【解析】（單元測(cè)試B卷）第二章 對(duì)稱圖形-圓-蘇科版2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

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（單元測(cè)試B卷）第二章對(duì)稱圖形——圓—蘇科版2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

一、選擇題（每題3分，共30分）

1．（2022九上·翁源期末）如圖，是的直徑，，則等于（）

A．32°B．58°C．60°D．64°

2．（2023九上·南寧期末）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，連接，若，，則弦的長(zhǎng)是（）

A．B．C．D．

3．（2023九上·邳州期末）如圖，在中，，，.以點(diǎn)A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)C在內(nèi)且點(diǎn)B在外時(shí)，r的值可能是（）

A．3B．4C．5D．6

4．（2022九上·翁源期末）如圖所示，四邊形為的內(nèi)接四邊形，，則的大小是（）

A．120°B．110°C．100°D．50°

5．（2022九上·杭州月考）如圖，圓上有兩點(diǎn)，，連結(jié)，分別以，為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，若，則該圓的半徑長(zhǎng)是（）

A．10B．6C．5D．4

6．（2023九上·吳興期末）常用水筆的筆尖是通過頂端的球座口內(nèi)置一顆可以滾動(dòng)帶墨出水的球珠構(gòu)成（軸截面如圖所示），某工廠生產(chǎn)了一批直徑均為的球珠和可以放置球珠的筆尖，要求筆頭球珠探出部分的長(zhǎng)度h不少于但不超過，以下生產(chǎn)的不同球座口寬度a中符合要求的是（）

A．0.45B．0.35C．0.25D．0.15

7．（2023九上·鄞州期末）某校舉辦校慶晚會(huì)，其主舞臺(tái)為一圓形舞臺(tái)，圓心為O.A，B是舞臺(tái)邊緣上兩個(gè)固定位置，由線段AB及優(yōu)弧圍成的區(qū)域是表演區(qū).若在A處安裝一臺(tái)某種型號(hào)的燈光裝置，其照亮區(qū)域如圖1中陰影所示.若在B處再安裝一臺(tái)同種型號(hào)的燈光裝置，恰好可以照亮整個(gè)表演區(qū)，如圖2中陰影所示

若將燈光裝置改放在如圖3所示的點(diǎn)M，N或P處，能使表演區(qū)完全照亮的方案可能是（）

①在M處放置2臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置②在M，N處各放置1臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置③在P處放置2臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置

A．①B．①②C．②③D．①②③

8．（2023九上·慈溪期末）如圖，正六邊形內(nèi)接于，正六邊形的周長(zhǎng)是12，則的半徑是（）

A．1B．C．2D．

9．（2023九上·武義期末）圖1是一個(gè)“不倒翁”，圖2是它的主視圖，，分別與所在圓相切于點(diǎn)A，B.若該圓半徑是8，，則的長(zhǎng)是（）

A．B．C．D．

10．（2022九上·良慶月考）如圖，圓錐的底面半徑，母線，則圓錐的側(cè)面積是（）

A．B．C．D．

二、填空題（每空3分，共15分）

11．（2023九上·富陽期末）如圖，四邊形的頂點(diǎn)、、在上，若，則.

12．（2022九上·密云期末）如圖，A，B、C三點(diǎn)都在上，，過點(diǎn)A作的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則的度數(shù)是．

13．（2023九上·杭州期末）如圖，用一個(gè)半徑為6cm的定滑輪拉動(dòng)砝碼上升（假設(shè)繩索足夠長(zhǎng)且粗細(xì)不計(jì)，與滑輪之間無滑動(dòng)），若滑輪旋轉(zhuǎn)了，則砝碼上升了cm.（結(jié)果保留）

14．（2023九上·江北期末）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，若圓錐的底面圓的半徑，母線長(zhǎng)，則側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為.

15．（2023九上·江都期末）如圖，半徑為4cm，圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上有一運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)P，從點(diǎn)P向半徑OA引垂線PH交OA于點(diǎn)H.設(shè)的內(nèi)心為I，當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為.

