哥尼斯堡七橋問題(高級課件)

哥尼斯堡七橋問題

《數(shù)學(xué)文化》課程組1學(xué)習(xí)培訓(xùn)哥尼斯堡七橋問題《數(shù)學(xué)文化》課程組1學(xué)習(xí)培訓(xùn)

現(xiàn)今俄羅斯的加里寧格勒，舊稱哥尼斯堡，是一座歷史名城。在十八、十九世紀(jì)，那里是東普魯士的首府，曾經(jīng)誕生和培育過許多偉大的人物。著名的哲學(xué)家，古典唯心主義的創(chuàng)始人康德，終生沒有離開過哥尼斯堡一步!二十世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，德國的希爾伯特也出生于此地。

2學(xué)習(xí)培訓(xùn)現(xiàn)今俄羅斯的加里寧格勒，舊稱哥尼斯堡

哥城景致迷人，碧波蕩漾的普累格河，橫貫其境。在河的中心有一座美麗的小島。普河的兩條支流，環(huán)繞其旁匯成大河，把全城分為下圖所示的四個(gè)區(qū)域：島區(qū)(A)，東區(qū)(B)，南區(qū)(C)和北區(qū)(D)。3學(xué)習(xí)培訓(xùn)哥城景致迷人，碧波蕩漾的普累格河，橫貫其境。

著名的哥尼斯堡大學(xué)，傍倚于兩條支流的河旁，使這一秀色怡人的區(qū)域，又增添了幾分莊重的韻味!有七座橋橫跨普累格河及其支流，其中五座把河岸和河心島連接起來。這一別致的橋群，古往今來，吸引了眾多的游人來此散步。

4學(xué)習(xí)培訓(xùn)著名的哥尼斯堡大學(xué)，傍倚于兩條支流的河旁，使

早在十八世紀(jì)以前，當(dāng)?shù)氐木用癖銦嶂杂谝韵掠腥さ膯栴}：能不能設(shè)計(jì)一次散步，使得七座橋中的每一座都走過一次，而且只走過一次?

這便是著名的哥尼斯堡七橋問題。5學(xué)習(xí)培訓(xùn)早在十八世紀(jì)以前，當(dāng)?shù)氐木用癖銦嶂杂谝韵掠腥?/p>

這個(gè)問題后來變得有點(diǎn)驚心動(dòng)魄：說是有一隊(duì)工兵，因戰(zhàn)略上的需要，奉命要炸掉這七座橋。命令要求當(dāng)載著炸藥的卡車駛過某座橋時(shí)，就得炸毀這座橋，不許遺漏一座！6學(xué)習(xí)培訓(xùn)這個(gè)問題后來變得有點(diǎn)驚心動(dòng)魄：說是有一隊(duì)工兵

如果有興趣，完全可以照樣子畫一張地圖，親自嘗試嘗試。不過，要告訴大家的是,想把所有的可能線路都試過一遍是極為困難的！因?yàn)楦鞣N可能的線路有=5040種。要想一一試過，真是談何容易。正因?yàn)槿绱耍邩騿栴}的解答便眾說紛紜：有人在屢遭失敗之后，傾向于否定滿足條件的解答的存在；另一些人則認(rèn)為，巧妙的答案是存在的，只是人們尚未發(fā)現(xiàn)而已，這在人類智慧所未及的領(lǐng)域，是很常見的事！7學(xué)習(xí)培訓(xùn)如果有興趣，完全可以照樣子畫一張地圖，親自嘗試嘗歐拉（L.Euler,1707.4.15-1783.9.18）著名的數(shù)學(xué)家。生于瑞士的巴塞爾，卒于彼得堡。大部分時(shí)間在俄國和德國度過。他早年在數(shù)學(xué)天才貝努里賞識(shí)下開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),17歲獲得碩士學(xué)位，畢業(yè)后研究數(shù)學(xué),是數(shù)學(xué)史上最高產(chǎn)的作家。在世發(fā)表論文700多篇,去世后還留下100多篇待發(fā)表。其論著幾乎涉及所有數(shù)學(xué)分支。

