安徽省銅陵一中高二下學期期中數學試卷（文科）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2016-2017學年安徽省銅陵一中高二（下)期中數學試卷（文科）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．拋物線y=2x2的焦點到其準線的距離為（)A．2 B．1 C． D．2．命題p：?x＜0,2x＞x，命題q：?x∈R，x2+x+1＜0，則下列命題正確的是（）A．（￢p）∨q為真 B．p∨q為真 C．p∧（￢q）為假 D．（￢p）∧（￢q）為真3．已知中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓過點A（﹣3，0），且離心率，則橢圓的標準方程是（）A． B．C． D．4．若拋物線y2=2px（p＞0）上的點A(x0,）到其焦點的距離是A到y(tǒng)軸距離的3倍，則p等于(）A． B．1 C． D．25．下列說法錯誤的是（）A．若p：?x∈R,x2﹣x+1=0,則￢p:?x∈R，x2﹣x+1≠0B．“sinθ="是“θ=30°或150°”的充分不必要條件C．命題“若a=0,則ab=0”的否命題是“若a≠0,則ab≠0”D．已知p：?x∈R，cosx=1,q：?x∈R，x2﹣x+1＞0，則“p∧（￢q)”為假命題6．已知拋物線x2=ay的焦點恰好為雙曲線y2﹣x2=2的一個焦點，則a=()A．1 B．±4 C．±8 D．167．點P是雙曲線﹣=1的右支上一點，M是圓（x+5）2+y2=4上一點，點N的坐標為（5,0），則|PM|﹣|PN｜的最大值為（）A．5 B．6 C．7 D．88．“x2﹣4x＜0”的一個充分不必要條件為（）A．0＜x＜4 B．0＜x＜2 C．x＞0 D．x＜49．是直線y=kx﹣1與曲線x2﹣y2=4僅有一個公共點的(）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件10．設F1，F2是雙曲線﹣y2=1的兩個焦點,點P在雙曲線上,且?=0，則｜|?|｜的值等于（)A．2 B．2 C．4 D．811．設A為橢圓=1（a＞b＞0）上一點，點A關于原點的對稱點為B，F為橢圓的右焦點，且AF⊥BF．若∠ABF∈[，］，則該橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，四個頂點構成的四邊形的面積為12，直線l與橢圓C交于A，B兩點,且線段AB的中點為M(﹣2,1），則直線l的斜率為（）A． B． C． D．1二、填空題13。命題“?x0＞0,x02﹣4x0+1＜0"的否定是．14．已知雙曲線﹣=1的一條漸近線方程為y=x，則雙曲線的離心率為．15．a＞0是函數y=ax2+x+1在（0,+∞)上單調遞增的條件．16．橢圓C：+=1的上、下頂點分別為A1、A2,點P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[﹣2，﹣1］，那么直線PA1斜率的取值范圍是．三、解答題(本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．(10分）寫出命題“若x2﹣3x+2≠0，則x≠1且x≠2"的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷它們的真假．18．(12分）已知命題p:方程表示焦點在y軸上的橢圓，命題q：關于x的方程x2+2mx+2m+3=0無實根,若“p∧q"為假命題,“p∨q"為真命題，求實數m的取值范圍．19．（12分）已知動點P到y(tǒng)軸的距離比它到點M（﹣1，0）的距離少1．（1）求動點P的軌跡方程;(2）若直線l：x+y+1=0與動點P的軌跡交于A、B兩點，求△OAB的面積．20．（12分）已知雙曲線C：﹣y2=1,P是C上的任意點．（1)求證：點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數；（2)設點A的坐標為（5，0），求｜PA｜的最小值．21．(12分）已知橢圓C的兩個焦點分別為，,長軸長為6．(1）求橢圓C的標準方程；（2）已知過點（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點，試探究原點O是否在以線段AB為直徑的圓上．22．（12分）已知拋物線C的方程為y2=2px(p＞0)，拋物線的焦點到直線l:y=2x+2的距離為．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）設點R（x0，2)在拋物線C上，過點Q（1，1）作直線交拋物線C于不同于R的兩點A，B，若直線AR，BR分別交直線l于M，N兩點,求|MN｜最小時直線AB的方程．

