2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)選修4-1（人教版）練習(xí)：第三講3.1平行射影 Word版含解析

第三講圓錐曲線性質(zhì)的探討3.1平行射影A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．下列說法正確的是()A．正射影和平行射影是兩種截然不同的射影B．投影線與投影平面有且只有一個(gè)交點(diǎn)C．投影方向可以平行于投影平面D．一個(gè)圖形在某個(gè)平面的平行射影是唯一的答案：A2．若一條直線與平面的一條斜線在此平面上的正射影垂直，則這條直線與這條斜線的位置關(guān)系是()A．垂直 B．異面C．相交 D．不能確定解析：當(dāng)這條直線在平面內(nèi)，則A成立，若這條直線是平面的垂線，則B或C成立．答案：D3．直線a，b在平面α內(nèi)的正射影互相平行，則直線a，b的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．平行或異面答案：D4．Rt△ABC的斜邊BC在平面α內(nèi)，則△ABC的兩條直角邊在平面α內(nèi)的射影與斜邊組成的圖形只能是()A．一條線段 B．一個(gè)銳角三角形C．一個(gè)鈍角三角形 D．一條線段或一個(gè)鈍角三角形答案：D5．球在點(diǎn)光源P的照射下，在一個(gè)平面π上的射影的形狀為()A．圓B．橢圓C．圓或橢圓D．圓或橢圓或拋物線或雙曲線的一支解析：設(shè)平面π與PO的夾角為β(O為球心)，若β＝eq\f(π,2)，則射影為圓；再設(shè)PO與過P點(diǎn)的球的切線的夾角為α，則α<β<eq\f(π,2)時(shí)，射影為橢圓；α＝β時(shí)，射影為拋物線；α>β時(shí)，射影為雙曲線的一支．答案：D 二、填空題6．一條直線在平面上的正射影是________．解析：當(dāng)直線和平面垂直的時(shí)候，直線在平面內(nèi)的正射影是一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)直線和平面不垂直的時(shí)候，直線在平面內(nèi)的正射影是一條直線．答案：一個(gè)點(diǎn)或一條直線7．下列語句不正確的是________(填序號(hào))．(1)正射影是平行射影的特例；(2)平行于投影面的線段，它的平行射影與這條線段平行且相等；(3)在同一直線或平行直線上，兩條線段平行射影的比等于這兩條線段的比；(4)兩條相交直線的平行射影還是兩條相交直線．解析：正射影是平行射影的特例，從而(1)正確；根據(jù)平行射影的性質(zhì)，(2)是正確的；同樣(3)也是平行射影的性質(zhì)，因此也正確．而(4)中，兩條相交直線的平行射影是兩條相交直線或一條直線，故(4)不正確．答案：(4)8.如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝eq\f(π,2)，則PA與底面ABC所成角為________．解析：如圖所示，PA在面ABC的正射影必在BC中點(diǎn)E及點(diǎn)A的連線上，則所求角平面為∠PAE.又∠BAC＝eq\f(π,2)，則A在以BC為直徑的圓周上，即AE＝eq\f(1,2)BC.易得△PAE為直角三角形，且∠PAE＝eq\f(π,3).故所求為eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)三、解答題9.如圖所示，已知DA⊥平面ABC，△ABC是斜三角形，A′是A在平面BCD上的正射影，求證A′不可能是△BCD的垂心．證明：假設(shè)A′為△BCD的垂心，連接BA′，并延長BA′交CD于點(diǎn)E，則A′B⊥CD.由題意知AA′⊥平面BCD于點(diǎn)A′，所以AA′⊥CD.又因?yàn)锳A′∩A′B＝A′，所以CD⊥平面AA′B.所以AB⊥CD.又因?yàn)镈A⊥平面ABC，所以DA⊥AB，所以AB⊥平面ACD.所以AB⊥AC，這與△ABC是斜三角形相矛盾，故A′不可能是△BCD的垂心．10．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿對(duì)角線AC把矩形折起，使D點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的射影恰好落在AB上，則三棱錐DABC的體積為多少？解：因?yàn)镈點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的射影恰好落在AB上，AB⊥BC，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥BD，所以BD＝eq\r(7)，VDABC＝VCABD＝eq\f(1,3)BC·S△ABD＝eq\f(3\r(7),2)，如下圖．B級(jí)能力提升1．如果一個(gè)三角形的平行射影仍是一個(gè)三角形，則下列結(jié)論正確的是()A．內(nèi)心的平行射影還是內(nèi)心B．重心的平行射影還是重心C．垂心的平行射影還是垂心D．外心的平行射影還是外心解析：三角形的平行投影仍是三角形，但三角形的形狀通常將發(fā)生變化，此時(shí)三角形的各頂點(diǎn)、各邊的位置也會(huì)發(fā)生變化，而重心、垂心、外心這些由頂點(diǎn)和邊確定的點(diǎn)通常也發(fā)生變化，而內(nèi)心則始終是原先角平分線的交點(diǎn)，所以仍是新三角形的內(nèi)心．答案：A2．在四棱錐P-ABCD中，四條側(cè)棱都相等，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB>CD.為保證頂點(diǎn)在底面ABCD所在平面上的正射影O落在梯形ABCD外部，則底面ABCD需滿足條件______________(填上你認(rèn)為正確的一個(gè)充分條件即可)．解析：由已知四條側(cè)棱都相等，得P在底面ABCD上的正射影O應(yīng)為四邊形ABCD的外接圓圓心，要使圓心O在四邊形ABCD外，則應(yīng)使∠ACB>90°(或∠ADB>90°)．答案：∠ACB>90°(或∠ADB>90°)3.求證：在同一直線上的兩條線段的平行射影的比等于這兩條線段的比．已知：如圖所示，C是線段AB上任一點(diǎn)，C′，A′，B′分別是C，A，B在平面α上沿直線l方向的平行射影．求證：eq\f(AC,