彈性連續(xù)體振動(dòng)的準(zhǔn)確解

第七章 彈性連續(xù)體振動(dòng)的準(zhǔn)確解實(shí)際的振系都是彈性連續(xù)體系統(tǒng)，在很多情況下只是為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化，計(jì)算簡(jiǎn)便，才把它們簡(jiǎn)化成前幾章所討論的有限多的離散系統(tǒng)來(lái)分析。當(dāng)需要對(duì)彈性體振動(dòng)問(wèn)題作嚴(yán)密的分析時(shí)，這時(shí)就需要作為連續(xù)系統(tǒng)來(lái)處理。彈性連續(xù)體問(wèn)題與離散體問(wèn)題有不同的特點(diǎn)，彈性連續(xù)體的質(zhì)量、剛度、阻尼是連續(xù)分布的，因之具有無(wú)限多個(gè)自由度，需用無(wú)限多個(gè)點(diǎn)的獨(dú)立坐標(biāo)來(lái)表確定，其運(yùn)動(dòng)微分方程需要用偏微分方程來(lái)描述，而離散體在力學(xué)模型上具有明顯的集中質(zhì)量和不計(jì)質(zhì)量的彈性元件，其自由度有限，運(yùn)動(dòng)以與自由度個(gè)數(shù)相等的二階常系數(shù)微分方程來(lái)描述。盡管如此，但兩類問(wèn)題在物理本質(zhì)上是相同的，若把連續(xù)系統(tǒng)的質(zhì)量分段聚集到有限個(gè)點(diǎn)上，各點(diǎn)之間用彈性元件連接起來(lái)便成為連續(xù)體，反之，離散系統(tǒng)當(dāng)其質(zhì)點(diǎn)數(shù)趨于無(wú)限多時(shí)就成為連續(xù)體，它們之間有相同的動(dòng)力特性。n自由度連續(xù)體系統(tǒng)有n個(gè)固有頻率及主振型，而連續(xù)體則有無(wú)限多個(gè)固有頻率及主振型，連續(xù)體中也存在各個(gè)主振型之間關(guān)于質(zhì)量矩陣、剛度矩陣的正交性，對(duì)彈性體的響應(yīng)分析，主振型迭加法有效。本章將研究具有以下三個(gè)條件的理想彈性連續(xù)體振動(dòng)問(wèn)題的求解： 1.材料是均勻的，具有各向同性； 2.應(yīng)力不超過(guò)彈性極限、并服從虎克定律； 3.變形是微小的且是連續(xù)的。具體是一維彈性體：軸、桿、梁等。至于其它類彈性連續(xù)體如板、殼等的振動(dòng)問(wèn)題，因涉及到彈性力學(xué)知識(shí)，本章將不予討論。7-1弦的橫向振動(dòng)先研究最簡(jiǎn)單的弦的橫向振動(dòng)問(wèn)題。設(shè)有理想柔軟的細(xì)弦張緊在兩個(gè)固定點(diǎn)之間，張力為T0，跨長(zhǎng)為L(zhǎng)，弦的單位體積的質(zhì)量為，橫截面面積為A，如圖7-1所示。建立xoy坐標(biāo)系如圖示，以y（x，t）表示弦的位移，向上為正，由于是微振動(dòng)，位移很小，弦的張力變換可忽略不計(jì)，即在整個(gè)振動(dòng)過(guò)程中T0保持不變。在弦上x處取一微段dx，其質(zhì)量dm＝Adx，在任一微段兩端作用著大小相等方向不同的張力T0，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，得T0sin(dx)T0sin2yAdx2xt由于微振動(dòng)，有sin tg dy/dx故有T0(dx)T02yAdx2xt代入y2y2y，簡(jiǎn)化后，即為T0Axx2t2或?qū)懗?ya22y（7-1）x2t2式中aT0稱為波沿弦長(zhǎng)度方向傳播的速度。A7-1）式是弦的橫向振動(dòng)微分方程，通常稱為一維波動(dòng)方程。下面討論波動(dòng)方程解的具體形式。波動(dòng)方程的接通常用分離變量法得到，即假設(shè)解是由兩個(gè)單變量函數(shù)的乘積構(gòu)成，根據(jù)對(duì)有限自由度系統(tǒng)振動(dòng)的了解，可設(shè)方程（7-1）的解為y（x.t）＝Y(jié)（x）·T（t） （7-2）式中Y（t）表示弦的振動(dòng)，僅為 x的函數(shù)，而 T（t）表示弦的振動(dòng)規(guī)律，是只與時(shí)間 t有關(guān)的待定常數(shù)。將（7-2）式代入方程（ 7-1）式可得a2d2Y1d2T（a）Ydx2Tdt2上式中兩個(gè)變量已分離，左邊只依賴于t，所以要使上式對(duì)任意的x與t都成立，則兩邊必須都等于同一常數(shù)，設(shè)此常數(shù)為－p2（因?yàn)橹挥胸?fù)值，才可得到諧振動(dòng)方程），便得到如下兩個(gè)常微分方程d2Tp2T0，d2Yp2Y0（b）dt2dx2a2由上列方程可分別解得T(t)AsinptBcospt（7-3）Y(x)CsinpxDcospt（7-4）aa式中p為弦自由振動(dòng)的頻率，A、B、C、D皆為積分常數(shù)。波動(dòng)方程的通解為y(xt)(AsinptBcospt)(CsinpxDcospt)（7-5）aa式中的p及A、B、C、D可由弦振動(dòng)的邊界條件和初始條件來(lái)確定。 對(duì)于圖7-1所示的情況，弦的兩邊固定，邊界條件為y（0·t）＝0，y（L·t）＝0，因?yàn)門0，所以Y（0）＝0及Y（L）＝0。代入（7-4）式得D＝0及sinpL 0 （7-6）a(7-6)式為弦振動(dòng)的特征方程，即頻率方程。解之得piLa故得弦振動(dòng)的固有頻率