2016-2017學年安徽省銅陵一中高二（下）期中數學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．拋物線y=2x2的焦點到其準線的距離為（）A．2 B．1 C． D．【考點】K8：拋物線的簡單性質．【分析】將拋物線方程化為標準方程，即可求得拋物線y=2x2的焦點到其準線的距離．【解答】解：拋物線y=2x2化為標準方程為x2=y∴拋物線y=2x2的焦點到其準線的距離為=故選：D．【點評】本題考查拋物線的性質,將拋物線方程化為標準方程是解題的關鍵．2．命題p:?x＜0，2x＞x，命題q：?x∈R，x2+x+1＜0，則下列命題正確的是（)A．(￢p）∨q為真 B．p∨q為真 C．p∧(￢q）為假 D．（￢p）∧（￢q)為真【考點】2E：復合命題的真假．【分析】分別判斷出p,q的真假，從而判斷出復合命題的真假即可．【解答】解：命題p：?x＜0，2x＞0＞x，恒成立，故命題p是真命題；命題q:?x∈R,x2+x+1＜0，不成立，故命題q是假命題；故p∨q為真，故選:B．【點評】本題考查了指數函數的性質，考查二次函數的性質以及復合命題的判斷，是一道基礎題．3．已知中心在坐標原點,焦點在x軸上的橢圓過點A（﹣3,0），且離心率，則橢圓的標準方程是（）A． B．C． D．【考點】K4:橢圓的簡單性質．【分析】根據題意，由橢圓的焦點位置以及A的坐標，可得a=3,結合離心率公式可得c的值,由橢圓的幾何性質可得b的值，將a、b的值代入橢圓的方程計算可得答案．【解答】解：根據題意，橢圓的焦點在x軸上且過點A(﹣3，0），則其中a=3，又由其離心率e==，則c=,則b==2，則橢圓的標準方程是+=1；故選:D．【點評】本題考查橢圓的標準方程,關鍵是結合橢圓的幾何圖形進行分析，求出a、b的值．4．若拋物線y2=2px（p＞0)上的點A（x0,)到其焦點的距離是A到y(tǒng)軸距離的3倍，則p等于（）A． B．1 C． D．2【考點】K8：拋物線的簡單性質．【分析】根據拋物線的定義及題意可知3x0=x0+，得出x0求得p,可得答案．【解答】解：由題意，3x0=x0+，∴x0=，∴=2，∵p＞0,∴p=2，故選D．【點評】本題主要考查了拋物線的定義和性質．考查了考生對拋物線定義的掌握和靈活應用，屬于基礎題．5．下列說法錯誤的是（）A．若p:?x∈R，x2﹣x+1=0，則￢p：?x∈R，x2﹣x+1≠0B．“sinθ="是“θ=30°或150°”的充分不必要條件C．命題“若a=0，則ab=0”的否命題是“若a≠0，則ab≠0"D．已知p:?x∈R，cosx=1,q：?x∈R，x2﹣x+1＞0，則“p∧(￢q)”為假命題【考點】2K：命題的真假判斷與應用．【分析】A,特稱命題的否定為全稱命題，“=”的否定為“≠”；B，sinθ=時，θ可以取與30°、150°終邊相同的角，但θ=30°時，sinθ=；C，命題的否命題，既要否定條件，又要否定結論；D，當x=0時,cosx=1，∴p真；對任意x∈R,x2﹣x+1=(x﹣）2+＞0．【解答】解:對于A，特稱命題的否定為全稱命題,“=”的否定為“≠”，∴A正確;對于B，sinθ=時，θ可以取與30°、150°終邊相同的角,但θ=30°時，sinθ=，∴B應是必要不充分條件，故B錯;對于C，命題的否命題，既要否定條件，又要否定結論，C顯然正確;對于D,當x=0時，cosx=1，∴p真；對任意x∈R，x2﹣x+1=(x﹣）2+＞0，∴q真，∴p∧（?q)為假,故D正確．故選:B．【點評】本題考查了命題的真假判定,充要條件的判定，屬于基礎題．6．已知拋物線x2=ay的焦點恰好為雙曲線y2﹣x2=2的一個焦點,則a=（）A．1 B．±4 C．±8 D．16【考點】K8:拋物線的簡單性質．【分析】利用拋物線的方程及雙曲線的方程求出拋物線的焦點坐標和雙曲線的焦點坐標，列出方程求出a．【解答】解：拋物線x2=ay的焦點為（0，），雙曲線y2﹣x2=2的焦點為（0，±2)，∴=±2，∴a=±8，故選C．【點評】本題考查有圓錐曲線的方程求圓錐曲線中的參數、圓錐曲線的共同特征等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想，屬于基礎題．7．點P是雙曲線﹣=1的右支上一點，M是圓(x+5）2+y2=4上一點，點N的坐標為（5,0）,則|PM｜﹣|PN｜的最大值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【考點】KC：雙曲線的簡單性質．