2020中考數(shù)學真題分類匯編 專題35 尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖一.選擇題1.（2020年內(nèi)蒙古通遼市3分）6.根據(jù)圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功地找到三角形內(nèi)心的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)心的定義，三角形內(nèi)心為三邊的垂直平分線的交點，然后利用基本作圖和選項進行判斷．【詳解】解：三角形內(nèi)心為三個角的角平分線的交點，由基本作圖得到B選項作了兩個角的角平分線，而三角形三條角平分線交于一點，從而可用直尺成功找到三角形內(nèi)心．故選：B．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了三角形的內(nèi)心．2.（2020?湖北襄陽?3分）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡判斷以下結(jié)論錯誤的是（）A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C【分析】證明△ADE≌△ADB即可判斷A，B正確，再根據(jù)同角的補角相等，證明∠EDC＝∠BAC即可．【解答】解：由作圖可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADB（AAS），∴DB＝DE，AB＝AE，∵∠AED+∠B＝180°∴∠BAC+∠BDE＝180°，∵∠EDC+∠BDE＝180°，∴∠EDC＝∠BAC，故A，B，C正確，故選：D．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．3（2020?貴州省貴陽市?3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺規(guī)在BC，BA上分別截取BE，BD，使BE＝BD；分別以D，E為圓心、以大于DE的長為半徑作弧，兩弧在∠CBA內(nèi)交于點F；作射線BF交AC于點G．若CG＝1，P為AB上一動點，則GP的最小值為（）A．無法確定 B． C．1 D．2【分析】如圖，過點G作GH⊥AB于H．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證明GH＝GC＝1，利用垂線段最短即可解決問題．【解答】解：如圖，過點G作GH⊥AB于H．由作圖可知，GB平分∠ABC，∵GH⊥BA，GC⊥BC，∴GH＝GC＝1，根據(jù)垂線段最短可知，GP的最小值為1，故選：C．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，垂線段最短，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．4（2020?河北省?3分）如圖1，已知∠ABC，用尺規(guī)作它的角平分線．如圖2，步驟如下，第一步：以B為圓心，以a為半徑畫弧，分別交射線BA，BC于點D，E；第二步：分別以D，E為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧在∠ABC內(nèi)部交于點P；第三步：畫射線BP．射線BP即為所求．下列正確的是（）A．a(chǎn)，b均無限制 B．a(chǎn)＞0，b＞DE的長 C．a(chǎn)有最小限制，b無限制 D．a(chǎn)≥0，b＜DE的長【分析】根據(jù)角平分線的畫法判斷即可．【解答】解：以B為圓心畫弧時，半徑a必須大于0，分別以D，E為圓心，以b為半徑畫弧時，b必須大于DE，否則沒有交點，故選：B．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．5.6.7.8.9.10.二.填空題1.（2020?江蘇省蘇州市?3分）如圖，已知是一個銳角，以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交、于點、，再分別以點、為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點，畫射線．過點作，交射線于點，過點作，交于點．設(shè)，，則________．【答案】【解析】【分析】連接AB交OD于點H，過點A作AG⊥ON于點G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OH⊥AB，AH=BH，從而得四邊形ABED是平行四邊形，利用勾股定理和三角形的面積法，求得AG的值，進而即可求解．【詳解】連接AB交OD于點H，過點A作AG⊥ON于點G，由尺規(guī)作圖步驟，可得：OD是∠MON的平分線，OA=OB，∴OH⊥AB，AH=BH，∵，∴DE∥AB，∵，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴AB=DE=12，∴AH=6，∴OH=，∵OB?AG=AB?OH，∴AG===，∴=．故答案是：．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，添加合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．2.（2020?湖南省郴州?3分）如圖，在矩形中，．