù)；（3）同位角相等；

（4）同角補(bǔ)角相等.結(jié)論第15頁(yè)

像此例第(1)題那樣，從一個(gè)命題條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)講道理(推理)，得出它結(jié)論成立，從而判斷該命題為真，這個(gè)過(guò)程叫作證實(shí).

像此例第(2)題那樣，找出一個(gè)例子，它符合命題條件，但它不滿(mǎn)足命題結(jié)論，從而判斷這個(gè)命題為假，這個(gè)過(guò)程叫作舉反例.（1）假如a是整數(shù)，那么a是有理數(shù)；解

假如a是整數(shù)，依據(jù)有理數(shù)定義：“整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)”得出a是實(shí)數(shù).所以命題(1)為真．（2）假如a是有理數(shù)，那么a是整數(shù)解

0.5是有理數(shù)，所以命題(2)為假．不過(guò)0.5不是整數(shù).第16頁(yè)判斷以下命題為真命題是依據(jù)什么呢？是分別依據(jù)有理數(shù)、等腰（等邊）三角形定義作出判斷．（1）假如a是整數(shù)，那么a是有理數(shù)；（2）假如三角形ABCD是等邊三角形，那么它是等腰三角形．第17頁(yè)

從上面例子看到，在判斷一個(gè)命題是否為真命題時(shí)經(jīng)常要利用一些概念定義，不過(guò)光用定義只能判斷一些很簡(jiǎn)單命題是否為真.

對(duì)于絕大多數(shù)命題真假判斷，光用定義是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，那么除了依據(jù)定義外，還能依據(jù)什么來(lái)推理，去判斷命題真假呢？第18頁(yè)數(shù)學(xué)中有些命題正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)久實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)，并把它們作為判斷其它命題真假原始依據(jù)，這么真命題叫做基本事實(shí).有些命題能夠從公理或其它真命題出發(fā)，用邏輯推理方法判斷它們是正確，而且能夠深入作為判斷其它命題真假依據(jù)，這么真命題叫做定理.第19頁(yè)

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(Euclid，約公元前330—前275)對(duì)他那個(gè)時(shí)代數(shù)學(xué)知識(shí)作了系統(tǒng)化總結(jié)，他挑選出一些人們?cè)陂L(zhǎng)久實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)公認(rèn)真命題，作為證實(shí)原始依據(jù)，稱(chēng)這些真命題為公理.

歐幾里得第20頁(yè)本書(shū)中，我們把少數(shù)真命題作為基本事實(shí).

比如，兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)；兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短；經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行.

人們能夠用定義和基本事實(shí)作為推理出發(fā)點(diǎn)，去判斷其它命題真假.基本事實(shí)同位角相等，兩直線(xiàn)平行.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行.同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行.第21頁(yè)我們把經(jīng)過(guò)證實(shí)為真命題叫作定理.

比如，“三角形內(nèi)角和等于180°”稱(chēng)為“三角形內(nèi)角和定理”.

定理也能夠作為判斷其它命題真假依據(jù)，由某定理直接得出真命題叫作這個(gè)定理推論.

比如，“三角形一個(gè)外角等于與它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角和”稱(chēng)為“三角形內(nèi)角和定理推論”，也可稱(chēng)為“三角形外角定理”.第22頁(yè)

當(dāng)一個(gè)命題是真命題時(shí)，它逆命題不一定是真命題.

比如，“假如∠1和∠2是對(duì)頂角，那么∠1=∠2”是真命題，但它逆命題“假如∠1=∠2，那么∠1和∠2是對(duì)頂角”就是假命題.

假如一個(gè)定理逆命題能被證實(shí)是真命題，那么就叫它是原定理逆定理，這兩個(gè)定理叫作互逆定理.

我們前面學(xué)過(guò)定理中就有互逆定理.

比如，“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行”和“兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是互逆定理.第23頁(yè)

采取剪拼或度量方法，猜測(cè)“三角形外角和”等于多少度.從剪拼或度量能夠猜測(cè)三角形三個(gè)外角之和等于360°，不過(guò)剪拼時(shí)難以真正拼成一個(gè)周角，只是靠近周角；分別度量這三個(gè)角后再相加，結(jié)果可能靠近360°，但不能很準(zhǔn)確地都得360°．