【分析】由題設通過雙曲線的定義推出｜PF1｜﹣｜PF2|=6,利用|MP｜≤|PF1|+|MF1|,推出|PM｜﹣｜PN｜≤|PF1｜+｜MF1|﹣｜PF2｜,求出最大值【解答】解：雙曲線﹣=1的右支中，∵a=3，b=4，c=5，∴F1（﹣5，0)，F2（5，0），∵｜PF1｜﹣|PF2｜=2a=6,∴|MP｜≤|PF1｜+｜MF1|，所以，|PM｜﹣｜PN|≤|PF1｜+|MF1｜﹣|PF2｜｜=6+2=8．故選D【點評】本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化8．“x2﹣4x＜0"的一個充分不必要條件為(）A．0＜x＜4 B．0＜x＜2 C．x＞0 D．x＜4【考點】2L:必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】首先解不等式x2﹣4x＜0，得其解集A，再根據充分必要條件的含義，可得使不等式x2﹣4x＜0成立的充分不必要條件對應的x范圍應該是集合A的真子集就不難得到正確答案．【解答】解：不等式x2﹣4x＜0整理,得x(x﹣4）＜0∴不等式的解集為A=｛x|0＜x＜4}，因此，不等式x2﹣4x＜0成立的一個充分不必要條件，對應的x范圍應該是集合A的真子集．寫出一個使不等式x2﹣4x＜0成立的充分不必要條件可以是：0＜x＜2,故選：B．【點評】本題以一個不等式成立為例，通過討論其解集，著重考查了充分必要條件的判定與證明和一元二次不等式的解法等知識點,屬于基礎題．9．是直線y=kx﹣1與曲線x2﹣y2=4僅有一個公共點的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】把直線y=kx﹣1方程代入曲線x2﹣y2=4，化為：(k2﹣1）x2﹣2kx+5=0，由△=0，解得k=．此時直線與雙曲線有唯一公共點．當k=±1時,直線y=kx﹣1與曲線x2﹣y2=4僅有一個公共點．j即可判斷出結論．【解答】解：把直線y=kx﹣1方程代入曲線x2﹣y2=4,化為：（k2﹣1)x2﹣2kx+5=0,由△=4k2﹣20（k2﹣1)=0，解得k=．此時直線與雙曲線有唯一公共點．當k=±1時,直線y=kx﹣1與曲線x2﹣y2=4僅有一個公共點．∴是直線y=kx﹣1與曲線x2﹣y2=4僅有一個公共點的充分不必要條件．故選：A．【點評】本題考查了直線與雙曲線的交點與判別式的關系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．10．設F1，F2是雙曲線﹣y2=1的兩個焦點，點P在雙曲線上,且?=0，則||?||的值等于（）A．2 B．2 C．4 D．8【考點】KD：雙曲線的應用．【分析】先由已知，得出．再由向量的數量積為0得出直角三角形PF1F2，最后在此直角三角形中利用勾股定理及雙曲線的定義列出關于的方程，即可解得|｜?｜|的值．【解答】解：由已知,則．即，得．故選A．【點評】本題主要考查了雙曲線的應用及向量垂直的條件．考查了學生對雙曲線定義和基本知識的掌握．11．設A為橢圓=1（a＞b＞0）上一點，點A關于原點的對稱點為B，F為橢圓的右焦點，且AF⊥BF．若∠ABF∈［,]，則該橢圓離心率的取值范圍是(）A． B． C． D．【考點】K4:橢圓的簡單性質．【分析】設左焦點為：N．連接AF，AN，AF，BF，可得：四邊形AFNB為矩形．根據橢圓的定義：｜AF|+|AN|=2a．∠ABF=α，可得∠ANF=α．可得2a=2ccosα+2csinα,e==,根據α的取值范圍即可得出．【解答】解：設左焦點為：N．連接AF,AN，AF，BF，可得：四邊形AFNB為矩形．根據橢圓的定義:|AF｜+｜AN|=2a．∠ABF=α，則：∠ANF=α．∴2a=2ccosα+2csinα∴e===，α=∠ABF∈[,］，∴∈,∴∈．∴e∈．故選：D．【點評】本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質、三角函數求值，考查了推理能力與計算能力,屬于難題．12．已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，四個頂點構成的四邊形的面積為12,直線l與橢圓C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M（﹣2，1)，則直線l的斜率為（)A． B． C． D．