2015年上海市普陀區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

2015年上海市普陀區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一.選擇題1．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）如圖，直線l1∥l2∥l3，兩直線AC和DF與l1，l2，l3分別相交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)．下列各式中，不一定成立的是（）A． B． C． D．2．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）用一個(gè)2倍放大鏡照一個(gè)△ABC，下面說法中錯(cuò)誤的是（）A．△ABC放大后，是原來的2倍B．△ABC放大后，各邊長(zhǎng)是原來的2倍C．△ABC放大后，周長(zhǎng)是原來的2倍D．△ABC放大后，面積是原來的4倍3．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=1，AB=2，那么下列結(jié)論正確的是（）A．sinA= B．tanA= C．cosB= D．cotB=4．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么（）A．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0 C．a(chǎn)＞0，b＜0，c＜0 D．a(chǎn)＞0，b＞0，c＜05．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）（1）三點(diǎn)確定一個(gè)圓；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）相等的圓心角所對(duì)的弧相等；（4）正五邊形是軸對(duì)稱圖形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．0?=B．如果（為非零向量），那么∥C．設(shè)為單位向量，那么||=1D．如果，那么或二.填空題7．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）已知x：y=5：2，那么（x+y）：y=．8．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）計(jì)算：=．9．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE與邊AB相交于點(diǎn)D，與邊AC相交于點(diǎn)E，如果AD=3，BD=4，AE=2，那么AC=．10．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）已知線段MN的長(zhǎng)為2厘米，點(diǎn)P是線段MN的黃金分割點(diǎn)，那么較長(zhǎng)的線段MP的長(zhǎng)是厘米．11．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是．12．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）如果將拋物線y=﹣2x2平移，使頂點(diǎn)移到點(diǎn)P（﹣3，1）的位置，那么所得新拋物線的表達(dá)式是．13．（3分）（2016?浦東新區(qū)二模）正八邊形的中心角等于度．14．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）用一根長(zhǎng)50厘米的鐵絲，把它彎成一個(gè)矩形框，設(shè)矩形框的一邊長(zhǎng)為x厘米，面積為y平方厘米，寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式：．15．（3分）（2002?上海）離旗桿20米處的地方用測(cè)角儀測(cè)得旗桿頂?shù)难鼋菫棣?，如果測(cè)角儀高為1.5米，那么旗桿的高為米（用含α的三角函數(shù)表示）．16．（3分）（2015?丹東模擬）如圖，已知⊙O的半徑為5，⊙O的一條弦AB長(zhǎng)為8，那么以3為半徑的同心圓與弦AB位置關(guān)系是．17．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）我們定義：如果一個(gè)圖形上的點(diǎn)A′、B′、…、P′和另一個(gè)圖形上的點(diǎn)A、B、…、P分別對(duì)應(yīng)，并且滿足：（1）直線AA′、BB′、…、PP′都經(jīng)過同一點(diǎn)O；（2）==…==k，那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，點(diǎn)O叫做位似中心，k叫做位似比．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且OB=BB′，如果點(diǎn)A（，3），那么點(diǎn)A′的坐標(biāo)為．18．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）如圖，已知△ABC中，AB=AC，tanB=2，AD⊥BC于點(diǎn)D，G是△ABC的重心，將△ABC繞著重心G旋轉(zhuǎn)，得到△A1B1C1，并且點(diǎn)B1在直線AD上，聯(lián)結(jié)CC1，那么tanCC1B1的值等于．三.解答題19．（2015?普陀區(qū)一模）計(jì)算：．20．（2015?普陀區(qū)一模）如圖，已知AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)O，且=．（1）求的值．（2）如果，請(qǐng)用表示．21．（2015?普陀區(qū)一模）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），對(duì)稱軸為直線x=2，求二次函數(shù)解析式并寫出圖象最低點(diǎn)坐標(biāo)．22．（2015?普陀區(qū)一模）如圖，某新建公園有一個(gè)圓形人工湖，湖中心O處有一座噴泉，小明為測(cè)量湖的半徑，在湖邊選擇A、B兩個(gè)點(diǎn)，在A處測(cè)得∠OAB=45°，在AB延長(zhǎng)線上的C處測(cè)得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半徑．（結(jié)果保留根號(hào)）23．（2015?普陀區(qū)一模）如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在邊BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分別是垂足．