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文檔簡介
專題三 解答題重難點題型突破遼寧專用題型三 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題【例1】
(2016·鐵嶺)如圖,拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A(-1,0)和點B(4,
0),且與y軸相交于點C,點D是線段BC上的一個動點(不與點B,C重合),設(shè)點D的橫坐標為t,過點D作DE∥y軸交拋物線于點E,點F在DE的延長線上,且EF=
DE.過點F作FG⊥直線BC,垂足為點G.求此拋物線的解析式和點C的坐標;設(shè)△DFG的周長為L,求L與t的函數(shù)關(guān)系式;直線m經(jīng)過點C,且直線m∥x軸,點P是直線m上任意一點,過點P分別作
PQ⊥直線BC,PR⊥x軸,垂足分別為點Q,R,若以三點P,Q,R為頂點的三角形是等腰三角形,請直接寫出點P的坐標.【分析】(1)直接用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,C
點在y
軸上,令x=0
代入解析式,可求y
的值,即可得出點C
坐標;先用待定系數(shù)法求直線BC
的解析式,由D
點橫坐標為t,表示出點D,E
的坐標,即DF=2ED=2(-3t2+3t)=-3t2+6t,判定△FGD∽△BOC,根據(jù)4
2相似三角形周長比=對應(yīng)邊長之比=相似比,從而得出L
與t
的函數(shù)關(guān)系式;以三點P,Q,R
為頂點的等腰三角形分三種情況:①RQ=RP;②QR=QP;③PQ=PR,分別求出點P
的坐標即可.
a-b+3=0解:(1)把A、B
兩點坐標代入拋物線表達式得
16a+4b+3=0,
解得
a=-3
b=944
44
9,∴拋物線的解析式為:y=-3x2+x+3,令x=0,則y=3,∴C
坐標為(0,3);(2)設(shè)直線BC
的解析式為:y=kx+b,代入B、C
兩點坐標,得
b=3
4k+b=0,解得
b=3
k=-433,∴直線BC
的解析式為:y=-4x+3,∵D
點橫坐標為t,∴D(t,
-3t+3),∴E(t,
-3t24
49+4t+3),∴ED=(-3t2+4
439t+3)-
(-3t+3)=-
t2+3t,∵EF=DE,4
4∴DF=2ED=2(-3t2+3t)=-3t2+6t,∵OC∥DF,4
2∴∠OCB=∠FDG,又∠COB=∠FGD=90°,∴△FGD∽△BOC,∴△FGD
的周長∶△COB
的周長=DF∶BC,53
18
72∴L∶(3+4+5)=(-2t2+6t)∶5,∴L=-
5
t2+
t;(3)P
點坐標為(8,3),25(
8,3),(-5,3),(5,3).【例
2】
(2015·遼陽)如圖①,平面直角坐標系中,49直線y=-3x+3
與拋物線y=ax2+x+c
相交于A,B
兩點,4其中點A
在x
軸上,點B
在y
軸上.求拋物線的解析式;在拋物線上存在一點M,使△MAB是以AB為直角邊的直角三角形,求點M
的坐標;如圖②,點E
為線段AB
上一點,BE=2,以BE為腰作等腰Rt△BDE,使它與△AOB
在直線AB
的同側(cè),∠BED=90°,△BDE沿著BA
方向以每秒一個單位的速度運動,當點B
與A
重合時停止運動,設(shè)運動時間為t
秒,△BDE
與△AOB
重疊部分的面積為S,直接寫出S
關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t
的取值范圍.【分析】(1)根據(jù)直線解析式,求出A
與B
的坐標,代入拋物線解析式求出a
與c
的值,即可確定出拋物線解析式;由M在拋物線圖象上,設(shè)出M
的坐標,分兩種情況考慮:①當∠MBA=90°時;②當∠BAM=90°時,分別求出M
的坐標即可;根據(jù)t的范圍,分三種情況考慮:當0<t≤1時;當1<t≤3
時;當3≤t≤53
3時,分別確定出S
與t
的函數(shù)解析式即可.4解:(1)拋物線解析式為
y=-3x2
9x+3;+4(2)如圖,設(shè)M
的坐標為(x,-3x2+9x+3),①當∠MBA=90°時,4
4作MN⊥y