三、解答題（共4題，共20分）

16．在△ABC中，CE，BD分別是邊AB，AC上的高，F(xiàn)是BC邊上的中點(diǎn)．

（1）指出圖中的一個(gè)等腰三角形，并說明理由．

（2）若∠A=x°，求∠EFD的度數(shù)（用含x的代數(shù)式表達(dá)）．

（3）猜想∠ABC和∠EDA的數(shù)量關(guān)系，并證明．

17．如圖，已知△ABC，∠B=40°．

（1）在圖中，用尺規(guī)作出△ABC的內(nèi)切圓O，并標(biāo)出⊙O與邊AB，BC，AC的切點(diǎn)D，E，F(xiàn)（保留痕跡，不必寫作法）；

（2）連接EF，DF，求∠EFD的度數(shù)．

18．如圖，正方形ABCD的外接圓為⊙O，點(diǎn)P在劣弧上（不與C點(diǎn)重合）．

（1）求∠BPC的度數(shù)；

（2）若⊙O的半徑為8，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

19．（2023九上·衢州期末）已知：如圖，C，D是以為直徑的半圓周的三等分點(diǎn)，.求陰影部分的面積？

四、綜合題（共4題，共20分）

20．（2023九上·富陽期末）如圖，，交于點(diǎn)，，是半徑，且于點(diǎn).

（1）求證：；

（2）若，，求的半徑.

21．（2023九上·長(zhǎng)興期末）如圖，為的直徑，點(diǎn)在上，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使.延長(zhǎng)與的另一個(gè)交點(diǎn)為，連結(jié).

（1）求證：；

（2）若，求的長(zhǎng).

22．（2023九上·寧波期末）如圖，在中，以邊為直徑作分別交，于點(diǎn)D，E，點(diǎn)D是中點(diǎn)，連接，.

（1）求證：是等腰三角形.

（2）若，，求的長(zhǎng)和扇形的面積.

23．（2023九上·越城月考）如圖所示，D是線段BC的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)B，C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A，連結(jié)AB，AC，AD，E為AD上一點(diǎn)，連結(jié)BE，CE.

（1）求證：BE=CE.

（2）以點(diǎn)E為圓心作與BC相切，分別交BE，CE于點(diǎn)F，G.若BC=4，∠EBD=30°，求扇形FEG的面積

（3）若用扇形FEG圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，求這個(gè)圓錐的底面圓的半徑.

答案解析部分

1．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理

【解析】【解答】解：，

，

故答案為：D.

【分析】圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半.

2．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理

【解析】【解答】解：∵

∴

∵

∴

∵

∴

∴.

故答案為：D.

【分析】先求出OB的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)，由垂徑定理可得CE=DE，根據(jù)CD=DE-CE即可求解.

3．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【解析】【解答】解：∵在中，，，，

∴，

∵點(diǎn)在內(nèi)且點(diǎn)B在外，

∴，

故答案為：B.

【分析】由勾股定理可求出AC的值，然后根據(jù)點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙A外就可得到r的范圍，據(jù)此判斷.

4．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：，

，

，

故答案為：C.

【分析】利用圓內(nèi)接四邊形得到的度數(shù)，再通過圓周角定理求得的度數(shù).

5．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；圓的認(rèn)識(shí)

【解析】【解答】解：由題意可知，分別以，為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)兩點(diǎn)

CD為AB的垂直平分線

AE=BE=AB=3，AB⊥CD

設(shè)該圓的半徑為r

AO=OF=r

EF=1

OE=OF-EF=r-1

又AB⊥CD

AO2=OE2+AE2

即r2=（r-1）2+32

r=5

該圓的半徑為5

故答案為：C.

【分析】由題意可得CD為AB的垂直平分線，則AE=BE=AB=3，AB⊥CD，設(shè)該圓的半徑為r，則AO=OF=r，OE=r-1，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理求解即可.

6．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理

【解析】【解答】解：如圖：連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)B，

∵直徑均為，

∴，

當(dāng)時(shí)，，

根據(jù)勾股定理可得：，

∴，

當(dāng)時(shí)，，

根據(jù)勾股定理可得：，

∴，

綜上：，

故答案為：B.

【分析】連接AO，過點(diǎn)O作OB⊥a于點(diǎn)B，根據(jù)題意可得OA=0.25mm，當(dāng)h=0.05mm時(shí)，OB=0.2mm，利用勾股定理可得AB的值，由垂徑定理可得a的值，同理求出h=0.1mm時(shí)AB的值，進(jìn)而可得a的范圍.

7．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；切線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：在M處放置2臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置，如下圖

∵在A、B兩處安裝各一臺(tái)某種型號(hào)的燈光裝置，恰好可以照亮整個(gè)表演區(qū)，

∴優(yōu)弧所對(duì)圓周角

如要照亮整個(gè)表演區(qū)，則兩臺(tái)燈光照亮角度為，且

∴為優(yōu)弧所對(duì)圓周角

∴，即①方案成立；

在M，N處各放置1臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置，分別連接、、、、、，如下圖，

∵，，

∴②方案成立；

在P處放置2臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置，如下圖，和相切于點(diǎn)P

如要照亮整個(gè)表演區(qū)，則兩臺(tái)燈光照亮角度為總

根據(jù)題意，，即兩臺(tái)燈光照亮角度總和

∴③方案不成立；

故答案為：B.

