八年級下冊數學知識點及典型例題總結

八年級數學下冊期末復習第十六章二次根式1.二次根式：式子工（a三0）叫做二次根式。定義包含三個內容:I必需含有二次根號“”；II被開方數。三0；111a可以是數，也可以是含有字母的式子。例1下列式子中,是二次根式的有 填序號(1)v32 (2)6(3)%M2 (4) (m>0)(5)京萬(6)個a2+1 (7)第52.二次根式有意義的條件：2.二次根式有意義的條件：大于或等于0。是怎樣的實數時，下列式子在實數范圍內有意義(1)J2_xx_丁(1)J2_xx_丁+3(4)x/x_J3一x⑸弋x2_|_1※二次根式中字母的取值范圍的基本依據:（1）開方數不小于零；（2）分母中有字母時，要保證分母不為零。3.二次根式的雙重非負性：口：①<a>0,②a>02018的值為（）附：具有非負性的式子：①g0；②|a|>0；③a2>0例4若x,j為實數，且卜+2|+萬萬=0,2018的值為（）A．1 B．-1 C．2 D．-24二次根式的性質：（1）4二次根式的性質：（1）屋?萬）2=a（a>0）（2）a(a>0)—a(a<0)例5利用算術平方根的意義填空 _(<4)2=_ (<0,01)2=_ (,13)2=_ 4(_4)2=_ 、；(—0.01)2例6化簡：貧4）2=5二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被開方數并將運算結果化為最簡二次根式．二?（a三二?（a三0,b三0）；(a三0,b>0)例7計算：(1)v9X而 (2)2%；5X3、；2 (3)、.石?1-ab(4)<5?,西?5例8計算：①、;54例9計算：(1)⑵*3(3)核(4)②\：12a2例8計算：①、;54例9計算：(1)⑵*3(3)核(4)6最簡二次根式：必須同時滿足下列條件(三個不含有)：⑴被開方數中不含開方開的盡的因數或因式;例10⑴被開方數中不含開方開的盡的因數或因式;例10下列各式中，是最簡二次根式的是(⑵被開方數中不含分母；⑶分母中不含根式。)A.B.aA.B.a2b2b C?aa2+b2 D?7同類二次根式：二次根式化成最簡二次根式后，若2V3相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式。例11下列根式中，與<3是同類二次根式的是( )A<24B<12C{3D-888二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式.例12計算：(1)7v;2+3,/8-5<50 (2)2匹+6：--2x：1 (3)2j3-J8+L-2+1*’503飛4 7x 2 59有理數的加法交換律、結合律，乘法交換律及結合律，乘法對加法的分配律以及多項式的乘法公式，都適用于二次根式的運算?例14計算：(1)("8+"3)X-v6 (2)(4<2-3v6)-=-2v'2 (3)(<2+3)(<2+5)(4)(2<3-v2)2 (5)(<107)(-<107) (6)(3<27-v'24-3；|).<12

第十七章勾股定理1勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為〃，b,斜邊長為C,那么〃2+"=02。應用：在AABC中，ZC=90%貝fjc= +力2,b-Cc2a2,a-Cc2b2）△ABC中，NC=90°TOC\o"1-5"\h\z①若a=5,b=12,則c= ；②若a=15,c=25,則b= ；③若c=61,6=60,則a= ；④若a：b=3：4,c=10則S卜= 。⑤已知直角三角形的兩邊長分別為3cm和5cm,，則第三邊長為R"ABC 。（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系，求直角三角形的另兩邊。中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則△人8￡的面積為（）A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm2B P 1-42勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。應用：勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法。（定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c滿足a2+c2=b2，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊）例3下列四組線段不能組成直角三角形的是（ ）A.a=8,b=15,c=17 B.a=9,b=12,c=15C.a=<5,b=<3,c=、；2 D.a：b：c=2：3：4例4若^ABC的三邊a、b、c,滿足（a—b）（az+bz—c?）=0,則△ABC是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形3勾股數①能夠構成直角三角形的三邊長的三個稱為勾股數，即a2+b2=c2中，a，b，c為正整數時，稱a,b，c為一組勾股數②記住常見的勾股數可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等例5長度分別為3,4,5,12,13的五根木棒能搭成首尾連接直角三角形的個數為A1個B2個C3個D4個中，AB=12,AC=5,BC=13,則BC邊上的高為AD二例7如圖，有一塊地，已知，AD=4m,CD=3m,ZADC=90°,AB=13m,BC=12m.求這塊地的面積.4直角三角形的性質(2)直角三角形的兩個銳角互余?？杀硎救缦拢篘C=90° -.ZAZB=90°(2)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。NC=90°,NA=30°=.BC=1AB2(3)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。NACB=90,D為AB的中點：CD=1AB=BD=AD25經過證明被確認正確的命題叫做定理。我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。(例：勾股定理與勾股定理逆定理)TOC\o"1-5"\h\z例8下列命題的逆命題正確的是( ).A.全等三角形的面積相等 B.全等三角形的對應角相等 ■C.如果a=b，那么a2=b2 D.等邊三角形的三個角都等于60。6證明：判斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明。 .；//一 」7證明的一般步驟(1)根據題意，畫出圖形。(2)根據題設、結論、結合圖形，寫出已知、求證。(3)經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。第十八章平行四邊形一.平行四邊形1、定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

