湖南省長沙市弘益高級中學2023-2024學年高二上學期入學考試數學試題

長沙市弘益高級中學高二第一學期入學考試數學試卷時量：120分鐘滿分150分一、單選題（本大題共8個小題，共40分．在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．在復平面內，復數對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．從2，3，4，5，6中任取2個不同的數，則取出的兩個數之和是3的倍數的概率為（）A． B． C． D．4．設：或；：或，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知向量，，若，則（）A． B． C．3 D．56．已知角的終邊經過點，則（）A． B． C． D．7．直線：，：，若，則實數的值為（）A．0 B．1 C．0或1 D．或18．已知函數是上的奇函數，且當時，，函數，若，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4個小題，共20分．每小題有多項符合題目要求，全部選對得5分，未選全得2分，選錯得0分）9．關于直線：，則下列結論正確的是（）A．傾斜角為 B．斜率為C．在軸上的截距為 D．在軸上的截距為10．已知復數，則下列說法正確的是（）A．的共軛復數是 B．的虛部是C． D．11．下列說法正確的是（）A．抽樣調查具有花費少、效率高的特點B．數據2，3，9，5，3，9的中位數為7，眾數為3和9C．極差和標準差都能描述一組數據的離散程度D．數據，，，的方差為，則數據，，，的方差為12．如圖，長方體中，，，是側面的中心，是底面的中心，點在線段上運動．以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，則（）A．是平面的一個法向量B．直線平面C．異面直線與垂直D．存在點，使得直線與平面所成的角為三、填空題（本大題共4個小題，共20分．）13．同時投擲2枚質地均勻的骰子，所得點數相同的概率是________．14．已知，則的值為________．15．已知點和點到直線的距離相等，則________．16．已知函數，若存在3個零點，則實數的取值范圍為________．四、解答題（本大題共6個小題，共70分．解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）已知的三個頂點是，，，求：（1）邊所在直線的一般方程；（2）邊的垂直平分線所在直線的方程．18．（12分）平面給定三個向量，，．（1）若，求的值；（2）若向量與向量共線，求實數的值．19．（12分）中，內角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求；（2）若，的面積為，求的周長．20．（12分）某校高三年級甲班50名學生在一次期中考試中，數學成績的頻率分布直方圖如圖所示，成績分組區(qū)間為，，，，，，．其中，且．（說明：數學成績滿分為150分）（1）根據甲班數學成績的頻率分布直方圖，估計甲班數學成績的平均分；（2）求數學成績的第80百分位數．21．（12分）如圖，在四棱錐中，，平面，，分別為，的中點．（1）證明：平面；（2）若，求點到平面的距離．22．（12分）如圖，在四棱錐中，是邊長為4的等邊三角形，平面平面，，，，（1）證明：；（2）求與平面所成的角的正弦值．參考答案1．B【詳解】．故選：B2．D【詳解】∵，∴對應的點為，在第四象限，故選：D．3．C【詳解】從2，3，4，5，6中任取2個不同的數的可能結果有，，，，，，，，，共10個，其中兩個數之和是3的倍數的有，，共3個結果，所以取出的兩個數之和是3的倍數的概率．故選：C4．A【詳解】根據題意可得：，：，易知是的真子集，所以，因此，是的充分不必要條件．故選：A5．D【詳解】因為，，且，所以，所以，所以，，所以．故選：D．6．A【詳解】設坐標原點為，由角的終邊經過點，則，故，，則，故選：A7．C【詳解】，即，解得或．故選：C．8．D【詳解】∵函數是上的奇函數，且當時，，∴當時，則，又，即，又，∴，∴當時，，則在上單調遞增，當時，，則在上單調遞增，的圖象如下所示：∴函數在區(qū)間上單調遞增，∵，∴，即，∴，∴，∴．故選：D．9．BD【詳解】直線：，即，所以直線的斜率為，傾斜角為，在軸上的截距為，故A錯誤，B正確，C錯誤，令，得，所以直線在軸上的截距為，故D正確．故選：BD．10．AD【詳解】對于選項A：的共軛復數是，故A正確；對于選項B：的虛部是1，故B錯誤；對于選項C：，故C錯誤；對于選項D：，故D正確；故選：AD．11．AC【詳解】對于A：抽樣調查相比全面調查具有花費少、效率高的特點，故A正確；對于B：數據從小到大排列為2、3、3、5、9、9，所以中位數為，眾數為3和9，故B錯誤；對于C：極差和標準差都能描述一組數據的離散程度，故C正確；對于D：數據，，，的方差為，則數據，，，的方差為，故D錯誤；故選：AC12．ABD【詳解】由題意可得，，，，，，，，因為是側面的中心，是底面的中心，所以，，對于A，因為，，，所以，，所以，，所以是平面的一個法向量，所以A正確；對于B，因為平面，所以是平面的一個法向量，因為，所以，所以，因為平面，所以直線平面，所以B正確；對于C，因為，所以與不垂直，所以異面直線與不垂直，所以C錯誤；對于D，設，則，由選項A可知是平面的一個法向量，設直線與平面所成的角為，所以，若直線與平面所成的角為，則，解得，所以存在點，使得直線與平面所成的角為，所以D正確，故選：ABD13．【詳解】同時投擲2枚質地均勻的骰子，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36種，其中點數相同的有，，，，，，共6種，所以所得點數相同的概率是．故答案為：14．【詳解】由，得，所以，解得，故答案為：15．3或【詳解】因為點和點到直線的距離相等，所以由點到直線的距離公式可得：，解得或，故答案為：3或16．【詳解】函數存在3個零點，等價于與有3個交點．畫出函數和的圖象，如下圖．由圖知，要使函數和有3個交點，則，即．故答案為：17．（1） （2）【詳解】（1）由直線方程的兩點式得：，∴直線的一般方程為；（2）顯然邊的中點坐標為．∵邊所在直線的斜率為，∴直線的斜率為．∴直線的方程為，即．18．（1） （2）【詳解】（1）由題意可知，，所以，又，所以，解得，所以．（2）由題意可知，，因為向量與向量共線，所以，即，解得．19．（1） （2）6【詳解】（1）中，已知，由正弦定理可得，∵，∴，中，，∴，∴．（2），的面積為，∴，解得．由余弦定理可得：化為．聯立，解得∴，所以周長為6．20．（1）117.8分 （2）132.5【詳解】（1）因為，且，所以，可得，由頻率分布直方圖，可得所以，解得，所以、，所以估計甲班數學成績的平均分為：（分）．（2）設第80百分位數是，由，得，則解得．21．（1）證明見解析； （2）．【詳解】（1）在四棱錐中，取中點，連接，，如圖，由，得四邊形是菱形，且，因為，分別為，的中點，則，，于是四邊形是平行四邊形，有，而平面，平面，所以平面．（2）由（1）知，，平面，平面，則平面，于是點到平面的距離等于點到平面的距離，由平面，，平面，得，，而，則，底邊上的高，于是的面積，而，由，得，即，解得，所以點到平面的距離是．22．（1）證明見解析 （2）【詳解】（1）證明：取中點，連結，，因為是等邊三角形，所以．又因為，，所以，因為，所以是等邊三角形，所以，又因為