【分析】由攝像裝置的視角，畫出圖形觀察可得答案．

8．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓內(nèi)接正多邊形

【解析】【解答】解：連接，，

∵多邊形是正六邊形，

∴，

∵，

∴是等邊三角形，

∴，

∵正六邊形的周長(zhǎng)是12，

∴，

∴的半徑是2

故答案為：C.

【分析】連接OB、OC，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得∠BOC=60°，OB=OC，推出△OBC是等邊三角形，得到OB=OC=BC，根據(jù)正六邊形的周長(zhǎng)為12可得BC的值，據(jù)此解答.

9．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】切線的性質(zhì)；弧長(zhǎng)的計(jì)算

【解析】【解答】解：設(shè)圓心為，連接，

∵，分別與所在圓相切于點(diǎn)A，B，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴的度數(shù)為，

∴的長(zhǎng)是；

故答案為：D.

【分析】設(shè)圓心為O1，連接O1A、O1B，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OAO1=∠OBO1=90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可得∠AO1B=126°，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算.

10．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】圓錐的計(jì)算

【解析】【解答】解：圓錐的側(cè)面積=π×3×5=15π.

故答案為：B.

【分析】直接根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式S=πrl（r為底面圓的半徑，l為母線長(zhǎng)）進(jìn)行計(jì)算.

11．【答案】100°

【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)D，連接、，

∵，

又∵，

∴，

∴，

故答案為100°.

【分析】在優(yōu)弧AC上取一點(diǎn)D，連接AD、DC，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠ADC=180°-∠ABC=50°，由圓周角定理可得∠AOC=2∠ADC，據(jù)此計(jì)算.

12．【答案】20°

【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；切線的性質(zhì)

【解析】【解答】連接

∵

∴

∵過點(diǎn)A作的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P

∴

∴

故答案為：20°

【分析】連接OA，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得，再根據(jù)，利用三角形的內(nèi)角和求出∠APO的度數(shù)即可。

13．【答案】5π

【知識(shí)點(diǎn)】弧長(zhǎng)的計(jì)算

【解析】【解答】解：由題意得，重物上升的距離是半徑為，圓心角為所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，

即，

故答案為：5π.

【分析】由題意得：重物上升的距離是半徑為6cm，圓心角為150°所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，然后結(jié)合弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算.

14．【答案】90°

【知識(shí)點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；圓錐的計(jì)算

【解析】【解答】解：圓錐的側(cè)面積公式為

將，代入公式得：

代入數(shù)據(jù)解得：

故答案為90°

【分析】根據(jù)S側(cè)=πrl可得S的值，然后根據(jù)圓錐的側(cè)面積等于展開扇形的面積結(jié)合扇形的面積公式就可求出圓心角的度數(shù).

15．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；弧長(zhǎng)的計(jì)算；三角形全等的判定（SSS）

【解析】【解答】解：如圖，連OI，PI，AI，

∵△OPH的內(nèi)心為I，

∴∠IOP=∠IOA，∠IPO=∠IPH，

∴∠PIO=-∠IPO-∠IOP=-（∠HOP+∠OPH），

而PH⊥OA，即∠PHO=，

∴∠PIO=-（∠HOP+∠OPH）=-（-）=，

又∵OP=OA，OI公共，

而∠IOP=∠IOA，

∴△OPI≌△OAI，

∴∠AIO=∠PIO=，

所以點(diǎn)I在以O(shè)A為弦，并且所對(duì)的圓周角為的一段劣弧上；

過A、I、O三點(diǎn)作⊙O′，如圖，連O′A，O′O，

在優(yōu)弧AO上取點(diǎn)P，連PA，PO，

∵∠AIO=，

∴∠APO=-=，

∴∠AO=，而OA=4cm，

∴∠AO=，

∴O′O=OA=×4=2，

∴弧OA的長(zhǎng)=（cm），

所以內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為cm.

故答案為：cm..

【分析】如圖，連OI，PI，AI，由△OPH的內(nèi)心為I，可得到∠PIO=-∠IPO-∠IOP=-（∠HOP+∠OPH）=，并且易證△OPI≌△OAI，得到∠AIO=∠PIO=，所以點(diǎn)I在以O(shè)A為弦，并且所對(duì)的圓周角為的一段劣弧上；過A、I、O三點(diǎn)作⊙O′，如圖，連O′A，O′O，在優(yōu)弧AO上取點(diǎn)P，連PA，PO，可得∠APO=-=，得∠AO=，OA=×4=2，然后利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算弧OA的長(zhǎng).