（1）求證：AC2=AF?AD；（2）聯(lián)結(jié)EF，求證：AE?DB=AD?EF．24．（2015?普陀區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣m，0）和點(diǎn)B（0，2m）（m＞0），點(diǎn)C在x軸上（不與點(diǎn)A重合）（1）當(dāng)△BOC與△AOB相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)（用m表示）（2）當(dāng)△BOC與△AOB全等時(shí)，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，求m的值，并求點(diǎn)C的坐標(biāo)（3）P是（2）的二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，∠APC=90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及∠ACP的度數(shù)．25．（2015?普陀區(qū)一模）如圖，等邊△ABC，AB=4，點(diǎn)P是射線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BP，作BP的垂直平分線交線段BD于點(diǎn)D，交射線BA于點(diǎn)Q，分別聯(lián)結(jié)PD，PQ．（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，①求∠DPQ的度數(shù)，并求證：△DCP∽△PAQ；②設(shè)CP=x，AQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（2）如果△PCD是等腰三角形，求△APQ的面積．

2015年上海市普陀區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一.選擇題1．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）如圖，直線l1∥l2∥l3，兩直線AC和DF與l1，l2，l3分別相交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)．下列各式中，不一定成立的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】平行線分線段成比例．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)（三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例），逐項(xiàng)分析推出正確的比例式，運(yùn)用排除法即可找到正確的選項(xiàng)．【解答】解：如圖，∵直線l1∥l2∥l3，∴，，，∴A、B、D選項(xiàng)中的等式成立，C選項(xiàng)中的等式不一定成立．故選擇C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線分線段成比例的性質(zhì)，關(guān)鍵在于認(rèn)真的逐項(xiàng)分析找到成比例的線段．2．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）用一個(gè)2倍放大鏡照一個(gè)△ABC，下面說法中錯(cuò)誤的是（）A．△ABC放大后，是原來的2倍B．△ABC放大后，各邊長(zhǎng)是原來的2倍C．△ABC放大后，周長(zhǎng)是原來的2倍D．△ABC放大后，面積是原來的4倍【考點(diǎn)】相似圖形．【分析】用2倍的放大鏡放大一個(gè)△ABC，得到一個(gè)與原三角形相似的三角形；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方，周長(zhǎng)比等于相似比．可知：放大后三角形的面積是原來的4倍，邊長(zhǎng)和周長(zhǎng)是原來的2倍，而內(nèi)角的度數(shù)不會(huì)改變．【解答】解：∵放大前后的三角形相似，∴放大后三角形的內(nèi)角度數(shù)不變，面積為原來的4倍，周長(zhǎng)和邊長(zhǎng)均為原來的2倍．故本題選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)相似三角形性質(zhì)的理解．（1）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；（2）相似三角形面積的比等于相似比的平方；（3）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比．3．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，BC=1，AB=2，那么下列結(jié)論正確的是（）A．sinA= B．tanA= C．cosB= D．cotB=【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值．【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系分別求出即可．【解答】解：如圖所示：∵∠ACB=90°，BC=1，AB=2，∴AC=，∴sinA=，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；tanA==，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；cosB=，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；cotB=，正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確記憶相關(guān)比例關(guān)系是解題關(guān)鍵．4．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么（）A．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0 C．a(chǎn)＞0，b＜0，c＜0 D．a(chǎn)＞0，b＞0，c＜0【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【分析】首先根據(jù)開口方向確定a的符號(hào)，再依據(jù)對(duì)稱軸的正負(fù)和a的符號(hào)即可判斷b的符號(hào)，然后根據(jù)與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可判斷c的正負(fù)，由此得出答案即可．