題型三二次函數(shù)與幾何圖形綜合題

專題三 解答題重難點題型突破遼寧專用題型三 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題【例1】

(2016·鐵嶺)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋3經(jīng)過點A(－1，0)和點B(4，

0)，且與y軸相交于點C，點D是線段BC上的一個動點(不與點B，C重合)，設(shè)點D的橫坐標為t，過點D作DE∥y軸交拋物線于點E，點F在DE的延長線上，且EF＝

DE.過點F作FG⊥直線BC，垂足為點G.求此拋物線的解析式和點C的坐標；設(shè)△DFG的周長為L，求L與t的函數(shù)關(guān)系式；直線m經(jīng)過點C，且直線m∥x軸，點P是直線m上任意一點，過點P分別作

PQ⊥直線BC，PR⊥x軸，垂足分別為點Q，R，若以三點P，Q，R為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出點P的坐標．【分析】(1)直接用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，C

點在y

軸上，令x＝0

代入解析式，可求y

的值，即可得出點C

坐標；先用待定系數(shù)法求直線BC

的解析式，由D

點橫坐標為t，表示出點D，E

的坐標，即DF＝2ED＝2(－3t2＋3t)＝－3t2＋6t，判定△FGD∽△BOC，根據(jù)4

2相似三角形周長比＝對應(yīng)邊長之比＝相似比，從而得出L

與t

的函數(shù)關(guān)系式；以三點P，Q，R

為頂點的等腰三角形分三種情況：①RQ＝RP；②QR＝QP；③PQ＝PR，分別求出點P

的坐標即可．

a－b＋3＝0解：(1)把A、B

兩點坐標代入拋物線表達式得

16a＋4b＋3＝0，

解得

a＝－3

b＝944

44

9，∴拋物線的解析式為：y＝－3x2＋x＋3，令x＝0，則y＝3，∴C

坐標為(0，3)；(2)設(shè)直線BC

的解析式為：y＝kx＋b，代入B、C

兩點坐標，得

b＝3

4k＋b＝0，解得

b＝3

k＝－433，∴直線BC

的解析式為：y＝－4x＋3，∵D

點橫坐標為t，∴D(t,

－3t＋3)，∴E(t,

－3t24

49＋4t＋3)，∴ED＝(－3t2＋4

439t＋3)－

(－3t＋3)＝－

t2＋3t，∵EF＝DE，4

4∴DF＝2ED＝2(－3t2＋3t)＝－3t2＋6t，∵OC∥DF,4

2∴∠OCB＝∠FDG，又∠COB＝∠FGD＝90°，∴△FGD∽△BOC，∴△FGD

的周長∶△COB

的周長＝DF∶BC，53

18

72∴L∶(3＋4＋5)＝(－2t2＋6t)∶5，∴L＝－

5

t2＋

t；(3)P

點坐標為(8，3)，25(

8，3)，(－5，3)，(5，3)．【例

2】

(2015·遼陽)如圖①，平面直角坐標系中，49直線y＝－3x＋3

與拋物線y＝ax2＋x＋c

相交于A，B

兩點，4其中點A

在x

軸上，點B

在y

軸上．求拋物線的解析式；在拋物線上存在一點M，使△MAB是以AB為直角邊的直角三角形，求點M

的坐標；如圖②，點E

為線段AB

上一點，BE＝2，以BE為腰作等腰Rt△BDE，使它與△AOB

在直線AB

的同側(cè)，∠BED＝90°，△BDE沿著BA

方向以每秒一個單位的速度運動，當點B

與A

重合時停止運動，設(shè)運動時間為t

秒，△BDE

與△AOB

重疊部分的面積為S，直接寫出S

關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t

的取值范圍．【分析】(1)根據(jù)直線解析式，求出A

與B

的坐標，代入拋物線解析式求出a

與c

的值，即可確定出拋物線解析式；由M在拋物線圖象上，設(shè)出M

的坐標，分兩種情況考慮：①當∠MBA＝90°時；②當∠BAM＝90°時，分別求出M

的坐標即可；根據(jù)t的范圍，分三種情況考慮：當0＜t≤1時；當1＜t≤3

時；當3≤t≤53

3時，分別確定出S

與t

的函數(shù)解析式即可．4解：(1)拋物線解析式為

y＝－3x2

9x＋3；＋4(2)如圖，設(shè)M

的坐標為(x，－3x2＋9x＋3)，①當∠MBA＝90°時，4

4作MN⊥y

軸于N，則有∠MNO＝90°，∴∠NMB＋∠MBN＝90°，∵∠MBN＋∠ABM＋∠ABO＝180°，∴∠MBN＋∠ABO＝90°，∴∠NMB＝∠ABO，又∵∠MNO＝∠BOA，∴△MNB∽△BOA，∴MN＝BN，即x＝BO

