2017學年高中數(shù)學人教A版必修4示范教案：第三章第一節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（第二課時）Word版含解析

第三章第一節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式第二課時eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設計))教學分析1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是在研究了兩角差的余弦公式的基礎上，進一步研究具有“兩角和差”關系的正弦、余弦、正切公式的．在這些公式的推導中，教科書都把對照、推得公式C(α＋β)，又如比較sin(α－β)與cos(α－β)，它們包含的角相同但函數(shù)名稱不同，這就要求進行函數(shù)名的互化，利用誘導公式(5)(6)即可推得公式S(α－β)、S(α＋β)等．2．通過對“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”的推導，揭示了兩角和、差的三角函數(shù)與這兩角的三角函數(shù)的運算規(guī)律，還使學生加深了數(shù)學公式的推導、證明方法的理解．因此本節(jié)內容也是培養(yǎng)學生運算能力和邏輯思維能力的重要內容，對培養(yǎng)學生的探索精神和創(chuàng)新能力，發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義．3．本節(jié)的幾個公式是相互聯(lián)系的，其推導過程也充分說明了它們之間的內在聯(lián)系，讓學生深刻領會它們的這種聯(lián)系，從而加深對公式的理解和記憶．本節(jié)幾個例子主要目的是為了訓練學生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習慣，教學中應當有意識地對學生的思維習慣進行引導，例如在面對問題時，要注意先認真分析條件，明確要求，再思考應該聯(lián)系什么公式，使用公式時要具備什么條件等．另外，還要重視思維過程的表述，不能只看最后結果而不顧過程表述的正確性、簡捷性等，這些都是培養(yǎng)學生三角恒等變換能力所不能忽視的．三維目標1．在學習兩角差的余弦公式的基礎上，通過讓學生探索、發(fā)現(xiàn)并推導兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，了解它們之間的內在聯(lián)系，并通過強化題目的訓練，加深對公式的理解，培養(yǎng)學生的運算能力及邏輯推理能力，從而提高解決問題的能力．2．通過兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運用，會進行簡單的求值、化簡、恒等證明，使學生深刻體會聯(lián)系變化的觀點，自覺地利用聯(lián)系變化的觀點來分析問題，提高學生分析問題、解決問題的能力．3．通過本節(jié)學習，使學生掌握尋找數(shù)學規(guī)律的方法，提高學生的觀察分析能力，培養(yǎng)學生的應用意識，提高學生的數(shù)學素質．重點難點教學重點：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導．教學難點：靈活運用所學公式進行求值、化簡、證明．課時安排2課時eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學過程))第1課時導入新課思路1.(舊知導入)教師先讓學生回顧上節(jié)課所推導的兩角差的余弦公式，并把公式默寫在黑板上或打出幻燈片，注意有意識地讓學生寫整齊．然后教師引導學生觀察cos(α－β)與cos(α＋β)、sin(α－β)的內在聯(lián)系，進行由舊知推出新知的轉化過程，從而推導出C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)．本節(jié)課我們共同研究公式的推導及其應用．思路2.(問題導入)教師出示問題，先讓學生計算以下幾個題目，既可以復習回顧上節(jié)所學公式，又為本節(jié)新課作準備．若sinα＝eq\f(\r(5),5)，α∈(0，eq\f(π,2))，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，β∈(0，eq\f(π,2))，求cos(α－β)，cos(α＋β)的值．學生利用公式C(α－β)很容易求得cos(α－β)，但是如果求cos(α＋β)的值就得想法轉化為公式C(α－β)的形式來求，此時思路受阻，從而引出新課題，并由此展開聯(lián)想探究其他公式．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題))①還記得兩角差的余弦公式嗎？請一位同學到黑板上默寫出來．②在公式C(α－β)中，角β是任意角，請學生思考角α－β中β?lián)Q成角－β是否可以？此時觀察角α＋β與α－(－β)之間的聯(lián)系，如何利用公式C(α－β)來推導cos(α＋β)＝？