【解答】解：∵圖象開口方向向上，∴a＞0；∵圖象的對(duì)稱軸在x軸的正半軸上，∴﹣＞0，∵a＞0，∴b＜0；∵圖象與Y軸交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，∴c＜0；∴a＞0，b＜0，c＜0．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，能根據(jù)圖象正確確定各個(gè)系數(shù)的符號(hào)是解決此題的關(guān)鍵，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想．5．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）（1）三點(diǎn)確定一個(gè)圓；（2）平分弦的直徑垂直于弦；（3）相等的圓心角所對(duì)的弧相等；（4）正五邊形是軸對(duì)稱圖形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】命題與定理．【分析】利用確定圓的條件、垂徑定理、等弧的定義及正五邊形的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：（1）不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，錯(cuò)誤；（2）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，錯(cuò)誤；（3）相等的圓心角所對(duì)的弧相等，錯(cuò)誤；（4）正五邊形是軸對(duì)稱圖形，正確．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解確定圓的條件、垂徑定理、等弧的定義及正五邊形的性質(zhì)，難度不大．6．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．0?=B．如果（為非零向量），那么∥C．設(shè)為單位向量，那么||=1D．如果，那么或【考點(diǎn)】*平面向量．【分析】根據(jù)單位向量、平行向量以及模的定義的知識(shí)求解即可求得答案，注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用．【解答】解：A、0?=，故正確；B、如果（為非零向量），那么∥；故正確；C、設(shè)為單位向量，那么||=1，故正確；D、如果，沒法判斷與的關(guān)系；故錯(cuò)誤．故選D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平面向量的知識(shí)．此題難度不大，注意熟記定義是解此題的關(guān)鍵．二.填空題7．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）已知x：y=5：2，那么（x+y）：y=7：2．【考點(diǎn)】比例的性質(zhì)．【分析】根據(jù)合比性質(zhì)，可得答案．【解答】解：由合比性質(zhì)，得（x+y）：y=7：2，故答案為：7：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，利用了合比性質(zhì)：=?=．8．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）計(jì)算：=﹣+5．【考點(diǎn)】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加減運(yùn)算法則求解即可求得，注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)的變化．【解答】解：=2﹣3+5=﹣+5．故答案為：﹣+5．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平面向量的運(yùn)算．此題難度不大，注意掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．9．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE與邊AB相交于點(diǎn)D，與邊AC相交于點(diǎn)E，如果AD=3，BD=4，AE=2，那么AC=．【考點(diǎn)】平行線分線段成比例．【分析】由平行可得到=，代入可求得EC，再利用線段的和可求得AC．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，即=，解得EC=，∴AC=AE+EC=2+=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對(duì)應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵．10．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）已知線段MN的長(zhǎng)為2厘米，點(diǎn)P是線段MN的黃金分割點(diǎn)，那么較長(zhǎng)的線段MP的長(zhǎng)是（﹣1）厘米．【考點(diǎn)】黃金分割．【專題】計(jì)算題．【分析】直接根據(jù)黃金分割的定義求解．【解答】解：∵點(diǎn)P是線段MN的黃金分割點(diǎn)，∴較長(zhǎng)的線段MP的長(zhǎng)=MN=×2=（﹣1）cm．故答案為（﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC=AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．11．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，﹣3）．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【專題】計(jì)算題．【分析】計(jì)算自變量為0時(shí)的函數(shù)值即可得到拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：當(dāng)x=0時(shí)，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，所以二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3）．故答案為（0，﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．12．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）如果將拋物線y=﹣2x2平移，使頂點(diǎn)移到點(diǎn)P（﹣3，1）的位置，那么所得新拋物線的表達(dá)式是y=﹣2（x+3）2+1．