整式及因式分解

第3講整式及因式分解考點(diǎn)一

整式的有關(guān)概念考點(diǎn)二

整式的運(yùn)算預(yù)學(xué)案·記易類型一整式的有關(guān)概念類型二整式的運(yùn)算類型三因式分解命題點(diǎn)二整式的運(yùn)算精講案·學(xué)易試真題·練易命題點(diǎn)三因式分解考點(diǎn)三

因式分解命題點(diǎn)一整式的有關(guān)概念預(yù)學(xué)案·記易考點(diǎn)一整式的有關(guān)概念

1.單項(xiàng)式:①數(shù)與字母的積組成的式子叫做單項(xiàng)式,特別地,單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母

也叫單項(xiàng)式,單項(xiàng)式中的②數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù),單項(xiàng)式中③所有字母

的指數(shù)和叫做單項(xiàng)式的次數(shù).2.多項(xiàng)式:④幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式,多項(xiàng)式中,⑤最高次項(xiàng)的次數(shù)叫做多

項(xiàng)式的次數(shù).3.整式:⑥單項(xiàng)式和⑦多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.整式和分式都是有理式.4.代數(shù)式:用⑧運(yùn)算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字

母連接而成的式子,單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母也是代數(shù)式.5.代數(shù)式的值:用⑨數(shù)值代替代數(shù)式中的字母,計(jì)算后所得的結(jié)果.6.同類項(xiàng):所含字母⑩相同,且相同字母的

指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng),幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng).特別提醒同類項(xiàng)要注意所含字母相同,相同字母的指數(shù)也相同.即學(xué)即練1.單項(xiàng)式5mn2的次數(shù)為3.2.(2018貴州貴陽,1,3分)當(dāng)x=-1時(shí),代數(shù)式3x+1的值是

(B)A.-1

B.-2

C.-3

D.-43.(2018山東淄博)單項(xiàng)式am-1b2與

a2bn的和仍是單項(xiàng)式,則nm的值是

(C)A.3

B.6

C.8

D.9考點(diǎn)二整式的運(yùn)算1.合并同類項(xiàng):把一個(gè)多項(xiàng)式中的

同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng).合并同類項(xiàng)的法則:

系數(shù)相加減,字母和字母指數(shù)不變

.2.去括號法則括號前面是正號,去掉括號后,括號里的各項(xiàng)符號

不變;括號前面是負(fù)號,去掉括號后,括號里的各項(xiàng)符號都

改變.3.冪的運(yùn)算法則冪的運(yùn)算名稱冪的運(yùn)算法則關(guān)鍵點(diǎn)同底數(shù)冪相乘am·an=

am+n同底、乘法、指數(shù)相加冪的乘方(am)n=

amn冪、乘方、指數(shù)相乘積的乘方(ab)n=

anbn

積、乘方、每個(gè)因式分別乘方商的乘方

=

商、分子分母分別乘方同底數(shù)冪相除

=

am-n同底、相除、指數(shù)相減0次冪a0=

1(a≠0)非0、結(jié)果為1負(fù)整數(shù)指數(shù)冪a-p=

(a≠0,p為正整數(shù))非0、倒數(shù)說明:法則中a≠0,b≠0,m,n是正整數(shù),每個(gè)法則都要注意運(yùn)算條件和運(yùn)算方法,不能不顧條件亂用法則,幾個(gè)法則都是中考?？嫉?往往還涉及法則的逆用,因此,法則務(wù)必記清楚

4.整式的運(yùn)算整式的加減先去括號,再找同類項(xiàng),最后合并同類項(xiàng)(一去二找三并).注意:不同類的項(xiàng)不可以合并

整式的乘法單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘把它們的系數(shù)、同底數(shù)的冪(相同字母)分別相乘,對于只在一個(gè)單項(xiàng)式中含有的字母,連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式實(shí)質(zhì):乘法交換律,同底數(shù)冪的乘法

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加.即m(a+b+c)=

ma+mb+mc實(shí)質(zhì):乘法分配律

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加.即(m+n)(a+b)=

ma+mb+na+nb實(shí)質(zhì):整體用分配律整式的除法單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除,作為商的因式,對于只在被除式里含有的字母,連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式實(shí)質(zhì):同底數(shù)冪的除法

