特殊平行四邊形中的折疊問題教學設計-杭十中鄒丹

特殊平行四邊形中的折疊問題教學設計杭十中鄒丹一、內容和內容解析在初中數學中，折疊是我們常見的一種數學問題，在中考中常以選擇、填空的形式出現。這類問題的解決是有規(guī)可循的，由于矩形的折疊只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀及大小，因而在矩形的折疊變換中，保持了許多圖形定量的不變性，如圖形中線段的長短不變，圖形中角的大小不變等。這些圖形定量的不變性，在初中幾何全等型問題的解決中，具有很重要的運用價值。折疊問題中同時綜合了軸對稱、勾股定理、等腰三角形等知識，對于學生的能力是一個很好的提升。本節(jié)課是一堂復習課，旨在用動手折紙的方式去打開同學們對未知結論的探索。《課程標準》中要求：“課程內容要符合學生的認知規(guī)律，要貼近學生的實際。”而矩形紙的折疊作為學生從小玩到大的游戲，受到學生的廣泛歡迎，這部分內容是非常貼近學生實際的；折疊中蘊含的軸對稱、全等的數學知識，在學生學習《特殊平行四邊形》和《勾股定理》之后研究，符合學生的認知規(guī)律。由于折疊的實質是軸對稱變換，這為學生研究折疊中的角度、線段的長度、圖形的面積和周長及特殊平行四邊形的判定方法都提供了條件，因此本節(jié)課的產生水到渠成。折疊問題的研究用到了數學中非常重要的方程思想、轉化思想及數形結合思想。本節(jié)課主要抓住折對稱軸和折對稱中心的線索進行展開，通過折紙活動來探索結論，達到復習特殊平行四邊形相關知識的目的，這便是本節(jié)課的重點。另外，在本節(jié)課中設計的編題環(huán)節(jié)利于培養(yǎng)同學們的高階思維能力，教師在平時課堂中可以有意識的安排鋪設相應的環(huán)節(jié)。二、目標和目標解析1.知識與技能：（1）經歷折紙的過程，掌握軸對稱變換中的角度、線段長度、面積和周長的計算方法，以及特殊平行四邊形的判定方法；（2）通過參與折紙活動，使學生積累綜合運用數學知識，得到解決折疊問題的方法等數學活動經驗。2.數學思考：（1）建立折疊的空間觀念，初步形成幾何直觀，發(fā)展學生的形象思維與抽象思維；（2）讓學生通過探究，尋找到解決折疊問題的思路，并且從中體會探究過程中所滲透的數學思想。3.問題解決：（1）通過折紙活動，初步學會從數學的角度發(fā)現問題和提出問題；（2）讓學生經歷折疊——觀察——驗證——歸納的認知過程，培養(yǎng)學生解決問題的能力。4.情感態(tài)度：在學習過程中，增強學生學習數學的興趣，提高學生學習的積極性和主動性，通過對問題的討論和研究增強學生間的團結合作精神。鍛煉克服困難的意志，建立自信心。三、教學問題診斷分析（1）認知基礎：學生從很小就接觸折紙，所以本內容有充足的生活經驗；學生從開始學習數學，紙張便是研究幾何圖形最好的教具。學生已經學過全等三角形、軸對稱以及特殊平行四邊形，對它們的性質已經有一定的認識。同時在探究等腰三角形的性質的過程中已經有了折紙的經驗，因此對本節(jié)課的研究學生應該具有了相應的知識和經驗基礎。（2）障礙預測：雖然學生已經具有了相應的知識基礎和探究經驗，同時具備了較高的抽象思維能力，但學生又缺乏透過現象看本質，尋找出折疊的規(guī)律，所以綜合運用所學過的知識解決折疊中的問題成為了本節(jié)課的難點。課堂中要對學生進行知識、方法、能力方面的梳理，引導學生自己去發(fā)現問題、解決問題，進一步提高學生綜合解決數學問題的能力。教師適時加以點撥、整理思路、總結規(guī)律。在思維大比拼環(huán)節(jié)，教師要鼓勵學生勇于展示，通過一問一答的形式開拓學生的思維。