2023-2024學(xué)年北師大版必修第一冊(cè) 第七章　2-2　第1課時(shí)　古典概型的概率計(jì)算公式及其應(yīng)用 課件（29張）

激趣誘思齊王與田忌賽馬,田忌的上馬優(yōu)于齊王的中馬,劣于齊王的上馬,田忌的中馬優(yōu)于齊王的下馬,劣于齊王的中馬,田忌的下馬劣于齊王的下馬.現(xiàn)各出上、中、下三匹馬分別進(jìn)行一場(chǎng)比賽,勝兩場(chǎng)以上(含兩場(chǎng))即為獲勝.若齊王知道田忌馬的出場(chǎng)順序,他獲勝的概率是多大?如田忌知道齊王馬的出場(chǎng)順序,他能獲勝嗎?若雙方均不知對(duì)方馬的出場(chǎng)順序,你能探求田忌獲勝的概率嗎?知識(shí)點(diǎn)撥一、古典概型1.對(duì)于隨機(jī)事件A,通常用一個(gè)數(shù)P(A)(0≤P(A)≤1)來(lái)表示該事件發(fā)生的可能性大小,這個(gè)數(shù)就稱為隨機(jī)事件A的概率.2.一般地,若試驗(yàn)E具有如下特征:(1)有限性:試驗(yàn)E的樣本空間Ω的樣本點(diǎn)總數(shù)有限,即樣本空間Ω為有限樣本空間;(2)等可能性:每次試驗(yàn)中,樣本空間Ω的各個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等.則稱這樣的試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑楣诺涓怕矢判?簡(jiǎn)稱古典概型.名師點(diǎn)析

古典概型的判斷標(biāo)準(zhǔn)一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型,在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特點(diǎn):有限性和等可能性,并不是所有的試驗(yàn)都是古典概型.下列三類(lèi)試驗(yàn)不是古典模型:(1)樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)有限,但非等可能;(2)樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)限,但等可能;(3)樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)限,也非等可能.微練習(xí)下列試驗(yàn)中,是古典概型的是(

)A.種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽B.從規(guī)格直徑為(250±0.6)mm的一批合格產(chǎn)品中任意取一件,測(cè)量其直徑C.拋擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣,觀察其出現(xiàn)正面或反面D.某人射擊中靶或不中靶答案C二、古典概型的概率計(jì)算公式對(duì)古典概型來(lái)說(shuō),如果樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)總數(shù)為n,隨機(jī)事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為m,那么事件A發(fā)生的概率為要點(diǎn)筆記

使用古典概型概率公式的注意事項(xiàng)(1)首先判斷該模型是不是古典概型;(2)找出隨機(jī)事件A所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中樣本點(diǎn)的總數(shù).微練習(xí)有5支彩筆(除顏色外無(wú)差別),顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支,則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(

)解析選取兩支彩筆的方法有10種,即(紅、黃),(紅、藍(lán)),(紅、綠),(紅、紫),(黃、藍(lán)),(黃、綠),(黃、紫),(藍(lán)、綠),(藍(lán)、紫),(綠、紫),含有紅色彩筆的選法有4種,即(紅、黃),(紅、藍(lán)),(紅、綠),(紅、紫),由古典概型的概率計(jì)算公式,得滿足題意的概率為答案C課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一古典概型的判斷例1判斷下列概率模型是否屬于古典概型.(1)在區(qū)間[0,2]上任取一點(diǎn);(2)從甲地到乙地共有10條路線,某人從中任選一條;(3)任意拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和作為基本事件.分析從有限性和等可能性兩個(gè)方面入手,對(duì)每個(gè)概率模型進(jìn)行判斷.解(1)區(qū)間[0,2]包含無(wú)窮多個(gè)點(diǎn),從

[0,2]上任取一點(diǎn)時(shí),有無(wú)窮多種取法,不滿足有限性,因此這不是古典概型.(2)從甲地到乙地共有10條路線,某人從中任選一條,共有10種選法,滿足有限性,又每一條路線被選中的可能性是相同的,滿足等可能性,因此這是古典概型.(3)任意拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,點(diǎn)數(shù)之和共有11種,即點(diǎn)數(shù)之和分別是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,滿足有限性,但這11種結(jié)果不是等可能出現(xiàn)的,不滿足等可能性,故這不是古典概型.反思感悟

