2022年北師大版高中數(shù)學(xué)必修第2冊期末綜合測評試卷

模塊綜合測評

考試時間120分鐘，滿分150分.

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的)

1.若i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=5i(3—4i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為(A)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［解析］z=5i(3-4i)=20+15i,則復(fù)數(shù)2=543—4。在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(20,15),所以

復(fù)數(shù)z=5i(3—4i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限.

2.已知向量a=(cos75°,sin75°),b=(cos15°,sin150),則|。一臼的值為(B)

A.2B.1

C.2D.3

［解析］如圖，將向量〃的起點都移到原點，即a=O4,b=OB,則|0—臼=|8A|且N

xOA=75。，NRO8=15。，于是NAO5=60。，又因為同=|b|=l,則4AOB為正三角形，從而

\BA\=\a-b\=l.

C.8D.4

［解析］y=3sin(；—3x)+小cos住一3x)=

2小si嶺一3x),所以丁=禹若.

4.在aABC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c.若8=去a=#,sin2B=2sinAsin

C,則△ABC的面積S=(B)

3

A.2B.3

C.y/6D.6

［解析］由sin2g=2sinAsinC及正弦定理,得〃=2〃c,①

又B=^,所以cP+c2。?.②

聯(lián)立①②解得。=c=,，所以S=^X,X#=3.

5.已知刷=2啦，|q|=3,p,q的夾角為:，如圖，若贏=5p+2q,AC=p-3q,D為

BC的中點，則的|為（A）

C

AB

A謂B.羋

C.7D.18

［解析］..,AO=；（AC+AB）=3（6p—g）,

二|國）|=1|Ab［2=1\/（6p_g）2

=-y］36p2-12pq+q2

6.已知直線m,〃是異面直線，則過直線〃且與直線機垂直的平面（B）

A.有且只有一個B.至多有一個

C.有一個或無數(shù)多個D.不存在

［解析J當(dāng)異面直線互相垂直時滿足條件的平面有I個，當(dāng)異面直線互相不垂直時滿足

條件的平面有0個.故選B.

7.在長方體ABCD—AiBCQi中，若AB=A￡>=2小，CCi=@則二面角C|—BZ）—C

的大小為（A）

A.30°B.45°

［解析］如圖，連接AC交8。于點O,連接0G.因為AB=A￡>=2小，所以ACJ_B￡>,

又易知平面ACG4,所以BO_LOG,所以NCOG為二面角?—8。一（：的一個平面

角,因為在△COG中，OC=，A,CCi=?所以tan/COG=牛，所以二面角C|一BO-C

的大小為30°.

8.函數(shù)y=cos（x+g）+sin（x+；）cos（x+：）—sinQ+；）在一個周期內(nèi)的圖象是

（B）

解析］y

-\/2sinx）=-2sinxcosx=-sin2x,故選B.

二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中,

有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）

9.已知復(fù)數(shù)z=±,則以下說法正確的是（CD）

A.復(fù)數(shù)z的虛部為:

B.z的共枕復(fù)數(shù)—z=25一i；

.1=亞

Cr.|z|-5

D.在復(fù)平面內(nèi)與z對應(yīng)的點在第二象限

..ii（l+2i）21.

z===-+1

I解析］v1_2i（i-2i）（l+2i）55'

..?復(fù)數(shù)Z的虛部為小Z的共朝復(fù)數(shù)》=一|一*|Z尸。（一號2+陟=坐,復(fù)平面內(nèi)與

z對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（一|,在第二象限.故選CD.

10.已知A,B,C表示不同的點，/表示直線，a,乃表示不同的平面，則下列推理正確

的是（ABD）

A.Ae/,AGa,B0,BGam

B.A&a,A",BRa,BQgaC8=AB

C./Ca,4G—Aea

D.Ada,AS/,/Ua=>/na=A

［解析］對于選項A：由基本事實2知，lUa,故選項A正確；

對于選項B：因為a,夕表示不同的平面，由基本事實3知，平面a,6相交，且。。夕=

AB,故選項B正確；

對于選項C：/Ua分兩種情況：/與a相交或/〃a.當(dāng)/與a相交時，若交點為A,則A

Ga,故選項C錯誤；

對于選項D：由基本事實2逆推可得結(jié)論成立，故選項D成立；故選ABD.