另外，因?yàn)椴灰粯有螤钊切斡袥](méi)有數(shù)個(gè)，我們也不可能用剪拼或度量方法來(lái)一一驗(yàn)證，所以，我們只能猜測(cè)任何一個(gè)三角形外角和都為360°．此時(shí)猜測(cè)出命題僅僅是一個(gè)猜測(cè)，未必都是真命題．要確定這個(gè)命題是真命題，還需要經(jīng)過(guò)推理方法加以證實(shí).第24頁(yè)證實(shí)命題“三角形外角和為360°”是真命題.動(dòng)腦筋已知：如圖∠BAF，∠CBD和∠ACE

分別是△ABC三個(gè)外角.求證︰∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°證實(shí):∵∠BAF=∠2+∠3，

∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.第25頁(yè)經(jīng)過(guò)剛才三站“證實(shí)”之旅，你能說(shuō)出完整幾何命題證實(shí)需要哪幾個(gè)步驟嗎？（1）依據(jù)題意，畫(huà)出圖形。（2）結(jié)合圖形，寫(xiě)出已知求證（3）寫(xiě)出證實(shí)過(guò)程，而且步步有依據(jù)。依據(jù)(定義)(定理)(推論)(基本事實(shí))（真命題）條件結(jié)論數(shù)學(xué)上證實(shí)一個(gè)命題時(shí)，通常從命題條件出發(fā)，利用定義、基本事實(shí)以及已經(jīng)證實(shí)了定理和推論，通過(guò)一步步推理，最終證實(shí)這個(gè)命題結(jié)論成立.

證實(shí)每一步都必須要有依據(jù).推理第26頁(yè)例1

已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)D在線(xiàn)段BA延長(zhǎng)線(xiàn)上，射線(xiàn)AE平分∠DAC.求證：AE∥BC.證實(shí)：∵∠DAC=∠B+∠C（三角形外角定理）

∠B=∠C（已知）∴∠DAC=2∠B（等式性質(zhì)）又∵AE平分∠DAC（已知）∴∠DAC=2∠DAE（角平分線(xiàn)定義）∴∠DAE=∠B（等量代換）∴AE∥BC（同位角相等，兩直線(xiàn)平行）第27頁(yè)例2已知：∠A，∠B，∠C是△ABC內(nèi)角.求證：∠A，∠B，∠C中最少有一個(gè)角大于或等于60°.

分析這個(gè)命題結(jié)論是“最少有一個(gè)”，也就是說(shuō)可能出現(xiàn)“有一個(gè)”、“有兩個(gè)”、“有三個(gè)”這三種情況.假如直接來(lái)證實(shí)，將很繁瑣，所以，我們將從另外一個(gè)角度來(lái)證實(shí).證實(shí)假設(shè)∠A，∠B，∠C中沒(méi)有一個(gè)角大于或等于60°即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，則∠A+∠B+∠C＜180°.這與“三角形內(nèi)角和等于180°”矛盾，所以假設(shè)不正確.所以，∠A，∠B，∠C中最少有一個(gè)角大于或等于60°.

分析這個(gè)命題結(jié)論是“最少有一個(gè)”，也就是說(shuō)可能出現(xiàn)“有一個(gè)”、“有兩個(gè)”、“有三個(gè)”這三種情況.假如直接來(lái)證實(shí)，將很繁瑣，所以，我們將從另外一個(gè)角度來(lái)證實(shí).第28頁(yè)

像這么，當(dāng)直接證實(shí)一個(gè)命題為真有困難時(shí)，我們能夠先假設(shè)命題不成立，然后利用命題條件或相關(guān)結(jié)論，經(jīng)過(guò)推理導(dǎo)出矛盾，從而得出假設(shè)不成立，即所證實(shí)命題正確，這種證實(shí)方法稱(chēng)為反證法.

反證法是一個(gè)間接證實(shí)方法，其基本思緒可歸結(jié)為“否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，必定結(jié)論”.反證法步驟：假設(shè)結(jié)論反面成立→邏輯推理得出矛盾→必定原結(jié)論正確第29頁(yè)(1).證實(shí)命題：一個(gè)角兩邊分別平行于另一個(gè)角兩邊，且方向相同，則這兩個(gè)角相等。已知：如圖，AB∥A’B’,BC∥B’C’.求證：∠B=∠B’

證實(shí)：∵AB∥A’B’（）

∴∠B’=∠α（）∵BC∥B’C’（）∴∠B=∠α（）∴∠B=∠B’()已知兩直線(xiàn)平行，同位角相等

已知兩直線(xiàn)平行，同位角相等等量代換1.在括號(hào)內(nèi)填上理由.第30頁(yè)(2).已知：如圖，∠A+∠B=180°.求證：∠C+∠D=180°.證實(shí)：∵∠A+∠B=180°（已知），

∴

AD∥BC（）.

∴∠C+∠D=180（

）.同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)