i （i＝1，2，）piiaiT0（i＝1，2，）（7-7）LLA對(duì)應(yīng)的主振型為Yi(x)Cisinp1xCisini（7-8）axL因?yàn)檎裥椭淮_定系統(tǒng)中各點(diǎn)振幅的相對(duì)比值，故上式中無(wú)需帶常數(shù)因Ci。前三階主振型如圖7-2(a)、(b)、(c)所示。弦對(duì)應(yīng)于各個(gè)固有頻率的主振動(dòng)為yi(xt)Yi(x)Ti(t)(AisinptBicospt)sinixL在一般情況下，弦的自由振動(dòng)為無(wú)限多階主振動(dòng)的迭加yi(xt)Yi(x)Ti(t)(AisinptixBicospt)sin（7-9）其中Ai與Bi由振動(dòng)的初始條件確定。設(shè)在初始時(shí)刻t＝0，有Ly(x,0)=f(x),yg(x)(x,0)tY1(x) sin xL2Y2(x) sin xL3Y3(x) sin xL于是有y(x,0)Bisinixf(x),y(x,0)Aipisinixg(x)i1Lti1L由三角函數(shù)的正交性，有Lsinixsinjx0(ij)0L/2(ij)LL由此可得BiLf(x)sinixdx,Ai21L0LLpi0

g(x)sinixdx(7-10)L[例7-1]張緊弦如圖7－3所示，現(xiàn)把弦從它的初始位形突然釋放，求弦的自由振動(dòng)響應(yīng)。解：弦的初始位形可表示為6y0x,(0xLL)y(x,0)66y0x).(L(LxL)5L6y(x,0)0t由（7-10）式求得Ai＝0（i＝1，2，, ）Bi12y0L/6L20

xsinix12y0L(Lx)sinix72y0sinidx5L2dx2(i=1,2,)LL/6L5(i)6因而弦的自由振動(dòng)響應(yīng)可表示為y(x,t)72y01sinxT0t0.8662x2T0t52(cos4sinLcosA2LLAL1sin3xcos3T0t0.866sin4xT0t)9LLA16LA7-2桿的縱向自由振動(dòng)本節(jié)討論均質(zhì)等截面細(xì)長(zhǎng)直桿的縱向自由振動(dòng)。設(shè)桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，橫截面積為A，單位體積質(zhì)量為，拉壓彈性模量為E，如圖7-4所示。桿中心線為x軸，桿左端為原點(diǎn)0，假設(shè)桿在振動(dòng)過(guò)程中桿的橫截面只有x方向的位移，而始終保持平面，并略去由于桿的縱向伸縮引起的橫行變形。以u(píng)（x，t）表示x處截面的縱向位移。在x處取微段dx，分析其受力狀態(tài)，在x截面與x＋dx截面上的內(nèi)力分別為N與NNdx，x微段的軸向應(yīng)變u，微段的軸向應(yīng)力uxEEA，故xuN＝A＝EAx根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，可得Adx2uuN(EAu2ut2Ndx－Ndx)dxEA2dxxxxxx或2uEA2uAx2t2或2ua22u（7-11）t2x2式（7-11）即為桿縱向自由振動(dòng)微分方程，亦為波動(dòng)方程，與方程（7-1）的形式完全相同。式中：a＝P/E為波在桿件中沿X軸的傳播速度。將（7-1）式中的y代以u(píng)，就可直接得到（7-11）式的解為u(X，t)＝U（X）T（t）式中U（X）為主振型函數(shù)，T（t）＝Asinpt+Bcospt，U（x）＝Csinpx+Dcospx(CsinpxDcospx)(Asinptaau(xt)Bcospt)（7-12）aa完全與弦的振動(dòng)類似，（7-12）中的p及積分常數(shù)由問(wèn)題的邊界條件與初始條件確定。［例7－2］圖7-5所示一端固定，另一端彈性支承，剛度系數(shù)為K的直桿，求系統(tǒng)的縱向自由振動(dòng)的固有頻率與主振型。解：系統(tǒng)振動(dòng)微分方程的解由（7-12）式給出。以下根據(jù)桿右端的不同約束情況，分別給出相應(yīng)的邊界條件及對(duì)應(yīng)的解。1、桿右端為彈性約束情況邊界條件：在 x=0處，u（0，t）＝0即U（0）0，在x＝L處，桿受到彈簧力－Ku（L，t）的作用，即EAu(L,t)ku(L,t)x即EAdU(L)kU(L)dx因U(x)ppx，代入兩個(gè)邊界條件后得D=0，及頻率方程CsinxDcosaapppEAcosLKsinLaaa上式可寫成pLEA/KLtg(pL/a)/＝－EA／KL，對(duì)應(yīng)于給定的api值。也可采用下令值采用試奏法不難找到各個(gè)固有頻率述作圖法求出。由方程tgpLpLa，以pLaa／a為橫坐標(biāo)，pL為縱坐標(biāo)，作tga出tgpL和－pLa兩個(gè)圖形，如圖aa7-6所示，得到兩個(gè)圖形交點(diǎn)的橫坐標(biāo)pL／a便可求出各階固有頻率。相應(yīng)的主振型為Ui(x) sinpixa2.右端無(wú)彈力情況 此時(shí)桿右端自由，邊界條件為p pEA cosla a相應(yīng)的主振型為