一開始學生可能有點迷茫，不知道該如何設問，我們知道提問比解決問題更重要。教師在這個環(huán)節(jié)要做好引導工作，這樣在更多大腦的思考下，會開拓出更多有價值的答案。四、教學支持條件分析根據本節(jié)課內容的特點，為了更直觀、形象的突出重點、突破難點，提高課堂效率，采用以觀察發(fā)現，合作探究的教學組織方式，在教學過程中，通過設置一系列學生的探究活動，創(chuàng)設問題情境，啟發(fā)學生思考，讓學生親身體驗知識的產生、發(fā)展和形成的過程。學生通過折紙活動，從中獲得重要的數學知識。五、教學過程設計（一）動手熱身請同學們拿張矩形紙片，按照下面的提示進行折疊，是你熟悉的圖形嗎？。如圖,將一張矩形紙片ABCD折疊,使AB落在AD邊上,然后打開,折痕為AE,頂點B的落點為F.你認為四邊形ABEF是什么特殊四邊形?請說出你的理由.追問：你還能得到什么特殊的圖形？學生不難得出等腰直角三角形。在這次的折疊中還可以得到特殊角，為后續(xù)得到其他特殊角埋下伏筆。歸納：1、折痕所在直線成軸對稱的圖形是全等的。2、折痕AE就是的角平分線。設計意圖：利用生活中常見的折紙活動激發(fā)學生的興趣，導入課題，還可以達到復習判定正方形、等腰直角三角形的目的，同時加深學生對折痕意義的理解。折疊的實質就是軸對稱變換。折對稱軸請同學們繼續(xù)根據下面的問題進行探究。問題1：你能折出矩形紙片的對稱軸嗎？你能用直尺在矩形上畫出等腰三角形嗎？在這個問題中不難得出兩條對稱軸。這時教師可以指向明確些，我們用對稱軸EF，請你以AB為邊去畫等腰三角形，這時P點落在什么位置。教師要做好引導工作，讓學生先動手操作再回答，同時步展示圖教師可以用PPT動畫一步一形的生成過程，最后證明操作的正確性，再次強化利用折痕的軸對稱性解決問題。問題2：當頂點P在對稱軸EF上運動時你還能得到什么特殊的三角形？部分同學會從前面折正方形的環(huán)節(jié)中得出等腰直角三角形。接著同學們還會猜測等邊三角形能不能折出來，顯然引出了下個問題。問題3：能折出等邊三角形嗎?說說折出的△ABP是等邊三角形的理由。在自己動手折紙的過程中會存在困惑，的角怎么折？這時教師可以適時的引導，除了有一個角是的等腰三角形能判定是等邊三角形外，還有沒有其他方法，對了，還有三邊都相等的三角形是等邊三角形，也就是說在折疊過程中要使得AP=AB。讓同學展示折疊過程，并對等邊三角形進行說理驗證。我們在這個過程中還可以得到和的特殊角。設計意圖：本環(huán)節(jié)考察學生空間想象能力與動手操作能力的實踐。通過折對稱軸的研究，不僅讓學生獲得特殊三角形的折法，還讓學生經歷觀察、實驗、猜測、推理、驗證的過程。（三）思維大比拼把我們前面折正方形得到的等腰直角三角形和等邊三角形，放在一起進行討論分析，看看又有什么結論出現。教師把圖畫在黑板上，方便探究。本環(huán)節(jié)設計一個同學設問另一個同學解答的形式開展。已知：在剛才的折疊過程中，是等腰直角三角形，是等邊三角形，連接.結論：？？？在這個環(huán)節(jié)教師可以引導學生思考一些相關的結論，例如：是什么三角形？的度數是多少？的度數是多少？的度數是多少？若，求的長？若，求的面積？若，求四邊形的面積？若，求的面積？……歸納：右圖中，矩形問題可以轉化為特殊三角形問題。設計意圖：把所學知識串聯起來，培養(yǎng)學生如何分析問題和解決問題的能力。讓前面的結論證明服務于計算，使課堂內容緊湊有條理。本環(huán)節(jié)想讓同學們嘗試提問，其實會提問比會解決問題更重要。（四）折對稱中心在這個環(huán)節(jié)教師引導學生用矩形紙片，在下列環(huán)環(huán)相扣的問題中進行探索、猜測并證明。