軸于N,則有∠MNO=90°,∴∠NMB+∠MBN=90°,∵∠MBN+∠ABM+∠ABO=180°,∴∠MBN+∠ABO=90°,∴∠NMB=∠ABO,又∵∠MNO=∠BOA,∴△MNB∽△BOA,∴MN=BN,即x=BO
AO
323
9-4x
+4x+3-3411,解得x=
9
或x=0(舍去),當
x=11時,y=125
11
1259 27
,即M(9
,27
);②當∠BAM′=90°時,作M′N′⊥x
軸于N′,易知△AM′N′∽△BAO,AN′=M′N′,∴
BO
AO即4-x=23
94x
-4x-33
425,解得x=-9
或x=4(舍去),當x
25
244
25
244=-
9
時,y=-27
,即M′(-9
,-27
),綜上所述滿足條件M
的坐標為(11,125
或(-259
,9 27
)
27
)-244
.(3)當0≤t≤3時1
19
3
111,S=2;當3<t≤3
時,S=-
t2+
t56 28
+
56
;15
75當
3<t≤5
時,S=
3t2-
t+
.14
7
14[對應(yīng)訓(xùn)練]1.(2016·棗莊)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=-1,且拋物線經(jīng)過A(1,0),C(0,3)兩點,與x軸交于點B.若直線y=mx+n經(jīng)過B、C兩點,求直線BC和拋物線的解析式;在拋物線的對稱軸x=-1上找一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小,求出點M的坐標;設(shè)點P為拋物線的對稱軸x=-1上的一個動點,求使△BPC為直角三角形的點
P的坐標.
2a
-
b
=-1
c=3
a=-1
c=3解:(1)依題意得:
a+b+c=0,解之得:
b=-2,∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3,∵對稱軸為x=-1,且拋物線經(jīng)過A(1,0),∴把B(-3,0)、C(0,3)分別代入直線y=mx+n,得
-3m+n=0
n=3,解之得:
m=1
n=3,∴直線y=mx+n
的解析式為y=x+3;(2)設(shè)直線BC與對稱軸x=-1的交點為M,則此時MA+MC的值最小.把x=-1代入直線y=x+3得,y=2,∴M(-1,2),即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為(-1,2);(3)設(shè)P(-1,t),又∵B(-3,0),C(0,3),∴BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,①若點B
為直角頂點,則BC2+PB2=PC2即:18+4+t2=t2-6t+10
解之得:t=-2;②若點C
為直角頂點,則BC2+PC2=PB2即:18+t2-6t+10=4+t2
解之得:t=4,③若點P
為直角頂點,則PB2+PC2=BC2即:4+t2+t2-6t+10=18
解之得:t1=3+
17
t
=3-
172
2,
2
;綜上所述P
的坐標為(-1,-2)或(-1,4)或(-1,3+
172)或(-1,3-
172).12.(2016·葫蘆島)如圖,拋物線y=-2x2+bx+c
與x
軸交于點A,點B,與y
軸交于點C,點B
坐標為(6,0),點C
坐標為(0,6),點D
是拋物線的頂點,過點D
作x
軸的垂線,垂足為E,連接BD.求拋物線的解析式及點D
的坐標;點F
是拋物線上的動點,當∠FBA=∠BDE
時,求點F
的坐標;若點M是拋物線上的動點,過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N,點P
在x
軸上,點Q
在平面內(nèi),以線段MN
為對角線作正方形MPNQ,請直接寫出點Q
的坐標.解:(1)把B(6,0)、C(0,6)代入y=-21x2+bx+c
得
,解得
-18+6b+c=0
b=2
c=6
c=6,2∴拋物線的解析為y=-1x2+2x+6,1將解析式化為頂點式為y=-2(x-2)2+8,∴頂點D
坐標為(2,8);1(2)設(shè)F(x
,-21x2+2x+6),如圖①,過F
作FG⊥x
軸于G,①當點F
在x