問題的魔力，竟然吸引了天才的歐拉。這位年輕的瑞士數(shù)學(xué)家，以其獨(dú)具的慧眼，看出了這個(gè)似乎是趣味幾何問題的潛在意義。

8學(xué)習(xí)培訓(xùn)歐拉（L.Euler,1707.4.15-1783.歐拉在數(shù)學(xué)、物理、天文、建筑以至音樂、哲學(xué)方面都取得了輝煌的成就。在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，常常見到以歐來命名的公式、定理、和重要常數(shù)。課本上常見的如π、i、e、sin、cos、tg、△x、Σ、f(x)等，都是他創(chuàng)立并推廣的。歐拉還首先完成了月球繞地球運(yùn)動(dòng)的精確理論，創(chuàng)立了分析力學(xué)、剛體力學(xué)等力學(xué)學(xué)科，深化了望遠(yuǎn)鏡、顯微鏡的設(shè)計(jì)計(jì)算理論。關(guān)鍵詞：驚人的記憶力杰出的智慧頑強(qiáng)的毅力孜孜不倦的奮斗精神高尚的科學(xué)道德9學(xué)習(xí)培訓(xùn)歐拉在數(shù)學(xué)、物理、天文、建筑以至音樂、哲學(xué)方面都取得了輝煌的

公元1736年，29歲的歐拉向圣彼得堡科學(xué)院遞交了一份題為《哥尼斯堡的七座橋》的論文。論文的開頭是這樣寫的：

“討論長短大小的幾何學(xué)分支，一直被人們熱心地研究著。但是還有一個(gè)至今幾乎完全沒有探索過的分支。萊布尼茲最先提起過它，稱之：“位置的幾何學(xué)”。這個(gè)幾何學(xué)分支討論只與位置有關(guān)的關(guān)系，研究位置的性質(zhì)；它不去考慮長短大小，也不牽涉到量的計(jì)算。但是至今未有過令人滿意的定義，來刻劃這門位置幾何學(xué)的課題和方法……”10學(xué)習(xí)培訓(xùn)公元1736年，29歲的歐拉向圣彼得堡科學(xué)院遞交了歐拉解決這個(gè)問題的方法非常巧妙.他認(rèn)為：人們關(guān)心的只是一次不重復(fù)地走遍這七座橋，而并不關(guān)心橋的長短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一個(gè)點(diǎn)，而橋則可以看成是連接這些點(diǎn)的一條線.11學(xué)習(xí)培訓(xùn)歐拉解決這個(gè)問題的方法非常巧妙.他認(rèn)為：11學(xué)習(xí)培訓(xùn)

這樣，哥尼斯堡七橋問題就被抽象成為“一筆畫問題”：筆尖不離開紙面，一筆畫出給定圖形，不允許重復(fù)任何一條線。理論上需要解決的問題是：找到“一個(gè)圖形可以一筆畫”的充要條件。

歐拉注意到每個(gè)點(diǎn)都是若干條線的端點(diǎn)，他把圖形上的點(diǎn)分為兩類：奇點(diǎn)和偶點(diǎn)。要想不重復(fù)地一筆畫出某個(gè)圖形，除去起始點(diǎn)和終止點(diǎn)外，其余點(diǎn)，如果畫進(jìn)去一條線，就一定要畫出一條線，從而必須是偶點(diǎn)。12學(xué)習(xí)培訓(xùn)這樣，哥尼斯堡七橋問題就被抽象成為“一筆畫問題”：筆一筆畫原理：一個(gè)圖如果可以一筆畫成，那么這個(gè)圖中奇數(shù)頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是0就是2。反之亦然。