TOC\o"1-5"\h\z2.平行四邊形的性質 ..—角：平行四邊形的鄰角互補，對角相等； ????邊：平行四邊形兩組對邊分別平行且相等； :--；對角線：平行四邊形的對角線互相平分； 例3圖面積：①S二底.高二ah;例1.在DABCD中，若NA—NB=40。，則NA=,NB=例2.若平行四邊形周長為54cm,兩鄰邊之差為5cm,則這兩邊的長度分別為.例3.如圖，DABCD中，CELAB,垂足為E,如果NA=115。，則NBCE= .例4.若在DABCD中，NA=30。，AB=7cm,AD=6cm,則S.= .①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③一組平行且相等的四邊形是平行四邊形；④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；例8.已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線人&點，求證：BM〃DN,且BM=DNBD相交于點O,M、N分別是OA、OC的中B C①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③一組平行且相等的四邊形是平行四邊形；④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；例8.已知：如圖，平行四邊形ABCD的對角線人&點，求證：BM〃DN,且BM=DNBD相交于點O,M、N分別是OA、OC的中B C例6.DABCD的周長為60cm,對角線交于點O,△BOC的周長比AAOB的周長小8cm,則AB=cm,BC=cm例7GBCD中，對角線AC和BD交于點O,若AC=8,AB=6,BD=m,那么m的取值范圍是3.平行四邊形的判定方法：例9.中點，AB例9.中點，AB如圖，在DABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點，已知AE=CF,M、N是DE和FB的求證：四邊形ENFM是平行四邊形.二、特殊的平行四邊形（一）矩形1、矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形2、矩形的性質①邊：對邊平行且相等；②角：四個角都是直角；③對角線：對角線互相平分且相等；例10.已知：如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點0,且AC=22、矩形的性質①邊：對邊平行且相等；②角：四個角都是直角；③對角線：對角線互相平分且相等；例10.已知：如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點0,且AC=2AB。(1)求證：4AOB是等邊三角形。(2)本題若將"AC=2AB”改為“NBOC=120°”，你能獲得有關這個矩形的哪些結論3、矩形的判定：⑴平行四邊形+一個直角、(2)三個角都是直角(3)對角線相等的平行四邊形n四邊形ABCD是矩形例11.已知：如圖，在4ABC中，ZC=90°,CD為中線，延長CD到點E,使得DE=CD.連結AE,BE,則四邊形ACBE為矩形.A(二)菱形1、定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。2、菱形的性質：①邊：四條邊都相等；②角：對角相等、鄰角互補；③對角線：對角線互相垂直平分且每條對角線平分每組對角；例12.如圖，菱形ABCD中，E,F分別是CB,CD上的點，且BE=DF.(1)求證：AE=AF.(2)若/8=60°,點￡,F分別為BC和CD的中點.求證：4AEF為等邊三角形.3、菱形的判定方法:(1)平行四邊形+一組鄰邊等(2)四個邊都相等 >=>四邊形ABCD是菱形(3)對角線互相垂直的平行四邊形例13.如圖，在DABCD中，E,F分別為邊AB,CD的中點，連結DE,BF,BD.1求證：AADE義△CBF.2若ADLBD,則四邊形BFDE是什么特殊四邊形請證明你的結論.例14.如圖，四邊形ABCD中，AB〃CD,AC平分NBAD,CE〃AD交AB于E.1求證：四邊形AECD是菱形；2若點E是AB的中點，試判斷AABC的形狀，并說明理由.