分別以點為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點和．作直線分別與交于點，則__________．【答案】2．【解析】【分析】連接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，根據(jù)勾股定理可得BD的長，根據(jù)作圖過程可得，MN是BD的垂直平分線，所以DN=BN，在Rt△ADN中，根據(jù)勾股定理得DN的長，在Rt△DON中，根據(jù)勾股定理得ON的長，進而可得MN的長．【詳解】如圖，連接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，∴BD=，根據(jù)作圖過程可知：MN是BD的垂直平分線，∴DN=BN，OB=OD=2，∴AN=AB-BN=AB-DN=8-DN，Rt△ADN中，根據(jù)勾股定理，得DN2=AN2+AD2，∴DN2=（8-DN）2+42，解得DN=5，在Rt△DON中，根據(jù)勾股定理，得ON=，∵CD∥AB，∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，∵OD=OB，∴△DMO≌△BNO（AAS），∴OM=ON=，∴MN=2．故答案為：2．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．3(2020?江蘇省揚州市?3分)如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①以點B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AB，BC于點D，E．②分別以點D，E為圓心，大于DE的同樣長為半徑作弧，兩弧交于點F．③作射線BF交AC于點G．如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面積為18，則△CBG的面積為27．【分析】過點G作GM⊥AB于點M，GN⊥AC于點N，根據(jù)作圖過程可得AG是∠ABC的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得GM＝GN，再根據(jù)△ABG的面積為18，求出GM的長，進而可得△CBG的面積．【解答】解：如圖，過點G作GM⊥AB于點M，GN⊥AC于點N，根據(jù)作圖過程可知：BG是∠ABC的平分線，∴GM＝GN，∵△ABG的面積為18，∴AB×GM＝18，∴4GM＝18，∴GM＝，∴△CBG的面積為：BC×GN＝12×＝27．故答案為27．【點評】本題考查了作圖－基本作圖、角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．4（2020年遼寧省遼陽市）16．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分別以點A和B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，作直線MN，交AC于點E，連接BE，若CE＝3，則BE的長為5．【分析】設(shè)BE＝AE＝x，在Rt△BEC中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．【解答】解：由作圖可知，MN垂直平分線段AB，∴AE＝EB，設(shè)AE＝EB＝x，∵EC＝3，AC＝2BC，∴BC＝（x+3），在Rt△BCE中，∵BE2＝BC2+EC2，∴x2＝32+[（x+3）]2，解得，x＝5或﹣3（舍棄），∴BE＝5，故答案為5．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．5.6.7.8.9.10.三.解答題1.（2020?黑龍江省哈爾濱市?7分）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，線段AB和線段CD的端點均在小正方形的頂點上．（1）在圖中畫出以AB為邊的正方形ABEF，點E和點F均在小正方形的頂點上；（2）在圖中畫出以CD為邊的等腰三角形CDG，點G在小正方形的頂點上，且△CDG的周長為10+．連接EG，請直接寫出線段EG的長．【分析】（1）畫出邊長為的正方形即可．（2）畫出兩腰為10，底為的等腰三角形即可．【解答】解：（1）如圖，正方形ABEF即為所求．（2）如圖，△CDG即為所求．【點評】本題考查作圖﹣應用與設(shè)計，等腰三角形的判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．2.（2020?湖北武漢?8分）在8×5的網(wǎng)格中建立如圖的平面直角坐標系，四邊形OABC的頂點坐標分別為O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按下列步驟完成畫圖，并回答問題：（1）將線段CB繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出對應線段CD；（2）在線段AB上畫點E，使∠BCE＝45°（保留畫圖過程的痕跡）；（3）連接AC，畫點E關(guān)于直線AC的對稱點F，并簡要說明畫法．【分析】（1）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出B點的對稱點D即可；（2）作出BC為邊的正方形，找到以C點為一個頂點的對角線與AB的交點E即為所求；（3）利用網(wǎng)格特點，作出E點關(guān)于直線AC的對稱點F即可．