ux00，u0，代入式pcospksinplxxlEAl有aaa0，所以頻率方程成為cospL0，可得出apiL(2i1)(2i1)a(2i1)Ea2，則pi2L2L（i＝1,2,）(2i 1)U(x) sin x （i＝1,2,）3.右端固定情況 邊界條件為 Ux＝0＝0，Ux＝L=0。頻率方程成為p piLsin L 0, ia aia i Ep1 （i＝1,2,）L L相應(yīng)的主振型為Ui(x)sinix（i＝1,2,）L［例7-3］圖7-7所示為一端固定，另一端帶有集中質(zhì)量的桿，求該系統(tǒng)的固有頻率。解：系統(tǒng)振動(dòng)微分方程的解為（7-12）。由于在振動(dòng)時(shí)桿端附加質(zhì)量產(chǎn)生慣性力，故邊界條件：x=0處，U（0，t）＝0，即U（0）＝0；X=L處，EAu(L,t)M2u(L,t)xt2代入（7-12）式，得D=0及頻率方程EApcospLMp2sinpLaaa由于a2E，E=ρa(bǔ)2代入整理后得AL

pLtg

pLM a

a上式作變?yōu)闂U的質(zhì)量與附加質(zhì)量 M的比值，是給定的值。該頻率方程的根可以用前述的作圖法求出。設(shè) ρAL／M＝ ，PL／a＝β，則頻率方程為 tgβ=β/α。例如取α＝1，則以β為橫坐標(biāo)，作出 tgβ和1／β的兩條曲線，如圖7-8所示，得到兩條曲線的交點(diǎn)β1、β2、，便可求得各階固有頻率pi(i=1,2,∞)。從圖中可得β1＝0.860，即第一階固有頻率為a1a0.860Ep10.860LLL第二、三階固有頻率相應(yīng)為p23.460Ep36.437EL，L7－3

軸的扭轉(zhuǎn)自由振動(dòng)本節(jié)討論等截面直圓軸的扭轉(zhuǎn)自由振動(dòng)，圓軸長(zhǎng)為L(zhǎng)，半徑為r，軸的單位體積的質(zhì)量為ρ，剪切模量為G，截面的極慣性矩為JP。取圓軸的軸心線為X軸，如圖7-9所示。以θ（X，t）表示