16．【答案】（1）解：△DEF是等腰三角形．

∵CE，BD分別是邊AB，AC上的高，F(xiàn)是BC邊上的中點(diǎn)，

∴EF=BC，DF=BC，

∴EF=DF，

∴△DEF是等腰三角形。

（2）解：∵FE=FB，F(xiàn)D=FC，

∴∠FEB=∠FBE，∠FDC=∠FCD，

∴∠FEB+∠FDC=∠FBE+∠FCD=180°﹣∠A=180°﹣x°，

∠AED+∠ADE=180°﹣∠A=180°﹣x°，

∴∠FED+∠FDE=360°﹣（180°﹣x°）﹣（180°﹣x°）=2x°，

∴∠EFD=180°﹣2x°

（3）解：∠ABC=∠EDA．

∵∠BEC=∠BDC=90°，

∴B、E、D、C四點(diǎn)共圓，

∴∠ABC=∠EDA.

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定；確定圓的條件

【解析】【分析】（1）根據(jù)“在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得EF=BC，DF=BC，等量代換可得EF=DF，最后證得△DEF是等腰三角形。

（2）根據(jù)等邊對(duì)等角FE=FB，F(xiàn)D=FC，可得∠FEB=∠FBE，∠FDC=∠FCD，用含x的代數(shù)式表示∠FEB+∠FDC、∠AED+∠ADE，最后求得∠EFD。

（3）根據(jù)∠BEC=∠BDC=90°，90度的圓周角所對(duì)的弦為直徑可得B、E、D、C四點(diǎn)共圓，可得∠ABC=∠EDA.。

17．【答案】（1）解：如圖1，⊙O即為所求．

（2）解：如圖2，

連接OD，OE，

∴OD⊥AB，OE⊥BC，

∴∠ODB=∠OEB=90°，

∵∠B=40°，

∴∠DOE=140°，

∴∠EFD=70°．

【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；作圖-角的平分線

【解析】【分析】（1）該題重點(diǎn)考察三角形內(nèi)切圓的尺規(guī)作圖，分三步：

①作任意兩個(gè)角的角平分線，其交點(diǎn)就是圓心；

②做圓心到其中任意一邊的垂線，該垂線的長(zhǎng)度就是圓的半徑；

③以該交點(diǎn)為圓心，以垂距為半徑做圓，即為所求的內(nèi)切圓。

（2）

求出圓心角∠DOE，利用同弧所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系，即可求出∠EFD的度數(shù)。

18．【答案】（1）解：連接OB，OC，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC=∠BOC=45°；

（2）解：過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，∵OE2+BE2=OB2，∴BE=∴BC=2BE=2×

【知識(shí)點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理；圓內(nèi)接正多邊形

【解析】【分析】（1）由圓內(nèi)接正方形的性質(zhì)可知，正方形ABCD的中心角為90°，根據(jù)同圓或等圓中圓周角等于圓心角的一半，可以求得∠BPC的度數(shù)；

（2）由題意可知，OB=OC=8，再由解直角三角形可以求得BC的長(zhǎng)。

19．【答案】解：如圖，連接、.

∵，是以為直徑的半圓周的三等分點(diǎn)，

∴，

又∵，

∴是等邊三角形，

∴，

∴，

∴，

∴.

即：陰影部分的面積為.

【知識(shí)點(diǎn)】平行線的判定；三角形的面積；等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；扇形面積的計(jì)算

【解析】【分析】連接OC、OD，根據(jù)等弧所對(duì)的圓心角相等及平角的定義得∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，可判斷出△OCD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)可得∠OCD=∠AOC=60°，則CD∥AB，根據(jù)同底等高三角形面積相等得S△ACD=S△OCD，則S陰影=S扇形OCD，進(jìn)而利用扇形面積計(jì)算公式即可算出答案.

20．【答案】（1）證明：∵，，是半徑，

∴，.

∴，即

（2）解：如圖，連結(jié)，

∵，，

∴，.

∵，

∴，

解得.

答：的半徑為5.

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理

【解析】【分析】（1）由垂徑定理可得AF=BF，CF=DF，然后根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行證明；

（2）連接OC，則CF=DF=4，然后在Rt△COF中，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

21．【答案】（1）證明：為的直徑，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

；

（2）解：設(shè)，

，

，

在中，由勾股定理可得，

即，

解得：，（舍去），

，

由（1）得：，

，

，

，

的長(zhǎng)為.

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定；勾股定理；圓周角定理；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）由圓周角定理可得∠ACB=90°，則∠ACD=180°-∠ACB=90°，由已知條件可知DC=BC，AC=AC，利用SAS證明△ACD≌△ACB，得到∠D=∠B，由圓周角定理可得∠B=∠E，據(jù)此證明；

（2）設(shè)BC=x，則AC=x-2，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得x的值，由（1）得∠D=∠E，則CD=CE，結(jié)合DC=CB可得CE=CB，據(jù)此解答.

