高中數(shù)學(xué)解題思維訓(xùn)練省名師優(yōu)質(zhì)課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

高中數(shù)學(xué)解題

思

維

訓(xùn)

練

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數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)在于培養(yǎng)學(xué)生思維能力。要做到這一點(diǎn)，首先要培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)。

實(shí)際上，良好思維品質(zhì)往往包含以下幾個(gè)方面：思維變通性、思維反思性、思維嚴(yán)密性和思維發(fā)散性。

培養(yǎng)良好思維品質(zhì)路徑是進(jìn)行有素訓(xùn)練。本教程將結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際情況，著重進(jìn)行這方面訓(xùn)練。第2頁(yè)第一講數(shù)學(xué)思維變通性訓(xùn)練1.思維變通性概念在數(shù)學(xué)教學(xué)中，思維變通性表現(xiàn)為：能善于依據(jù)題設(shè)中詳細(xì)情況，提出新構(gòu)想和解題方案。它表達(dá)學(xué)生在智力活動(dòng)中靈活程度上差異，是數(shù)學(xué)思維主要品質(zhì)之一。數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)處理好數(shù)學(xué)問(wèn)題，用一套固定方案，是行不通，必須視其詳細(xì)情況，靈活確定解題方案。也就是說(shuō)，必須含有思維變通性，依據(jù)數(shù)學(xué)思維變通性主要表達(dá)，本課程將著重進(jìn)行以下幾個(gè)方面訓(xùn)練：第3頁(yè)小資料：《怎樣解題》G.波利亞

第一：你必須搞清問(wèn)題搞清問(wèn)題：未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？滿(mǎn)足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多出？或者是矛盾？把條件各部分分開(kāi)。你能否把它們寫(xiě)下來(lái)？第二：找出已知數(shù)與未知數(shù)之間聯(lián)絡(luò)。假如找不出直接聯(lián)絡(luò)，你可能不得不考慮輔助問(wèn)題，你應(yīng)該最終得出一個(gè)求解計(jì)劃。

擬訂計(jì)劃：你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同問(wèn)題而形式稍有不一樣？你是否知道與此相關(guān)問(wèn)題？你是否知道一個(gè)可能用得上定理？看著未知數(shù)！試想出一個(gè)含有相同未知數(shù)或相同未知數(shù)熟悉問(wèn)題。這里有一個(gè)與你現(xiàn)在問(wèn)題相關(guān)，且早已處理問(wèn)題。你能不能利用它？你能利用它結(jié)果嗎？你能利用它方法嗎？為了利用它，你是否應(yīng)該引入一些輔助元素？你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題？你能不能用不一樣方法重新敘述它？回到定義去。假如你不能處理所提出問(wèn)題，可先處理一個(gè)與此相關(guān)問(wèn)題。你能不能想出一個(gè)更輕易著手相關(guān)問(wèn)題？一個(gè)更普遍問(wèn)題？一個(gè)更特殊問(wèn)題？一個(gè)類(lèi)比問(wèn)題？你能否處理這個(gè)問(wèn)題一部分？?jī)H僅保持條件一部分而舍去其余部分，這么對(duì)于未知數(shù)能確定到什么程度？它會(huì)怎樣改變？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出一些有用東西？你能不能想出適于確定未知數(shù)其它數(shù)據(jù)？假如需要話(huà)，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更靠近？你是否利用了全部已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個(gè)條件？你是否考慮了包含在問(wèn)題中全部必要概念？第三：實(shí)現(xiàn)你計(jì)劃實(shí)現(xiàn)計(jì)劃：實(shí)現(xiàn)你求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟。你能否清楚地看出這一步驟是否正確？你能否證實(shí)這一步驟是正確？第四：驗(yàn)證所得解回顧：你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證？你能否用別方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能不能一下子看出來(lái)？你能不能把這個(gè)結(jié)果或方法用于其它問(wèn)題？第4頁(yè)（1）善于觀(guān)察