x處截面的轉(zhuǎn)角，取微段

dx，則在

x+dx

截面上的轉(zhuǎn)角為

dx，故微段兩端的相x對(duì)扭轉(zhuǎn)角為d(dx)xdx，由材x料力學(xué)知，軸的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變?yōu)?，x截面上的扭矩xMtGJPx，在x+dx截面上的扭矩為Mt2MtdxMtGJP2dx，圓截面微段對(duì)xxx軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性量IP＝ρJPdx，根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程式可得22JPdxt2(MtGJP2dx)Mtx22即t2Gx2令a2＝G／ρ，a為扭轉(zhuǎn)彈性波的傳播速度，則上式可寫成2a22t2x2（7-13）（7-13）式即為軸扭轉(zhuǎn)自由振動(dòng)微分方程，亦為波動(dòng)方程，與前述桿的縱向自由振動(dòng)及弦的橫向自由振動(dòng)方程的形式完全一樣。故解的形式也一樣，只是以θ代替U或Y，現(xiàn)直接寫出（7-13）的解(x,t)○pxDcospx)(AsinptBcospt（7-14）H(x)T(t)(csinaa式中○H(x)為主振型函數(shù)，pi及各個(gè)積分常數(shù)由邊界條件及初始條件來(lái)確定。［例7-4］圖7-10所示為一端固定，另一端自由的等直圓截面軸，在自由端作用有扭矩 M0，在t＝0時(shí)突然釋放，求系統(tǒng)的固有頻率、主振型以及自由端的振幅。解：1.軸端的邊界條件： x＝0處，θ（0，t）＝0；x＝L處，自由端的剪應(yīng)力為零，即(L,t)0,代入（7-14）式，可得D=0及cosPL0。xa由此可得固有頻率(2i1)Gpi(i=1,2，)2L及相應(yīng)的主振型○（x）＝sin(2i1)x（i=1,2，）HL2.求自由端振幅：求出一般情況下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。代上式于（7-14）式得(x,t)(AisinpitBicospit)sin(2i1)x（a）i12L根據(jù)給定的初始條件f(x)(x,0)M0xg(x)(x,0)0GJpt代入（a）式，有2i1M0x（b）i1BisinLxGJPAiPisin2i1x0（c）i1L由（c）式要求任意給定的x都成立，必須Ai＝0，由（b）式利用三角函數(shù)的正交性及（7-10）式，可得2M0L(2i1)2M04L2sin(2i1)Bixdxxsin22LGJP02LLGJP(2i1)2（i=1,2，）(1)i18LM0(2i1)22GJP代回（a）式，得系統(tǒng)響應(yīng)(x,t)8M0L(1)i1sin(2i1)(2i1)Gt2GJPi1(2i1)22Lx·cos2L在自由端即x＝L處振幅極大，且當(dāng)(2i1)G1時(shí)，θ為最大，即cos2Ltmax8M0L(1)i1sin(2i1)2GJPi1(2i1)228M0L(1118M0L2M0L)2GJP9252GJP8GJP7－4 梁的橫向自由振動(dòng)現(xiàn)在來(lái)討論等截面細(xì)直梁的橫向自由振動(dòng)。所謂梁的橫向振動(dòng)是指細(xì)直梁作垂直于軸線方向的振動(dòng)，其主要的變形是梁的彎曲，因此亦稱彎曲振動(dòng)。在分析這種振動(dòng)時(shí)，假設(shè)梁具有對(duì)稱平面，梁的軸線在振動(dòng)過(guò)程中始終保持在此平面內(nèi)，還假設(shè)梁的長(zhǎng)度與橫截面尺寸之比較大，可忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剪切變形的影響。 同時(shí)假設(shè)梁作微幅振動(dòng)，故可采用材料力學(xué)中梁彎曲的簡(jiǎn)化理論。如圖 7-11所示，取梁未變形時(shí)的軸線方向?yàn)?x軸（向右為正），在對(duì)稱面內(nèi)與 x軸垂直的方向?yàn)?y軸（向上為正），以橫向位移 y作為廣義坐標(biāo)，并設(shè)梁的橫截面積為 A，單位體積的質(zhì)量為ρ，EJ為截面抗彎剛度。現(xiàn)從梁上 x截面處截取微元段 dx，其受力狀態(tài)如圖示，圖中所示彎矩 M、剪力Q均按正方向表示，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，在 Y方向的運(yùn)動(dòng)方程為Q2yQ(Qdx)A2xt即Q2y(a)At2x微元段dx的轉(zhuǎn)動(dòng)方程（忽略截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響）為MMdxMQdx0X即QM(b)x將（b）代入（a）式得2M2y（c）x2A2t由材料力學(xué)知M2yEJ2X代入（c）式得22y)2yx2(EJx2A2t或22y)2y0x2(EJx2A2t方程（7-15）就是梁橫向自由振動(dòng)微分方程。對(duì)于均勻等截面梁則方程變?yōu)?y2y0EJ4A2xt若令EJ a2，則方程又可寫成Aa24y2yox4t2方程（7-16）為四階偏微分方程，采用分離變量法求解。設(shè)解的形式為y（x,t）=Y(x)T(t)將上式代入（7-16）式，得