22．【答案】（1）證明：連接，

∵為直徑，

∴，即，

又∵D是中點(diǎn)，

∴是線段的中垂線，

∴，

∴是等腰三角形

（2）解：∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴.

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；弧長(zhǎng)的計(jì)算；扇形面積的計(jì)算

【解析】【分析】（1）連接AD，由圓周角定理可得∠ADB=90°，結(jié)合D為BC的中點(diǎn)可得AD是線段BC的中垂線，則AB=AC，據(jù)此證明；

（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得∠A=∠AEO=40°，由內(nèi)角和定理可得∠AOE=100°，然后利用弧長(zhǎng)公式可得的長(zhǎng)，易得∠EOD=40°，然后利用扇形的面積公式進(jìn)行計(jì)算.

23．【答案】（1）證明：由題意可知：，為等邊三角形，

點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，

是等邊的中線，且，

，

，

.

（2）解：如圖所示：

與BC相切，且，

點(diǎn)是切點(diǎn)，并且是該扇形的半徑，

，且，

，

，

在中，，

，

是BC的中點(diǎn)，

在中，由勾股定理可知：，解得，

扇形FEG的面積為.

（3）解：設(shè)圓錐底面圓半徑為，

扇形FEG的弧長(zhǎng)為：，

扇形FEG的弧長(zhǎng)等于其圍成的圓錐的底面圓的周長(zhǎng)，

，解得，

故圓錐的底面圓的半徑為.

【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；切線的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算；圓錐的計(jì)算；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）根據(jù)SAS證明△BDE≌△CDE，可得BE=CE；

（2）根據(jù)切線的性質(zhì)可得D點(diǎn)是切點(diǎn)，并且DE是該扇形的半徑，求出ED的長(zhǎng)，利用扇形的面積公式計(jì)算即得結(jié)論；

（3）根據(jù)扇形FEG的弧長(zhǎng)等于其圍成的圓錐的底面圓的周長(zhǎng)即可求解.

二一教育在線組卷平臺(tái)（）自動(dòng)生成1/1登錄二一教育在線組卷平臺(tái)助您教考全無憂

（單元測(cè)試B卷）第二章對(duì)稱圖形——圓—蘇科版2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

一、選擇題（每題3分，共30分）

1．（2022九上·翁源期末）如圖，是的直徑，，則等于（）

A．32°B．58°C．60°D．64°

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理

【解析】【解答】解：，

，

故答案為：D.

【分析】圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半.

2．（2023九上·南寧期末）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，連接，若，，則弦的長(zhǎng)是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理

【解析】【解答】解：∵

∴

∵

∴

∵

∴

∴.

故答案為：D.

【分析】先求出OB的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)，由垂徑定理可得CE=DE，根據(jù)CD=DE-CE即可求解.

3．（2023九上·邳州期末）如圖，在中，，，.以點(diǎn)A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)C在內(nèi)且點(diǎn)B在外時(shí)，r的值可能是（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【解析】【解答】解：∵在中，，，，

∴，

∵點(diǎn)在內(nèi)且點(diǎn)B在外，

∴，

故答案為：B.

【分析】由勾股定理可求出AC的值，然后根據(jù)點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙A外就可得到r的范圍，據(jù)此判斷.

4．（2022九上·翁源期末）如圖所示，四邊形為的內(nèi)接四邊形，，則的大小是（）

A．120°B．110°C．100°D．50°

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：，

，

，

故答案為：C.

【分析】利用圓內(nèi)接四邊形得到的度數(shù)，再通過圓周角定理求得的度數(shù).

5．（2022九上·杭州月考）如圖，圓上有兩點(diǎn)，，連結(jié)，分別以，為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，若，則該圓的半徑長(zhǎng)是（）

A．10B．6C．5D．4

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；圓的認(rèn)識(shí)

【解析】【解答】解：由題意可知，分別以，為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)兩點(diǎn)

CD為AB的垂直平分線

AE=BE=AB=3，AB⊥CD

設(shè)該圓的半徑為r

AO=OF=r

EF=1

OE=OF-EF=r-1

又AB⊥CD

AO2=OE2+AE2

即r2=（r-1）2+32

r=5

該圓的半徑為5

故答案為：C.

【分析】由題意可得CD為AB的垂直平分線，則AE=BE=AB=3，AB⊥CD，設(shè)該圓的半徑為r，則AO=OF=r，OE=r-1，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理求解即可.