11.已知函數(shù)y（x）=2cos22r—2,下列命題中的真命題有（BC）

A.三4GR,yu+份為奇函數(shù)

B.牛），?r）=/（x+2a）對xGR恒成立

JT

C.Vx”X2《R，若貝箝）一人必）|=2,則比一刈的最小值為4

E）.\/Xi?右y（xD=.*X2）=0,則xi—xz=kn（kGZ）

［解析］由題意式x）=2cos22x—2=cos4x—1；

,.■/x）=cos4A—1的圖象如圖所示；

函數(shù)負x十份的圖象是y（x）的圖象向左或向右平移出個單位，

它不會是奇函數(shù)，故A錯誤；

若於）=7（x+2a），Acos4x—l=cos（4x+8a）—1,/.Sa=2kn9&￡Z；X3a

￡（0,引，，取。=:或E時，yU）=?r+2a）對x￡R恒成立，故B正確；

|/（X1）—/X2）|=|cos4xi—COS4X2I=2時,

|汨一X2|的最小值為曰=舍了=今故C正確；

2TEKTC

當(dāng)人方）=7（X2）=0時，制一X2=?T=A?"了=2（"ez），故D錯誤；故選BC.

12.如圖，矩形ABC。中，AB=2AO=2,E為邊A8的中點.將△AOE沿直線。E翻折

成△4OE■（點4不落在底面8CDE內(nèi)）.若M為線段4C的中點，則在△AOE翻轉(zhuǎn)過程中,

以下命題正確的是（ABC）

A.四棱錐4—BCOE體積最大值為坐

B.線段長度是定值

C.MB〃平面AQE一定成立

D.存在某個位置，使。E_L4C

A/2

［解析］△ADE是等腰直角三角形,A到OE的距離是當(dāng)平面4OE，平面5COE時,

Ai到平面BCDE的距離最大為坐，又S因弛形BCDE=2X1—/x1X1=1,

正

13或

-X-X

.322-4正確;

取CD中點N,連接MMBN,是41c的中點，

：.MN//A\D,而MNC平面4￡>E,AQU平面AQE,

；.MN〃平面AiDE,

由。N與E8平行且相等得四邊形OVBE是平行四邊形,8N〃。區(qū)同理得8N〃平面4OE,

而BNCMV=N,.?.平面BMN〃平面AQE,BMU平面BMN,〃平面AQE,C正

在上述過程中得NMNB=NA|QE=45。，XBN=DE=y[2,MN=%Q=；,

假設(shè)存在某個位置，使。ELAiC,取。E中點0,連接A。，CO,顯然AOLOE,而

Ai0n4C=A,.?.Z)E_L平面A|OC,0CU平面A℃,二DE1.0C,則CE=CD,但CE=啦,

CD=2,不可能相等，所以不可能有。ELAC.D錯.故選ABC.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知復(fù)數(shù)z滿足(l+2i)z=-3+4i,則|z|=!!!!、后####.

、/(-3)2+42r~

［解析］?：(l+2i)z=-3+4i,；.|l+2iHz|=|-3+4i|,則團=1萬言受"=小.

14.設(shè)向量a=(3,3),b=(l,-1).若(。+勸)，(a—勸)，則實數(shù)：=±3.

［解析］因為a+勸=(3+2,3—2),a—Ab=(3~A,3+2),又(a+油)_L(a—M),所以(a

+x.ft)-(a—勸)=(3+2)(3—2)+(3一義)(3+2)=0,解得2=±3.

15.如圖，四面體尸一ABC中，F(xiàn)A=PB=g,平面B48_L平面ABC,ZABC=90°,

AC=8,BC=6,則PC=J_.

［解析］取A8的中點E,連接PE.

"：PA=PB,：.PEA.AB.

又平面以B_L平面ABC,

.?.PE_L平面ABC.連接CE,

：.PE±CE.

又NABC=90°,AC=8,BC=6,

:.AB=2幣,PE=\JPA2~AE2=A/6,

點7儂+蠟二回,PC=\jPE2+CE2=7.

16.關(guān)于函數(shù)段）=cos（2r—W）+cos（2x+S有下列說法:

①y=/（x）的最大值為明；

②y=/U）是以兀為最小正周期的周期函數(shù)；

③y=A＞）在區(qū)間信，號）上是減少的；

④將函數(shù)y=gcos2x的圖象向左平移去個單位長度后，將與已知函數(shù)的圖象重合.

其中正確說法的序號是①②③.

［解析］y（x）=cos（2x—g+cos（2x+2

=cos(2x-*+cos俘+右一鼻

=^cos(：京)=gcos(2x-帝,

所以①?③正確，④錯誤.