(7-15)7-16）7-17）2d4Yd4T0aT(t)Y(x)dx4dt2分離變量法后，方程變?yōu)?Y2/Y(x)2a2dd2T/T(t)dxdt要使上面方程成立，方程兩邊必須等于同一常數(shù)，設(shè)常數(shù)為p2，并令p2／a2＝λ4，于是有d2TP2T0（7-18）dt2及d4Y4（7-19）dx4Y0如前所述，方程（7-18）的解為T（t）=AsinPt+BcosP（7-20）方程（7-19）為四階常微分方程，它的解可設(shè)為sx）式得Y＝e，代入（7-19S4－λ4＝0它的四個(gè)根為S1，2＝±λ， S3，4＝±iλ于是（7-19）式的解為Y(x) D1ex D2e x D3eix D4eix （d）因?yàn)閑 x chx shx,eix cosx isin x所以（b）式可改寫成常用的形式Y(jié)(x)c1sinxc2cosxc3shxc4chx（7-21）將（7-20）、（7-21）式代回（7-17）式得y(x,t)(c1sinxc2cosxc3shxc4chx)(AsinptBcospt)（7-22）式中有六個(gè)待定常數(shù)，其中A、B取決于振動(dòng)的初始條件，c1、c2、c3、c4取決于梁的邊界條件。常見(jiàn)的等截面梁的邊界條件有：1．固定端：位移與轉(zhuǎn)角等于零，即Y=0及dY0dx2．簡(jiǎn)支端：位移與彎矩等于零，即Y=0及d2Y0dx23．自由端：彎矩與剪力等于零，即d2Y0及d3Y0dx2dx3在具體考察各種支承情況下梁的橫向自由振動(dòng)固有頻率與主振型之前，先將邊界條件中要用的Y（x）的各階導(dǎo)數(shù)列出如下：Y(x)(c1cosxc2sinxc3chxc4shxY(x)2(c1sinxc2cosxc3shxc4chx（7-23）Y(x)3(c1cosxc2sinxc3chxc4shx下面分別研究幾種不同支承的梁的橫向自由振動(dòng)固有頻率與主振型。1.兩端簡(jiǎn)支梁：邊界條件為 Y（0）＝0，Y(0) 0,Y(L) 0,Y(L) 0;代入（7-21）式及（7-23）式得C2＝C4＝0及C1sin L C3shL 0C1sinLC3shL0因?yàn)楫?dāng)λL≠0時(shí)，ShλL不為零，故得C3＝0，于是可得特征方程sinλL＝0，它的根為iLi（i＝1，2）因?yàn)棣?＝p2／a2，故固有頻率為piai2i22EJ（i＝1，2）（7-24）L2A相應(yīng)的主振型為Yi(x)sinixsini（i＝1，2）（7-25）x7-12所示。L其前三階主振型如圖兩端固定梁：邊界條件為Y(0)=0，Y（L）＝0，Y'（0）＝0，Y'（L）＝0。代入（7-21）式，得C2＋C4＝0及C1＋C3＝0，故有C2＝－C4及C1＝－C3，代入（7-23）式，并利用上述關(guān)系，得C3(shLsinL)C4(chLcosL0C3(chLcosL)C4(sinLshL)（e）0若上式對(duì)C1、C2有非零解，它的系數(shù)行列式必須為零，即shLsinLchLcosL0chLcosLsinLshL將上式展開(kāi)簡(jiǎn)化后得頻率方程cosλLchλL=1這是一個(gè)超越方程，常用圖解法求它的根。為此將上式改寫成1cosLchL以λL為橫坐標(biāo)，作出cosλL和1／chλL的兩條曲線，如圖 7-13所示；兩條曲線的各個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是這個(gè)方程的解。 由此求得固有頻率。幾個(gè)最低的特征根如表 1示。表1λ1Lλ2Lλ3Lλ4Lλ5L4.7307.85310.99614.13717.279其中對(duì)應(yīng)于i≥2的各個(gè)特征根可足夠準(zhǔn)確地取為iL1)（i＝2，3，）(i2梁的固有頻率相應(yīng)取為p2EJ/A（i＝1，2，）（7-26）ii求得各個(gè)特征根后由（e）式可確定系數(shù)C3、C4的比值。即(C3)ichiLcosiLsiniLshiLC4shiLsiniLchiLcosiL故與pi相應(yīng)的各階主振型函數(shù)可取為Yi(x)chixcosixshiLsiniL(7-27)chLcos(sinλix－sinλix)iiL它的前三階主振型，如圖7－14所示。一端固支，一端自由梁：邊界條件為Y（0）＝0，Y'（0）＝0，Y"（L）＝0，Y"'（L）＝0；代入（7-21）式得C2＋C4＝0，C1＋C3＝0；可得C2＝－C4，C1＝－C3，代入（7-23）式并利用上述關(guān)系，得C3(sinLshL)C4(cosLchL)0C3(cosLchL)C4(sinLshL)（f）0具有非零解的條件為sinLshLcosLchL＝0cosLchLsinLshL展開(kāi)簡(jiǎn)化后得頻率方程cosLchL1它的根可用作圖解法求出如表 2所示表2λ1Lλ2Lλ3Lλ4Lλ5Lλ6L1.8754.6947.85510.99614.13717.279其中，對(duì)于i≥3的各個(gè)特征根可足夠準(zhǔn)確地取為iL(i1)2懸臂梁的固有頻率相應(yīng)地為Pii2EJ/A（i＝1，2，）（7-28）求得各特征根后由（f）式可確定系數(shù)C3、C4的比值。