排列組合問(wèn)題的解決方法總結(jié)

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解排列組合應(yīng)用題的21高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解排列組合應(yīng)用題的21種策略#解析：看成一排，某2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)，有A2種，某1個(gè)元4素排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有Ai種，其余5個(gè)元素任排5個(gè)位置上有A5種，45故共有AiA2A5二5760種排法.445“至少”“至多”問(wèn)題用間接排除法或分類法:抽取兩類混合元素不能分步抽.例13.從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有A、140種B、80種C、70種D、35種解析1：逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共有C3-C3-C3二70種，選.C945解析2：至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)；甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)；故不同的取法有C2Ci+CiC2二70臺(tái)，選C.5454選排問(wèn)題先取后排:從幾類元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.（1）四個(gè)不同球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？解析：“先取”四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法有C2種，“再排”在4四個(gè)盒中每次排3個(gè)有A3種，故共有C2A3二144種.444（2）9名乒乓球運(yùn)動(dòng)員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的分組方法？解析：先取男女運(yùn)動(dòng)員各2名，有C2C2種，這四名運(yùn)動(dòng)員混和雙打練習(xí)有A2中排542法，故共有C2C2A2二120種.542部分合條件問(wèn)題排除法:在選取的總數(shù)中，只有一部分合條件，可以從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求.例15.（1）以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有A、70種B、64種C、58種D、52種解析：正方體8個(gè)頂點(diǎn)從中每次取四點(diǎn)，理論上可構(gòu)成C4四面體，但6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面的四個(gè)頂點(diǎn)共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實(shí)際共有C4-12=588個(gè).（2）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有A、150種B、147種C、144種D、141種解析：10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)共有C4種，其中四點(diǎn)共面的有三種情況：①在四面體10的四個(gè)面上，每面內(nèi)四點(diǎn)共面的情況為C4，四個(gè)面共有4C4個(gè)；②過(guò)空間四邊形66各邊中點(diǎn)的平行四邊形共3個(gè)；③過(guò)棱上三點(diǎn)與對(duì)棱中點(diǎn)的三角形共6個(gè).所以四點(diǎn)不共面的情況的種數(shù)是C4-4C4-3-6=141種.10616?圓排問(wèn)題線排法:把n個(gè)不同元素放在圓周n個(gè)無(wú)編號(hào)位置上的排列，順序（例如按順時(shí)鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認(rèn)為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計(jì)順序而首位、末位之分，下列n個(gè)普通排列：a,a,a,a;a,a,a，…,a，…;a,a，…,a在圓排列中只算一種，因?yàn)樾D(zhuǎn)后可以123n234nn1n-1重合，故認(rèn)為相同，n個(gè)元素的圓排列數(shù)有也種?因此可將某個(gè)元素固定展成線排，n其它的n-1元素全排列.例16.5對(duì)姐妹站成一圈，要求每對(duì)姐妹相鄰，有多少種不同站法？解析：首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有A4種，然后在讓插入其間，每位4均可插入其姐姐的左邊和右邊，有2種方式，故不同的安排方式24x25=768種不同站法.說(shuō)明：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作圓形排列共有丄Am種不同排法.mn17.可重復(fù)的排列求冪法:允許重復(fù)排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可逐一安排元素的位置，一般地n個(gè)不同元素排在m個(gè)不同位置的排列數(shù)有mn種方法.例17.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車(chē)間實(shí)習(xí)共有多少種不同方法？解析：完成此事共分6步，第一步；將第一名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間有7種不同方案，第二步：將第二名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間也有7種不同方案，依次類推，由分步計(jì)數(shù)原理知共有76種不同方案.復(fù)雜排列組合問(wèn)題構(gòu)造模型法:例18.馬路上有編號(hào)為1,2,3…，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？解析:把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排對(duì)模型，在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3盞不亮的燈C35種方法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種.說(shuō)明:一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型可使問(wèn)題容易解決.元素個(gè)數(shù)較少的排列組合問(wèn)題可以考慮枚舉法:例19.設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的盒子現(xiàn)將這5個(gè)球投入5個(gè)盒子要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的號(hào)碼與盒子號(hào)碼相同，問(wèn)有多少種不同的方法？解析：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有C2種，還剩下3個(gè)球與3個(gè)盒子序號(hào)不5能對(duì)應(yīng)，利用枚舉法分析，如果剩下3，4，5號(hào)球與3，4，5號(hào)盒子時(shí)，3號(hào)球不能裝入3號(hào)盒子，當(dāng)3號(hào)球裝入4號(hào)盒子時(shí)，4，5號(hào)球只有1種裝法，3號(hào)球裝入5號(hào)盒子時(shí)，4，5號(hào)球也只有1種裝法，所以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)為2C2二20種.5復(fù)雜的排列組合問(wèn)題也可用分解與合成法:例20.（1）30030能被多少個(gè)不同偶數(shù)整除？解析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的形式：30030=2X3X5X7X11X13；依題意偶因數(shù)2必取，3，5，7，11，13這5個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成成積，所有的偶因數(shù)為Co+Ci+C2+C3+C4+C5二32個(gè).555555（2）正方體8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少隊(duì)異面直線？解析：因?yàn)樗拿骟w中僅有3對(duì)異面直線，可將問(wèn)題分解成正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成多少個(gè)不同的四面體，從正方體8個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四面體有C4-12二58個(gè)，所以8個(gè)頂點(diǎn)可連成的異面直線有3X58=174對(duì).8利用對(duì)應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法:對(duì)應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可以將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題處理.例21.（1）圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有多少個(gè)？解析：因?yàn)閳A的一個(gè)內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線相交于圓內(nèi)一點(diǎn)，一個(gè)圓的內(nèi)接四邊形就對(duì)應(yīng)著兩條弦相交于圓內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為圓周上的10個(gè)點(diǎn)可以確定多少個(gè)不同的四邊形，顯然有C4個(gè)，所以圓周上有10點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端10點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有C4個(gè).10(2)某城