線性代數(shù)四川人民出版社課件

經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)線性代數(shù)經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)線性代數(shù)第

三章行列式

n階行列式行列式的性質(zhì)行列式的行(列)展開

Gramer法則難點:行列式的展開、Gramer法則重點:行列式的性質(zhì)、行列式的展開（計算）第三章行列式n階行列式§3.1n階行列式一、行列式的引入兩式相減消去,得§3.1n階行列式一、行列式的引入兩式相減當時,方程組的解為類似地消去,得稱為二階行列式,記為定義1

由四個數(shù)排成的數(shù)表所確定的表達式當則二元線性方程組的解為若記即主對角線法則則二元線性方程組的解為若記即主對角線法則例1解二元線性方程組解:例1解二元線性方程組解:定義2由三行三列的數(shù)表所確定的表達式稱為三階行列式,記注意:

1)對角線法則只適用于二階與三階行列式。定義2由三行三列的數(shù)表所確定的表達式稱為三階注意:如果三元線性方程組系數(shù)行列式

2)三階行列式包括3!項,且每一項都是位于不同行、不同列的三個元素的乘積,其中正負各三項。則方程組的解為:如果三元線性方程組系數(shù)行列式2)三階行列式包括3!項例2求解方程解:

方程左端的行列式,由對角線法則即,解得例2求解方程解:方程左端的行列式,由對角線法則即例3解線性方程組解:由于方程組的系數(shù)行列式例3解線性方程組解:由于方程組的系數(shù)行列式同理可得方程組的解為:即同理可得方程組的解為:即二、排列及逆序數(shù)定義3將n個不同的元素組成一個有序數(shù)組,稱為這n個元素的一個n級排列。n級排列的總數(shù):定義4

在n級排列中,規(guī)定由小到大為一個標準次序,若兩個元素與標準次序不同則構(gòu)成一個逆序。排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)。二、排列及逆序數(shù)定義3將n個不同的元素組成一個有序數(shù)逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。例4

求排列32514的逆序數(shù)。解:

在排列32514中,3排在首位,逆序數(shù)為0;2的前面比2大的數(shù)只有一個3,故逆序數(shù)為1;32514排列32514的逆序數(shù)5的前面沒有比5大的數(shù),其逆序數(shù)為0……逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。解:由于當時,原排列為偶排列;當時,原排列為奇排列。例5求排列n(n-1)…321的逆序數(shù),并討論奇偶性。解:由于當將相鄰兩個元素對換,稱為相鄰對換。定理1任意一個排列中的任意兩個元素經(jīng)過一次對換,排列改變奇偶性。證明:相鄰對換任意對換;比較對換元素討論。定義5

在排列中,將任意兩個元素位置互換,其余元素位置不變,這種變換稱為對換。注意:1)

奇排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù);2)偶排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù);3)標準排列是偶排列(逆序數(shù)為0)。將相鄰兩個元素對換,稱為相鄰對換。定理1任意一個排列中三、n階行列式說明:2)每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積,且每項不重復的取遍所有行和列;3)每項的正負號都取決于三個元素的下標排列。1)三階行列式共有6項,即項;三、n階行列式說明:2)每項都是位于不同行不同列的三個元定義6

n階行列式等于所有取自不同行、不同列的n

個數(shù)的乘積的代數(shù)和,即其中為自然數(shù)1,2,…n的一個排列,為其逆序數(shù)。簡記為或。定義6n階行列式等于所有取自不同行、不同列的n行列式是一種特定的算式:解線性方程組;3)每項都是位于不同行不同列n個元素的乘積;說明:2)n階行列式是項的代數(shù)和;4)一階行列式,不同于絕對值;5)行標確定:的符號為例6確定下列行列式中的項的符號。解:行列式是一種特定的算式:解線性方程組;3)每項都是位于不所以不為零的項只有例7

計算

上三角行列式解:所以不為零的項只有例7計算上三角行列式解:例8

證明對角行列式若記,則依行列式定義證:例8證明對角行列式若記求的系數(shù)。含的項有兩項之和,即例9

已知解:故的系數(shù)為-

1。求的系數(shù)。含的項有兩項之和,即例9推論1若列標確定,行列式等于定理2

n階行列式也可定義為推論2行列式定義中每一項的乘積元素可按行或列標確定標進行重排:不改變符號。推論1若列標確定,行列式等于定理2n階行列式§1.2行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。記行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式。證明:記§1.2行列式的性質(zhì)性質(zhì)1行列式與它的注意:

行列式中行與列具有同等的地位,即行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立。則即性質(zhì)2

互換行列式的兩行(列),行列式的值反號。證明:設(shè)互換的i,j行,得注意:行列式中行與列具有同等的地位,即行列式的則即性質(zhì)2即則推論

如果行列式有兩行(列)完全相同,則此行列式的值為零。即則推論如果行列式有兩行(列)完全相同,則此行列性質(zhì)3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以數(shù)k,等于用數(shù)k乘此行列式。推論1行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。推論2若行列式含有零行(列),則行列式的值為零。性質(zhì)3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以性質(zhì)4

行列式中如果有兩行（列）元素成比例,則此行列式的值為零。性質(zhì)5

行列式按某列（行）的元素拆開:性質(zhì)4行列式中如果有兩行（列）元素成比例,則性質(zhì)5性質(zhì)6把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一數(shù),然后加到另一行(列)對應的元素上去,行列式的值不變。注意:性質(zhì)6為行列式的簡化求值的常用方法。性質(zhì)6把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一注意例1

計算解:例1計算解:例2

計算解:行列式計算方法:

1)利用定義;2)利用性質(zhì)和三角形行列式;3)行列式的展開。例2計算解:行列式計算方法:1)利用定義;2)利例3

計算解:此行列式的特征:行和相等。?討論a=0,a=b?例3計算解:此行列式的特征:行和相等。?討論a=將大部分元素化為零將大部分元素化為零例4

計算解:此行列式的特征:大部分元素為1。例4計算解:此行列式的特征:大部分元素為1。線性代數(shù)四川人民出版社課件§1.3行列式的展開定義7在n階行列式中,劃去元素所在的第i行和第j列,余下的n–1階行列式稱為元素的余子式,記。稱為元素的代數(shù)余子式。例1

求下列行列式的代數(shù)余子式。§1.3行列式的展開定義7在n階行引理

如果行列式第i行所有元素除外都為零,則此行列式等于與其代數(shù)余子式的乘積,即注意:行列式的展開方法:利用行列式的性質(zhì)在某行(列)得到盡可能多的零元:降階求值。引理如果行列式第i行所有元素除外都為零,證:定理3n行階列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和,即或證:定理3n行階列式等于它的任一行（列）的各元素與或線性代數(shù)四川人民出版社課件例2計算解:評注:

“化零”方法:盡量選含有0,1較多的行(列)。例2計算解:評注:“化零”方法:盡量選含有0,例3

證明范德蒙德(Vandermonde)行列式證:由數(shù)學歸納法即當n=2時,原式成立。例3證明范德蒙德(Vandermonde)行列式設(shè)當k=n

-1時,原式成立。設(shè)當k=n-1時,原式成立。推論

行列式任一行的元素與另一行的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即證:將換成:兩行相同。推論行列式任一行的元素與另一行的對應元素的代證:將代數(shù)余子式的重要性質(zhì)同理代數(shù)余子式的重要性質(zhì)同理§1.4Cramer法則設(shè)線性方程組若常數(shù)項不全為零,則稱此方程組為非齊次線性方程組;若常數(shù)項全為零,稱方程組為齊次線性方程組。§1.4Cramer法則設(shè)線性方程組若若線性方程組的系數(shù)行列式不等于零,即則線性方程組有唯一解:若線性方程組的系數(shù)行列式不等于零,即則線性方程組有唯一解:證明:設(shè)為系數(shù)行列式D的代數(shù)余子式,則將n個方程依次相加,得證明:設(shè)即由于原方程組與變形后的方程組等價(代數(shù)余子式數(shù)乘),則為原方程組的唯一解。定理4(Cramer法則)如果線性方程組的系數(shù)行列式則一定有解,且解是唯一的。當時,方程組有唯一解:即由于原方程組與變形后的方程組等價(代數(shù)余子式數(shù)乘)定理5

如果線性方程組無解或有兩個不同的解,則它的系數(shù)行列式必為零。定理6

如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式,則齊次線性方程組僅有零解(沒有非零解)。推論

如果齊次線性方程組有非零解,則系數(shù)行列式。Cramer

法則解方程組的條件:1)方程個數(shù)等于未知量個數(shù);2)系數(shù)行列式不等于零。適用于理論推導定理5如果線性方程組無解或有兩個不同的解,則它定理6例1

解方程組解:例1解方程組解:即同理由Cramer法則,得即同理由Cramer法則,得解:當D=0,即或,