即(C3)icosiLchiLsiniLshiLC4siniLshiLcosiLchiL故與pi相應(yīng)的主振型可取為Yi(x)chixcosixshiLsiniLsinix)（7-29）Lch(sinixcosiiL它的前三階主振型如圖7-15所示兩端自由梁：邊界條件為 Y"（0）＝0，Y'"（0）＝0，Y"（L）＝0，Y"'（L）＝0；代入（7-23）式得－C2＋C4＝0，－C1＋C3＝0；故有C2＝C4，C1＝C3C3(shLsinL)C4(chLcosL)0C3(chLcosL)C4(shLsinL)（g）0具有非零解的條件為shLsinLchLcosLchLcosLshLsin＝0L展開(kāi)簡(jiǎn)化后得頻率方程cosλLchλL=1上式與兩端固定梁的頻率方程完全相同，這表示兩端自由梁的固有頻率與兩端固定梁相同，只是自由梁有對(duì)應(yīng)于剛體運(yùn)動(dòng)的λiL=0的零根（見(jiàn)圖7-13）。其特征根為λ0Lλ1Lλ2Lλ3Lλ4Lλ5L04.7307.85310.99614.13717.279求出各特征根后，由（g）式可確定系數(shù)C3與C4的比值。即(C3)ichiLcosiLshiLsiniLC4shiLsiniLchiLcosiL故與pi相應(yīng)的主振型函數(shù)可取為Yi(x)chixcosixshiL(shixsinix)（7-30）cosiLchiL它的前三階主振型如圖7-6所示。一端固定、一端簡(jiǎn)支承邊界條件為：Y（0）＝0，Y'（0）＝0，Y（L）＝0，Y"（L）＝0；可解出這種梁的頻率方程為tgλL=thλL亦可用圖解法求出其特征根為λ1Lλ2Lλ3Lλ4Lλ5L3.9277.06910.21013.35216.493λiL≈(i1)（i=1，2，）4相應(yīng)的固有頻率為(i1)22Pi4EJ（i=1，2，）（7-31）L2A相應(yīng)的主振型函數(shù)為Yi(x)chiLcosiLix)(7-32)chixcosixsin(shixsinshiLiL它的前三階主振型如圖7-7所示。由以上分析可見(jiàn)，不同邊界條件的梁在橫向自由振動(dòng)時(shí)的固有頻率計(jì)算公式形式相似，均可表示為2(iL)2EJ（i＝1，2，）piL2A在不同的邊界條件下只是（λiL）2的形式有所不同。［例7-5］設(shè)在懸臂梁的自由端具有橫向彈性支承，其彈簧剛度為K，如圖7-18所示。試導(dǎo)出系統(tǒng)的頻率方程。解：取坐標(biāo)如圖所示，由固定端的邊界條件Y（0）＝0，Y'（0）＝0可知，在（7-21）式中C1＝－C3，C2＝－C4。在彈性支承端，彎矩為零，而剪力就是彈簧力，按截面剪力的正負(fù)號(hào)規(guī)定，當(dāng)y（L）為正（負(fù)）時(shí)，彈簧力向下（上），作為剪力應(yīng)取正（負(fù)）號(hào)，故彈簧支承端的邊界條件為：Y"（L）＝0，EJY'"（0）＝KY（L）（h）代入（7-23）式并應(yīng)用C1＝－C3，C2＝－C4的關(guān)系，可得c3(shLsinL)c4(chLcosL)0[EJ3(chLcosL)k(shLsinL)]c3[EJ3(shLsinL)k(chLcosL)]c40具有非零解的條件為：shLsinLchLcosL＝0EJ3(chLcosL)k(shLsinL)EJ3(shLsinL)k(chLcosL)展開(kāi)化簡(jiǎn)后得EJ3(1chLcosL)k(chLsinLshLcosL)0或?qū)懗蒶31chLcosL（i）EJchLsinLshLcosL上式即為所求的頻率方程。注意到，當(dāng) k＝0時(shí)，上式轉(zhuǎn)化為 1＋chλLcosλL＝0，它就是懸臂梁的頻率方程。又當(dāng)k→∞時(shí)，彈性支承端就相當(dāng)于鉸支座端，這時(shí)又轉(zhuǎn)化為chLsinLshLcosL0，或?qū)懗蓆gλL=thλL，即為一端固定、一端鉸支梁的頻率方程。［例7-6］設(shè)在懸臂梁自由端附加集中質(zhì)量 m，如圖7-19所示。試求其頻率方程。解：取坐標(biāo)系如圖示，由固定端的邊界條件 Y（0）＝0，Y'（0）＝0，可知在（7-21）式中，C1＝－C3，C2＝－C4。在附加集中質(zhì)量m的梁端，彎矩為零，而剪力就是質(zhì)量m的慣性力，這一慣性力表示為m2y(L,t)mp2y(L,t)t2按截面剪力的正負(fù)號(hào)規(guī)定，當(dāng)y（L）為正時(shí)，慣性力mp2y（L，t）向上，作為剪力應(yīng)取負(fù)號(hào)。