AO

323

9－4x

＋4x＋3－3411，解得x＝

9

或x＝0(舍去)，當

x＝11時，y＝125

11

1259 27

，即M(9

，27

)；②當∠BAM′＝90°時，作M′N′⊥x

軸于N′，易知△AM′N′∽△BAO，AN′＝M′N′，∴

BO

AO即4－x＝23

94x

－4x－33

425，解得x＝－9

或x＝4(舍去)，當x

25

244

25

244＝－

9

時，y＝－27

，即M′(－9

，－27

)，綜上所述滿足條件M

的坐標為(11，125

或(－259

，9 27

)

27

)－244

．(3)當0≤t≤3時1

19

3

111，S＝2；當3＜t≤3

時，S＝－

t2＋

t56 28

＋

56

；15

75當

3＜t≤5

時，S＝

3t2－

t＋

.14

7

14[對應(yīng)訓(xùn)練]1．(2016·棗莊)如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為直線x＝－1，且拋物線經(jīng)過A(1，0)，C(0，3)兩點，與x軸交于點B.若直線y＝mx＋n經(jīng)過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；在拋物線的對稱軸x＝－1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標；設(shè)點P為拋物線的對稱軸x＝－1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點

P的坐標．

2a

－

b

＝－1

c＝3

a＝－1

c＝3解：(1)依題意得：

a＋b＋c＝0，解之得：

b＝－2，∴拋物線的解析式為y＝－x2－2x＋3，∵對稱軸為x＝－1，且拋物線經(jīng)過A(1，0)，∴把B(－3，0)、C(0，3)分別代入直線y＝mx＋n，得

－3m＋n＝0

n＝3，解之得：

m＝1

n＝3，∴直線y＝mx＋n

的解析式為y＝x＋3；(2)設(shè)直線BC與對稱軸x＝－1的交點為M，則此時MA＋MC的值最小．把x＝－1代入直線y＝x＋3得，y＝2，∴M(－1，2)，即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為(－1，2)；(3)設(shè)P(－1，t)，又∵B(－3，0)，C(0，3)，∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10，①若點B

為直角頂點，則BC2＋PB2＝PC2即：18＋4＋t2＝t2－6t＋10

解之得：t＝－2；②若點C

為直角頂點，則BC2＋PC2＝PB2即：18＋t2－6t＋10＝4＋t2

解之得：t＝4，③若點P

為直角頂點，則PB2＋PC2＝BC2即：4＋t2＋t2－6t＋10＝18

解之得：t1＝3＋

17

t

＝3－

172

2，

2

；綜上所述P

的坐標為(－1，－2)或(－1，4)或(－1，3＋

172)或(－1，3－

172)．12．(2016·葫蘆島)如圖，拋物線y＝－2x2＋bx＋c

與x

軸交于點A，點B，與y

軸交于點C，點B

坐標為(6，0)，點C

坐標為(0，6)，點D

是拋物線的頂點，過點D

作x

軸的垂線，垂足為E，連接BD.求拋物線的解析式及點D

的坐標；點F

是拋物線上的動點，當∠FBA＝∠BDE

時，求點F

的坐標；若點M是拋物線上的動點，過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N，點P

在x

軸上，點Q

在平面內(nèi)，以線段MN

為對角線作正方形MPNQ，請直接寫出點Q

的坐標．解：(1)把B(6，0)、C(0，6)代入y＝－21x2＋bx＋c

得

，解得

－18＋6b＋c＝0

b＝2

c＝6

c＝6，2∴拋物線的解析為y＝－1x2＋2x＋6，1將解析式化為頂點式為y＝－2(x－2)2＋8，∴頂點D

坐標為(2，8)；1(2)設(shè)F(x

，－21x2＋2x＋6)，如圖①，過F

作FG⊥x

軸于G，①當點F

在x

軸上方時，∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠DEB＝90°，∴△BFG∽△DBE，F(xiàn)G