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】幾何變換．【分析】由于拋物線平移前后二次項(xiàng)系數(shù)不變，然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出新拋物線解析式．【解答】解：拋物線y=﹣2x2平移，使頂點(diǎn)移到點(diǎn)P（﹣3，1）的位置，所得新拋物線的表達(dá)式為y=﹣2（x+3）2+1．故答案為y=﹣2（x+3）2+1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．13．（3分）（2016?浦東新區(qū)二模）正八邊形的中心角等于45度．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【分析】根據(jù)中心角是正多邊形相鄰的兩個(gè)半徑的夾角來解答．【解答】解：正八邊形的中心角等于360°÷8=45°；故答案為45．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是牢記中心角的定義及求法．14．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）用一根長(zhǎng)50厘米的鐵絲，把它彎成一個(gè)矩形框，設(shè)矩形框的一邊長(zhǎng)為x厘米，面積為y平方厘米，寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式：y=﹣x2+25x．【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式．【分析】易得矩形另一邊長(zhǎng)為周長(zhǎng)的一半減去已知邊長(zhǎng)，那么矩形的面積等于相鄰兩邊長(zhǎng)的積．【解答】解：由題意得：矩形的另一邊長(zhǎng)=50÷2﹣x=25﹣x，則y=x（25﹣x）=﹣x2+25x．故答案為y=﹣x2+25x．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列二次函數(shù)關(guān)系式；掌握矩形的邊長(zhǎng)與所給周長(zhǎng)與另一邊長(zhǎng)的關(guān)系是解決本題的突破點(diǎn)．15．（3分）（2002?上海）離旗桿20米處的地方用測(cè)角儀測(cè)得旗桿頂?shù)难鼋菫棣?，如果測(cè)角儀高為1.5米，那么旗桿的高為（1.5+20tanα）米（用含α的三角函數(shù)表示）．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．【專題】計(jì)算題．【分析】由題意得，在直角三角形中，知道了已知角的鄰邊求對(duì)邊，用正切值計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)題意可得：旗桿比儀器高20tanα，測(cè)角儀高為1.5米，故旗桿的高為（1.5+20tanα）米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．16．（3分）（2015?丹東模擬）如圖，已知⊙O的半徑為5，⊙O的一條弦AB長(zhǎng)為8，那么以3為半徑的同心圓與弦AB位置關(guān)系是相切．【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系；勾股定理；垂徑定理．【分析】過O作OC⊥AB于C，連接OA，根據(jù)垂徑定理求出AC，根據(jù)勾股定理求出OC，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【解答】解：過O作OC⊥AB于C，連接OA，則∠OCA=90°，AC=BC=AB=×8=4，在Rt△OCA中，OA=5，AC=4，由勾股定理得：OC===3，\∵3=3，∴以3為半徑的同心圓與弦AB位置關(guān)系是相切．故答案為：相切．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，垂徑定理，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出OC的長(zhǎng)，注意：直線與圓的位置關(guān)系有：相離，相切，相交．17．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）我們定義：如果一個(gè)圖形上的點(diǎn)A′、B′、…、P′和另一個(gè)圖形上的點(diǎn)A、B、…、P分別對(duì)應(yīng)，并且滿足：（1）直線AA′、BB′、…、PP′都經(jīng)過同一點(diǎn)O；（2）==…==k，那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，點(diǎn)O叫做位似中心，k叫做位似比．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且OB=BB′，如果點(diǎn)A（，3），那么點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（5，6）．【考點(diǎn)】位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)位似的性質(zhì)得BC∥B′C′，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到==，則△A′B′C′與△ABC的位似比為2，然后根據(jù)如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k進(jìn)行求解．【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，∴BC∥B′C′，∴==，∴△A′B′C′與△ABC的相似比為2，而點(diǎn)A（，3），∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（×2，3×2），即A′（5，6）．故答案為（5，6）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了位似變換：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．18．（3分）（2015?普陀區(qū)一模）如圖，已知△ABC中，AB=AC，tanB=2，AD⊥BC于點(diǎn)D，G是△ABC的重心，將△ABC繞著重心G旋轉(zhuǎn)，得到△A1B1C1，并且點(diǎn)B1在直線AD上，聯(lián)結(jié)CC1，那么tanCC1B1的值等于或．