(三)正方形1、定義：有一組鄰邊相等且有一個直角的平行四邊形叫做正方形2、正方形的性質：①邊：四條邊都相等；②角：四角都是直角；③對角線：對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分每組對角。3、正方形的判定方法：⑴平行四邊形+一組鄰邊等一個直角、(2)菱形+一個直角 n四邊形ABCD是正方形(3)矩形+一組鄰邊等四)三角形中位線定理：三角形的中位線平行第三邊，并且等于它的一半如圖：DE是4ABC的中位線???DE〃BC,DE=1BC2第十九章一次函數一常量、變量：在一個變化過程中，數值發(fā)生變化的量叫做;數值始終不變的量叫做。例1.長方形相鄰兩邊長分別為、，面積為30,則用含的式子表示為 一 _，則這個問題中，常量；是變量.例2.小軍用50元錢去買單價是8元的筆記本，則他剩余的錢Q(元)與他買這種筆記本的本數之間的關系是()A．Q=8B．Q=8-50C．Q=50-8D．Q=850例3．寫出下列問題中的關系式，并指出其中的變量和常量．(1)用20cm的鐵絲所圍的長方形的長(cm)與面積S(cm2)的關系.(2)直角三角形中一個銳角 a與另一個銳角B之間的關系.(3)一盛滿30噸水的水箱，每小時流出噸水，試用流水時間 t(小時)表示水箱中的剩水量(噸)二、函數的概念：函數的定義：一般的，在一個變化過程中,如果有兩個變量與，并且對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說是自變量，是的函數．函數的判斷：對每一個自變量是否只有唯一的一個函數值和它對應。三、函數中自變量取值范圍的求法：(1)用整式表示的函數，自變量的取值范圍是全體實數。(2)用分式表示的函數，自變量的取值范圍是使分母不為 0的一切實數。(3)用二次根式表示的函數，自變量的取值范圍是使被開方數為非負數。(4)若解析式由上述幾種形式綜合而成， 須先求出各部分的取值范圍，然后再求其公共范圍，即為自變量的取值范圍。(5)對于與實際問題有關系的，自變量的取值范圍應使實際問題有意義。例4.一輛汽車的油箱中現有汽油50L,如果不再加油，那么油箱中的油量(單位： L)隨行駛里程(單位：m)的增加而減少，平均耗油量為m.(1)寫出表示與的函數關系的式子．(2)指出自變量的取值范圍.(3)汽車行駛200m時，油箱中還有多少汽油四、函數圖象的定義：一般的，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么在坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象.五、用描點法畫函數的圖象的一般步驟（一般取五個點）1、列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數值。）注意：列表時自變量由小到大，相差一樣，有時需對稱。2、描點：（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點。3、連線：（按照橫坐標由小到大的順序把所描的各點用平滑的曲線連接起來）。六、函數有三種表示形式：（1）列表法（2）圖像法（3）解析式法例5.下面的圖象反映的過程是：小明從家去菜地澆水，又去玉米地鋤草，然后回家，其中表示時間，表示小明離他家的距離. ?一?根據圖象回答下列問題： 1?…??…（1）菜地離小明家多遠小明走到菜地用了多少時間（2）小明給菜地澆水用了多少時間 了；「\.（3）菜地離玉米地多遠小明從菜地到玉米地用了多少時間 1「一?”二（4）小明給玉米地鋤草用了多少時間（5）玉米地離小明家多遠小明從玉米地走回家的平均速度是多少七、正比例函數1、定義：一般地，形如二為常數，且力0的函數叫做正比例函數，其中叫做比例系數。特征：（1）為常數，且力0（2）自變量的次數是13自變量的取值范圍為全體實數。2、圖象：（1正比例函數二是常數，/0的圖象是經過原點的一條直線，我們稱它為直線二。必過點：（0,0）、（1,）12性質：當>0時,直線二經過第三，一象限，從左向右上升，即隨著的增大也增大；當-,32則1與2的大小關系是（）A.>B.2xb0時，向上平移；當b0時，將直線二的圖象向上平移b個單位；2 1x8k當bbk0b0經過第一、二、三象限經過第一、三、四象限經過第一、三象限