古典概型的判斷方法判斷一個(gè)試驗(yàn)是不是古典概型,關(guān)鍵看它是否具備古典概型的兩個(gè)特征:(1)一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn)只有有限個(gè),即有限性;(2)每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是均等的,即等可能性.變式訓(xùn)練

1下列試驗(yàn)不是古典概型的是

.(填序號(hào))

①?gòu)?名同學(xué)中任選4人,參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽;②近三天中有一天降雨;③從10人中任選兩人表演節(jié)目.解析①③為古典概型,它們符合古典概型的兩個(gè)特征:有限性和等可能性.②不符合等可能性.答案②探究二古典概型概率的求解例2袋子中裝有除顏色外其他均相同的編號(hào)為a,b的2個(gè)黑球和編號(hào)為c,d,e的3個(gè)紅球,從中任意摸出2個(gè)球,寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間,并求至少摸出1個(gè)黑球的概率.分析寫(xiě)試驗(yàn)的樣本空間時(shí)要逐一寫(xiě)出,用古典概型的概率公式可得概率.解試驗(yàn)的樣本空間為

Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},n=10.記“至少摸出1個(gè)黑球”為事件A,則事件A包含7個(gè)樣本點(diǎn),即至少摸出1個(gè)黑球的概率為0.7.延伸探究袋子中有紅、白色球各1個(gè),每次任取一個(gè),有放回地摸三次,寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間,并計(jì)算下列事件的概率:(1)三次顏色恰有兩次同色;(2)三次顏色全相同;(3)三次摸到的紅球多于白球.解試驗(yàn)的樣本空間Ω={(紅,紅,紅),(紅,紅,白),(紅,白,紅),(白,紅,紅),(紅,白,白),(白,紅,白),(白,白,紅),(白,白,白)}.樣本點(diǎn)總數(shù)n=8.(1)記事件A為“三次顏色恰有兩次同色”.∵A中含有的樣本點(diǎn)數(shù)m1=6,(2)記事件B為“三次顏色全相同”.∵B中含有的樣本點(diǎn)數(shù)m2=2,(3)記事件C為“三次摸到的紅球多于白球”.∵C中含有的樣本點(diǎn)數(shù)m3=4,探究三古典概型的綜合問(wèn)題例3編號(hào)分別為A1,A2,…,A16的16名籃球運(yùn)動(dòng)員在某次訓(xùn)練比賽中的得分記錄如下:運(yùn)動(dòng)員編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834運(yùn)動(dòng)員編號(hào)A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138(1)將得分在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格:區(qū)間[10,20)[20,30)[30,40]人數(shù)

(2)從得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人,①用運(yùn)動(dòng)員編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果;②求這2人得分之和大于50的概率.解(1)由得分記錄表,從左到右應(yīng)填4,6,6.(2)①得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員編號(hào)為A3,A4,A5,A10,A11,A13.從中隨機(jī)抽取2人,所有的樣本點(diǎn)有(A3,A4),(A3,A5),(A3,A10),(A3,A11),(A3,A13),(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A4,A13),(A5,A10),(A5,A11),(A5,A13),(A10,A11),(A10,A13),(A11,A13),共15個(gè).②從得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人,將“這2人得分之和大于50”記為事件B,則事件B包含的樣本點(diǎn)有(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A5,A10),(A10,A11),共5個(gè).反思感悟

古典概型綜合問(wèn)題的解題方法(1)要深刻理解問(wèn)題所涉及的其他數(shù)學(xué)知識(shí),在理解題意的基礎(chǔ)上結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式進(jìn)行求解.(2)古典概型信息遷移題通過(guò)給出一個(gè)新概念或定義一種新運(yùn)算或給出幾個(gè)新模型等來(lái)創(chuàng)設(shè)新的問(wèn)題情境,要求同學(xué)們?cè)陂喿x理解的基礎(chǔ)上,應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)和方法,實(shí)現(xiàn)信息的遷移,以達(dá)到靈活解題的目的.變式訓(xùn)練

2(1)設(shè)a,b∈{1,2,3},則函數(shù)f(x)=x2+bx+a無(wú)零點(diǎn)的概率為

.

(2)“漸升數(shù)”是指每個(gè)數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的自然數(shù)(如2578),在兩位的“漸升數(shù)”中任取一個(gè)數(shù)比37大的概率是

.