【解答】解：（1）如圖所示：線段CD即為所求；（2）如圖所示：∠BCE即為所求；（3）連接（5，0），（0，5），可得與AC的交點F，點F即為所求，如圖所示：【點評】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了軸對稱變換．3（2020?湖南省長沙市·6分）人教版初中數(shù)學教科書八年級上冊第48頁告訴我們一種作已知角的平分線的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分線．作法：（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N．（2）分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點C．（3）畫射線OC，射線OC即為所求（如圖）．請你根據(jù)提供的材料完成下面問題．（1）這種作已知角的平分線的方法的依據(jù)是①．（填序號）①SSS②SAS③AAS④ASA（2）請你證明OC為∠AOB的平分線．【分析】（1）直接利用角平分線的作法得出基本依據(jù)；（2）直接利用全等三角形的判定與與性質(zhì)得出答案．【解答】解：（1）這種作已知角的平分線的方法的依據(jù)是①SSS．故答案為：①（2）由基本作圖方法可得：OM＝ON，OC＝OC，MC＝NC，則在△OMC和△ONC中，，∴△OMC≌△ONC（SSS），∴∠AOC＝∠BOC，即OC為∠AOB的平分線．【點評】此題主要考查了應用設(shè)計與作圖，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．4.（2020?湖北孝感?8分）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（﹣1，5），B（﹣3，1）和C（4，0），請按下列要求畫圖并填空．（1）平移線段AB，使點A平移到點C，畫出平移后所得的線段CD，并寫出點D的坐標為（2，﹣4）；（2）將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后所得的線段AE，并直接寫出cos∠BCE的值為；（3）在y軸上找出點F，使△ABF的周長最小，并直接寫出點F的坐標為（0，4）．【分析】（1）根據(jù)點A平移到點C，即可得到平移的方向和距離，進而畫出平移后所得的線段CD；（2）根據(jù)線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，即可畫出旋轉(zhuǎn)后所得的線段AE；（3）先作出點A關(guān)于y軸的對稱點A'，連接A'B交y軸于點F，依據(jù)兩點之間，線段最短，即可得到此時△ABF的周長最小，根據(jù)待定系數(shù)法即可得出直線A'B的解析式，令x＝0，進而得到點F的坐標．【解答】解：（1）如圖所示，線段CD即為所求，點D的坐標為（2，﹣4）；（2）如圖所示，線段AE即為所求，cos∠BCE＝＝＝；（3）如圖所示，點F即為所求，點F的坐標為（0，4）．故答案為：（2，﹣4）；；（0，4）．【點評】本題主要考查了利用平移變換和旋轉(zhuǎn)變換作圖，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．5(2020?江蘇省泰州市?10分)如圖，已知線段a，點A在平面直角坐標系xOy內(nèi)．(1)用直尺和圓規(guī)在第一象限內(nèi)作出點P，使點P到兩坐標軸的距離相等，且與點A的距離等于a．(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)在(1)的條件下，若a≈2，A點的坐標為(3，1)，求P點的坐標．【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可用直尺和圓規(guī)在第一象限內(nèi)作出點P，使點P到兩坐標軸的距離相等，且與點A的距離等于a；(2)在(1)的條件下，根據(jù)a≈2，A點的坐標為(3，1)，利用勾股定理即可求P點的坐標．【解答】解：(1)如圖，點P即為所求；(2)由(1)可得OP是角平分線，設(shè)點P(x，x)，過點P作PE⊥x軸于點E，過點A作AF⊥x軸于點F，AD⊥PE于點D，∵PA＝a≈2，A點的坐標為(3，1)，∴PD＝x－1，AD＝x－3，根據(jù)勾股定理，得PA2＝PD2+AD2，∴(2)2＝(x－1)2+(x－3)2，解得x1＝5，x2＝－1(舍去)．所以P點的坐標為(5，5)．【點評】本題考查了作圖－復雜作圖、坐標與圖形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．6(2020?江蘇省無錫市?8分)如圖，已知△ABC是銳角三角形(AC＜AB)．(1)請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作直線l，使l上的各點到B.C兩點的距離相等；設(shè)直線l與AB.BC分別交于點M、N，作一個圓，使得圓心O在線段MN上，且與邊AB.BC相切；(不寫作法，保留作圖痕跡)(2)在(1)的條件下，若BM＝，BC＝2，則⊙O的半徑為．【分析】(1)作線段BC的垂直平分線交AB于M，交BC于N，作∠ABC的角平分線交MN于點O，以O(shè)為圓心，ON為半徑作⊙O即可．(2)過點O作OE⊥AB于E．設(shè)OE＝ON＝r，利用