BG∴BE＝DE，∵BE＝6－2＝4，DE＝8，∴FG＝BE

4

1BG

DE＝8＝2，∴BG＝2FG，1即6－x＝2(－x2＋2x＋6)，2x2－5x－6＝0，解得x1＝－1，x2＝6(不合題意，舍去)；②當點F

在x

軸下方時，同理可得16－x＝2(2x2－2x－6)x2－3x－18＝0x1＝－3，x2＝6(不合題意舍去)，，2綜上所述，滿足題意的

F

點坐標為(－1

7)或(－3，

9)；－2(3)Q1(2，217＋2)、Q2(2，－217－2)．3．(2016·丹東)如圖，拋物線y＝ax2＋bx過A(4，0)，B(1，3)兩點，點C、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H.求拋物線的表達式；直接寫出點C的坐標，并求出△ABC的面積；點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，當△ABP的面積為6時，求出點P的坐標；若點M在直線BH上運動，點N在x軸上運動，當以點C、M、N為頂點的三角形為等腰三角形時，請直接寫出此時△CMN的面積．解：(1)把點A(4，0)，B(1，3)代入y＝ax2＋bx，得

0＝16a＋4b

a＝－1

3＝a＋b

b＝4，解得

，∴拋物線表達式為y＝－x2＋4x；(2)由題意可知點C的坐標為(3，3)，又∵點B

的坐標為(1，3)，∴BC＝2，△ABC1∴S

＝1·BC·BH＝

×2×3＝3；2

2(3)如圖，過P

點作PD⊥BH

交BH

于點D，設(shè)點P(m，－m2＋4m)，根據(jù)題意，得BH＝AH＝3，HD＝m2－4m，PD＝m－1，∴S△ABP＝S△ABH＋S

四邊形HAPD－S△BPD，1

112

2∴6＝2×3×3＋2(3＋m－1)(m

－4m)－2(m－1)(3＋m

－4m)，∴3m2－15m＝0，m1＝0(舍去)，m2＝5，∴點P

坐標為(5，－5)；(4)△CMN的面積為5或29

5

或

17.2 2

或4．(2016·連云港)如圖，在平面直角坐標系xOy

中，拋物線y＝ax2＋bx經(jīng)過兩點A(－1，1)，B(2，2)．過點B

作BC∥x

軸，交拋物線于點C，交y軸于點D.求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式及點C

的坐標；若拋物線上存在點M，使得△BCM

的面積為7

求出點M

的坐標；2，連接OA、OB、OC、AC，在坐標平面內(nèi)，求使得△AOC

與△OBN相似(邊OA

與邊OB

對應(yīng))的點N

的坐標．解：(1)把A(－1，1)，B(2，2)代入y＝ax2＋bx

得：

1＝a－b

2＝4a＋2b

，解得

a＝23

b＝－31，故拋物線的函數(shù)表達式為

y

2x2

1x，＝3

－3∵BC∥x

軸，設(shè)C(x0，2)，22

10

0∴

x

－

x

＝2，33

3

20

0解得：x

＝－或x

＝2，2∵點C

在第二象限，∴C(－3，2)；(2)如圖①，設(shè)△BCM

邊BC

上的高為h，7

1

7∵BC＝2，∴S△BCM＝2×2·h，又∵△BCM

面積為7，，2∴h＝2，點M

即為拋物線上到BC

的距離為2∴M

的縱坐標為0

或4，令y＝2x2－3

311x＝0，解得：x

＝0，x

＝2

21，1∴M1(0，0)，M2(2，0)，令

y＝2

－

x＝4，x2

1解得：x3＝3

31＋

974，x4＝1－

974，∴M3(1＋

97，4)，M4(1－

974

4，4)，綜上所述：M

點的坐標為：(01， ，

2，

，0)

(

0)