解析(1)由題意知本題是一個(gè)古典概型問(wèn)題,試驗(yàn)的樣本點(diǎn)有3×3=9(個(gè)).樣本點(diǎn)要滿足b2-4a<0,即b2<4a.從所給的數(shù)據(jù)中,當(dāng)b=1時(shí),a有3種結(jié)果;當(dāng)b=2時(shí),a有2種結(jié)果;當(dāng)b=3時(shí),a有1種結(jié)果.綜上所述,共有3+2+1=6(個(gè))樣本點(diǎn),(2)十位是1的“漸升數(shù)”有8個(gè),十位是2的“漸升數(shù)”有7個(gè),…,十位是8的“漸升數(shù)”有1個(gè),所以兩位的“漸升數(shù)”共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個(gè));以3為十位數(shù),比37大的“漸升數(shù)”有2個(gè),分別以4,5,6,7,8為十位數(shù)的“漸升數(shù)”均比37大,且共有5+4+3+2+1=15(個(gè)),所以比37大的兩位“漸升數(shù)”共有2+15=17(個(gè)).故在兩位的“漸升數(shù)”中任取一個(gè)數(shù)比37大的概率是素養(yǎng)形成變換角度,巧解古典概型典例

甲、乙、丙、丁四名學(xué)生按任意次序站成一排,則甲站在邊上的概率為

.

解析(方法一)如圖所示.由圖可看出共有24個(gè)樣本點(diǎn).甲站在邊上有12個(gè)樣本點(diǎn):(甲,乙,丙,丁),(甲,乙,丁,丙),(甲,丙,乙,丁),(甲,丙,丁,乙),(甲,丁,乙,丙),(甲,丁,丙,乙),(乙,丙,丁,甲),(乙,丁,丙,甲),(丙,乙,丁,甲),(丙,丁,乙,甲),(丁,乙,丙,甲),(丁,丙,乙,甲).故甲在邊上的概率為(方法二)甲、乙、丙、丁四人站隊(duì),排頭和排尾的站法共有:(甲,乙),(乙,甲),(甲,丙),(丙,甲),(甲,丁),(丁,甲),(乙,丙),(丙,乙),(乙,丁),(丁,乙),(丙,丁),(丁,丙)12個(gè)樣本點(diǎn),其中甲站在邊上的情況有:(甲,乙),(乙,甲),(甲,丙),(丙,甲),(甲,丁),(丁,甲)6個(gè)樣本點(diǎn),故甲站在邊上的概率為反思感悟

1.從不同的角度把握問(wèn)題,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不同的古典概型,這是我們進(jìn)行概率計(jì)算的重要思想.當(dāng)所選取的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果的角度不同時(shí),樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)也將不同,但是最終所求概率的值是確定的.2.在寫(xiě)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果時(shí),務(wù)必弄清問(wèn)題的本質(zhì),選取合適的著眼點(diǎn),有時(shí)需要“放短”眼光,只考慮影響某次試驗(yàn)結(jié)果的事件總數(shù)即可,如本例可只考慮排頭和排尾兩個(gè)特殊位置.變式訓(xùn)練

用三種不同的顏色給圖中的3個(gè)矩形隨機(jī)涂色,且每個(gè)矩形只涂一種顏色,求:(1)3個(gè)矩形顏色都相同的概率;(2)3個(gè)矩形顏色都不同的概率.解用三種不同的顏色給圖中的3個(gè)矩形隨機(jī)涂色,共有27個(gè)樣本點(diǎn),如圖所示.(1)記“3個(gè)矩形顏色都相同”為事件A,由圖可知,事件A包含的樣本點(diǎn)有3個(gè),(2)記“3個(gè)矩形顏色都不同”為事件B,由圖可知,事件B包含的樣本點(diǎn)有6個(gè),當(dāng)堂檢測(cè)1.下列試驗(yàn)中,是古典概型的個(gè)數(shù)為(

)①種下一?；ㄉ?觀察它是否發(fā)芽;②向上拋一枚質(zhì)地不均勻的硬幣,觀察正面向上的概率;③在正方形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)P,點(diǎn)P恰與點(diǎn)C重合;④從1,2,3,4四個(gè)數(shù)中,任取兩個(gè)數(shù);⑤在區(qū)間[0,5]上任取一點(diǎn).A.0 B.1 C.2