)12 1 2九、,, 一11 22)12 1 2九、,, 一11 22例11.選擇題值的增大而減小的（A.=21B.=3-4C.=<22 D.=(5-2)=3與=3-3的圖象在同一坐標系中位置關系是（ ）A.相交B.互相垂直 口平行D.無法確定=-2-3的圖象不經過（）.A.第一象限 B.第二象限 仁第三象限 D.第四象限例12.填空題=11向上平行移動3個單位,得到的圖象的關系式是 =-11經過點（0, ）與點（，0）.2 十、用待定系數法確定函數解析式的一般步驟：（1）根據已知條件寫出含有待定系數的函數關系式；（2）將、的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數關系式中得到以待定系數為未知數的方程；（3）解方程得出未知系數的值；（4）將求出的待定系數代回所求的函數關系式中得出所求函數的解析式例13.已知一次函數的圖象過點（3,5）與（-4,-9）,求這個一次函數的解析式.例14.已知一次函數的圖象經過點A（-3,2）、B（1,6）

①求此函數的解析式，并畫出圖象.②求函數圖象與坐標軸所圍成的三角形面積.例15.如圖，折線ABC是在某市乘出租車所付車費（元）與行車里程（m）之間的函數關系圖象.①根據圖象，寫出當23時該圖象的函數關系式;②某人乘坐，應付多少錢③某人乘坐13m,應付多少錢④若某人付車費元，出租車行駛了多少千米十一、一次函數與方程、不等式一次函數與一元一次方程：求ab二Oa,b是常數，aWO的解從“數”的角度看為何值時函數二ab的值為0.從“形”的角度看，直線二ab與軸交點的橫坐標一次函數與一元一次不等式：解不等式ab>Oa,b是常數，a#0從“數”的角度看，為何值時函數二ab的值大于0.從“形”的角度看，求直線二ab在軸上方的部分（射線）所對應的的橫坐標的取值范圍.一次函數與二元1次方程組：解方程組ax-by=cI2 2 2從“數”的角度看，自變量O為何值時兩個函數值相等.并求出這個函數值；從“形”的角度看，確定兩直線交點的坐標例16.某種摩托車的油箱最多可儲油10升，加滿后，油箱中的剩油量（升）與摩托車行駛

路程（千米）之間的關系式如圖，根據圖象所提供的信息，回答下列問題：（1）一箱汽油可供摩托車行駛多少千米（2）摩托車每行駛100千米消耗多少升汽油（3）油箱中的剩余油量小于1升時，摩托車將自動報警，行駛多少千米后摩托車將自動報警．例22．如圖，利用=-錯誤!5的圖像，求出：方程-錯誤!5=0的解；不等式-錯誤方程-錯誤!5=0的解；不等式-錯誤!5>。的解集;不等式-錯誤!5W0的解集;不等式-錯誤!5>5的解集;例23．解方程組，則直線=-15和=-7的交點坐標是_X51二260例24.一種節(jié)能燈的功率為10瓦（千瓦），售價為60元；一種白熾燈白O功率另為3元兩種燈的照明效果一樣，使用壽命也相同（3000小時以上）如果電費價格為元/（千瓦?時），消費者選用哪種燈可以節(jié)省費用（提示：總費用二用電費燈的售價）60例25.從A、B兩水庫向甲、乙兩地調水，其中甲地需水15萬噸，乙地需水13萬噸,A、地到甲地50千米,到乙地30千米;從B地到甲地60千米,到乙地45千米設計一個調運方案使水的調運量單位：萬噸?千米盡可能小

第二十章數據的分析1平均數：(1)算術平均數：一組數據中，有n個數據x,x，…，x，則它們的算術平均數為12 nX,xJ,xX_ 1十2十???+n(2)加權平均數： — n若在一組數字中，x的權為W,x的權為W，…，x的權為W，那么1 1 2,xw1 1 2,xw+xw+…+xwx=^wTwXTTw"1 2 n2 n n叫做x「x2,…x的加權平均數。A、8 B、11 C、21 D、1例6．某公司銷售部有營銷人員15人，銷售部為了制定某種商品的銷售金額，統(tǒng)計了這15個人的銷售量如下(單位：件)1800、510、250、250、210、250、210、210、150、210、150、120、120、210、150(1)求這15個銷售員該月銷量的中位數和眾數。(2)假設銷售部負責人把每位營銷員的月銷售定額定為320件，你認為合理嗎如果不合理，請你制定一個合理的銷售定額并說明理由。例7．在一次環(huán)保知識競賽中，某班50名學生成績如下表所示：得分5060708090100110120人數2361415541分別求出這些學生成績的眾數、中位數和平均數例8．公園里有甲、乙兩群游客正在做團體游戲，兩群游客的年齡如下：(單位：歲)甲群：13、13、14、15、15、15、16、17、17。乙群：3、4、4、5、5、6、6、54、57。(1)、甲群游客的平均年齡是歲，中位數是歲