(1＋

9744)，

，(1－

974，4)；2(3)∵A(－1，1)，B(2，2)，C(－3，2)，D(0，2)，2∴OB＝2 2，OA＝

2，OC＝5，4∴∠AOD＝∠BOD＝45°，tan∠COD＝3，BO

ON①如圖②，當△AOC∽△BON時，AO＝OC，∠AOC＝∠BON，∴ON＝2OC＝5，過N作NE⊥x

軸于E，∵∠COD＝45°－∠AOC＝45°－∠BON＝∠NOE，4在Rt△NOE

中，tan∠NOE＝tan∠COD＝3，∴OE＝4，NE＝3，∴N(4，3)同理可得N′(3，4)；BO

BN②如圖③，當△AOC∽△OBN

時，AO＝OC，∠AOC＝∠OBN，∴BN＝2OC＝5，過B

作BG⊥x

軸于G，過N

作x

軸的平行線交BG

的延長線于F，∴NF⊥BF，∵∠COD＝45°－∠AOC＝45°－∠OBN＝∠NBF，∴tan∠NBF＝tan∠COD＝3，∴BF＝4，NF＝3，4∴N(－1，－2)，同理N′(－2，－1)，綜上所述：使得△AOC與△OBN相似(邊OA與邊OB對應(yīng))的點N的坐標是(4，3)，(3，4)，(－1，－2)，(－2，－1)．5.(2015·錦州)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx＋2經(jīng)過點A(－1，0)和點B(4，0)，且與y軸交于點C，點D的坐標為(2，0)，點P(m，n)是該拋物線上的一個動點，連接CA，CD，PD，PB.求該拋物線的解析式；當△PDB的面積等于△CAD的面積時，求點P的坐標；當m＞0，n＞0時，過點P作直線PE⊥y軸于點E交直線BC于點F，過點F作FG⊥x軸于點G，連接EG，請直接寫出隨著點P的運動，線段EG的最小值．解：(1)把A(－1，0)，B(4，0)兩點的坐標代入y＝ax2＋bx＋2

中，可得

a－b＋2＝0

16a＋4b＋2＝0

，解得

a＝－12

b＝32，21

3∴拋物線的解析式為：y＝－

x2＋2x＋2；(2)∵拋物線的解析式為y＝－221x2＋3x＋2，∴點C

的坐標是(0，2)，∵點A(－1，0)、點D(2，0)，∴AD＝2－(－1)＝3，∴S1△CAD＝2×△PDB3×2＝3，∴S

＝3，∵點B(4，0)、點D(2，0)，∴BD＝2，∴|n|＝3×2÷2＝3，∴n＝3

或－3，①當n＝3

時，－1m2＋32m＋2＝3，2解得m＝1

或m＝2，∴點P

的坐標是(1，3)或(2，3)．②當n＝－3

時，2－1

32m

＋2m＋2＝－3，解得m＝5

或m＝－2，∴點P

的坐標是(5，－3)或(－2，－3)．綜上，可得點P

的坐標是(1，3)、(2，3)、(5，－3)或(－2，－3)；(3)如圖，設(shè)BC

所在的直線的解析式是：y＝mx＋n，∵點C

的坐標是(0，2)，點B

的坐標是(4，0)，∴

n＝2

4m＋n＝0，解得

m1

n＝2＝－2，∴BC

所在的直線的解析式是：y＝－1x＋2，2∵點P

的坐標是(m，n)，∴點F

的坐標是(4－2n，n)，5∴EG2＝(4－2n)2＋n2＝5n2－16n＋16＝5(n－8)2＋165

，8

16∵n＞0，∴當n＝5時，線段EG2

的最小值是：5

，∴EG＝16

45

＝555，即線段EG

的最小值是4

5.6．(2016·綿陽)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C(0，3)，且此拋物線的頂點坐標為M(－1，4)．求此拋物線的解析式；設(shè)點D為已知拋物線對稱軸上的任意一點，當△ACD與△ACB面積相等時，求點D的坐標；點P在線段AM上，當PC與y軸垂直時，過點P作x軸的垂線，垂足為E，將△PCE沿直線CE翻折，使點P的對應(yīng)點P′與P、E、C處在同一平面內(nèi)，請求出點P′坐標，并判斷點P′是否在該拋物線上．解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋c