問題4：你能折出矩形紙片的對稱中心嗎？折兩條對稱軸、折兩條對角線、或者折一條對稱軸和一條對角線，交點就是對稱中心。標記對稱中心為點O。問題5：你能折出對角線AC的垂直平分線嗎？學生演示折法，教師用直尺在黑板上畫出對角線AC的垂直平分線EF，為下個問題做準備。問題6：請你添加兩條線段，能得到什么特殊的平行四邊形？請把證明過程寫在紙上。讓同學來黑板上演示連線，并要求給大家說出是什么特殊的平行四邊形。教師引導學生寫出已知和求證，理好思路，并叫同學黑板上寫出推理過程。大部分同學會想到用三角形全等來證明，也有同學會想到平行+角平分線等腰的模型，教師都要表揚給予肯定。問題7：如果把對角線AC改變?yōu)榻涍^對稱中心的任意線段，折出這條線段的垂直平分線，在問題6中的結果還成立嗎？仍然是菱形?？赡苡型瑢W會受圖形影響認為是正方形，那么就帶領同學們思考，尋找添什么條件能成為正方形。設計意圖：通過折對稱中心復習了菱形的判定。從探索問題的方式去深入學習，會激發(fā)學生的學習興趣，將問題逐步解剖，層層遞進，達到一題多用的目的。本環(huán)節(jié)讓學生運用學會的方法和思路來解決問題，形成觸類旁通的數學能力。編題環(huán)節(jié)小組合作：在問題6的圖中，若AB=4，BC=8，給大家編一些關于計算的問題。我們知道在問題6中已經證明四邊形AECF為菱形，可以利用菱形的結論進行思考。學生容易想到假設未知數，用勾股定理列方程，求線段BF、AF的長度。教師可以追問：是不是所有的線段都能求了？在這樣的情況下，學生會思考線段EF怎么求？在想到可以用等面積法求EF時，即帶出了菱形和三角形面積問題的思考。在這個過程的形成中，教師要不斷鼓勵和肯定學生的想法，這樣才能碰撞出思維的火花。教師要扮演好學習的組織者、引導者和合作者的地位，讓學生真正成為學習的主體。歸納：（1）菱問題轉化為等腰三角形、直角三角形問題；菱形的面積計算：設計意圖：這類圖形折疊是平時常見題型，通過計算去加深學生的理解。在復習中應熟練掌握一些基本圖形的性質和判定定理以及圖形折疊的性質.編題需要學生利用所學知識，通過觀察、分析，創(chuàng)造性的提出合理的問題，本環(huán)節(jié)指向高階思維。課堂小結1、通過本節(jié)課的學習，我掌握了哪些方法？2、本節(jié)課我有什么體會？3、我還學到了哪些知識？設計意圖：教師引導學生從方法、體驗、知識三個方面說明自己的收獲和經驗。通過回顧和反思，成為提高教師自身與學生素質的互動過程。（七）大顯身手在圖形折疊中主要考察學生對圖形的認知，特別是考察軸對稱的性質、全等三角形、勾股定理以及后續(xù)要學的相似三角形，這對于識別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力和綜合解決問題的能力都提出了比以往更高的要求.在經過前面的學習后，教師給出折疊中求線段取值范圍的題目，讓學有余力的同學能有更多思考問題的機會。如果課堂時間不夠可以留給學生作為課后思考題。如圖，將矩形紙片ABCD（AD>AB）折疊，使點C剛好落在線段AD上，且折痕分別與邊BC，AD相交，設折疊后點C、D的對應點分別為點G、H，折痕分別與邊BC、AD相交于點E、F。（1）判斷四邊形CEGF的形狀，并證明你的結論。（2）若AB=3，BC=9，求線段CE的取值范圍。設計意圖：通過拓展作業(yè)，引導學生拓展延伸，從而掌握解決圖形中的折疊問題的規(guī)律和方法。本題第一問是想檢測學生本節(jié)課的學習效果，第二問是想考察學生的靈活應變能力，讓學生的思維達到質的飛躍。（八）板書設計六、目標檢測設計