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式先用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以這個(gè)單項(xiàng)式,再把所得的商相加實(shí)質(zhì):轉(zhuǎn)化成單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式5.乘法公式平方差公式:(a+b)(a-b)=

a2-b2;完全平方公式:(a±b)2=

a2±2ab+b2;兩個(gè)一次二項(xiàng)式的積:(x+p)(x+q)=

x2+(p+q)x+pq;公式變形:a2+b2=(a+b)2

-2ab=(a-b)2

+2ab,(a-b)2=(a+b)2

-4ab.特別提醒1.同類項(xiàng)要“兩同(所含字母相同、相同字母的指數(shù)相同)”、“兩無關(guān)(字

母排列無關(guān)、系數(shù)無關(guān))”;合并同類項(xiàng)的前提是同類項(xiàng),不同類的不可以合

并;合并方法是只求系數(shù)和,字母和字母指數(shù)不變.2.熟練掌握冪的運(yùn)算法則,冪的運(yùn)算要分清楚類型,弄清楚底數(shù)、指數(shù)、系數(shù)

和符號,記清楚底數(shù)和指數(shù)的變化,準(zhǔn)確記住0次冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;公式要記

熟,運(yùn)算需細(xì)心.即學(xué)即練4.(2018湖北武漢,3,3分)計(jì)算3x2-x2的結(jié)果是

(B)A.2

B.2x2C.2x

D.4x2

5.(2018浙江溫州,3,4分)計(jì)算a6·a2的結(jié)果是

(C)A.a3

B.a4C.a8

D.a12

6.(2018資陽)下列運(yùn)算正確的是

(D)A.a2+a3=a5

B.a2×a3=a6C.(a+b)2=a2+b2

D.(a2)3=a6

7.(2018天津,13,3分)計(jì)算2x4·x3的結(jié)果等于2x7

.8.(2018浙江麗水)化簡(x-1)(x+1)的結(jié)果是x2-1.9.(2018浙江麗水)計(jì)算:(3

+1)(3

-1)=17.考點(diǎn)三

因式分解1.定義:把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)

整式的積的形式,叫做因式分解.分解因式與整式乘法的關(guān)系:

互逆

.2.方法:(1)提公因式法:ma+mb+mc=

m(a+b+c).公因式:一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.(2)公式法:利用平方差公式:a2-b2=

(a+b)(a-b);利用完全平方公式:a2±2ab+b2=

(a±b)2

.“二次三項(xiàng)式”型:x2+(p+q)x+pq=

(x+p)(x+q).3.步驟:“一提二套三查”,首先提取公因式,公因式要找準(zhǔn)、要提清,然后考

慮用公式,公式要記清、模板要套準(zhǔn),最后檢查是否分解“干凈”,特別注意

常數(shù)是否提清,是否化簡.即學(xué)即練10.(2018湖南張家界)分解因式:a2+2a+1=(a+1)2.11.(2018浙江衢州)分解因式:x2-9=(x+3)(x-3)

.12.(2018安徽,5,4分)下列分解因式正確的是

(C)A.-x2+4x=-x(x+4)B.x2+xy+x=x(x+y)C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2D.x2-4x+4=(x+2)(x-2)13.(2018綿陽)因式分解:x2y-4y3=y(x+2y)(x-2y)

.精講案·學(xué)易類型一整式的有關(guān)概念例1(2016曲靖,3,4分)單項(xiàng)式xm-1y3與4xyn的和是單項(xiàng)式,則nm的值是

(D)A.3

B.6

C.8

D.9命題思路考查整式的基本概念.失分警示記清楚基本概念,單項(xiàng)式系數(shù)是單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù),次數(shù)是所有

字母的指數(shù)和;多項(xiàng)式的次數(shù)是多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的次數(shù);同類項(xiàng)是所含字母相

同并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng),同類項(xiàng)與字母順序無關(guān),與系數(shù)無關(guān).實(shí)戰(zhàn)預(yù)測1.某公司2018年茶葉生產(chǎn)總量為a萬噸,比2017年茶葉總量增加了10%,那么20

17年茶葉的生產(chǎn)總量為

萬噸.2.單項(xiàng)式

的系數(shù)是

(D)A.

B.πC.2

D.

3.多項(xiàng)式3x2-2xm-1-4x+25的次數(shù)是五次,則m=6.4.下列單項(xiàng)式中,能與a2b合并成一項(xiàng)的是

(A)A.2a2b

B.a2b2

C.ab2

D.3ab類型二整式的運(yùn)算例2(2018曲靖,3,4分)下列計(jì)算正確的是

(C)A.a2·a=a2

B.a6÷a2=a3C.a2b-2ba2=-a2b

D.