當(dāng)圖形中有兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，以其中一個(gè)為起始點(diǎn)，另一個(gè)為終止點(diǎn)，就能一筆畫；當(dāng)圖形中沒有奇點(diǎn)時(shí)，從任何一個(gè)起始點(diǎn)都可以完成一筆畫。13學(xué)習(xí)培訓(xùn)一筆畫原理：當(dāng)圖形中有兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，以其中一個(gè)為起14學(xué)習(xí)培訓(xùn)14學(xué)習(xí)培訓(xùn)15學(xué)習(xí)培訓(xùn)15學(xué)習(xí)培訓(xùn)16學(xué)習(xí)培訓(xùn)16學(xué)習(xí)培訓(xùn)

想不到轟動(dòng)一時(shí)的哥尼斯堡七橋問題，竟然與孩子們的游戲，想用一筆畫畫出“串"字和“田”字這類問題一樣，而后者并不比前者更為簡單!

事實(shí)上，中國民間很早就流傳著這種一筆畫的游戲，只是很可惜，長期以來，人們只把它作為一類有趣的游戲，沒有對它引起重視，也沒有數(shù)學(xué)家對它進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)總結(jié)和研究，這不能不說是一種遺憾。17學(xué)習(xí)培訓(xùn)想不到轟動(dòng)一時(shí)的哥尼斯堡七橋問題，竟然與孩子

需要順便提到的是：既然可由一筆畫畫成的圖形，其奇點(diǎn)個(gè)數(shù)應(yīng)不多于兩個(gè)，那么，兩筆畫或多筆畫能夠畫成的圖形，其奇點(diǎn)個(gè)數(shù)應(yīng)有怎樣的限制呢？

一般地，我們有：

含有2n(n>0)個(gè)奇點(diǎn)的圖形，需要n筆劃畫成。

18學(xué)習(xí)培訓(xùn)需要順便提到的是：既然可由一筆畫畫成的圖形，其奇點(diǎn)姜伯駒《一筆畫和郵遞員路線問題》19學(xué)習(xí)培訓(xùn)姜伯駒《一筆畫和郵遞員路線問題》19學(xué)習(xí)培訓(xùn)橡皮膜上的幾何學(xué)

在《哥尼斯堡七橋》問題中，讀者已經(jīng)看到了一種只研究圖形各部分位置的相對次序，而不考慮它們尺寸大小的新幾何學(xué)。萊布尼茲(Leibniz，1646～1716)和歐拉為這種“位置幾何學(xué)”的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。如今這一新的幾何學(xué)，已經(jīng)發(fā)展成一門重要的數(shù)學(xué)分支

——拓?fù)鋵W(xué)20學(xué)習(xí)培訓(xùn)橡皮膜上的幾何學(xué)20學(xué)習(xí)培訓(xùn)

拓?fù)鋵W(xué)研究的課題是極為有趣的。

在拓?fù)鋵W(xué)中人們感興趣的只是圖形的位置而不是它的大小。有人把拓?fù)鋵W(xué)說成是橡皮膜上的幾何學(xué)是很恰當(dāng)?shù)摹Ｒ驗(yàn)橄鹌つど系膱D形，隨著橡皮膜的拉動(dòng)，其長度、曲直、面積等等都將發(fā)生變化。此時(shí)談?wù)摗坝卸嚅L？”、“有多大？”之類的問題，是毫無意義的!

21學(xué)習(xí)培訓(xùn)

拓?fù)鋵W(xué)研究的課題是極為有趣的。

不過，在橡皮膜幾何里也有一些圖形的性質(zhì)保持不變。例如點(diǎn)變化后仍然是點(diǎn)；線變化后依舊為線；相交的圖形絕不因橡皮的拉伸和彎曲而變得不相交!