③分析觀察C(α＋β)的結構有何特征？④在公式C(α－β)、C(α＋β)的基礎上能否推導sin(α＋β)＝？sin(α－β)＝？⑤公式S(α－β)、S(α＋β)的結構特征如何？⑥對比分析公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)，能否推導出tan(α－β)＝？tan(α＋β)＝？⑦分析觀察公式T(α－β)、T(α＋β)的結構特征如何？⑧思考如何靈活運用公式解題？活動：對問題①，學生默寫完后，教師打出課件，然后引導學生觀察兩角差的余弦公式，點撥學生思考公式中的α，β既然可以是任意角，是怎樣任意的？你會有些什么樣的奇妙想法呢？鼓勵學生大膽猜想，引導學生比較cos(α－β)與cos(α＋β)中角的內在聯(lián)系，學生有的會發(fā)現(xiàn)α－β中的角β可以變?yōu)榻牵拢驭粒?－β)＝α＋β〔也有的會根據(jù)加減運算關系直接把和角α＋β化成差角α－(－β)的形式〕．這時教師適時引導學生轉移到公式C(α－β)上來，這樣就很自然地得到cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.所以有如下公式：eq\x(cosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβ)我們稱以上等式為兩角和的余弦公式，記作C(α＋β)．對問題②，教師引導學生細心觀察公式C(α＋β)的結構特征，可知“兩角和的余弦，等于這兩角的余弦積減去這兩角的正弦積”，同時讓學生對比公式C(α－β)進行記憶，并填空：cos75°＝cos(__________)＝__________＝__________.對問題③，上面學生推得了兩角和與差的余弦公式，教師引導學生觀察思考，怎樣才能得到兩角和與差的正弦公式呢？我們利用什么公式來實現(xiàn)正、余弦的互化呢？學生可能有的想到利用誘導公式(5)(6)來化余弦為正弦(也有的想到利用同角的平方和關系式sin2α＋cos2α＝1來互化，此法讓學生課下進行)，因此有sin(α＋β)＝cos[eq\f(π,2)－(α＋β)]＝cos[(eq\f(π,2)－α)－β]＝cos(eq\f(π,2)－α)cosβ＋sin(eq\f(π,2)－α)sinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ.在上述公式中，β用－β代之，則sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.因此我們得到兩角和與差的正弦公式，分別簡記為S(α＋β)、S(α－β)．sinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sinα－β＝sinαcosβ－cosαsinβ.對問題④⑤，教師恰時恰點地引導學生觀察公式的結構特征并結合推導過程進行記憶，同時進一步體會本節(jié)公式的探究過程及公式變化特點，體驗三角公式的這種簡潔美、對稱美．為強化記憶，教師可讓學生填空，如sin(θ＋φ)＝____________________，sineq\f(2π,7)coseq\f(5π,7)＋coseq\f(2π,7)sineq\f(5π,7)＝__________.對問題⑥，教師引導學生思考，在我們推出了公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α＋β)、S(α－β)后，自然想到兩角和與差的正切公式，怎么樣來推導出tan(α－β)＝？，tan(α＋β)＝？呢？學生很容易想到利用同角三角函數(shù)關系式，化弦為切得到．在學生探究推導時很可能想不到討論，這時教師不要直接提醒，讓學生自己悟出來．當cos(α＋β)≠0時，tan(α＋β)＝eq\f(sinα＋β,cosα＋β)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ－sinαsinβ).如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0時，分子、分母同除以cosαcosβ得tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，據(jù)角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，則有tan(α－β)＝eq\f(tanα＋tan－β,1－tanαtan－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).由此推得兩角和、差的正切公式，簡記為T(α－β)、T(α＋β)．tanα＋β＝，tanα－β＝.對問題⑥，讓學生自己聯(lián)想思考，兩角和與差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的嗎？學生回顧自己的公式探究過程可知，α、β、α±β都不能等于eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，并引導學生分析公式結構特征，加深公式記憶．