1【考點】KH：直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】由橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，四個頂點構成的四邊形的面積為12，列出方程組求出a=2，b=，從而得到橢圓方程為，再由直線l與橢圓C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M（﹣2，1），利用點差法能求出直線l的斜率．【解答】解：∵橢圓C：+=1（a＞b＞0)的離心率為，四個頂點構成的四邊形的面積為12，∴,解得a=2，b=，∴橢圓方程為，∵直線l與橢圓C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M（﹣2,1），∴設A（x1，y1)，B(x2,y2）,則x1+x2=﹣4，y1+y2=2，又,兩式相減，得：（x1﹣x2）(x1+x2）+（y1﹣y2）(y1+y2）=0，∴﹣（x1﹣x2）+(y1﹣y2）=0，∴直線l的斜率k==．故選：C．【點評】本題考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質、點差法的合理運用．二、填空題13命題“?x0＞0，x02﹣4x0+1＜0”的否定是?x＞0，x2﹣4x+1≥0．【考點】2J：命題的否定．【分析】根據已知中的原命題，結合特稱命題否定的定義，可得答案．【解答】解：命題“?x0＞0,x02﹣4x0+1＜0"的否定是“?x＞0,x2﹣4x+1≥0”，故答案為:?x＞0，x2﹣4x+1≥0【點評】本題考查的知識點是命題的否定，特稱命題,難度不大，屬于基礎題．14．已知雙曲線﹣=1的一條漸近線方程為y=x，則雙曲線的離心率為2．【考點】KC：雙曲線的簡單性質．【分析】利用雙曲線的漸近線方程，推出a，b的關系,然后求解雙曲線的離心率即可．【解答】解:雙曲線﹣=1的一條漸近線方程為y=x，可得=，即，解得e=2．故答案為:2．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用,考查計算能力．15．a＞0是函數y=ax2+x+1在（0，+∞）上單調遞增的充分不必要條件．【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】對于函數y=ax2+x+1，對a分類討論,利用一次函數與二次函數的單調性即可判斷出結論．【解答】解：對于函數y=ax2+x+1，a=0時,y=x+1在(0，+∞）上單調遞增；a＞0時，y=a+1﹣在上單調遞增,因此在（0，+∞）上單調遞增；a＜0時，y=a+1﹣在上單調遞減，因此在（0，+∞)上單調遞減．由以上可得：a＞0是函數y=ax2+x+1在（0，+∞)上單調遞增的充分不必要條件．故答案為：充分不必要．【點評】本題考查了函數的單調性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．16．橢圓C：+=1的上、下頂點分別為A1、A2，點P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是［﹣2,﹣1］，那么直線PA1斜率的取值范圍是[］．【考點】K4：橢圓的簡單性質．【分析】由題意求A1、A2的坐標，設出點P的坐標，代入求斜率，進而求PA1斜率的取值范圍【解答】解：由橢圓的標準方程可知，上、下頂點分別為A1（0，）、A2（0，﹣），設點P（a，b）（a≠±2），則+=1．即=﹣直線PA2斜率k2=，直線PA1斜率k1=．k1k2=?==﹣;k1=﹣∵直線PA2斜率的取值范圍是[﹣2，﹣1]，即：﹣2≤k2≤﹣1∴直線PA1斜率的取值范圍是［]．故答案為：[]．【點評】本題考查了圓錐曲線的簡單性質應用，同時考查了直線的斜率公式及學生的化簡能力，屬于中檔題三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．(10分)(2017春?銅官山區(qū)校級期中）寫出命題“若x2﹣3x+2≠0，則x≠1且x≠2”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假．【考點】21：四種命題．【分析】根據原命題“若p,則q”,寫出它的逆命題若q，則p，否命題若￢p,則￢q與逆否命題若￢q，則￢p,并判斷真假性．【解答】解:∵原命題是“若x2﹣3x+2≠0，則x≠1且x≠2"，∴它的逆命題是：若x≠1且x≠2,則x2﹣3x+2≠0，是真命題；﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分）否命題是:若x2﹣3x+2=0，則x=1或x=2，是真命題；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）逆否命題是：若x=1或x=2，則x2﹣3x+2=0，是真命題．