做一道數(shù)學(xué)題，大致上有：審題、想題、解題三大段。&

在審題時(shí)要細(xì)心觀(guān)察。解數(shù)學(xué)題首先要搞清題意。即：正確地感知題目中出現(xiàn)主要概念，分清什么是已知，什么是求（證）。&

在想題時(shí)要重視“特殊”已知條件。在探索解題思緒時(shí)，往往會(huì)感到有些“特殊”已知條件用不上，因而思緒也找不出來(lái)。有時(shí)即使思緒找出來(lái)了，但假如注意到了已知條件中一些“特殊性”，往往能夠發(fā)覺(jué)有更為簡(jiǎn)便思緒存在。&

觀(guān)察法解題有些問(wèn)題，思索過(guò)程只可意會(huì)，難以言傳，所以只好用觀(guān)察法求解。即：先依據(jù)觀(guān)察、猜測(cè)應(yīng)用什么樣解，然后進(jìn)行直接驗(yàn)證。第5頁(yè)第6頁(yè)分類(lèi)考查討論：在些數(shù)學(xué)題，解題復(fù)雜性，主要在于它條件、結(jié)論（或問(wèn)題）包含各種不易識(shí)別可能情形。對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，選擇恰當(dāng)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，把原題分解成一組并列簡(jiǎn)單題，有利于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。有些結(jié)構(gòu)復(fù)雜綜合題，就其生成背景而論，大多是由若干比較簡(jiǎn)單基本題，經(jīng)過(guò)適當(dāng)組合抽去中間步驟而組成。所以，從題目標(biāo)因果關(guān)系入手，尋求可能中間步驟和隱含條件，把原題分解成一組相互聯(lián)絡(luò)系列題，是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化一條主要路徑。

第7頁(yè)聯(lián)想是轉(zhuǎn)化問(wèn)題橋梁。稍具難度問(wèn)題和基礎(chǔ)知識(shí)之間聯(lián)絡(luò)都是不顯著、間接、復(fù)雜。因而，怎樣解題，解題速度怎樣，取決于能否由觀(guān)察到特征，靈活利用相關(guān)知識(shí)，作出對(duì)應(yīng)聯(lián)想，找到突破口，不停深入。

第8頁(yè)第9頁(yè)數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)解題是命題連續(xù)變換?？煽捶}過(guò)程是經(jīng)過(guò)問(wèn)題轉(zhuǎn)化才能完成。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題一個(gè)十分主要思維方法。那么，怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括講，就是把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題，把抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化成詳細(xì)問(wèn)題，把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知問(wèn)題。所以，在解數(shù)學(xué)題時(shí)，觀(guān)察詳細(xì)特征，聯(lián)想相關(guān)問(wèn)題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。（3）善于進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化第10頁(yè)有些數(shù)學(xué)題，條件比較抽象、復(fù)雜，不太輕易入手。這時(shí)，不妨簡(jiǎn)化題中一些已知條件，甚至?xí)簳r(shí)撇開(kāi)不顧，先考慮一個(gè)簡(jiǎn)化問(wèn)題。這么簡(jiǎn)單化了問(wèn)題，對(duì)于解答原題，經(jīng)常能起到穿針引線(xiàn)作用。第11頁(yè)2．思維訓(xùn)練：（1）觀(guān)察能力訓(xùn)練

即使觀(guān)察看起來(lái)是一個(gè)表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)部規(guī)律基礎(chǔ)。所以，必須重視觀(guān)察能力訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能依據(jù)題目標(biāo)詳細(xì)特征，采取特殊方法來(lái)解題。

第12頁(yè)第13頁(yè)數(shù)學(xué)中，同一素材題目，經(jīng)常能夠有不一樣表現(xiàn)形式；條件與結(jié)論（或問(wèn)題）之間，也存在著各種聯(lián)絡(luò)方式。所以，恰當(dāng)結(jié)構(gòu)輔助元素，有利于改變題目標(biāo)形式，溝通條件與結(jié)論（或條件與問(wèn)題）內(nèi)在聯(lián)絡(luò)，把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題。