拓?fù)鋵W(xué)正是研究諸如此類，使圖形在橡皮膜上保持不變性質(zhì)的幾何學(xué)。22學(xué)習(xí)培訓(xùn)不過，在橡皮膜幾何里也有一些圖形的性質(zhì)保持不變

拓?fù)鋵W(xué)是在19世紀(jì)末興起并在20世紀(jì)蓬勃發(fā)展的數(shù)學(xué)分支，與近世代數(shù)、近代分析共同成為數(shù)學(xué)的三大支柱。拓?fù)鋵W(xué)已在物理、化學(xué)、生物一些工程技術(shù)中得到越來越廣泛的應(yīng)用。拓?fù)鋵W(xué)主要研究幾何圖形在一對一的雙方連續(xù)變換下不同的性質(zhì)，這種性質(zhì)稱為“拓?fù)湫再|(zhì)”。以下我們將復(fù)雜的拓?fù)鋵W(xué)知識(shí)應(yīng)用到簡單的游戲中，使觀眾在游戲中了解拓?fù)鋵W(xué)的特性，并學(xué)習(xí)到相關(guān)知識(shí)。

23學(xué)習(xí)培訓(xùn)拓?fù)鋵W(xué)是在19世紀(jì)末興起并在20世紀(jì)蓬勃“內(nèi)部”與“外部”

一條頭尾相連且自身不相交的封閉曲線，把橡皮膜分成兩個(gè)部分。如果我們把其中有限的部分稱為閉曲線的“內(nèi)部”，那么另一部分便是閉曲線的“外部”。從閉曲線的內(nèi)部走到閉曲線的外部，不可能不通過該閉曲線。因此，無論你怎樣拉扯橡皮膜，只要不切割、不撕裂、不折疊、不穿孔，那么閉曲線的內(nèi)部和外部總是保持不變的!24學(xué)習(xí)培訓(xùn)“內(nèi)部”與“外部”一條頭尾相連且自身不相

“內(nèi)部”與“外部”是拓?fù)鋵W(xué)中很重要的一組概念

以下有趣的故事，將增加你對這兩個(gè)概念的理解：25學(xué)習(xí)培訓(xùn)“內(nèi)部”與“外部”是拓?fù)鋵W(xué)中很重要的一組概

傳說古波斯穆罕默德的繼承人哈里發(fā)，有一位才貌雙全的女兒。姑娘的智慧和美貌，使許多聰明英俊的小伙子為之傾倒，致使求婚者的車馬絡(luò)繹不絕。哈里發(fā)決定從中挑選一位才智超群的青年為婿。于是便出了一道題目，聲明說：誰能解出這道題，便將女兒嫁給誰！

26學(xué)習(xí)培訓(xùn)傳說古波斯穆罕默德的繼承人哈里發(fā)，有一位才貌

哈里發(fā)的題目是這樣的：請用線把下圖中寫有相同數(shù)字的小圓圈連接起來，但所連的線不許相交，也不許與圖中的線相交。27學(xué)習(xí)培訓(xùn)哈里發(fā)的題目是這樣的：請用線把下圖中寫有

上述問題的解決，似乎不費(fèi)吹灰之力。但實(shí)際上求婚者們?nèi)汲伺d而來，敗興而去！

據(jù)說后來哈里發(fā)終于醒悟，發(fā)現(xiàn)自己所提的問題是不可能實(shí)現(xiàn)的，因而后來又改換了題目。也有的說，哈里發(fā)固執(zhí)已見，美麗的公主因此終生未嫁。事情究竟如何，現(xiàn)在自然無從查考。

28學(xué)習(xí)培訓(xùn)上述問題的解決，似乎不費(fèi)吹灰之力。但實(shí)際上求婚者們29學(xué)習(xí)培訓(xùn)29學(xué)習(xí)培訓(xùn)