故梁附加支梁端的邊界條件為Y"（L）＝0，EJY"'（L）＝－mp2y（L） （j）（j）式與例7-5中（h）式相比，差別僅在于將（h）式中的k換成為－mp2。于是，將例7-5中（i）式的k換成－mp2就可得到本例的頻率方程，即有mp231chLcosLEJchLsinLsh（k）LcosLm如令 ，這表示為附加質(zhì)量與梁質(zhì)量之比，則ALmp2ALp2L4EJEJ代入（k）式可改寫成1 chLcosLL （1）chLsinL shLcosL7－5 主振型的正交性在第五章中討論過(guò)有限自由度系統(tǒng)中主振型的正交性這一特征，在彈性連續(xù)系統(tǒng)中也同樣有這一重要特性。但在彈性連續(xù)系統(tǒng)中主振型正交性為積分的表達(dá)形式。下面僅就梁的橫向自由振動(dòng)的主振型函數(shù)論證其正交性。在討論中，設(shè)梁截面可以是變化的，即EJ及ρA可不必為常數(shù)。設(shè)Yi（x）及Yj(x)分別代表對(duì)應(yīng)于第i階和第j階固有頻率pi及pj的主振型函數(shù)，則它們必定滿足下列方程。22Y2)p2AY0d2(EJd（733）dxdx（7-33）式是根據(jù)方程（ 7-15），并假設(shè)解y(x,t)Y(x)(AsinptBcospt)代入方程而得到。故有d2(EJd2Yi)2AYidxdx2pi或?qū)懗?EJYi)pi2AYi（a）d2d2YjAYj2(EJ2)Pj2dxdx或?qū)懗?EJYj)p2jAYj（b）用Yj（x）乘（a）式，并在梁全長(zhǎng)進(jìn)行分部積分，得LLLLYj(EJYi)dx[Yj(EJYi)]0(EJYi)Yjdx[Yj(EJYi)]000（c）LLLpi2(YjEJYi)00EJYjYidx0AYiYjdx再用Yi（x）乘（b）式，并在梁全長(zhǎng)進(jìn)行分部積分，得LLLL0Yi(EJYj)dx[Yi(EJYj)]00(EJYj)Yidx[Yi(EJYj)]0（d）LL2jL(YiEJYj)YidxpAYiYjdx0EJYj00將（c）、（d）兩式相減得(Pi2Pj2)LAYiYjdx[Yj(EJYi)Yi(EJYj)]L[(YjEJYi)(Yi(EJYj)]L000（e）上式右邊實(shí)際上是梁的邊界條件即X＝0和X＝L的端點(diǎn)條件，對(duì)于梁的邊界是固定、簡(jiǎn)支或自由，上式右邊都等于零。因此，只要i≠j，Pi2≠Pj2,便有L0AYi(x)Yj(X)dx0（i≠j）（7-34）這就是在簡(jiǎn)單支承條件下梁的主振型對(duì)于質(zhì)量ρA（x）的正交性條件。將（7-34）式代回（d）式，便得L(x)[EJYj(x)]dxLEJYi(x)YjYi0(x)dx:0（i≠j）(7-35)0這就是在簡(jiǎn)單支撐條件下，梁的主振型對(duì)于剛度EJ（x）的正交性條件。對(duì)于等截面梁，ρA與EJ均為常數(shù)，則主振型的正交性條件就簡(jiǎn)化為L(zhǎng)Yi(x)Yj(x)dx0（i≠j）（7-36）0LYi(x)Yj(x)dx0（i≠j）（7-37）0當(dāng)i＝j(luò)時(shí)，式（e）自然滿足。這時(shí)，可令L2(x)dxMiLKiAYi，EJ[Yi''(x)]2dx（7-38）00Mi稱為第i階主振型的主質(zhì)量，Ki稱為第i階主振型的主剛度。由式（c）或（d）可見(jiàn)Ki/Mipi2。通常，為了運(yùn)算方便，將主振型正則化，可取L2(x)dxAYi1（7-39）0將（7-39）式代回（c）式，得LYi(x)Yi""(x)dxL[Yi''(x)]2dxpi2EJEJ（7-40）00以下討論不同支承情況時(shí)振型函數(shù)正交性的表達(dá)式。當(dāng)梁的兩端為彈性支承時(shí)，邊界條件為EJ(L)Y"(L) 0, [EJ(L)Y"(L)]' kY(L)將它代入式（e）及式（c），可得LAYi(x)Yj(x)dx00(ij)(7-41)L"(x)Yj"(x)dxEJYikYi(L)Yj(L)00當(dāng)梁的L端具有附加質(zhì)量m時(shí)，邊界條件為EJ(L)Y"(L) 0, [EJ(L)Y"(L)]' mp2Y(L)將它代入式（ e）及式（c），可得LAYi(x)Yj(x)dxmYi(L)Yj(L)00(ij)L''(x)Yj"(x)dx0EJYi0上面討論的是梁橫向自由振動(dòng)的主振型正交性條件。用同樣的方法也可推導(dǎo)出在簡(jiǎn)單支承條件下桿縱向自由振動(dòng)及圓盤扭轉(zhuǎn)自由振動(dòng)時(shí)的主振型正交條件為對(duì)于桿縱向振動(dòng)：LAUi(x)Uj(x)dx00(ij)L'j(x)dx0EAUi'(x)U0