【考點(diǎn)】三角形的重心；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】分類討論：當(dāng)△ABC繞著重心G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C1，如圖1，設(shè)GD=x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD，再根據(jù)重心的性質(zhì)得AG=2GD=2x，則AD=AG+DG=3x，在Rt△ABD中，利用正切定義得到BD=AD=x，則CD=x，接著根據(jù)勾股定理計(jì)算出CG=x，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BGD=∠DGD1，GD=GD1=x，C1D1=CD=x，由于而GD⊥BC，所以GD1⊥B1C1，點(diǎn)D1在CG上，于是可得CD1=CG﹣GD1=x，則在Rt△CC1D1中，利用正切的定義得到tan∠CC1D1==；當(dāng)△ABC繞著重心G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C1，如圖2，設(shè)DG=x，與前面一樣，可求得GD1=GD=x，C1D1=CD=x，則CD1=x，在Rt△CC1D1中，利用正切定理得到tan∠CC1D1==．【解答】解：當(dāng)△ABC繞著重心G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C1，如圖1，設(shè)GD=x，∵AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴BD=CD，∴重心G在AD上，∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD=2x，∴AD=AG+DG=3x，在Rt△ABD中，∵tanB==2，∴BD=AD=x，∴CD=x，在Rt△CDG中，CG==x，∵△ABC繞著重心G旋轉(zhuǎn)，得到△A1B1C1，并且點(diǎn)B1在直線AD上，∴∠BGD=∠DGD1，GD=GD1=x，C1D1=CD=x，而GD⊥BC，∴GD1⊥B1C1，點(diǎn)D1在CG上，∴CD1=CG﹣GD1=x﹣x=x，在Rt△CC1D1中，tan∠CC1D1===；當(dāng)△ABC繞著重心G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A1B1C1，如圖2，設(shè)DG=x，與前面一樣，可求得GD1=GD=x，C1D1=CD=x，則CD1=x+x=x，在Rt△CC1D1中，tan∠CC1D1===，綜上所述，tanCC1B1的值等于或．故答案為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)．重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解直角三角形．三.解答題19．（2015?普陀區(qū)一模）計(jì)算：．【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值．【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案．【解答】解：原式=4×﹣×+×=1+3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．20．（2015?普陀區(qū)一模）如圖，已知AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)O，且=．（1）求的值．（2）如果，請(qǐng)用表示．【考點(diǎn)】*平面向量．【分析】（1）由AB∥CD，可得△AOB∽△DOC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得的值．（2）由（1）可得=﹣=﹣．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∴==，∴=；（2）由（1）知，AD=AO，∴=﹣=﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平面向量的知識(shí)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．21．（2015?普陀區(qū)一模）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），對(duì)稱軸為直線x=2，求二次函數(shù)解析式并寫出圖象最低點(diǎn)坐標(biāo)．【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=2，設(shè)出二次函數(shù)解析式，把A與C坐標(biāo)代入求出a與k的值，確定出二次函數(shù)解析式，找出函數(shù)圖象最低點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x﹣2）2+k，把A（1，0），C（0，6）代入得：，解得：，則二次函數(shù)解析式為y=2（x﹣2）2﹣2=2x2﹣8x+6，二次函數(shù)圖象的最低點(diǎn)，即頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)的最值，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．22．（2015?普陀區(qū)一模）如圖，某新建公園有一個(gè)圓形人工湖，湖中心O處有一座噴泉，小明為測(cè)量湖的半徑，在湖邊選擇A、B兩個(gè)點(diǎn)，在A處測(cè)得∠OAB=45°，在AB延長(zhǎng)線上的C處測(cè)得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半徑．（結(jié)果保留根號(hào)）【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用．【分析】過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，由垂徑定理可知AD=BD，根據(jù)∠OAB=45°可知AD=OD，設(shè)AD=x，則OD=x，OA=x，CD=x+BC=（x+50）米，再根據(jù)∠OCA=30°即可得出x的值，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，則AD=BD，∵∠OAB=45°，∴AD=OD，∴設(shè)AD=x，則OD=x，OA=x，CD=x+BC=x+50）．∵∠OCA=30°，∴=tan30°，即=，解得x=25+25，∴OA=x=×（25+25）=（25+25）（米）．