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）【點評】本題考查了四種命題之間的關系與應用問題,也考查了命題真假的判斷問題,是基礎題．18．（12分）(2016秋?東湖區(qū)校級期末)已知命題p：方程表示焦點在y軸上的橢圓，命題q：關于x的方程x2+2mx+2m+3=0無實根，若“p∧q”為假命題，“p∨q"為真命題，求實數m的取值范圍．【考點】2K：命題的真假判斷與應用．【分析】若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，則p，q為一個真命題，一個假命題，進而可得實數m的取值范圍．【解答】解：∵方程表示焦點在y軸上的橢圓，∴0＜m+1＜3﹣m，解得：﹣1＜m＜1,∴若命題p為真命題，求實數m的取值范圍是（﹣1，1);若關于x的方程x2+2mx+2m+3=0無實根，則判別式△=4m2﹣4（2m+3）＜0，即m2﹣2m﹣3＜0,得﹣1＜m＜3．若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題,則p,q為一個真命題,一個假命題，若p真q假，則，此時無解，柔p假q真，則,得1≤m＜3．綜上,實數m的取值范圍是［1，3）．【點評】本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了橢圓的標準方程,方程根的存在性及個數判斷，難度中檔．19．（12分)(2017春?銅官山區(qū)校級期中）已知動點P到y(tǒng)軸的距離比它到點M（﹣1,0）的距離少1．（1）求動點P的軌跡方程；(2）若直線l：x+y+1=0與動點P的軌跡交于A、B兩點，求△OAB的面積．【考點】J3:軌跡方程．【分析】（1）設出P的坐標，由題意列式,對x分類化簡得答案；（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系及拋物線的焦點弦長公式求得｜AB|,再由點到直線的距離公式求出O到直線AB的距離，代入三角形面積公式得答案．【解答】解：（1)設P（x，y）,則|x|+1=．若x＞0,則x+1=，兩邊平方并整理得y=0；若x＜0，則1﹣x=，兩邊平方并整理得y2=﹣4x．∴P點軌跡方程為y=0(x＞0）或y2=﹣4x；（2）設A(x1，y1)，B(x2，y2），聯(lián)立，消去y得：x2+6x+1=0．則x1+x2=﹣6，∴｜AB｜=2﹣（x1+x2）=8，原點O到直線x+y+1=0的距離d=．∴．【點評】本題考查軌跡方程的求法,考查了直線與拋物線位置關系的應用，是中檔題．20．（12分）（2017春?銅官山區(qū)校級期中）已知雙曲線C：﹣y2=1，P是C上的任意點．（1）求證：點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數；（2)設點A的坐標為（5，0），求|PA｜的最小值．【考點】KC：雙曲線的簡單性質；IR：兩點間的距離公式．【分析】（1）設P(x0,y0)，由點到直線距離公式，得P到兩準線的距離之積滿足，再結合點P坐標滿足雙曲線方程，代入化簡整理即可得到，命題得證．（2）由兩點的距離公式結合點P坐標滿足雙曲線方程，化簡整理得|PA|2=，再根據二次函數的圖象與性質，即可求出｜PA|的最小值．【解答】解:（1）設P（x0，y0），P到兩準線的距離記為d1，d2∵兩準線為x﹣2y=0，x+2y=0…。.2’∴…。。4’又∵點P在曲線C上,∴=，得(常數）即點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數….6’(2)設P(x0，y0）,由平面內兩點距離公式得|PA｜2=…8’∵，可得=∴｜PA|2==…。。9’又∵點P在雙曲線上，滿足|x0｜≥2，∴當x0=4時,|PA|有最小值，｜PA｜min=2…。12’【點評】本題在雙曲線中，證明動點到兩條漸近線的距離之積為常數并求距離最小值，著重考查了兩點間的距離公式、點到直線的距離公式和雙曲線的簡單性質等知識,屬于中檔題．21．（12分)（2017春?銅官山區(qū)校級期中）已知橢圓C的兩個焦點分別為，，長軸長為6．（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知過點（0，2)且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點，試探究原點O是否在以線段AB為直徑