=-

命題思路本題考查整式的運(yùn)算.失分警示不能準(zhǔn)確地應(yīng)用整式的運(yùn)算法則導(dǎo)致失分.例3(2018云南,14,4分)已知x+

=6,則x2+

=

(C)A.38

B.36

C.34

D.32命題思路完全平方公式是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的公式,每年都會(huì)以不同的方式

考查,有時(shí)融入其他知識考查,有時(shí)單獨(dú)考查.由次數(shù)增加聯(lián)想到完全平方公

式,已知條件一次,所求式子二次,左右兩邊平方即可實(shí)現(xiàn).失分警示完全平方公式不熟練或不重視等式性質(zhì),出現(xiàn)由x+

=6得x2+

=62=36的錯(cuò)誤.注意完全平方公式的變形應(yīng)用:x2+

=

-2.實(shí)戰(zhàn)預(yù)測5.在下列運(yùn)算中,計(jì)算正確的是

(C)A.(x5)2=x7

B.(x-y)2=x2-y2C.x13÷x3=x10

D.x3+x3=x6

6.下列運(yùn)算正確的是

(C)A.a+2a=2a2

B.(-2ab2)2=2a2b4C.a5÷a2=a3

D.(a-3)2=a2-97.計(jì)算:(-x3)·(-2x)2=-4x5.8.若x3·xn+1=x6,則n=2.類型三因式分解例4(2018云南,4,3分)分解因式:x2-4=(x+2)(x-2).命題思路主要考查因式分解.失分警示公式套用錯(cuò)誤導(dǎo)致出錯(cuò).實(shí)戰(zhàn)預(yù)測9.分解因式:2a3-32a=2a(a+4)(a-4)

.10.分解因式:3a2-12ab+12b2=3(a-2b)2.11.分解因式:(a-b)2-4b2=(a+b)(a-3b)

.12.若x2-4x+p=(x+q)2,則pq=

.試真題·練易1.(2015云南,12,3分)某電視機(jī)的原價(jià)是2500元,現(xiàn)按原價(jià)的8折出售,則購買a

臺這樣的電視機(jī)需要2000a元.命題點(diǎn)一整式的有關(guān)概念命題點(diǎn)二整式的運(yùn)算2.(2018云南昆明,4,3分)若m+

=3,則m2+

=7.3.(2017云南,9,4分)下列計(jì)算正確的是

(D)A.2a×3a=6a

B.(-2a)3=-6a3C.6a÷2a=3a

D.(-a3)2=a6

4.(2016曲靖,2,4分)下列運(yùn)算正確的是

(D)A.3

-

=3

B.a6÷a3=a2C.a2+a3=a5

D.(3a3)2=9a6

5.(2015昆明,5,3分)下列運(yùn)算正確的是

(B)A.

=-3

B.a2·a4=a6C.(2a2)3=2a6

D.(a+2)2=a2+46.(2015云南,5,3分)下列運(yùn)算正確的是

(C)A.a2·a5=a10

B.(π-3.14)0=0C.

-2

=

D.(a+b)2=a2+b2

7.(2015曲靖,3,3分)下列運(yùn)算正確的是

(B)A.4a2-2a2=2

B.a7÷a3=a4C.5a2·a4=5a8

D.(a2b3)2=a4b5

8.(2014云南,2,3分)下列運(yùn)算正確的是

(D)A.3x2+2x3=5x6

B.50=0C.2-3=

D.(x3)2=x6

9.(2014曲靖,1,3分)下列運(yùn)算正確的是

(D)A.3a+2b=5ab

B.(2ab2)3=6a3b6C.a6÷a3=a2

D.(

)2=a(a≥0)命題點(diǎn)三因式分解10.(2016云南,3,3分)分解因式:x2-1=(x+1)(x-1).11.(2015云南,9,3分)分解因式:3x2-12=3(x-2)(x+2).探疑難·知易1.整式運(yùn)算中的符號變換易錯(cuò)題1分解因式2x(-x+y)2-(x-y)3時(shí),應(yīng)提取的公因式是

(C)A.-x+y

B.x-yC.(x-y)2

D.以上都不對解析先化符號(-x+y)2=(x-y)2,再提取公因式.錯(cuò)解

A誤區(qū)鑒定套用公式、提公因式、找最簡公分母等時(shí),常常需要符號變換,符

號變換不要弄錯(cuò).當(dāng)堂鞏固1.分解因式:c2(a-b)+4(b-a)=(a-b)(c+2)(c-2).2.先乘法,再分解