軸上方時,∵∠FBA=∠BDE,∠FGB=∠DEB=90°,∴△BFG∽△DBE,F(xiàn)G
BG∴BE=DE,∵BE=6-2=4,DE=8,∴FG=BE
4
1BG
DE=8=2,∴BG=2FG,1即6-x=2(-x2+2x+6),2x2-5x-6=0,解得x1=-1,x2=6(不合題意,舍去);②當點F
在x
軸下方時,同理可得16-x=2(2x2-2x-6)x2-3x-18=0x1=-3,x2=6(不合題意舍去),,2綜上所述,滿足題意的
F
點坐標為(-1
7)或(-3,
9);-2(3)Q1(2,217+2)、Q2(2,-217-2).3.(2016·丹東)如圖,拋物線y=ax2+bx過A(4,0),B(1,3)兩點,點C、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,過點B作直線BH⊥x軸,交x軸于點H.求拋物線的表達式;直接寫出點C的坐標,并求出△ABC的面積;點P是拋物線上一動點,且位于第四象限,當△ABP的面積為6時,求出點P的坐標;若點M在直線BH上運動,點N在x軸上運動,當以點C、M、N為頂點的三角形為等腰三角形時,請直接寫出此時△CMN的面積.解:(1)把點A(4,0),B(1,3)代入y=ax2+bx,得
0=16a+4b
a=-1
3=a+b
b=4,解得
,∴拋物線表達式為y=-x2+4x;(2)由題意可知點C的坐標為(3,3),又∵點B
的坐標為(1,3),∴BC=2,△ABC1∴S
=1·BC·BH=
×2×3=3;2
2(3)如圖,過P
點作PD⊥BH
交BH
于點D,設(shè)點P(m,-m2+4m),根據(jù)題意,得BH=AH=3,HD=m2-4m,PD=m-1,∴S△ABP=S△ABH+S
四邊形HAPD-S△BPD,1
112
2∴6=2×3×3+2(3+m-1)(m
-4m)-2(m-1)(3+m
-4m),∴3m2-15m=0,m1=0(舍去),m2=5,∴點P
坐標為(5,-5);(4)△CMN的面積為5或29
5
或
17.2 2
或4.(2016·連云港)如圖,在平面直角坐標系xOy
中,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過兩點A(-1,1),B(2,2).過點B
作BC∥x
軸,交拋物線于點C,交y軸于點D.求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式及點C
的坐標;若拋物線上存在點M,使得△BCM
的面積為7
求出點M
的坐標;2,連接OA、OB、OC、AC,在坐標平面內(nèi),求使得△AOC
與△OBN相似(邊OA
與邊OB
對應(yīng))的點N
的坐標.解:(1)把A(-1,1),B(2,2)代入y=ax2+bx
得:
1=a-b
2=4a+2b
,解得
a=23
b=-31,故拋物線的函數(shù)表達式為
y
2x2
1x,=3
-3∵BC∥x
軸,設(shè)C(x0,2),22
10
0∴
x
-
x
=2,33
3
20
0解得:x
=-或x
=2,2∵點C
在第二象限,∴C(-3,2);(2)如圖①,設(shè)△BCM
邊BC
上的高為h,7
1
7∵BC=2,∴S△BCM=2×2·h,又∵△BCM
面積為7,,2∴h=2,點M
即為拋物線上到BC
的距離為2∴M
的縱坐標為0
或4,令y=2x2-3
311x=0,解得:x
=0,x
=2
21,1∴M1(0,0),M2(2,0),令
y=2
-
x=4,x2
1解得:x3=3
31+
974,x4=1-
974,∴M3(1+
97,4),M4(1-
974
4,4),綜上所述:M
點的坐標為:(01, ,
2,
,0)
(
0)
(1+
9744),
,(1-
974,4);2(3)∵A(-1,1),B(2,2),C(-3,2),D(0,2),2∴OB=2 2,OA=
2,OC=5,4∴∠AOD=∠BOD=45°,tan∠COD=3,BO
ON①如圖②,當△AOC∽△BON時,AO=OC,∠AOC=∠BON,∴ON=2OC=5,過N作NE⊥x
軸于E,∵∠COD=45°-∠AOC=45°-∠BON=∠NOE,4在Rt△NOE
中,tan∠NOE=tan∠COD=3,∴OE=4,NE=3,∴N(4,3)同理可得N′(3,4);BO
BN②如圖③,當△AOC∽△OBN