6．（2023九上·吳興期末）常用水筆的筆尖是通過頂端的球座口內(nèi)置一顆可以滾動(dòng)帶墨出水的球珠構(gòu)成（軸截面如圖所示），某工廠生產(chǎn)了一批直徑均為的球珠和可以放置球珠的筆尖，要求筆頭球珠探出部分的長(zhǎng)度h不少于但不超過，以下生產(chǎn)的不同球座口寬度a中符合要求的是（）

A．0.45B．0.35C．0.25D．0.15

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理

【解析】【解答】解：如圖：連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)B，

∵直徑均為，

∴，

當(dāng)時(shí)，，

根據(jù)勾股定理可得：，

∴，

當(dāng)時(shí)，，

根據(jù)勾股定理可得：，

∴，

綜上：，

故答案為：B.

【分析】連接AO，過點(diǎn)O作OB⊥a于點(diǎn)B，根據(jù)題意可得OA=0.25mm，當(dāng)h=0.05mm時(shí)，OB=0.2mm，利用勾股定理可得AB的值，由垂徑定理可得a的值，同理求出h=0.1mm時(shí)AB的值，進(jìn)而可得a的范圍.

7．（2023九上·鄞州期末）某校舉辦校慶晚會(huì)，其主舞臺(tái)為一圓形舞臺(tái)，圓心為O.A，B是舞臺(tái)邊緣上兩個(gè)固定位置，由線段AB及優(yōu)弧圍成的區(qū)域是表演區(qū).若在A處安裝一臺(tái)某種型號(hào)的燈光裝置，其照亮區(qū)域如圖1中陰影所示.若在B處再安裝一臺(tái)同種型號(hào)的燈光裝置，恰好可以照亮整個(gè)表演區(qū)，如圖2中陰影所示

若將燈光裝置改放在如圖3所示的點(diǎn)M，N或P處，能使表演區(qū)完全照亮的方案可能是（）

①在M處放置2臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置②在M，N處各放置1臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置③在P處放置2臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置

A．①B．①②C．②③D．①②③

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；切線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：在M處放置2臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置，如下圖

∵在A、B兩處安裝各一臺(tái)某種型號(hào)的燈光裝置，恰好可以照亮整個(gè)表演區(qū)，

∴優(yōu)弧所對(duì)圓周角

如要照亮整個(gè)表演區(qū)，則兩臺(tái)燈光照亮角度為，且

∴為優(yōu)弧所對(duì)圓周角

∴，即①方案成立；

在M，N處各放置1臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置，分別連接、、、、、，如下圖，

∵，，

∴②方案成立；

在P處放置2臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置，如下圖，和相切于點(diǎn)P

如要照亮整個(gè)表演區(qū)，則兩臺(tái)燈光照亮角度為總

根據(jù)題意，，即兩臺(tái)燈光照亮角度總和

∴③方案不成立；

故答案為：B.

【分析】由攝像裝置的視角，畫出圖形觀察可得答案．

8．（2023九上·慈溪期末）如圖，正六邊形內(nèi)接于，正六邊形的周長(zhǎng)是12，則的半徑是（）

A．1B．C．2D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓內(nèi)接正多邊形

【解析】【解答】解：連接，，

∵多邊形是正六邊形，

∴，

∵，

∴是等邊三角形，

∴，

∵正六邊形的周長(zhǎng)是12，

∴，

∴的半徑是2

故答案為：C.

【分析】連接OB、OC，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得∠BOC=60°，OB=OC，推出△OBC是等邊三角形，得到OB=OC=BC，根據(jù)正六邊形的周長(zhǎng)為12可得BC的值，據(jù)此解答.

9．（2023九上·武義期末）圖1是一個(gè)“不倒翁”，圖2是它的主視圖，，分別與所在圓相切于點(diǎn)A，B.若該圓半徑是8，，則的長(zhǎng)是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】切線的性質(zhì)；弧長(zhǎng)的計(jì)算

【解析】【解答】解：設(shè)圓心為，連接，

∵，分別與所在圓相切于點(diǎn)A，B，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴的度數(shù)為，

∴的長(zhǎng)是；

故答案為：D.

【分析】設(shè)圓心為O1，連接O1A、O1B，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OAO1=∠OBO1=90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可得∠AO1B=126°，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算.

10．（2022九上·良慶月考）如圖，圓錐的底面半徑，母線，則圓錐的側(cè)面積是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】圓錐的計(jì)算

【解析】【解答】解：圓錐的側(cè)面積=π×3×5=15π.

故答案為：B.

【分析】直接根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式S=πrl（r為底面圓的半徑，l為母線長(zhǎng)）進(jìn)行計(jì)算.