數(shù)學(xué)解題中，結(jié)構(gòu)輔助元素是各種多樣，常見(jiàn)有結(jié)構(gòu)圖形（點(diǎn)、線(xiàn)、面、體），結(jié)構(gòu)算法，結(jié)構(gòu)多項(xiàng)式，結(jié)構(gòu)方程（組），結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系，結(jié)構(gòu)數(shù)列，結(jié)構(gòu)行列式，結(jié)構(gòu)等價(jià)性命題，結(jié)構(gòu)反例，結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型等等。第14頁(yè)有些數(shù)學(xué)題，內(nèi)容抽象，關(guān)系復(fù)雜，給了解題意增添了困難，經(jīng)常會(huì)因?yàn)轭}目標(biāo)抽象性和復(fù)雜性，使正常思維難以進(jìn)行到底。對(duì)于這類(lèi)題目，借助圖表直觀(guān)，利用示意圖或表格分析題意，有利于抽象內(nèi)容形象化，復(fù)雜關(guān)系條理化，使思維有相對(duì)詳細(xì)依靠，便于深入思索，發(fā)覺(jué)解題線(xiàn)索。有些包括數(shù)量關(guān)系題目，用代數(shù)方法求解，道路崎嶇波折，計(jì)算量偏大。這時(shí)，不妨借助圖形直觀(guān)，給題中相關(guān)數(shù)量以恰當(dāng)幾何分析，拓寬解題思緒，找出簡(jiǎn)捷、合理解題路徑。

第15頁(yè)第16頁(yè)第17頁(yè)第18頁(yè)第19頁(yè)第20頁(yè)第21頁(yè)講評(píng)：

我們解題時(shí)，常會(huì)碰到這么情形：依據(jù)命題條件和結(jié)論，按常規(guī)方法去解題，過(guò)程會(huì)十分冗繁，有時(shí)甚至難以入手。假如能轉(zhuǎn)換一個(gè)角度來(lái)考慮，則能夠把它變更為我們熟悉而又易于解問(wèn)題。第22頁(yè)第23頁(yè)第24頁(yè)點(diǎn)評(píng)：正與反轉(zhuǎn)化有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，假如直接從正面入手求解難度較大，致使思緒受阻，比如，當(dāng)我們研究一個(gè)運(yùn)算逆運(yùn)算時(shí)能夠轉(zhuǎn)化為它正運(yùn)算；在處理相關(guān)反函數(shù)問(wèn)題時(shí)，能夠轉(zhuǎn)化為它反函數(shù)來(lái)求解。所謂“正反轉(zhuǎn)化”還意味著，假如命題結(jié)論非此即彼時(shí)，轉(zhuǎn)化結(jié)論，從而推出矛盾，使問(wèn)題得以處理。第25頁(yè)第26頁(yè)第二講

數(shù)學(xué)思維反思性訓(xùn)練

1.

概述

數(shù)學(xué)思維反思性表現(xiàn)在思維活動(dòng)中善于提出獨(dú)立看法，精細(xì)地檢驗(yàn)思維過(guò)程，不盲從、不輕信。在處理問(wèn)題時(shí)能不停地驗(yàn)證所確定假設(shè)，取得獨(dú)特處理問(wèn)題方法，它和創(chuàng)造性思維親密相關(guān)。經(jīng)過(guò)本講訓(xùn)練，加強(qiáng)學(xué)生思維嚴(yán)密性培養(yǎng)他們創(chuàng)造性思維。