時,AO=OC,∠AOC=∠OBN,∴BN=2OC=5,過B
作BG⊥x
軸于G,過N
作x
軸的平行線交BG
的延長線于F,∴NF⊥BF,∵∠COD=45°-∠AOC=45°-∠OBN=∠NBF,∴tan∠NBF=tan∠COD=3,∴BF=4,NF=3,4∴N(-1,-2),同理N′(-2,-1),綜上所述:使得△AOC與△OBN相似(邊OA與邊OB對應(yīng))的點N的坐標是(4,3),(3,4),(-1,-2),(-2,-1).5.(2015·錦州)如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點A(-1,0)和點B(4,0),且與y軸交于點C,點D的坐標為(2,0),點P(m,n)是該拋物線上的一個動點,連接CA,CD,PD,PB.求該拋物線的解析式;當△PDB的面積等于△CAD的面積時,求點P的坐標;當m>0,n>0時,過點P作直線PE⊥y軸于點E交直線BC于點F,過點F作FG⊥x軸于點G,連接EG,請直接寫出隨著點P的運動,線段EG的最小值.解:(1)把A(-1,0),B(4,0)兩點的坐標代入y=ax2+bx+2
中,可得
a-b+2=0
16a+4b+2=0
,解得
a=-12
b=32,21
3∴拋物線的解析式為:y=-
x2+2x+2;(2)∵拋物線的解析式為y=-221x2+3x+2,∴點C
的坐標是(0,2),∵點A(-1,0)、點D(2,0),∴AD=2-(-1)=3,∴S1△CAD=2×△PDB3×2=3,∴S
=3,∵點B(4,0)、點D(2,0),∴BD=2,∴|n|=3×2÷2=3,∴n=3
或-3,①當n=3
時,-1m2+32m+2=3,2解得m=1
或m=2,∴點P
的坐標是(1,3)或(2,3).②當n=-3
時,2-1
32m
+2m+2=-3,解得m=5
或m=-2,∴點P
的坐標是(5,-3)或(-2,-3).綜上,可得點P
的坐標是(1,3)、(2,3)、(5,-3)或(-2,-3);(3)如圖,設(shè)BC
所在的直線的解析式是:y=mx+n,∵點C
的坐標是(0,2),點B
的坐標是(4,0),∴
n=2
4m+n=0,解得
m1
n=2=-2,∴BC
所在的直線的解析式是:y=-1x+2,2∵點P
的坐標是(m,n),∴點F
的坐標是(4-2n,n),5∴EG2=(4-2n)2+n2=5n2-16n+16=5(n-8)2+165
,8
16∵n>0,∴當n=5時,線段EG2
的最小值是:5
,∴EG=16
45
=555,即線段EG
的最小值是4
5.6.(2016·綿陽)如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C(0,3),且此拋物線的頂點坐標為M(-1,4).求此拋物線的解析式;設(shè)點D為已知拋物線對稱軸上的任意一點,當△ACD與△ACB面積相等時,求點D的坐標;點P在線段AM上,當PC與y軸垂直時,過點P作x軸的垂線,垂足為E,將△PCE沿直線CE翻折,使點P的對應(yīng)點P′與P、E、C處在同一平面內(nèi),請求出點P′坐標,并判斷點P′是否在該拋物線上.解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c
經(jīng)過點C(0,3),頂點為M(-1,4),
c=3ba-b+c=4
a=-1
c=3∴
-2a=-1
,解得:
b=-2,∴所求拋物線的解析式為y=-x2-2x+3;(2)依照題意畫出圖形,如圖①所示.令y=-x2-2x+3=0,解得:x=-3
或x=1,故A(-3,0),B(1,0),∴OA=OC,△AOC為等腰直角三角形.設(shè)AC
交對稱軸x=-1
于F(-1,yF),由點A(-3,0)、C(0,3)可知直線AC
的解析式為y=x+3,∴yF=-1+3=2,即F(-1,2),設(shè)點D
坐標為(-1,yD),1
1則S△ADC=2DF·AO=2×|yD-2|×3,1
1又∵S△ABC=2AB·OC=2×△ADC[1-(-3)]×3=6,且
S
=S△ABC,1∴2×|yD-2|×3=6,解得:yD=-2
或yD=6,∴點D
的坐標為(-1,-2)或(-1,6);(3)如圖②,點P′為點P關(guān)于直線CE的對稱點,過點P′作PH⊥y軸于H,設(shè)P′E
交y
軸于點N.