二、填空題（每空3分，共15分）

11．（2023九上·富陽期末）如圖，四邊形的頂點(diǎn)、、在上，若，則.

【答案】100°

【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)D，連接、，

∵，

又∵，

∴，

∴，

故答案為100°.

【分析】在優(yōu)弧AC上取一點(diǎn)D，連接AD、DC，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠ADC=180°-∠ABC=50°，由圓周角定理可得∠AOC=2∠ADC，據(jù)此計(jì)算.

12．（2022九上·密云期末）如圖，A，B、C三點(diǎn)都在上，，過點(diǎn)A作的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則的度數(shù)是．

【答案】20°

【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；切線的性質(zhì)

【解析】【解答】連接

∵

∴

∵過點(diǎn)A作的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P

∴

∴

故答案為：20°

【分析】連接OA，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得，再根據(jù)，利用三角形的內(nèi)角和求出∠APO的度數(shù)即可。

13．（2023九上·杭州期末）如圖，用一個(gè)半徑為6cm的定滑輪拉動(dòng)砝碼上升（假設(shè)繩索足夠長(zhǎng)且粗細(xì)不計(jì)，與滑輪之間無滑動(dòng)），若滑輪旋轉(zhuǎn)了，則砝碼上升了cm.（結(jié)果保留）

【答案】5π

【知識(shí)點(diǎn)】弧長(zhǎng)的計(jì)算

【解析】【解答】解：由題意得，重物上升的距離是半徑為，圓心角為所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，

即，

故答案為：5π.

【分析】由題意得：重物上升的距離是半徑為6cm，圓心角為150°所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，然后結(jié)合弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算.

14．（2023九上·江北期末）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，若圓錐的底面圓的半徑，母線長(zhǎng)，則側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為.

【答案】90°

【知識(shí)點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；圓錐的計(jì)算

【解析】【解答】解：圓錐的側(cè)面積公式為

將，代入公式得：

代入數(shù)據(jù)解得：

故答案為90°

【分析】根據(jù)S側(cè)=πrl可得S的值，然后根據(jù)圓錐的側(cè)面積等于展開扇形的面積結(jié)合扇形的面積公式就可求出圓心角的度數(shù).

15．（2023九上·江都期末）如圖，半徑為4cm，圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上有一運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)P，從點(diǎn)P向半徑OA引垂線PH交OA于點(diǎn)H.設(shè)的內(nèi)心為I，當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；弧長(zhǎng)的計(jì)算；三角形全等的判定（SSS）

【解析】【解答】解：如圖，連OI，PI，AI，

∵△OPH的內(nèi)心為I，

∴∠IOP=∠IOA，∠IPO=∠IPH，

∴∠PIO=-∠IPO-∠IOP=-（∠HOP+∠OPH），

而PH⊥OA，即∠PHO=，

∴∠PIO=-（∠HOP+∠OPH）=-（-）=，

又∵OP=OA，OI公共，

而∠IOP=∠IOA，

∴△OPI≌△OAI，

∴∠AIO=∠PIO=，

所以點(diǎn)I在以O(shè)A為弦，并且所對(duì)的圓周角為的一段劣弧上；

過A、I、O三點(diǎn)作⊙O′，如圖，連O′A，O′O，

在優(yōu)弧AO上取點(diǎn)P，連PA，PO，

∵∠AIO=，

∴∠APO=-=，

∴∠AO=，而OA=4cm，

∴∠AO=，

∴O′O=OA=×4=2，

∴弧OA的長(zhǎng)=（cm），

所以內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為cm.

故答案為：cm..

【分析】如圖，連OI，PI，AI，由△OPH的內(nèi)心為I，可得到∠PIO=-∠IPO-∠IOP=-（∠HOP+∠OPH）=，并且易證△OPI≌△OAI，得到∠AIO=∠PIO=，所以點(diǎn)I在以O(shè)A為弦，并且所對(duì)的圓周角為的一段劣弧上；過A、I、O三點(diǎn)作⊙O′，如圖，連O′A，O′O，在優(yōu)弧AO上取點(diǎn)P，連PA，PO，可得∠APO=-=，得∠AO=，OA=×4=2，然后利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算弧OA的長(zhǎng).