7-42）(7-43)LJpHi(x)Hj(x)dx00(ij)(7-44)L'j(x)dx0GJpHi'(x)H0利用主振型的正交性條件，就可以將任何初始條件引起的自由振動(dòng)和任意激擾力引起的強(qiáng)迫振動(dòng)，都可以采用振型迭加法簡(jiǎn)化為類似于單自由度系統(tǒng)那樣的振動(dòng)微分方程式來(lái)求解。7-6用振型迭加法求梁的振動(dòng)響應(yīng)求得桿件振動(dòng)的固有頻率及主振型后，利用主振型的正交性及應(yīng)用第五章中介紹的振型迭加法，就可以求得初始條件下的響應(yīng)及任意激擾力的響應(yīng)。本節(jié)仍以梁的橫向振動(dòng)問(wèn)題為例來(lái)說(shuō)明這一方法。如圖7-11所示的等直梁在任意分布橫向載荷F（x，t）作用下，求它的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)。這時(shí)梁的橫向振動(dòng)微分方程為2(EJ2y2yF(x,t)x22)A2（7-45）xx對(duì)等直梁，可簡(jiǎn)化為4y2yF(x,t)（7-46）EJAx4x2這是一個(gè)四階常系數(shù)非齊次偏微分方程，其解之一為對(duì)應(yīng)于齊次方程的解即梁的自由振動(dòng)的解，只要給定初始條件即可求得相應(yīng)的響應(yīng)，這是一個(gè)瞬態(tài)振動(dòng)。另一解是對(duì)應(yīng)于非齊次方程的特解，在給定的激擾力函數(shù)F（x，t）后，可求得激擾力的響應(yīng)，即梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。如前所述，用振型迭加法求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的步驟如下：1.通過(guò)求解梁的自由振動(dòng)微分方程，求出在給定邊界條件下的梁的各階固有頻率pi和相應(yīng)的主振型Yi（x）（i＝1，2，），并且應(yīng)用（7-39）式，將主振型正則化，得到相應(yīng)的正則振型函數(shù)，仍用Yi（x）表示。2.引進(jìn)正則坐標(biāo)qi（t），對(duì)原方程(7-46)進(jìn)行坐標(biāo)變換，即令y(x,t)i1Yi(x)qi(t)（7-47）將（7-47）式代入（7-46）式，得AYiqiEJYi""qiF（a）i1i1將（a）式兩邊均乘以Yj（x）dx，并對(duì)梁全長(zhǎng)積分，即LAYj(x)Yi(x)dxqi(t)LEJYj(x)Yi""L[qi(t)0(x)dx]Yj(x)F(x,t)dx00i1應(yīng)用主振型的正交性，由（7-34），（7-35）、（7-39）、（7-40）式可知，上式左邊只剩下i＝j(luò)的項(xiàng)非零，其余均為零，由此可得一組獨(dú)立的常微分方程組qipi2qiQi（i＝1，2，）（7-48）式中LQiF(x,t)Yi(x)dx（7-49）0稱為對(duì)應(yīng)于正則坐標(biāo) qi的廣義力。3.解方程（7-48），該方程和無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程形式完全相同，其解亦相同。如應(yīng)用卷積積分求解，則1Lqi(t)Qi()sinpi(t)d（i＝1，2，）（7-50）pi04.求系統(tǒng)在原廣義坐標(biāo)下的響應(yīng)y（x，t），即將已求出的qi（t）代回（7-47）式得y(x,t)Yi1LYi(x)LYiLF(x,t)sinpi(t)ddx（7-51）(x)Qi()sinpi(t)d(x)i1pi0i1pi007-51）式表示，梁在受到橫向分布激擾力作用時(shí)的動(dòng)力響應(yīng)，是各階主振型（正則振型）的迭加，若在梁上作用的不是分布激擾力F（x，t），而是在梁x=x1處作用一個(gè)集中力p（t），則Qi(t)p(t)Yi(x1)（7-52）qi(t)1L)Yi(x1)sinpi(t)dpip(（7-53）0y(x,t)Yi(x)Yi(x1)L)d（7-54）pip()sinpi(ti10式中Yi（x1）為第i階正則振型在x＝x1的值。以上就是用振型迭加法求解系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)的過(guò)程。[例7-7]如圖7-20所示的均勻簡(jiǎn)支梁，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，抗彎剛度為EJ，在x＝x1處作用一集中簡(jiǎn)諧力psint。求梁的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)。解：前已求得簡(jiǎn)支梁的固有頻率為pi(i)2EJ/AL相應(yīng)的主振型函數(shù)為Yi(x)cisinixL將主振型正則化，應(yīng)用（ 7-39）式，即Lix)2dx1A(cisin0L由此得2ciAL所以正則振型函數(shù)為Yi(x)2sinixALL對(duì)于正則坐標(biāo)的廣義激擾力可由（7-52）式求出為Qi(t)P(t)Yi(x1)2ix1sintpsinLAL代入（7-53）式，得qi(t)1L)Yi(x1)sinPi(t)dpiP(022P2]sinix1(sintsinpit)ALPi[1(/Pi)LPi代入（7-47）式，即得系統(tǒng)在原廣義坐標(biāo)下的響應(yīng)為y(x,t)2P212sinix1sinix(sintsinPit)ALi1Pi[1(/P)]LLPi[例7-8]均勻簡(jiǎn)支梁上有均布力F（t）＝F0sint作用，如圖7-21所示。求系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)。解：由上題已知簡(jiǎn)支梁的固有頻率為pi (i )2 EJ/ AL及正則振型函數(shù)Yi(x)2sinixALL由（7-49）式求廣義力L2ix2LQi(t)F0sintsindx2F0sint（i＝1，3，5，）0ALLALi代入（7-50）式，得qi(t)1L)sinpi(t)d2F0L21(sintsinpit)piQi(i220ALPiPi（i＝1，3，5，）將qi（t）代入（7-47）式，得4F0L41ixy(x,t)EJ5i1,3,5,[1(/P)2]i5sinL(sintPisinPit)上式表明，均勻簡(jiǎn)支梁由于受到對(duì)稱載荷作用，只產(chǎn)生對(duì)稱振型的振動(dòng)。[例7-9]如圖7-22所示均勻簡(jiǎn)支梁，當(dāng)t＝0時(shí)，在x＝x1處的微小范圍內(nèi)受到?jīng)_擊，得到初始速度V后作自由振動(dòng)，試求此系統(tǒng)