經(jīng)過點C(0，3)，頂點為M(－1，4)，

c＝3ba－b＋c＝4

a＝－1

c＝3∴

－2a＝－1

，解得：

b＝－2，∴所求拋物線的解析式為y＝－x2－2x＋3；(2)依照題意畫出圖形，如圖①所示．令y＝－x2－2x＋3＝0，解得：x＝－3

或x＝1，故A(－3，0)，B(1，0)，∴OA＝OC，△AOC為等腰直角三角形．設(shè)AC

交對稱軸x＝－1

于F(－1，yF)，由點A(－3，0)、C(0，3)可知直線AC

的解析式為y＝x＋3，∴yF＝－1＋3＝2，即F(－1，2)，設(shè)點D

坐標為(－1，yD)，1

1則S△ADC＝2DF·AO＝2×|yD－2|×3，1

1又∵S△ABC＝2AB·OC＝2×△ADC[1－(－3)]×3＝6，且

S

＝S△ABC，1∴2×|yD－2|×3＝6，解得：yD＝－2

或yD＝6，∴點D

的坐標為(－1，－2)或(－1，6)；(3)如圖②，點P′為點P關(guān)于直線CE的對稱點，過點P′作PH⊥y軸于H，設(shè)P′E

交y

軸于點N.

∠CNP′＝∠ENO在△EON

和△CP′N

中，

∠CP′N＝∠EON＝90°，

P′C＝PC＝OE∴△EON≌△CP′N(AAS)，設(shè)NC＝m，則NE＝m，∵A(－3，0)、M(－1，4)可知直線AM

的解析式為y＝2x＋6，2，2

23

3

3∴當

y＝3

時，x＝－ 即點

P(－

，3)，∴P′C＝PC＝

，P′N＝3－m，在Rt△P′NC

中，由勾股定理，2

215得：(3)2＋(3－m)

＝m

，解得：m＝

，2

8∵S

1CN·P′H＝1P′N·P′C，∴P′H

9，△P′NC＝2

2

＝10∴點P′不在該拋物線上．7．(2016·安順)如圖，拋物線經(jīng)過A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－5

三點．2)求拋物線的解析式；在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA＋PC

的值最小，求點P

的坐標；點M

為x

軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N

四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N

的坐標；若不存在，請說明理由．解：(1)設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

根據(jù)題意得

a－b＋c＝0

25a＋5b＋c＝0

c＝－52

1

a＝25

c＝－2，解得

b＝－2，∴拋物線的解析式為：y＝152x2－2x－2.(2)由題意知，點A

關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點B，連接BC，設(shè)直線BC

的解析式為y＝kx＋b1(k≠0)，由題意，得

交拋物線的對稱軸于點P，如圖，則P

點即為所求．

5k＋b1＝05

b1＝－2，解得

k＝12

b1＝－21

55，∴直線BC

的解析式為y＝2x－2，∵拋物線y＝1x2－2x5－2的對稱軸是x＝2，2∴當x＝2

時，y＝1x5

1

52

－2＝2×2－2＝－223，∴點P

的坐標是(2，－3)；(3)存在．(ⅰ)當存在的點N

在x

軸的下方時，如圖所示，∵四邊形ACNM

是平行四邊形，∴CN∥x

軸，2∴點C

與點N關(guān)于對稱軸x＝2

對稱，∵C

點的坐標為(0，－5)，2∴點N

的坐標為(4，－5)；(ⅱ)當存在的點N′在x

軸上方時，如圖所示，作N′H⊥x

軸于點H，∵四邊形ACM′N′是平行四邊形，∴AC＝M′N′，∠M′N′H＝∠CAO，2∴Rt△CAO≌Rt△N′M′H，∴N′H＝OC，∵點C

的坐標為(0，－5)，∴N′H＝5，即N′點的縱坐標為5，∴1x2－2x－2＝25

5，2

2

2解得x1＝2＋14，x2＝2－14.∴點N′的坐標為(2－14，5)或(2＋14，5)．2

2綜上所述，滿足題目條件的點N

共有三個，分別為(4，－5)，(2＋14，5)，(2－14，5)．2

2

28．(2015·大連