三、解答題（共4題，共20分）

16．在△ABC中，CE，BD分別是邊AB，AC上的高，F(xiàn)是BC邊上的中點(diǎn)．

（1）指出圖中的一個(gè)等腰三角形，并說明理由．

（2）若∠A=x°，求∠EFD的度數(shù)（用含x的代數(shù)式表達(dá)）．

（3）猜想∠ABC和∠EDA的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【答案】（1）解：△DEF是等腰三角形．

∵CE，BD分別是邊AB，AC上的高，F(xiàn)是BC邊上的中點(diǎn)，

∴EF=BC，DF=BC，

∴EF=DF，

∴△DEF是等腰三角形。

（2）解：∵FE=FB，F(xiàn)D=FC，

∴∠FEB=∠FBE，∠FDC=∠FCD，

∴∠FEB+∠FDC=∠FBE+∠FCD=180°﹣∠A=180°﹣x°，

∠AED+∠ADE=180°﹣∠A=180°﹣x°，

∴∠FED+∠FDE=360°﹣（180°﹣x°）﹣（180°﹣x°）=2x°，

∴∠EFD=180°﹣2x°

（3）解：∠ABC=∠EDA．

∵∠BEC=∠BDC=90°，

∴B、E、D、C四點(diǎn)共圓，

∴∠ABC=∠EDA.

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定；確定圓的條件

【解析】【分析】（1）根據(jù)“在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得EF=BC，DF=BC，等量代換可得EF=DF，最后證得△DEF是等腰三角形。

（2）根據(jù)等邊對(duì)等角FE=FB，F(xiàn)D=FC，可得∠FEB=∠FBE，∠FDC=∠FCD，用含x的代數(shù)式表示∠FEB+∠FDC、∠AED+∠ADE，最后求得∠EFD。

（3）根據(jù)∠BEC=∠BDC=90°，90度的圓周角所對(duì)的弦為直徑可得B、E、D、C四點(diǎn)共圓，可得∠ABC=∠EDA.。

17．如圖，已知△ABC，∠B=40°．

（1）在圖中，用尺規(guī)作出△ABC的內(nèi)切圓O，并標(biāo)出⊙O與邊AB，BC，AC的切點(diǎn)D，E，F(xiàn)（保留痕跡，不必寫作法）；

（2）連接EF，DF，求∠EFD的度數(shù)．

【答案】（1）解：如圖1，⊙O即為所求．

（2）解：如圖2，

連接OD，OE，

∴OD⊥AB，OE⊥BC，

∴∠ODB=∠OEB=90°，

∵∠B=40°，

∴∠DOE=140°，

∴∠EFD=70°．

【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；作圖-角的平分線

【解析】【分析】（1）該題重點(diǎn)考察三角形內(nèi)切圓的尺規(guī)作圖，分三步：

①作任意兩個(gè)角的角平分線，其交點(diǎn)就是圓心；

②做圓心到其中任意一邊的垂線，該垂線的長(zhǎng)度就是圓的半徑；

③以該交點(diǎn)為圓心，以垂距為半徑做圓，即為所求的內(nèi)切圓。

（2）

求出圓心角∠DOE，利用同弧所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系，即可求出∠EFD的度數(shù)。

18．如圖，正方形ABCD的外接圓為⊙O，點(diǎn)P在劣弧上（不與C點(diǎn)重合）．

（1）求∠BPC的度數(shù)；

（2）若⊙O的半徑為8，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

【答案】（1）解：連接OB，OC，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC=∠BOC=45°；

（2）解：過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，∴OE=BE，∵OE2+BE2=OB2，∴BE=∴BC=2BE=2×

【知識(shí)點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理；圓內(nèi)接正多邊形

【解析】【分析】（1）由圓內(nèi)接正方形的性質(zhì)可知，正方形ABCD的中心角為90°，根據(jù)同圓或等圓中圓周角等于圓心角的一半，可以求得∠BPC的度數(shù)；

（2）由題意可知，OB=OC=8，再由解直角三角形可以求得BC的長(zhǎng)。

19．（2023九上·衢州期末）已知：如圖，C，D是以為直徑的半圓周的三等分點(diǎn)，.求陰影部分的面積？

【答案】解：如圖，連接、.

∵，是以為直徑的半圓周的三等分點(diǎn)，

∴，

又∵，

∴是等邊三角形，

∴，

∴，

∴，

∴.

即：陰影部分的面積為.

【知識(shí)點(diǎn)】平行線的判定；三角形的面積；等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；扇形面積的計(jì)算

【解析】【分析】連接OC、OD，根據(jù)等弧所對(duì)的圓心角相等及平角的定義得∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，可判斷出△OCD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)可得∠OCD=∠AOC=60°，則CD∥AB，根據(jù)同底等高三角形面積相等得S△ACD=S△OCD，則S陰影=S扇形OCD，進(jìn)而利用扇形面積計(jì)算公式即可算出答案.

四、綜合題（共4題，共20分）

20．（2023九上·富陽期末）如圖，，交于點(diǎn)，，是半徑，且于點(diǎn).

（1）求