哈里發(fā)的失算，卻是可以用拓?fù)鋵W(xué)的知識(shí)加以證明的。其所需之概念，只有“內(nèi)部”與“外部”兩個(gè)。事實(shí)上，我們很容易用線把①一①、②一②連起來。明眼的讀者可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)：我們得到了一條簡單的閉曲線，這條曲線把整個(gè)平面分為內(nèi)部(陰影部分)和外部兩個(gè)區(qū)域。其中一個(gè)③在內(nèi)部區(qū)域，而另一個(gè)③卻在外部區(qū)域，要想從閉曲線內(nèi)部的③，畫一條弧線與外部的③相連，而與已畫的閉曲線不相交，這是不可能的！這正是哈里發(fā)悲劇之所在。

30學(xué)習(xí)培訓(xùn)哈里發(fā)的失算，卻是可以用拓?fù)鋵W(xué)的知識(shí)加以證明的。其點(diǎn)A是在內(nèi)部還是外部31學(xué)習(xí)培訓(xùn)點(diǎn)A是在內(nèi)部還是外部31學(xué)習(xí)培訓(xùn)19世紀(jì)中葉，法國數(shù)學(xué)家若爾當(dāng)提出了一個(gè)精妙絕倫的辦法：在圖形外找一點(diǎn)，與需要判定的區(qū)域內(nèi)的某個(gè)點(diǎn)連成線段，如果該線段與封閉曲線相交的次數(shù)為奇數(shù)，則所判定區(qū)域?yàn)椤皟?nèi)部”；否則為“外部”。32學(xué)習(xí)培訓(xùn)19世紀(jì)中葉，法國數(shù)學(xué)家若爾當(dāng)提出了一個(gè)精妙絕倫的辦奇異的莫比烏斯帶

取一條長方形的紙帶，如果將它兩頭對齊粘合在一起，就成為一個(gè)圓圈。那么，它就有上下兩個(gè)圓形邊界，之間的是內(nèi)外兩個(gè)圓柱面。現(xiàn)在將粘合處打開，重新進(jìn)行粘合，與上一次不同的是，這次把其中的一頭旋轉(zhuǎn)180°之后，也就是把內(nèi)面翻轉(zhuǎn)朝外之后，然后再把兩頭無縫的粘起來。這樣就制作完成了莫比烏斯帶。33學(xué)習(xí)培訓(xùn)奇異的莫比烏斯帶取一條長方形的紙帶，如果將它兩頭對齊34學(xué)習(xí)培訓(xùn)34學(xué)習(xí)培訓(xùn)35學(xué)習(xí)培訓(xùn)35學(xué)習(xí)培訓(xùn)36學(xué)習(xí)培訓(xùn)36學(xué)習(xí)培訓(xùn)37學(xué)習(xí)培訓(xùn)37學(xué)習(xí)培訓(xùn)38學(xué)習(xí)培訓(xùn)38學(xué)習(xí)培訓(xùn)39學(xué)習(xí)培訓(xùn)39學(xué)習(xí)培訓(xùn)兩種不同的莫比烏斯帶40學(xué)習(xí)培訓(xùn)兩種不同的莫比烏斯帶40學(xué)習(xí)培訓(xùn)不分內(nèi)外的“克萊茵瓶”41學(xué)習(xí)培訓(xùn)不分內(nèi)外的“克萊茵瓶”41學(xué)習(xí)培訓(xùn)輪胎克萊茵瓶42學(xué)習(xí)培訓(xùn)輪胎克萊茵瓶42學(xué)習(xí)培訓(xùn)拓?fù)淠g(shù)奇觀43學(xué)習(xí)培訓(xùn)拓?fù)淠g(shù)奇觀43學(xué)習(xí)培訓(xùn)

紙片上有一個(gè)兩分硬幣大小的孔，問伍分硬幣能通過這個(gè)圓孔嗎？當(dāng)然，紙片是不允許撕破的。大硬幣通過小圓孔

44學(xué)習(xí)培訓(xùn)紙片上有一個(gè)兩分硬幣大小的孔，問伍分硬幣能通過這

紙片上有一個(gè)兩分硬幣大小的孔，問伍分硬幣能通過這個(gè)圓孔嗎？當(dāng)然，紙片是不允許撕破的。大