T(α＋β)叫和角公式；S(α－β)、C(α－β)、T(α－β)叫差角公式．并由學生歸納總結以上六個公式的推導過程，從而得出以下邏輯聯(lián)系圖．可讓學生自己畫出這六個框圖．通過邏輯聯(lián)系圖，深刻理解它們之間的內在聯(lián)系，借以理解并靈活運用這些公式．同時教師應提醒學生注意：不僅要掌握這些公式的正用，還要注意它們的逆用及變形用．如兩角和與差的正切公式的變形式tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，在化簡求值中就經(jīng)常應用到，使解題過程大大簡化，也體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美．對于兩角和與差的正切公式，當tanα，tanβ或tan(α±β)的值不存在時，不能使用T(α±β)處理某些有關問題，但可改用誘導公式或其他方法，例如：化簡tan(eq\f(π,2)－β)，因為taneq\f(π,2)的值不存在，所以改用誘導公式tan(eq\f(π,2)－β)＝eq\f(sin\f(π,2)－β,cos\f(π,2)－β)＝eq\f(cosβ,sinβ)來處理等．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應用示例))思路1例1已知sinα＝－eq\f(3,5)，α是第四象限角，求sin(eq\f(π,4)－α)，cos(eq\f(π,4)＋α)，tan(eq\f(π,4)－α)的值．活動：教師引導學生分析題目中角的關系，在面對問題時要注意認真分析條件，明確要求．再思考應該聯(lián)系什么公式，使用公式時要有什么準備，準備工作怎么進行等．例如本題中，要先求出cosα，tanα的值，才能利用公式得解，本題是直接應用公式解題，目的是為了讓學生初步熟悉公式的應用，教師可以完全讓學生自己獨立完成．解：由sinα＝－eq\f(3,5)，α是第四象限角，得cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－－\f(3,5)2)＝eq\f(4,5).∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4).于是有sin(eq\f(π,4)－α)＝sineq\f(π,4)cosα－coseq\f(π,4)sinα＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(4,5)－eq\f(\r(2),2)×(－eq\f(3,5))＝eq\f(7\r(2),10)，cos(eq\f(π,4)＋α)＝coseq\f(π,4)cosα－sineq\f(π,4)sinα＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(4,5)－eq\f(\r(2),2)×(－eq\f(3,5))＝eq\f(7\r(2),10)，tan(α－eq\f(π,4))＝eq\f(tanα－tan\f(π,4),1＋tanαtan\f(π,4))＝eq\f(tanα－1,1＋tanα)＝eq\f(－\f(3,4)－1,1＋－\f(3,4))＝－7.點評：本例是運用和差角公式的基礎題，安排這個例題的目的是為了訓練學生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習慣．變式訓練1．不查表求cos75°，tan105°的值．解：cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，tan105°＝tan(60°＋45°)＝eq\f(tan60°＋tan45°,1－tan60°tan45°)＝eq\f(\r(3)＋1,1－\r(3))＝－(2＋eq\r(3))．2．設α∈(0，eq\f(π,2))，若sinα＝eq\f(3,5)，則eq\r(2)sin(α＋eq\f(π,4))等于()A.eq\f(7,5)B.eq\f(1,5)C.eq\f(7,2)D．4答案：A例2已知sinα＝eq\f(2,3)，α∈(eq\f(π,2)，π)，cosβ＝－eq\f(3,4)，β∈(π，eq\f(3π,2))．求sin(α－β)，cos(α＋β)，tan(α＋β)．活動：教師可先讓學生自己探究解決，對探究困難的學生教師給以適當?shù)狞c撥，指導學生認真分析題目中已知條件和所求值的內在聯(lián)系．根據(jù)公式S(α－β)、C(α＋β)、T(α＋β)應先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解題中三角函數(shù)值的符號．解：由sinα＝eq\f(2,3)，α∈(eq\f(π,2)，π)，得cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\f(2,3)2)＝－eq\f(\r(5),3)，∴tanα＝－eq\f(2\r(5),5).又由cosβ＝－eq\f(3,4)，β∈(π，eq\f(3π,2))，得sinβ＝－eq\r(1－cos2β)＝－eq\r(1－－\f(3,4)2)＝－eq\f(\r(7),4)，∴tanβ＝eq\f(\r(7),3).∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(2,3)×(－eq\f(3,4))－(－eq\f(\r(5),3))×(－eq\f(\r(7),4))＝eq\f(－6－\r(35),12).∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝(－eq\f(\r(5),3))×(－eq\f(3,4))－eq\f(2,3)×(－eq\f(\r(7),4))＝eq\f(3\r(5)＋2\r(7),12).∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－\f(2\r(5),5)＋\f(\r(7),3),1－－\f(2\r(5),5)×\f(\r(7),3))＝eq\f(－6\r(5)＋5\r(7),15＋2\r(35))＝eq\f(－32\r(5)＋27\r(7),17).點評：本題仍是直接利用公式計算求值的基礎題，其目的還是讓學生熟練掌握公式的應用，訓練學生的運算能力.變式訓練引導學生看章頭圖，利用本節(jié)所學公式解答課本章頭題，加強學生的應用意識．解：設電視發(fā)射塔高CD＝x米，∠CAB＝α，則sinα＝eq\f(30,67)，在Rt△ABD中，tan(45°＋α)＝eq\f(x＋30,30)tanα.于是x＝eq\f(30tan45°＋α,tanα)－30，又∵sinα＝eq\f(30,67)，α∈(0，eq\f(π,2))，∴cosα≈eq\f(60,67)，tanα≈eq\f(1,2).tan(45°＋α)＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)≈eq\f(1＋\f(1,2),1－\f(1,2))＝3，∴x＝eq\f(30×3,\f(1,2))－30＝150(米)．答：這座電視發(fā)射塔的高度約為150米.例3在△ABC中，sinA＝eq\f(3,5)(0°<A<45°)，cosB＝eq\f(5,13)(45°<B<90°)，求sinC與cosC的值．活動：本題是解三角形問題，在必修5中還作專門的探究，這里用到的僅是與三角函數(shù)誘導公式與和差公式有關的問題，難度不大，但應是學生必須熟練掌握的．同時也能加強學生的應用意識，提高學生分析問題和解決問題的能力．教師可讓學生自己閱讀、探究、討論解決，對有困難的學生教師引導學生分析題意和找清三角形各角之間的內在聯(lián)系，從而找出解決問題的路子．教師要提醒學生注意角的范圍這一隱含條件．解：∵在△ABC中，A＋B＋C＝180°，∴C＝180°－(A＋B)．又∵sinA＝eq\f(3,5)且0°<A<45°，∴cosA＝eq\f(4,5).又∵cosB＝eq\f(5,13)且45°<B<90°，∴sinB＝eq\f(12,13).∴sinC＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(3,5)×eq\f(5,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(63,65)，cosC＝cos[180°－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝eq\f(3,5)×eq\f(12,13)－eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(16,65).點評：本題是利用兩角和差公式，來解決三角形問題的典型例子，培養(yǎng)了學生的應用意識，也使學生更加認識了公式的作用，解決三角形問題時，要注意三角形內角和等于180°這一隱含條件.變式訓練在△ABC中，已知sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1，則△ABC是()A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．等腰非直角三角形答案：C思路2例1若sin(eq\f(3π,4)＋α)＝eq\f(5,13)，cos(eq\f(π,4)－β)＝eq\f(3,5)，且0<α<eq\f(π,4)<β<eq\f(3π,4)，求cos(α＋β)的值．活動：本題是一個典型的變角問題，也是一道經(jīng)典例題，對訓練學生的運算能力以及邏輯思維能力很有價值．盡管學生思考時有點難度，但教師仍可放手讓學生探究討論，教師不可直接給出解答．對于探究不出的學生，教師可恰當點撥引導，指導學生解決問題的關鍵是尋找所求角與已知角的內在聯(lián)系，引導學生理清所求的角與已知角的關系，觀察選擇應該選用哪個公式進行求解，同時也要特別提醒學生注意：在求有關角的三角函數(shù)值時，要特別注意確定準角的范圍，準確判斷好三角函數(shù)符號，這是解決這類問題的關鍵．學生完全理清思路后，教師應指導學生的規(guī)范書寫，并熟練掌握它．對于程度比較好的學生可讓其擴展本題，或變化條件，或變換所求的結論等．