四、解答題（本大題共6小題，共7（）分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分10分）設(shè)向量ei,e2的夾角為60。且同=陶=1,如果贏=ei+e2,BC=

2ei+8e2，CD—3（e\-ei）.

（1）證明：A,B,。三點共線；

（2）試確定實數(shù)&的值，使人的取值滿足向量2ei+e2與向量ei+&2垂直.

［解析］(1)證明：因為笳=e1+e2,BD=BC+cb=5el+5e2,

所以訪=5矗，即誦，冊共線，又贏，礪有公共點8,所以4,B,。三點共線.

（2）因為（2幻+。2）~1_（61+履2）,所以（2ei+。2＞（0+履2）=。，

2e^+2ke]-ei+eve2+kei=09即2+左+；+&=0,解得女=一.

18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)

段）-cos（x-：）-sin（x_"

（I）判斷函數(shù)兀v）的奇偶性，并給出證明；

（2）若。為第一象限角,且R+%當(dāng),求

cos（28+g的值.

I解析I（1）結(jié)論：函數(shù)yu）為定義在R上的偶函數(shù).

證明：函數(shù)式x）的定義域為R,關(guān)于原點對稱，

段）=cos（x—；）-Sin（x-今）=

Wco{G_j）+R=啦cosx,

所以#一X）=A/^COS（—X）=A/5COSX,

所以4-x）=/（x）.

因此，函數(shù)y（x）為定義在R上的偶函數(shù).

⑵因為6+號）=也8$（。+1）=坐，

所以cos僅+1）=*

由于。為第一象限角，故/卜+1）=攣

所以cos（20+1）=cos[2（0+g）-3

=sin^2^<9+^）J=2sin（0+§cos（e+§

="垣d=逑

-2X3X3-9.

19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)y=sin（2x+p）（一?！础?）的圖象的一條對稱軸是直線x

⑴求夕;

⑵求函數(shù)y=/5）的單調(diào)增區(qū)間；

⑶畫出函數(shù)y=/U）在區(qū)間［0,兀］上的圖象.

|解析|⑴因為是函數(shù)y=/A）的圖象的對稱軸，

所以sin（2X^+,=±l,即：+3=也+去攵WZ.因一兀V”0,所以左=—1時得力=一苧

（2）由（1）知8=一竽，因此y=sin（2x一芝）.由題意得2E—m忘2彳一,W2E+，，k￡Z,解

7T57r

得E+dWxWE+k，（攵WZ）

OO

所以函數(shù)產(chǎn)sin（2x—苧）的單調(diào)增區(qū)間為E+青E+工，kGZ.

（3）由y=sin（2r—竽）知：令z=2x—竽，xG［0,nJ.

①列表如下:

n3兀5兀7兀

0兀

X8TTT

_3K7T7t5兀

07T

Z-T~22T

-1010

y22

②描點連線得函數(shù)y=/（x）在區(qū)間［0,網(wǎng)上的圖象.

20.(本小題滿分12分)如圖，在三棱錐S-A8C中，平面SA8_L平面SBC,ABLBC,

AS=AB.過A作AFLSB,垂足為F,點E,G分別是棱SA,SC的中點.

求證：(1)平面EFG〃平面ABC；

⑵BC_LS4.

|解析］(1)因為AS=A8,AF±SB,垂足為尸，所以F是SB的中點.

又因為E是SA的中點，所以EF〃A8.

因為EFC平面ABC,ABU平面ABC,所以Er〃平面ABC.

同理EG〃平面A3C.又EFCEG=E,所以平面EFG〃平面ABC.

(2)因為平面SABJ_平面S8C,且交線為S3,又AFU平面&48,AFA.SB,所以4尺1_平

面SBC.

因為8CU平面SBC,所以AF_L8c.

又因為A8_LBC,AFDAB=A,AFU平面SAB,ABU平面SAB,所以BC_L平面SAB.

因為S4U平面SAB,所以BC_LSA.

21.(本小題滿分12分)在平面四邊形A8CQ中，ZADC=90°,ZA=45°,AB=2,BD

—5.

(1)求cos/AOB；

(2)若力C=2，L求BC.

［解析］(1)在△A8O中，由正弦定理得黑=京^，

SillZ—f\LyD

由題設(shè)知，焉尹=嬴*而，所以sin/ADB=坐.

由題設(shè)知，ZADB<9009所以cosNADB=q1—京=專&

(2)由題設(shè)及(1)知，cosZBDC=sinZADB=^.

在△BCO中，由余弦定理得

BC2=BD1+DC2-2