數(shù)學建模試驗報告-微分方程

數(shù)學建模試驗報告(四)姓名學號班級問題：(微分方程)討論資金積累、國民收入、與人口增長的關系.若國民平均收入x與按人口平均資金積累y成正比，說明僅當總資金積累的相對增長率k大于人口的相對增長率r時，國民平均收入才是增長的.作出k(x)和r(x)的示意圖，分析人口激增會引起什么后果.問題的分析和假設：問題分析：人口增長與國民收入增長的關系決定人均國民收入指標的變化，人均國民收入與人口增長成反比，與國民收入增長成正比。總資金增長與人口增長都滿足指數(shù)增長，由題意知：國民平均收入與人口平均資金積累成正比，設此比例系數(shù)為a。在國家統(tǒng)計局網(wǎng)站查詢得：2012年，我國大陸總?cè)丝跀?shù)為134735萬人，總資金(國內(nèi)生產(chǎn)總值)總里為47.1564萬億兀，則a的值約為1。問題假設：x1(t)為t時刻總資金積累量x2(t)為t時刻的人口數(shù)量x3(t)為t時刻國民平均收入量Y(t)為人口平均資金積累k為總資金的相對增長率r為人口的相對增長率建模：由分析及假設可列出如下方程：一定時期后，增長的人口數(shù)量為：x2=rx2;總資金增長量為X]=kX]；由題意知：x3(t)=axY(t)Y(t)二X](t辦X2(t)由上述公式，微分得：j)=a(k—r)，X3(t)所以當k>r時，國民收入Ax>0,x(t)增加，即國民平均收入增加。列微分方程如下：色=k?xdtdx22=r?x^dt黑=a(k-r)?x3(t)dt3求解的Matlab程序代碼：建立?M文件，lab4?m,如下：functiondx=lab4(t,x)dx=zeros(3,l);k=0.093;r=0.00479;A=l；dx(l)=k*x(l);dx(2)=r*x(2);dx(3)=a*(k-r)*x(3);主程序：［t,x］=ode45('lab4',［20ll2100］,［134735471564000034999.37］);figure(1),plot(t,x(:,1),'k*')xlabel(*時間［年］,),ylabel(,總資金積累量［億元］')figure(2),plot(t,x(:,2),'m-')holdonxlabel('時間［年］'),ylabel('人口總數(shù)')figure(3),plot(t,x(:,3),'r+')holdonxlabel('時間［年］'),ylabel('國民平均收入量')計算結(jié)果與問題分析討論：由題意和模型分析知：國民收入量呈指數(shù)增長，增長率為（k-r）,則當k>r時，國民平均收入量才會呈現(xiàn)增長趨勢?？傎Y金積累量隨時間變化的圖像：MFigure1FieEditView[nssrtTookDesktopWindowHelp□Gqau吐B□x10Z201C曲*******1甲半****丫半半****卞*11201C20202030204C205020602070208D20902100時間[年]人□總數(shù)隨時間變化的圖像:

問題分析：由圖像可以看出：總資金積累的相對增長率k大于人口的相對增長率r時，國民平均收入是增長的當人口激增時，在一定程度