如教師可變換α，β角的范圍，進行一題多變訓練，提高學生靈活應用公式的能力，因此教師要充分利用好這個例題的訓練價值．解：∵0<α<eq\f(π,4)<β<eq\f(3π,4)，∴eq\f(3π,4)<eq\f(3π,4)＋α<π，－eq\f(π,2)<eq\f(π,4)－β<0.又sin(eq\f(3π,4)＋α)＝eq\f(5,13)，cos(eq\f(π,4)－β)＝eq\f(3,5)，∴cos(eq\f(3π,4)＋α)＝－eq\f(12,13)，sin(eq\f(π,4)－β)＝－eq\f(4,5).∴cos(α＋β)＝sin[eq\f(π,2)＋(α＋β)]＝sin[(eq\f(3π,4)＋α)－(eq\f(π,4)－β)]＝sin(eq\f(3π,4)＋α)cos(eq\f(π,4)－β)－cos(eq\f(3π,4)＋α)sin(eq\f(π,4)－β)＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)－(－eq\f(12,13))×(－eq\f(4,5))＝－eq\f(33,65).本題是典型的變角問題，即把所求角利用已知角來表示，實際上就是化歸思想．這需要巧妙地引導，充分讓學生自己動手進行角的變換，培養(yǎng)學生靈活運用公式的能力.變式訓練已知α，β∈(eq\f(3π,4)，π)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sin(β－eq\f(π,4))＝eq\f(12,13).求cos(α＋eq\f(π,4))的值．解：∵α，β∈(eq\f(3π,4)，π)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sin(β－eq\f(π,4))＝eq\f(12,13)，∴eq\f(3π,2)<α＋β<2π，eq\f(π,2)<β－eq\f(π,4)<eq\f(3π,4).∴cos(α＋β)＝eq\f(4,5)，cos(β－eq\f(π,4))＝－eq\f(5,13).∴cos(α＋eq\f(π,4))＝cos[(α＋β)－(β－eq\f(π,4))]＝cos(α＋β)cos(β－eq\f(π,4))＋sin(α＋β)sin(β－eq\f(π,4))＝eq\f(4,5)×(－eq\f(5,13))＋(－eq\f(3,5))×eq\f(12,13)＝－eq\f(56,65).例2化簡eq\f(sinα－β,sinαsinβ)＋eq\f(sinβ－θ,sinβsinθ)＋eq\f(sinθ－α,sinθsinα).活動：本題是直接利用公式把兩角的和、差化為兩單角的三角函數(shù)的形式，教師可以先讓學生自己獨立地探究，然后進行講評．解：原式＝eq\f(sinαcosβ－cosαsinβ,sinαsinβ)＋eq\f(sinβcosθ－cosβsinθ,sinβsinθ)＋eq\f(sinθcosα－cosθsinα,sinθsinα)＝eq\f(sinαcosβsinθ－cosαsinβsinθ,sinαsinβsinθ)＋eq\f(sinαsinβcosθ－sinαcosβsinθ,sinαsinβsinθ)＋eq\f(sinθsinβcosα－cosθsinβsinα,sinθsinβsinα)＝eq\f(0,sinθsinβsinα)＝0.點評：本題是一個很好的運用公式進行化簡的例子，通過學生獨立解答，培養(yǎng)學生熟練運用公式的運算能力.變式訓練化簡eq\f(sinα＋β－2sinαcosβ,2sinαsinβ＋cosα＋β).解：原式＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ,2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ)＝eq\f(cosαsinβ－sinαcosβ,sinαsinβ＋cosαcosβ)＝eq\f(sinβ－α,cosβ－α)＝tan(β－α).eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓練))課本本節(jié)練習1～4.1．(1)eq\f(\r(6)－\r(2),4)，(2)eq\f(\r(6)－\r(2),4)，(3)eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，(4)2－eq\r(3).2.eq\f(4－3\r(3),10).3.eq\f(12－5\r(3),26).4．－2.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))已知0<β<eq\f(π,4)，eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，cos(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(3,5)，sin(eq\f(3π,4)＋β)＝eq\f(5,13)，求sin(α＋β)的值．解：∵eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，∴－eq\f(π,2