二次函數(shù)求最值方法總結(jié)6資料文檔

二次函數(shù)求最值方法總結(jié)從近幾年的各地中考試卷來(lái)看，求面積的最值問(wèn)題在壓軸題中比較常見(jiàn)，而且通常與二次函數(shù)相結(jié)合。在這里以一道中考題為例，介紹幾種不同的解題方法，供同學(xué)們參考，都掌握了之后一定會(huì)在壓軸題上有一個(gè)大的提升。ps.因格式問(wèn)題，部分上標(biāo)未能正常顯示，望知悉。1題目如圖1，拋物線(xiàn)y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A(yíng)(1，0)，B(－3，0)兩點(diǎn)。(1)求該拋物線(xiàn)的解析式；

(2)設(shè)(1)中的拋物線(xiàn)交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最??？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，在(1)中的拋物線(xiàn)上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。解答：

(1)拋物線(xiàn)解析式為y＝－x2－2x＋3；

(2)Q(－1，2)；下面著重探討求第(3)小題中面積最大值的幾種方法．解法1補(bǔ)形、割形法幾何圖形中常見(jiàn)的處理方式有分割、補(bǔ)形等，此類(lèi)方法的要點(diǎn)在于把所求圖形的面積進(jìn)行適當(dāng)?shù)难a(bǔ)或割，變成有利于表示面積的圖形。方法一如圖3，設(shè)P點(diǎn)（x，－x2－2x＋3）(－3<x<0)．方法二

如圖4，設(shè)P點(diǎn)(x，－x2－2x＋3)(－3<x<0)．（下略．）解法2“鉛垂高，水平寬”面積法如圖5，過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線(xiàn)垂直的三條直線(xiàn)，外側(cè)兩條直線(xiàn)之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線(xiàn)在△ABC內(nèi)部線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫△ABC的“鉛垂高(h)”，我們可得出一種計(jì)算三角形面積的另一種方法：S△ABC＝1/2ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半。根據(jù)上述方法，本題解答如下：解

如圖6，作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．設(shè)P點(diǎn)（x，－x2－2x＋3）（－3<x<0）．∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（－3/2，15/4）解法3切線(xiàn)法若要使△PBC的面積最大，只需使BC上的高最大．過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線(xiàn)l，當(dāng)直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)有唯一交點(diǎn)(即點(diǎn)P)時(shí)，BC上的高最大，此時(shí)△PBC的面積最大，于是，得到下面的切線(xiàn)法。解

如圖7，直線(xiàn)BC的解析式是y＝x＋3，過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線(xiàn)l，從而可設(shè)直線(xiàn)l的解析式為：y＝x＋b．

=27/8解法4三角函數(shù)法本題也可直接利用三角函數(shù)法求得．解

如圖8，作PE⊥x軸交于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，作PM⊥BC于點(diǎn)M．設(shè)P點(diǎn)（x，－x2－2x＋3）（－3<x<0），則F(x，x＋3)．從以上四種解法可以看到，本題解題思路都是過(guò)點(diǎn)P作輔助線(xiàn)，然后利用相關(guān)性質(zhì)找出各元素之間的關(guān)系進(jìn)行求解。二次函數(shù)的最值及其應(yīng)用一、當(dāng)自變量不受限制時(shí)二次函數(shù)求最值的方法有兩種：1、公式法——代入拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式對(duì)于二次函數(shù)

（）

（1）若a>0，當(dāng)

時(shí)，

最小

由于拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，此時(shí)無(wú)最大值（2）若a<0，當(dāng)

時(shí)，

最大

由于拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，此時(shí)無(wú)最小值2、配方法——先配方，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先配方：

再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：因?yàn)?/p>

，（當(dāng)

時(shí)，

）所以，（1）若a>0，當(dāng)

時(shí)，

最小

（2）若a<0，當(dāng)

時(shí)，

最大

【注】?jī)煞N方法同等重要，第一種方法過(guò)程較簡(jiǎn)單，結(jié)合了拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，是幾何法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；第二種方法是代數(shù)法，雖然步驟較麻煩，但卻是處理最值問(wèn)題的一種常見(jiàn)方法，以后用途非常之廣。【例1】對(duì)于二次函數(shù)y=-2x2-4x+1，求其最值【解析】由于a=-2<0，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，所以無(wú)最小值解法一：當(dāng)