∠CNP′=∠ENO在△EON
和△CP′N
中,
∠CP′N=∠EON=90°,
P′C=PC=OE∴△EON≌△CP′N(AAS),設(shè)NC=m,則NE=m,∵A(-3,0)、M(-1,4)可知直線AM
的解析式為y=2x+6,2,2
23
3
3∴當
y=3
時,x=- 即點
P(-
,3),∴P′C=PC=
,P′N=3-m,在Rt△P′NC
中,由勾股定理,2
215得:(3)2+(3-m)
=m
,解得:m=
,2
8∵S
1CN·P′H=1P′N·P′C,∴P′H
9,△P′NC=2
2
=10∴點P′不在該拋物線上.7.(2016·安順)如圖,拋物線經(jīng)過A(-1,0),B(5,0),C(0,-5
三點.2)求拋物線的解析式;在拋物線的對稱軸上有一點P,使PA+PC
的值最小,求點P
的坐標;點M
為x
軸上一動點,在拋物線上是否存在一點N,使以A,C,M,N
四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形?若存在,求點N
的坐標;若不存在,請說明理由.解:(1)設(shè)拋物線的解析式為:y=ax2+bx+c(a≠0),
根據(jù)題意得
a-b+c=0
25a+5b+c=0
c=-52
1
a=25
c=-2,解得
b=-2,∴拋物線的解析式為:y=152x2-2x-2.(2)由題意知,點A
關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點B,連接BC,設(shè)直線BC
的解析式為y=kx+b1(k≠0),由題意,得
交拋物線的對稱軸于點P,如圖,則P
點即為所求.
5k+b1=05
b1=-2,解得
k=12
b1=-21
55,∴直線BC
的解析式為y=2x-2,∵拋物線y=1x2-2x5-2的對稱軸是x=2,2∴當x=2
時,y=1x5
1
52
-2=2×2-2=-223,∴點P
的坐標是(2,-3);(3)存在.(ⅰ)當存在的點N
在x
軸的下方時,如圖所示,∵四邊形ACNM
是平行四邊形,∴CN∥x
軸,2∴點C
與點N關(guān)于對稱軸x=2
對稱,∵C
點的坐標為(0,-5),2∴點N
的坐標為(4,-5);(ⅱ)當存在的點N′在x
軸上方時,如圖所示,作N′H⊥x
軸于點H,∵四邊形ACM′N′是平行四邊形,∴AC=M′N′,∠M′N′H=∠CAO,2∴Rt△CAO≌Rt△N′M′H,∴N′H=OC,∵點C
的坐標為(0,-5),∴N′H=5,即N′點的縱坐標為5,∴1x2-2x-2=25
5,2
2
2解得x1=2+14,x2=2-14.∴點N′的坐標為(2-14,5)或(2+14,5).2
2綜上所述,滿足題目條件的點N
共有三個,分別為(4,-5),(2+14,5),(2-14,5).2
2
28.(2015·大連
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