第27頁(yè)第28頁(yè)第29頁(yè)第30頁(yè)第31頁(yè)第32頁(yè)養(yǎng)成驗(yàn)算習(xí)慣，能夠有效地增強(qiáng)思維反思性。如：在解無(wú)理方程、無(wú)理不等式；對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式時(shí)，因?yàn)樽冃魏蠓匠袒虿坏仁絻啥舜鷶?shù)式定義域可能會(huì)發(fā)生改變，這么就有可能產(chǎn)生增根或失根，所以必須進(jìn)行檢驗(yàn)，舍棄增根，找回失根。第33頁(yè)第34頁(yè)第35頁(yè)第三講數(shù)學(xué)思維嚴(yán)密性訓(xùn)練1．概述在中學(xué)數(shù)學(xué)中，思維嚴(yán)密性表現(xiàn)為思維過(guò)程服從于嚴(yán)格邏輯規(guī)則，考查問(wèn)題時(shí)嚴(yán)格、準(zhǔn)確，進(jìn)行運(yùn)算和推理時(shí)準(zhǔn)確無(wú)誤。數(shù)學(xué)是一門(mén)含有高度抽象性和精密邏輯性科學(xué)，論證嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)根本特點(diǎn)之一。不過(guò)，因?yàn)檎J(rèn)知水平和心里特征等原因影響，中學(xué)生思維過(guò)程經(jīng)常出現(xiàn)不嚴(yán)謹(jǐn)現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）

概念含糊概念是數(shù)學(xué)理論體系中十分主要組成部分。它是組成判斷、推理要素。所以必須搞清概念，搞清概念內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎(chǔ)。概念不清就輕易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯(cuò)誤。（2）

判斷錯(cuò)誤判斷是對(duì)思維對(duì)象性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定一個(gè)思維形式。數(shù)學(xué)中判斷通常稱(chēng)為命題。在數(shù)學(xué)中，假如概念不清，很輕易造成判斷錯(cuò)誤。比如，“函數(shù)是一個(gè)減函數(shù)”就是一個(gè)錯(cuò)誤判斷。（3）

推理錯(cuò)誤理是利用已知判斷推導(dǎo)出新判斷思維形式。它是判斷和判斷聯(lián)合。任何一個(gè)論證都是由推理來(lái)實(shí)現(xiàn)，推理犯錯(cuò)，說(shuō)明思維不嚴(yán)謹(jǐn)。第36頁(yè)第37頁(yè)第38頁(yè)第39頁(yè)第40頁(yè)第41頁(yè)第42頁(yè)注意充分條件、必要條件、充要條件在解題中利用我們知道：假如A成立，那么B成立，即，則A稱(chēng)是B充分條件。假如B成立，那么A成立，即，則稱(chēng)B是A必要條件。假如A、B能夠相互推出，則稱(chēng)是充分必要條件。充分條件和必要條件中我們學(xué)習(xí)中經(jīng)常碰到。像討論方程組解，求滿(mǎn)足條件點(diǎn)軌跡等等。但充分條件和必要條件中解題中作用不一樣，稍用疏忽，就會(huì)犯錯(cuò)。第43頁(yè)第44頁(yè)·P·C(3,0)yxO圖3－2－1MN第45頁(yè)第46頁(yè)第47頁(yè)第48頁(yè)第49頁(yè)第50頁(yè)第51頁(yè)第四講數(shù)學(xué)思維發(fā)散性訓(xùn)練1．

概述數(shù)學(xué)思維發(fā)散性指是對(duì)一個(gè)問(wèn)題能從多方面考慮；對(duì)一個(gè)對(duì)象能從各種角度觀(guān)察；對(duì)一個(gè)題目能想出各種不一樣解法，即一題多解?！皵?shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)整體，它各個(gè)部分之間存在概念親緣關(guān)系。我們?cè)趯W(xué)習(xí)每一分支時(shí)，注意了橫向聯(lián)絡(luò)，把親緣關(guān)系結(jié)成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部?jī)?nèi)容，使之融會(huì)貫通”，這里所說(shuō)橫向聯(lián)絡(luò)，主要是靠一題多解來(lái)完成。經(jīng)過(guò)用不一樣方法處理同一道數(shù)學(xué)題，既能夠開(kāi)拓解題思緒，鞏固所學(xué)知識(shí)；又可激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣和主動(dòng)性，到達(dá)開(kāi)發(fā)潛能，發(fā)展智力，提升能力目標(biāo)。從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。