時(shí)，

最大2

解法二：配方得：y=-2(x+1)2+3因?yàn)?2(x+1)2≤0，(當(dāng)x=-1時(shí)，-2(x+1)2=0)∴當(dāng)x=-1時(shí)，

最大

二、當(dāng)自變量有限制條件時(shí)此時(shí)，我們往往考慮三個(gè)方面：1、自變量的取值范圍是什么？2、在取值范圍內(nèi)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)(對(duì)稱(chēng)軸)能否取到？3、結(jié)合對(duì)稱(chēng)軸，考慮二次函數(shù)增減性以及端點(diǎn)處離對(duì)稱(chēng)軸的水平距離【例2】(例1變式)對(duì)于二次函數(shù)y=-2x2-4x+1（1）當(dāng)-3≤x≤0時(shí)，求其最值（2）當(dāng)-5≤x≤-3時(shí)，求其最值【解析】（1）

，而-3≤-1≤0即當(dāng)x=-1時(shí)，y仍有最大值：最大2

由于拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，最小值應(yīng)在最低點(diǎn)取得，對(duì)于x=-3和x=0的兩端點(diǎn)，誰(shuí)離對(duì)稱(chēng)軸水平距離較遠(yuǎn)，誰(shuí)為最低點(diǎn)。|-3-(-1)|=2，|0-(-1)|=1∴當(dāng)x=-3時(shí)，y取得最小值：

最小2

（2）當(dāng)x＜-1時(shí)，y隨x的增大而增大，而給定的自變量取值范圍-5≤x≤-3，包含其中，所以：①當(dāng)x=-5時(shí)，

最小2

②當(dāng)x=-3時(shí)，

最大2

【注】這里自變量的取值范圍是直接給出的，是“顯性”的，所以只需要考慮其他兩個(gè)方面就行了【例3】（江蘇南通）已知實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足m-n2=1，則代數(shù)式m2+2n2+4m-1的最小值=______【解析】令y=m2+2n2+4m-1由m-n2=1可得：n2=m-1，代入代數(shù)式可得y=m2+6m-3這樣我們就建立了y關(guān)于m的二次函數(shù)。這里需要注意，自變量m的取值范圍并不是全體實(shí)數(shù)，這是由于m=n2+1≥1y=m2+6m-3=(m+3)2-12當(dāng)m>-3時(shí)，y隨x的增大而增大所以，當(dāng)m=1時(shí)，

最小2

【注】這里極易得到錯(cuò)誤答案-12，這是因?yàn)檫@里自變量m的取值范圍是隱藏的，是“隱性”的。這就需要我們警惕，在解決函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)，自變量的取值范圍是要優(yōu)先考慮的，只有確定了自變量的取值范圍，其最值才能確定，這一點(diǎn)極其重要！【例4】（浙江嘉興）當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，二次函數(shù)y=-(x-m)2+m2+1有最大值4，則實(shí)數(shù)m的值為（

）

或

或

或或

【解析】這里給出了頂點(diǎn)式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m,m2+1)，但是最大值一定在頂點(diǎn)處嗎？由于對(duì)稱(chēng)軸x=m位置不定，所以要分類(lèi)討論：①若-2＜m＜1，當(dāng)x=m時(shí)，

最大2

解得：

或

(與-2＜m＜1矛盾，故舍去)②若m≤-2，當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，y隨x的增大而減小當(dāng)x=-2時(shí)，y取得最大值

最大22

解得：

(與m≤-2矛盾，故舍去)③當(dāng)m≥1時(shí)，當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x=1時(shí)，y取得最大值

最大22

解得：

綜上所述，

或

，故選C【注】與【例2】【例3】不同，這里對(duì)稱(chēng)軸的位置是不確定的，所以需要進(jìn)行分類(lèi)討論三、練習(xí)題1、已知二次函數(shù)y=3x2+6x-3（1）求其最值（2）當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，求其最值（3）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，