《高等應(yīng)用數(shù)學(xué)》016-0（曾慧平）課件 02-第二章 導(dǎo)數(shù)與微分

高等應(yīng)用數(shù)學(xué)目錄CONTENTS前言0002第2章導(dǎo)數(shù)與微分第4章不定積分04第1章函數(shù)與極限01第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用03第5章微分方程05第6章微分方程06第7章多元函數(shù)微積分07導(dǎo)數(shù)與微分第2章2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算2.3高階導(dǎo)數(shù)2.4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.5

函數(shù)的微分導(dǎo)學(xué)4本章將在函數(shù)和極限的基礎(chǔ)上介紹微分學(xué)的兩個(gè)基本概念：導(dǎo)數(shù)與微分。我們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題時(shí)，除了需要確定變量之間的函數(shù)關(guān)系外，有時(shí)還需要研究函數(shù)相對(duì)于自變量變化的快慢程度（即函數(shù)的變化率），以及當(dāng)自變量發(fā)生微小變化時(shí)函數(shù)的近似改變量。這兩個(gè)問(wèn)題就是我們本章所要討論的主要內(nèi)容——導(dǎo)數(shù)與微分。導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)5理解導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義；理解函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系；掌握函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則；掌握反函數(shù)的求導(dǎo)法則；掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；理解高階導(dǎo)數(shù)的概念；會(huì)求二階導(dǎo)數(shù)和n階導(dǎo)數(shù)；理解隱函數(shù)的概念，掌握隱函數(shù)的一般求導(dǎo)法與對(duì)數(shù)求導(dǎo)法；會(huì)求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；理解微分的概念、幾何意義；掌握微分的求解方法掌握微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。素質(zhì)目標(biāo)6提高邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力。學(xué)會(huì)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)揭示生活中的奧秘，在實(shí)踐中深化認(rèn)識(shí)，達(dá)到學(xué)以致用的目的。弘揚(yáng)實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神。導(dǎo)數(shù)的概念2.12.1.1導(dǎo)數(shù)的定義8引例1速度問(wèn)題設(shè)某物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為s=s(t)，現(xiàn)在求該物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v(t0)。物體在t0到t0+Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為：

當(dāng)時(shí)間t由t0變到t0+Δt時(shí)，物體的路程s(t)由s(t0)變到s(t0+Δt)，路程的增量Δs為：Δs=s(t0+Δt)-s(t0)2.1.1導(dǎo)數(shù)的定義9引例1速度問(wèn)題

2.1.1導(dǎo)數(shù)的定義10引例2切線問(wèn)題如圖所示，設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖形為曲線L，在曲線L上取一定點(diǎn)M(x0,y0)，再取一動(dòng)點(diǎn)N(x0+Δx,y0+Δy)，作割線MN。當(dāng)點(diǎn)N沿著曲線L無(wú)限接近于點(diǎn)M時(shí)割線MN的極限位置MT就是曲線L在點(diǎn)M處的切線要確定切線MT只要確定曲線L在點(diǎn)M處的切線斜率kMT即可。2.1.1導(dǎo)數(shù)的定義11引例2切線問(wèn)題

2.1.1導(dǎo)數(shù)的定義12

定義1

也可記作：

x=x0x=x0x=x02.1.1導(dǎo)數(shù)的定義13

若令x=x0+Δx，則當(dāng)Δx→0時(shí)，有x→x0，故函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f’(x0)也可以表示為

2.1.1導(dǎo)數(shù)的定義14極限定義2

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù)f’-(x0)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的左導(dǎo)數(shù)f’+(x0)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的充分必要條件是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的左、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。2.1.1導(dǎo)數(shù)的定義15函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)，對(duì)于任一x∈（a,b）,都對(duì)應(yīng)著f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值。這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，該函數(shù)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作f’(x),即定義3

也可記作：

或

2.1.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義16由切線問(wèn)題的討論及導(dǎo)數(shù)的定義可知，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f’(x0),在幾何上表示曲線y=f(x)在點(diǎn)M（x0，y0）處的切線斜率，即f’(x0)=tanα其中α是切線的傾斜角，如圖所示。2.1.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義17若f’(x0)≠0，則由直線的點(diǎn)斜式方程可知，曲線y=f(x)在點(diǎn)M（x0，y0）處切線方程為:法線方程為：

若f’(x0)=∞，則切線垂直于x軸，切線方程為：x=x0若f’(x0)=0，則法線垂直于x軸，法線方程為：x=x02.1.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義18

例1解：

2.1.3求導(dǎo)數(shù)舉例19

2.1.3求導(dǎo)數(shù)舉例20求f(x)=C(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)。例2

以上例子說(shuō)明，常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0。解：2.1.3求導(dǎo)數(shù)舉例21求y=x2的導(dǎo)數(shù)。例3

解：一般地，對(duì)冪函數(shù)y=xu(u∈R)，有如下求導(dǎo)公式：

2.1.3求導(dǎo)數(shù)舉例22求函數(shù)y=sinx的導(dǎo)數(shù)。例4

解：即：

用類似的方法，可求得：

2.1.3求導(dǎo)數(shù)舉例23求函數(shù)y=lnx的導(dǎo)數(shù)。例5

解：即：

2.1.4函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系24定理如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處一定連續(xù)。

例6證：

課堂小結(jié)25導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的幾何意義求導(dǎo)數(shù)舉例函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算2.22.2.1函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則27

定理1（1）（u±v)’=u’±v’。（2）（uv)’=u’v+uv’。

2.2.1函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則28求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例1

(1)y'=(3x2-2x+1)'=(3x2)-(2x)'+1'=3(x2)'-2x'=6x-2

解：解：2.2.1函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則29求y=tanx的導(dǎo)數(shù)