答：人工湖的半徑為（25+25）米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．23．（2015?普陀區(qū)一模）如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在邊BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分別是垂足．（1）求證：AC2=AF?AD；（2）聯(lián)結(jié)EF，求證：AE?DB=AD?EF．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）證明△ACD∽△AFC，得到，即可解決問題．（2）證明A、E、F、C四點(diǎn)共圓，得到∠AFE=∠ACE，這是解決該問題的關(guān)鍵性結(jié)論；證明∠AFE=∠B，結(jié)合∠FAE=∠BAD，得到△AEF∽△ADB，列出比例式即可解決問題．【解答】解：（1）如圖，∵∠ACB=90°，CF⊥AD，∴∠ACD=∠AFC，而∠CAD=∠FAC，∴△ACD∽△AFC，∴，∴AC2=AF?AD．（2）如圖，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC=∠AFC=90°，∴A、E、F、C四點(diǎn)共圓，∴∠AFE=∠ACE；而∠ACE+∠CAE=∠CAE+∠B，∴∠ACE=∠B，∠AFE=∠B；∵∠FAE=∠BAD，∴△AEF∽△ADB，∴AE：AD=BD：EF，∴AE?DB=AD?EF．【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相似三角形的判定及其性質(zhì)來分析、判斷、推理或解答．24．（2015?普陀區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣m，0）和點(diǎn)B（0，2m）（m＞0），點(diǎn)C在x軸上（不與點(diǎn)A重合）（1）當(dāng)△BOC與△AOB相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)（用m表示）（2）當(dāng)△BOC與△AOB全等時(shí)，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，求m的值，并求點(diǎn)C的坐標(biāo)（3）P是（2）的二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，∠APC=90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及∠ACP的度數(shù)．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）分類討論：△BOC∽△BOA，△BOC∽△AOB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得a的值可得p點(diǎn)坐標(biāo)，分類討論：當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，1）時(shí)，根據(jù)正弦函數(shù)據(jù)，可得∠COP的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形得到性質(zhì)，可得答案；當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，1）時(shí)，根據(jù)正弦函數(shù)據(jù)，可得∠AOP的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，0）或（4m，0）．或（﹣4m，0）；（2）當(dāng)△BOC與△AOB全等時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，0），二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，，解得．二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）；（3）作PH⊥AC于H，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，﹣a2+4），∵∠AHP=∠PHC=90°，∠APH=∠PCH=90°﹣∠CPH，∴△APH∽△PCH，∴=，即PH2=AH?CH，（﹣a2+4）2=（a+2）（2﹣a）．解得a=，或a=﹣，即P（，1）或（﹣，1），如圖：當(dāng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（，1）時(shí)，OP1=2=OC，sin∠P1OE==∴∠COP=30°，∴∠ACP==75°當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，1）時(shí)，sin∠P2OF==，∠P2OF=30°．由三角形外角的性質(zhì)，得∠P2OF=2∠ACP，即∠ACP=15°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用了相似三角形的性質(zhì)，分類討論是解題關(guān)鍵；（2）利用全等三角形的性質(zhì)，解三元一次方程組；（3）利用了相似三角形的性質(zhì)，分類討論是解題關(guān)鍵，正弦函數(shù)及等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．25．（2015?普陀區(qū)一模）如圖，等邊△ABC，AB=4，點(diǎn)P是射線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BP，作BP的垂直平分線交線段BD于點(diǎn)D，交射線BA于點(diǎn)Q，分別聯(lián)結(jié)PD，PQ．（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，①求∠DPQ的度數(shù)，并求證：△DCP∽△PAQ；②設(shè)CP=x，AQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（2）如果△PCD是等腰三角形，求△APQ的面積．【考點(diǎn)】相似形綜合題；三角形的外角性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】綜合題．【分析】（1）①根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BD=PD，BQ=PQ，即可證到△BDQ≌△PDQ，從而有∠DPQ=∠DBQ=60°；易證∠APQ=∠CDP，∠DCP=∠QAP，就可證到△DCP∽△PAQ；②利用△DCP∽△PAQ可