。例2

解：解：2.2.1函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則30求y=tanx的導(dǎo)數(shù)

。例2解：

即，用類似的方法，還可以得到下列導(dǎo)數(shù)公式：

2.2.1函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則31設(shè)函數(shù)y=xtanx-2secx，求y’

。例3解：

例4根據(jù)對(duì)數(shù)的換底公式有解：

2.2.2反函數(shù)的求導(dǎo)法則32若函數(shù)x=f(y)在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且f’(y)≠0，則它的反函數(shù)y=f-l(x)在區(qū)間Ix={x|x=f(y),y∈Iy}內(nèi)也可導(dǎo)，且有定理2

或

2.2.2反函數(shù)的求導(dǎo)法則33求y=ax(a>0,a≠1)的導(dǎo)數(shù)。例5解：

所以

,即

2.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則34定理3復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則若u=φ(x)在x處可導(dǎo)，函數(shù)y=f(u)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，并且

或記作

2.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則35

例6解：因?yàn)閥=sin2x是由y=sinu，u=2x復(fù)合而成的，所以

例7

2.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則36

例8解：

例9解：

例10解：

2.2.4導(dǎo)數(shù)公式37（1）(C)’=0（2）(xu)’=uxu-1（3）(ax)’=axlna(a>0,a≠1)（4）(ex)’=ex（8）(cosx)’=-sinx（10）(cotx)’=-csc2x（12）(cscx)’=-cscxcotx常數(shù)函數(shù)和一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：課堂小結(jié)38函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)2.32.3.1高階導(dǎo)數(shù)的概念40定義

類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)f(x)的三階導(dǎo)數(shù)；三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)f(x)的四階導(dǎo)數(shù)；······；（n-1）階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)f(x)的n階導(dǎo)數(shù)．它們可分別記作y’’,y(4),···,y(n)也可分別記作f’’’(x),f(4)(x),···,f(n)(x)二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。2.3.2高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算41設(shè)函數(shù)y=x4+x3-x2+1，求y”。例1解：

設(shè)函數(shù)y=e-xcos2x，求y”。例2解：y’=-

e-xcos2x-2e-xsin2x

2.3.2高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算42設(shè)函數(shù)y=sinx，求y(n)

。例3解：

依此類推，可得

即

2.3.2高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算43設(shè)函數(shù)y=ln(x-1)(x>1)，求y(n)

。例5解：設(shè)函數(shù)y=ex，求y(n)

。例4y’=ex,y’’=ex,···,y(n-1)

=ex,y(n)

=ex

依此類推，可得解：

(n=1,2,3···)課堂小結(jié)44高階導(dǎo)數(shù)的概念高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.42.4.1隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)461.隱函數(shù)的概念顯函數(shù)等號(hào)左端是因變量的符號(hào)，右端是含有自變量的式子，這種形式的函數(shù)。如y=x2+3。隱函數(shù)如方程x+y3-1=0也表示一個(gè)函數(shù)因?yàn)楫?dāng)變量x在（-∞，+∞）內(nèi)取值時(shí)變量y有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù)。2.4.1隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)471.隱函數(shù)的概念一般地，如果變量x,y滿足一個(gè)方程F(x,y)=0在一定條件下，當(dāng)x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足此方程的唯一的y值存在那么就說(shuō)方程F(x,y)=0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù)。2.4.1隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)482.隱函數(shù)求導(dǎo)對(duì)隱函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，可以先將隱函數(shù)化成顯函數(shù)（稱為隱函數(shù)的顯化），再求導(dǎo)。隱函數(shù)求導(dǎo)的一般方法將方程F(x,y)=0兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),遇到y(tǒng)時(shí),把y看成x的函數(shù)y=f(x)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,先對(duì)y求導(dǎo)，再乘以y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)y’，得到一個(gè)含有y’的方程，由此解出y’即可。2.4.1隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)49

例1解：

例2解：

由上式解出y’便得到隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即

2.4.1隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)503.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法先將y=f(x)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，再利用隱函數(shù)求導(dǎo)的一般方法進(jìn)行求解導(dǎo)數(shù)的方法為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。求y=xsinx(x>0)的導(dǎo)數(shù)。例3解：

方程兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得

將上式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得

2.4.1隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)51

例4解：

方程兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得

將上式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得

2.4.2由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)52

即

或

2.4.2由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)53

例5解：因?yàn)樗?/p>

y’(t)=bcost，x’(t)=-asint，2.4.2由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)54

例6解：因?yàn)?/p>

所以

因此，擺線在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)為

，即擺線在點(diǎn)P處的切線斜率為1。

即

課堂小結(jié)55隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的微分2.52.5.1微分的概念57引例1

58

2.5.1微分的概念59

2.5.1微分的概念

602.5.1微分的概念函數(shù)的微分

從而有

由上式和微分定義可知，導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分之商，因此導(dǎo)數(shù)也稱為微商。612.5.1微分的概念

例1解：

函數(shù)y=x3在任一點(diǎn)x處的微分為

例2解：

622.5.2微分的幾何意義

過(guò)點(diǎn)P作曲線的切線PT，它的傾角為α，則

63

2.5.2微分的幾何意義642.5.3微分的運(yùn)算1.函數(shù)的和、差、積、商的微分法則（1）d（u±v)=du±dv。（2）d（uv)=udv+vdu。

（3）d（Cu)=Cdu（C為常數(shù)）

。652.5.3微分的運(yùn)算2.復(fù)合函數(shù)的微分法則由微分的定義可知，當(dāng)u是自變量時(shí)，函數(shù)y=f(u)的微分是

662.5.3微分的運(yùn)算設(shè)函數(shù)y=sin(1+2x3)，求dy。例3解：方法1：直接應(yīng)用微分公式dy=y’dx計(jì)算，則有

方法2：把(1+2x3